中考数学专项训练特殊三角形含解析

中考数学专项训练特殊三角形含解析

特殊三角形 一、选择题 ‎1．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（　　）‎ A．18° B．24° C．30° D．36°‎ ‎2．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（　　）‎ A．30° B．35° C．40° D．50°‎ ‎3．等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（　　）‎ A．25 B．25或32 C．32 D．19‎ ‎4．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（　　）‎ A． cm B． cm C． cm D．8cm ‎5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：‎ ‎①△DFE是等腰直角三角形；‎ ‎②四边形CEDF不可能为正方形；‎ ‎③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；‎ ‎④点C到线段EF的最大距离为．‎ 其中正确结论的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ 二、填空题 ‎6．若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为　　．‎ ‎7．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为　　．‎ ‎8．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=　　．‎ ‎9．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=　　．‎ ‎10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共40分） ‎11．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．‎ ‎12．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．‎ ‎（1）求证：CM=CN；‎ ‎（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．‎ ‎13．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．‎ ‎（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；‎ ‎（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．‎ ‎14．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．‎ ‎（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；‎ ‎（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；‎ ‎（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．‎ ‎　‎ 特殊三角形 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（　　）‎ A．18° B．24° C．30° D．36°‎ ‎【考点】等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．‎ ‎【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=72°‎ ‎∵BD是AC边上的高，‎ ‎∴BD⊥AC，‎ ‎∴∠DBC=90°﹣72°=18°．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．‎ ‎　‎ ‎2．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（　　）‎ A．30° B．35° C．40° D．50°‎ ‎【考点】旋转的性质．‎ ‎【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．‎ ‎【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB=70°，‎ ‎∴∠C′CA=∠CAB=70°，‎ 又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，‎ ‎∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，‎ ‎∴∠BAB′=∠CAC′=180°﹣2∠C′CA=40°．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．‎ ‎　‎ ‎3．等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（　　）‎ A．25 B．25或32 C．32 D．19‎ ‎【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的三边关系解答即可．‎ ‎【解答】解：三角形的三边长为13、13、6时，它的周长为32，‎ 三角形的三边长为13、6、6时，不能组成三角形，‎ ‎∴三角形的周长为32，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（　　）‎ A． cm B． cm C． cm D．8cm ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】设AF=xcm，则DF=（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可．‎ ‎【解答】解：设AF=xcm，则DF=（8﹣x）cm，‎ ‎∵矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，‎ ‎∴DF=D′F，‎ 在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2，‎ ‎∴x2=62+（8﹣x） 2，‎ 解得：x=（cm）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键．‎ ‎　‎ ‎5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：‎ ‎①△DFE是等腰直角三角形；‎ ‎②四边形CEDF不可能为正方形；‎ ‎③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；‎ ‎④点C到线段EF的最大距离为．‎ 其中正确结论的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；‎ ‎②当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；‎ ‎③由割补法可知四边形CEDF的面积保持不变；‎ ‎④△DEF是等腰直角三角形， DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离．‎ ‎【解答】解：①连接CD；‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；‎ ‎∵AE=CF，‎ ‎∴△ADE≌△CDF（SAS）；‎ ‎∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；‎ ‎∵∠ADE+∠EDC=90°，‎ ‎∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，‎ ‎∴△DFE是等腰直角三角形．