中考数学尺规作图押轴题目专练1

中考数学尺规作图押轴题目专练1

尺规作图 1、四条线段 a、b、c、d，如图，a:b:c:d=1:2:3:4.(1)选择其中的三条线段为边作一个三角 形（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）；(2)任取三条线段，求以它们为边能作 出三角形的概率。 【解题思路】尺规作图就是用没有刻度的直尺和圆规作图；能不能作出三角形主要考虑构成 三角形的条件，看两边之和是否大于第三边，两边之差是否小于第三边，简单情况下等可能 事件的概率就是用关注的结果比上机会均等的结果。 【答案】（1）如图 c db （2）由四条线段的比例关系可设四条边的长为 x、2x、3x、4x，四条线段中任选三条有如 下 4 种情况：（1）x、2x、3x（2）x、2x、4x（3）2x、3x、4x（4）x、3x、4x 其中能构成 三角形的只有第（3）种，所以 P（作出三角形）= 4 1 【点评】本题主要考查了尺规作图、构成三角形的条件、简单情况下等可能事件的概率的计 算。在尺规作图时一定要注意是用没有刻度的直尺，所以不能用直尺去度量，在计算概率时 一定要把所有的机会均等的情况和关注的结果都考虑全，千万不能丢掉任何一种情况。构成 三角形的条件是三角形中经常考查的知识点，往往还利用构成三角形的条件去计算取值范 围，值得重视。难度较小 2. 如图 12，四边形 ABCD 是正方形，点 E，K 分别在 BC，AB 上，点 G 在 BA 的延长线上，且 CE ＝BK＝AG. （1）求证：①DE＝DG；②DE⊥DG； （2）尺规作图：以线段 DE，DG 为边作出正方形 DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法 和证明）； （3）连接（2）中的 KF，猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形，并 证明你的猜想； （4）当 CE CB ＝ 1 n 时，请直接写出 S 正方形 ABCD S 正方形 DEFG 的值. 【分析与解】（1）根据题意及图形,可利用全等证明 DE＝DG，进而借助等角 转化证明 DE⊥DG；（2）由于正方形 DEFG 已经有一个直角了，只须作菱形 DEFG 即可；（3）利用平行四边形的对边相等且平行传递，进而利用一组对边平行 且相等证明四边形 CEFK 为平行四边形；（4）确定 S 正方形 ABCD S 正方形 DEFG 的值即求( CD DE )2的值， 通过设参法，利用勾股定理易得. 解：（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°. 又∵CE＝AG，∴△DCE≌△DAG.∴∠EDC＝∠GDA，DE＝DG. 又∵∠ADE＝∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠GDA＝90°，∴DE⊥DG. （2）图略； （3）四边形 CEFK 是平行四边形. 证明：设 CK，DE 相交于 M 点. ∵四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，∴AB∥CD, AB＝CD, EF＝DG, EF∥DG, ∵BK＝AG, ∴KG＝AB＝CD, ∴四边形 CKGD为平行四边形. ∴CK＝DG＝EF, CK∥DG. ∴∠KME＝∠GDE＝∠DEF＝90°.∴∠KME＋DEF＝90°.∴CK∥EF, ∴四边形 CEFK 是平行四边形. (注：由 CK∥DG, EF∥DG 得 CK∥EF 也可) （4） S 正方形 ABCD S 正方形 DEFG ＝ n2 n2＋1 . 【点评】本题属于中等题，为推理证明题，总体感觉不太难，各小问间由浅入深，层层深 入，（2）问的尺规作图过渡自然，正确的作图是解决第三问的关键，特别注意的是尺规作 图是本题创新之处。 3、如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90° （1）实践与操作 利用尺规按下列要求作图并在图中标明相应的字母（保留作图痕 A B C D E K G 图 11 迹，不写作法）①作△ABC 的外接圆，圆心为 O；②以线段 AC 为一边，在 AC 的 右侧作等边△ACD；③连接 BD 交⊙O于 E，连接 AE。 （2）综合与运用 在你所作的图中，如果 AB=4，BC=2，则： ① AD 与⊙O 的位置关系 ② 线段 AE 的长为 【解题思路】△ABC 是直角三角形，作△ ABC 的外接圆关键是找到圆心，我们可以作 AB 的 垂直平分线与 AB 的交点即为圆心 O，以 O 为圆心以 AO 为半径作圆，即得到△ABC 的外接圆。 分别以 A、C 为圆心以 AC 为半径画弧，两弧交于点 D，即为等边△ACD。判断 AD 与⊙O 的位 置关系，关键是判定 OA 与 AD 是否垂直。因为 RT△ABC 中∠ACB=90°，AB=4，BC=2，所以∠ BAC=30°,△ACD 是等边三角形，∠DAC=60°，所以∠BAD=90°易得 AD=AC= 32 ，BD= 72 ， 因为 BDAE 2 1ADAB 2 1S ABD △ 即 AE72 2 1324 2 1  ，所以 AE= 21 7 4 。 【答案】解：（1） （2）①相切，② 21 7 4 【点评】本题主要考察尺规作图以及圆的有关证明与计算，牵涉到线段垂直平分线的尺规作 图，切线的证明，圆中线段的计算，尺规作图要注意作图的准确性，切线的证明关键在于半 径是否与要判断的直线垂直。难度中等。