全国各地中考数学模拟题分类 直角三角形与勾股定理含答案

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全国各地中考数学模拟题分类 直角三角形与勾股定理含答案

直角三角形与勾股定理 一、选择题 ‎1、(2011浙江杭州模拟14)如图折叠直角三角形纸片的直角,使点C落在斜边AB上的点E处. 已知AB=, ∠B=30°, 则DE的长是( ).‎ A. 6 B. ‎4 C. D. 2‎ 答案:B ‎2.(2011湖北崇阳县城关中学模拟)直角三角形两直角边和为7,面积为6,则斜边长为(  )‎ A. 5 B. C. 7 D. ‎ 答案:A ‎(第3题)‎ ‎3.(2011年杭州市上城区一模)梯形ABCD中AB∥CD,∠ADC+∠BCD=90°,以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形,其面积分别是S1、S2、S3 ,且S1 +S3 =4S2,则CD=( )‎ A. 2.5‎AB B. 3AB C. 3.5AB D. 4AB 答案:B ‎4.(2011年浙江省杭州市模2)直角三角形两直角边和为7,面积为6,则斜边长为(  )‎ A. 5 B. C. 7 D. ‎ 答案:A 二、填空题B A C D ‎1、(2011年北京四中三模)如图是一个艺术窗的一部分,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大正方形的边长为‎5cm,则正方形A、B、C、D的面积和是 .‎ 答案:‎25cm2‎ ‎2.(2010-2011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题)‎ 如图是两个全等的三角形纸片,其三边长之比为3:4:5,按图中方法分别将其对折,使折痕(图中虚线)过其中的一个顶点,且使该顶点所在两边重合,记折叠后不重叠部分面积分别为SA,SB,已知SA+SB=13,则纸片的面积是 .‎ 第2题图 SA SB 答案:36‎ ‎3、(2011浙江杭州模拟15)如图,将含30°角的直角三角尺ABC绕点B顺时针旋转150°后得到△EBD,连结CD.若AB=‎4cm. 则△BCD的面积为    .‎ 答案:‎ 第4题图 A C E D B F ‎30°‎ ‎45°‎ ‎4.(2011年宁夏银川)将一副三角尺如图所示叠放在一起,若=‎14cm,则阴影部分的面积_________cm2.‎ 答案:‎ ‎5.(2011浙江省杭州市8模)如图1,是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四全等的直角三角形围成的,若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是__________;‎ 图2‎ A B C 图1‎ A B C ‎ (第5题图)‎ 答案:76‎ ‎6、(2011年浙江杭州二模)如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=‎1.2米,BP=‎1.8米,PD=‎12米, 那么该古城墙的高度是 米.‎ A B P D C C 第6题图 答案:8‎ ‎7、(2011年浙江杭州八模)如图,小明在A时测得某树的影长为‎3米,B时又测得该树的影长为‎12米,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为_____米.‎ ‎(第7题)‎ A时 B时 图2‎ A B C 答案:6‎ 图1‎ A B C ‎ 第8题图 ‎8、(2011年浙江杭州八模)如图1,是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的,若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是__________;‎ 答案:76‎ ‎9. (浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图,将边长为的等边△ABC折叠,折痕为DE,点B与点F重合,EF和DF分别交于点M、N,DFAB,垂足为D,AD=1,则重叠部分的面积为 .‎ 答案: ‎ B组 ‎(第1题)‎ ‎1.( 2011年杭州三月月考)将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MD重合.已知AB=AC=‎8 cm,将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠(阴影)部分的面积是 ▲ cm2‎ 答案: ‎ ‎2.(2011年重庆江津区七校联考一模)一元二次方程的两根恰好是一直角三角形的两边长,则该直角三角形的面积为 。‎ 答案: 6或 ‎3、(2011年浠水模拟2)如图1,是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的,若AC=6,BC=5,将四个 直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是_______________;‎ 图2‎ A B C 图1‎ A B C 答案:76‎ ‎4. (2011年杭州市模拟)侧棱长为cm的直三棱柱的三个侧面面积分别为、和,则该棱柱上底面的面积为      .‎ 答案:‎ ‎5. (2011年海宁市盐官片一模)已知是直角三角形的三条边,且,斜边上的高为,则下列说法中正确的是 。(只填序号)‎ ‎①;②;‎ ‎③由可以构成三角形;④直角三角形的面积的最大值是.‎ 答案:②③‎ ‎6.