（故①正确）；‎ ‎②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）；‎ ‎③如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，‎ 可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变（故③错误）；‎ ‎④△DEF是等腰直角三角形， DE=EF，‎ 当EF∥AB时，∵AE=CF，‎ ‎∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，‎ ‎∴EF取最小值=2，∵CE=CF=2，∴此时点C到线段EF的最大距离为EF=．（故④正确）；‎ 故正确的有2个，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎6．若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为　80°或50°　．‎ ‎【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．‎ ‎【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．‎ ‎【解答】解：当该角为顶角时，顶角为50°；‎ 当该角为底角时，顶角为80°．‎ 故其顶角为50°或80°．‎ 故填50°或80°．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为　5　．‎ ‎【考点】勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】根据非负数的性质求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，‎ 解得a=3，b=4，‎ ‎∵直角三角形的两直角边长为a、b，‎ ‎∴该直角三角形的斜边长===5．‎ 故答案是：5．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理，非负数的性质﹣绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值（二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．‎ ‎　‎ ‎8．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=　　．‎ ‎【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可．‎ ‎【解答】解：∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，‎ ‎∵BD为中线，‎ ‎∴∠DBC=∠ABC=30°，‎ ‎∵CD=CE，‎ ‎∴∠E=∠CDE，‎ ‎∵∠E+∠CDE=∠ACB，‎ ‎∴∠E=30°=∠DBC，‎ ‎∴BD=DE，‎ ‎∵BD是AC中线，CD=1，‎ ‎∴AD=DC=1，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，‎ 在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD==，‎ 即DE=BD=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE=BD和求出BD的长．‎ ‎　‎ ‎9．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=　　．‎ ‎【考点】勾股定理．‎ ‎【专题】压轴题；规律型．‎ ‎【分析】首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长．‎ ‎【解答】解：由勾股定理得：OP4==，‎ ‎∵OP1=；得OP2=；‎ 依此类推可得OPn=，‎ ‎∴OP2012=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是　50°　．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC=40°，以及∠OBC=∠OCB=40°，再利用翻折变换的性质得出EO=EC，∠CEF=∠FEO，进而求出即可．‎ ‎【解答】解：连接BO，‎ ‎∵∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，‎ ‎∴∠OAB=∠ABO=25°，‎ ‎∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=65°，‎ ‎∴∠OBC=65°﹣25°=40°，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABO≌△ACO，‎ ‎∴BO=CO，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB=40°，‎ ‎∵点C沿EF折叠后与点O重合，‎ ‎∴EO=EC，∠CEF=∠FEO，‎ ‎∴∠CEF=∠FEO==50°，‎ 故答案为：50°．‎ ‎【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共40分） ‎11．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．‎ ‎【解答】证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC=BC，CD=CE，‎ ‎∵∠ACB=∠DCE=90°，‎ ‎∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，‎ ‎∴∠ACE=∠BCD，‎ 在△ACE和△BCD中，，‎ ‎∴△ACE≌△BCD（SAS），‎ ‎∴BD=AE．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．‎ ‎（1）求证：CM=CN；‎ ‎（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．‎ ‎【考点】矩形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN；‎ ‎（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC=3ND=3HC，然后设DN=x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案．‎ ‎【解答】（1）证明：由折叠的性质可得：∠ENM=∠DNM，‎ 即∠ENM=∠ENA+∠ANM，‎ ‎∠DNM=∠DNC+∠CNM，‎ ‎∵∠ENA=∠DNC ‎∴∠ANM=∠CNM，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠ANM=∠CMN，‎ ‎∴∠CMN=∠CNM，‎ ‎∴CM=CN；‎ ‎（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，‎ 则四边形NHCD是矩形，‎ ‎∴HC=DN，NH=DC，‎ ‎∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，‎ ‎∴===3，‎ ‎∴MC=3ND=3HC，‎ ‎∴MH=2HC，‎ 设DN=x，则HC=x，MH=2x，‎ ‎∴CM=3x=CN，‎ 在Rt△CDN中，DC==2x，‎ ‎∴HN=2x，‎ 在Rt△MNH中，MN==2x，‎ ‎∴==2．‎ ‎【点评】此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．‎ ‎（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；‎ ‎（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．‎ ‎【专题】证明题；几何综合题．‎ ‎【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可；‎ ‎（2）根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案．‎ ‎【解答】（1）BH=AC，理由如下：‎ ‎∵CD⊥AB，BE⊥AC，‎ ‎∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，‎ ‎∵∠ABC=45°，‎ ‎∴∠BCD=180°﹣90°﹣45°=45°=∠ABC ‎∴DB=DC，‎ ‎∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，‎ ‎∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，‎ ‎∴∠HBD=∠ACD，‎ ‎∵在△DBH和△DCA中 ‎，‎ ‎∴△DBH≌△DCA（ASA），‎ ‎∴BH=AC．‎ ‎（2）连接CG，‎ 由（1）知，DB=CD，‎ ‎∵F为BC的中点，‎ ‎∴DF垂直平分BC，‎ ‎∴BG=CG，‎ ‎∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，‎ ‎∴EC=EA，‎ 在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=CE2，‎ ‎∵CE=AE，BG=CG，‎ ‎∴BG2﹣GE2=EA2．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形具有三线合一的性质，主要考查学生运用定理进行推理的能力．‎ ‎　‎ ‎14．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．‎ ‎（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；‎ ‎（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；‎ ‎（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．‎ ‎【考点】三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；‎ 证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可，‎ ‎（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；‎ 解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；‎ ‎（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；‎ 证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．‎ ‎【解答】（1）证法一：‎ 如答图1a，延长AB交CF于点D，‎ 则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC=BD，‎ ‎∴点B为线段AD的中点，‎ 又∵点M为线段AF的中点，‎ ‎∴BM为△ADF的中位线，‎ ‎∴BM∥CF．‎ 证法二：‎ 如答图1b，延长BM交EF于D，‎ ‎∵∠ABC=∠CEF=90°，‎ ‎∴AB⊥CE，EF⊥CE，‎ ‎∴AB∥EF，‎ ‎∴∠BAM=∠DFM，‎ ‎∵M是AF的中点，‎ ‎∴AM=MF，‎ 在△ABM和△FDM中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABM≌△FDM（ASA），‎ ‎∴AB=DF，‎ ‎∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，‎ ‎∴BE=DE，‎ ‎∴△BDE是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠EBM=45°，‎ ‎∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，‎ ‎∴∠EBM=∠ECF，‎ ‎∴MB∥CF；‎ ‎（2）解法一：‎ 如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，‎ ‎∴点B为AD中点，又点M为AF中点，‎ ‎∴BM=DF．‎ 分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，‎ ‎∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，‎ ‎∴点E为FG中点，又点M为AF中点，‎ ‎∴ME=AG．‎ ‎∵CG=CF=a，CA=CD=a，‎ ‎∴AG=DF=a，‎ ‎∴BM=ME=×a=a．‎ 解法二：如答图1b．‎ ‎∵CB=a，CE=2a，‎ ‎∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，‎ ‎∵△ABM≌△FDM，‎ ‎∴BM=DM，‎ 又∵△BED是等腰直角三角形，‎ ‎∴△BEM是等腰直角三角形，‎ ‎∴BM=ME=BE=a；‎ ‎（3）证法一：‎ 如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC=BD，AC=CD，‎ ‎∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．‎ 延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，‎ ‎∴CE=EF=EG，CF=CG，‎ ‎∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．‎ 在△ACG与△DCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACG≌△DCF（SAS），‎ ‎∴DF=AG，‎ ‎∴BM=ME．‎ 证法二：‎ 如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，‎ ‎∵∠BCE=45°，‎ ‎∴∠ACD=45°×2+45°=135°‎ ‎∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，‎ ‎∴AB∥CF，‎ ‎∴∠BAM=∠DFM，‎ ‎∵M是AF的中点，‎ ‎∴AM=FM，‎ 在△ABM和△FDM中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABM≌△FDM（ASA），‎ ‎∴AB=DF，BM=DM，‎ ‎∴AB=BC=DF，‎ 在△BCE和△DFE中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCE≌△DFE（SAS），‎ ‎∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，‎ ‎∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，‎ ‎∴△BDE是等腰直角三角形，‎ 又∵BM=DM，‎ ‎∴BM=ME=BD，‎ 故BM=ME．‎ ‎【点评】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．‎