(2011北京四中一模)在数学活动课上名师带领学生去测量河两岸A,B两处之间的距离,先从A处出发与AB成90°方向,向前走了‎10米到C处,在C处测得∠ACB=60°(如图所示),那么A,B之间的距离约为 米(计算结果精确到‎0.1米)‎ 答案:17‎ ‎7. (2011深圳市中考模拟五)等腰三角形的腰长为2,腰上的高为1,则它的底角等于 .‎ 答案: 15°或75°‎ 三、解答题 ‎1、(2011浙江杭州模拟14)‎ 如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=90°,AD=2DC=4,AB=6.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒).‎ ‎(1)当时,求线段的长;‎ ‎(2)点M在线段AB上运动时,是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,若可以,请直接写出t的值(不需解题步骤);若不可以,请说明理由. ‎ ‎(3)若△PCQ的面积为y,请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围;‎ 答案:‎ 解:(1)由Rt△AQM∽Rt△CAD. ……………………………………………2分 ‎∴. 即,∴. …………………………………1分 ‎(2)或或4. ……………………………………………3分 ‎(3)当0<t<2时,点P在线段CD上,设直线l交CD于点E 由(1)可得. 即QM=2t.∴QE=4-2t.………………………2分 ‎ ∴S△PQC =PC·QE= ………………………………………………1分 ‎ 即 当>2时,过点C作CF⊥AB交AB于点F,交PQ于点H.‎ ‎.‎ 由题意得,.‎ ‎∴ . ∴.‎ ‎∴ . ∴.‎ ‎∴ 四边形AMQP为矩形. ‎ ‎∴ PQ∥.CH⊥PQ,HF=AP=6- t ‎∴ CH=AD=HF= t-2 …………………………………………………………1分 ‎∴S△PQC =PQ·CH= ………………………………………1分 ‎ 即y=‎ 综上所述 或y= ( 2<<6) …………………1分 ‎2、(2011浙江杭州模拟16)‎ 数形结合作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致又可分为两种情形:或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性,即 “以数解形”;或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系,即 “以形助数”。 ‎ 如浙教版九上课本第109页作业题第2题:如图1,已知在△ABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,D 为垂足。易证得两个结论:(1)AC·BC = AB·CD (2)AC2= AD·AB ‎(1)请你用数形结合的“以数解形”思想来解:如图2,已知在△ABC中(AC>BC),∠ACB=900,CD⊥AB,D为垂足, CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x2-14x+48=0的两个根,求AD、MD的长。‎ ‎(2)请你用数形结合的“以形助数”思想来解: 设a、b、c、d都是正数,满足a:b=c:d,且a最大。求证:a+d>b+c(提示:不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c,构造图1)‎ 答案:‎ 解:(1)显然,方程x2-14x+48=0的两根为6和8, 1分 又AC>BC ∴AC=8,BC=6 由勾股定理AB=10 △ACD∽△ABC,得AC2= AD·AB ∴AD=6.4 -------------------------------2分 ∵CM平分∠ACB ∴AM:MB=AC:CB 解得,AM=--------------------------------- 1分 ∴MD=AD-AM=-----------------------------1分 ‎(2)解:不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c 由三角形面积公式,得AB·CD=AC·BC 2AB·CD=‎2AC·BC -------------------------1分 又勾股定理,得AB2=AC2+BC2 ∴AB2+2AB·CD =AC2+BC2+‎2AC·BC(等式性质) ∴AB2+2AB·CD =(AC+BC)2----------------------1分 ‎∴AB2+2AB·CD+CD2 >(AC+BC)2--------------------2分 ‎∴(AB+CD) 2 >(AC+BC)2 又AB、CD、AC、BC均大于零 ∴AB+CD>AC+BC即a+d>b+c--------------------1分 ‎3. (2011年北京四中中考全真模拟17)如图,有两棵树,一棵高‎10米,另一棵高‎4米,两树相距‎8米. 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行多少米?‎ ‎1、探索勾股定理时,我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和 ‎(或差)的有关问题,这种方法称为面积法。请你运用面积法求解下列问题:在等腰三 角形ABC中,AB=AC,BD为腰AC上的高。‎ ‎(1)若BD=h,M时直线BC上的任意一点,M到AB、AC的距离分别为。‎ ① ‎ 若M在线段BC上,请你结合图形①证明:= h; 图①‎ y x E D O F ② 当点M在BC的延长线上时,,h之间的关系为 .‎ ‎(请直接写出结论,不必证明) ‎ ‎(2)如图②,在平面直角坐标系中有两条直线:y = x + 6 ; :y = -3x+6 ‎ 若上的一点M到的距离是3,请你利用以上结论求解点M的坐标。‎ ‎(1)证明:连结AM ‎①∵, EM⊥AB , MF⊥AC, BD⊥AC ‎ ‎∴AC.h = AB. + AC.‎ y x E D O F 又∵AB = AC ‎ ‎∴h = + ………………………………………………2分 ‎② - = h ………………………………………………3分 ‎(2)由题意可知,DE = DF =10,‎ ‎∴△EDF是等腰三角形。………………………………………4分 当点M在线段EF上时,依据(1)中结论,‎ ‎∵h = EO=6,∴M到DF(即x轴)的距离也为3.‎ ‎∴点M的纵坐标为3,此时可求得M(1,3)……………………6分 当点M在射线FE上时,依据(1)中结论 ‎∵h = EO=6,∴M到DF(即x轴)的距离也为9.‎ ‎∴点M的纵坐标为9,此时可求得M(-1,9)………………………………8分 故点M的坐标为(1,3)或(-1,9)‎ ‎4、(2011年江苏盐都中考模拟)‎ 解:原式=(4分)‎ ‎5.(2011年黄冈中考调研六)(满分14分) 如图,以等边△OAB的边OB所在直线为x轴,点O为坐标原点,使点A在第一象限建立平面直角坐标系,其中△OAB边长为6个单位,点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动,点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动,两点同时出发,运动时间为t(单位:秒),当两点相遇时运动停止。‎ x y O A B x y O A B x y O A B ① 点A坐标为_____________,P、Q两点相遇时交点的坐标为________________;‎ ② 当t=2时,____________;当t=3时,____________;‎ ③ 设△OPQ的面积为S,试求S关于t的函数关系式;‎ ④ 当△OPQ的面积最大时,试求在y轴上能否找一点M,使得以M、P、Q为顶点的三角形是Rt△,若能找到请求出M点的坐标,若不能找到请简单说明理由。‎ 答案.‎ (1) A点坐标为、交点坐标为(‎ (2) 当t=2时,; 当t=3时,‎ (1) (2) 对(3)中的分段函数进行计算后得知当t=2,S有最大值,此时P与A重合,OP=6,OQ=4,过P作PC⊥OB于C点,计算得OC=3,AC=,CQ=1,PQ=‎ ① 如图①,过P作PM⊥PQ交y轴于M点,过M作MN⊥AC于N,则MN=OC=3,易得Rt△PMN∽△QPC,有即,得PN=,MO=NC=‎ 故M点坐标为 ② 过Q作MQ⊥PQ交y轴于M点,通过△MOQ∽△QCP,求得M坐标为 ③ 以PQ为直径作⊙D,则⊙D半径r为,再过P作PE⊥y轴于E点,过D作DF⊥y轴于F点,由梯形中位线求得DF=,显然r<DF,故⊙D与y同无交点,那么此时在y轴上无M点使得△MPQ为直角三角形.‎ 综上所述,满足要求的M点或 ‎6. (2011浙江省杭州市8模)(本题满分8分)某商场为了迎接“六一”儿童节的到来,制造了一个超大的“不倒翁”。小灵对“不倒翁”很感兴趣,原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的,并在底部的中心(即图中的C处)固定一个重物,再从正中心立起一根杆子,在杆子上作些装饰,在重力和杠杆的作用下,“不倒翁”就会左摇右晃,又不会完全倒下去。小灵画出剖面图,进行细致研究:圆弧的圆心为点O,过点O的木杆CD长为260㎝,OA、OB为圆弧的半径长为90㎝(作为木杆的支架),且OA、OB关于CD对称,弧AB的长为30㎝。当木杆CD向右摆动使点B 落在地面上(即圆弧与直线l相切于点B)时,木杆的顶端点D到直线l的距离DF是多少㎝?‎ O A B D l A C C D E B F O 解:由弧AB的长可得,∠AOB=60°,‎ 从而∠BOE=∠COB=30°,(2分)‎ ‎∵OB=‎90cm,‎ ‎∴OE=cm,(2分)‎ ‎∴DE=170+ cm, (2分)‎ ‎∴DF=180+ cm (2分)‎ ‎7.(2011广东南塘二模)如图,在小山的东侧A处有一热气球,以每分钟‎30m B C A 东 西 ‎45°‎ ‎60°‎ 的速度沿着仰角为60°的方向上升,20分钟后升到B处,这时 气球上的人发现在A的正西方向俯角为45°的C处有一着火点,‎ 求气球的升空点A与着火点C的距离(结果保留根号).‎ 答案:过B作BD⊥CA于D,‎ 则AB=‎600m,AD=‎300m,BD=CD=‎300‎m,CA=300(-1)m。‎ ‎8. (2011深圳市全真中考模拟一)△ABC中,BC=,AC=,AB=c.若,如图l,根据勾股定理,则。若△ABC不是直角三角形,如图2和图3,请你类比勾股定理,试猜想与的关系,并证明你的结论.‎ 答案:解:若△ABC是锐角三角形,则有 …… (1分)‎ ‎ 若△ABC是钝角三角形,为钝角,则有。 (2分)‎ ‎ 当△ABC是锐角三角形时,‎ 证明:过点A作ADBC,垂足为D,设CD为,则有BD=……(3分)‎ 根据勾股定理,得 即。‎ ‎∴…………………………(5分)‎ ‎∵,‎ ‎∴。‎ ‎∴。…………………………(6分)‎ 当△ABC是钝角三角形时,‎ 证明:过B作BDAC,交AC的延长线于D。‎ 设CD为,则有…………………………(7分)‎ 根据勾股定理,得.‎ 即。…………………………(9分)‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴。…………………………(10分)‎
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