中考数学尺规作图押轴题目专练1

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中考数学尺规作图押轴题目专练1

尺规作图 1、四条线段 a、b、c、d,如图,a:b:c:d=1:2:3:4.(1)选择其中的三条线段为边作一个三角 形(尺规作图,要求保留作图痕迹,不必写出作法);(2)任取三条线段,求以它们为边能作 出三角形的概率。 【解题思路】尺规作图就是用没有刻度的直尺和圆规作图;能不能作出三角形主要考虑构成 三角形的条件,看两边之和是否大于第三边,两边之差是否小于第三边,简单情况下等可能 事件的概率就是用关注的结果比上机会均等的结果。 【答案】(1)如图 c db (2)由四条线段的比例关系可设四条边的长为 x、2x、3x、4x,四条线段中任选三条有如 下 4 种情况:(1)x、2x、3x(2)x、2x、4x(3)2x、3x、4x(4)x、3x、4x 其中能构成 三角形的只有第(3)种,所以 P(作出三角形)= 4 1 【点评】本题主要考查了尺规作图、构成三角形的条件、简单情况下等可能事件的概率的计 算。在尺规作图时一定要注意是用没有刻度的直尺,所以不能用直尺去度量,在计算概率时 一定要把所有的机会均等的情况和关注的结果都考虑全,千万不能丢掉任何一种情况。构成 三角形的条件是三角形中经常考查的知识点,往往还利用构成三角形的条件去计算取值范 围,值得重视。难度较小 2. 如图 12,四边形 ABCD 是正方形,点 E,K 分别在 BC,AB 上,点 G 在 BA 的延长线上,且 CE =BK=AG. (1)求证:①DE=DG;②DE⊥DG; (2)尺规作图:以线段 DE,DG 为边作出正方形 DEFG(要求:只保留作图痕迹,不写作法 和证明); (3)连接(2)中的 KF,猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形,并 证明你的猜想; (4)当 CE CB = 1 n 时,请直接写出 S 正方形 ABCD S 正方形 DEFG 的值. 【分析与解】(1)根据题意及图形,可利用全等证明 DE=DG,进而借助等角 转化证明 DE⊥DG;(2)由于正方形 DEFG 已经有一个直角了,只须作菱形 DEFG 即可;(3)利用平行四边形的对边相等且平行传递,进而利用一组对边平行 且相等证明四边形 CEFK 为平行四边形;(4)确定 S 正方形 ABCD S 正方形 DEFG 的值即求( CD DE )2的值, 通过设参法,利用勾股定理易得. 解:(1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴DC=DA,∠DCE=∠DAG=90°. 又∵CE=AG,∴△DCE≌△DAG.∴∠EDC=∠GDA,DE=DG. 又∵∠ADE=∠EDC=90°,∴∠ADE=∠GDA=90°,∴DE⊥DG. (2)图略; (3)四边形 CEFK 是平行四边形. 证明:设 CK,DE 相交于 M 点. ∵四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形,∴AB∥CD, AB=CD, EF=DG, EF∥DG, ∵BK=AG, ∴KG=AB=CD, ∴四边形 CKGD为平行四边形. ∴CK=DG=EF, CK∥DG. ∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°.∴∠KME+DEF=90°.∴CK∥EF, ∴四边形 CEFK 是平行四边形. (注:由 CK∥DG, EF∥DG 得 CK∥EF 也可) (4) S 正方形 ABCD S 正方形 DEFG = n2 n2+1 . 【点评】本题属于中等题,为推理证明题,总体感觉不太难,各小问间由浅入深,层层深 入,(2)问的尺规作图过渡自然,正确的作图是解决第三问的关键,特别注意的是尺规作 图是本题创新之处。 3、如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90° (1)实践与操作 利用尺规按下列要求作图并在图中标明相应的字母(保留作图痕 A B C D E K G 图 11 迹,不写作法)①作△ABC 的外接圆,圆心为 O;②以线段 AC 为一边,在 AC 的 右侧作等边△ACD;③连接 BD 交⊙O于 E,连接 AE。 (2)综合与运用 在你所作的图中,如果 AB=4,BC=2,则: ① AD 与⊙O 的位置关系 ② 线段 AE 的长为 【解题思路】△ABC 是直角三角形,作△ ABC 的外接圆关键是找到圆心,我们可以作 AB 的 垂直平分线与 AB 的交点即为圆心 O,以 O 为圆心以 AO 为半径作圆,即得到△ABC 的外接圆。 分别以 A、C 为圆心以 AC 为半径画弧,两弧交于点 D,即为等边△ACD。判断 AD 与⊙O 的位 置关系,关键是判定 OA 与 AD 是否垂直。因为 RT△ABC 中∠ACB=90°,AB=4,BC=2,所以∠ BAC=30°,△ACD 是等边三角形,∠DAC=60°,所以∠BAD=90°易得 AD=AC= 32 ,BD= 72 , 因为 BDAE 2 1ADAB 2 1S ABD △ 即 AE72 2 1324 2 1  ,所以 AE= 21 7 4 。 【答案】解:(1) (2)①相切,② 21 7 4 【点评】本题主要考察尺规作图以及圆的有关证明与计算,牵涉到线段垂直平分线的尺规作 图,切线的证明,圆中线段的计算,尺规作图要注意作图的准确性,切线的证明关键在于半 径是否与要判断的直线垂直。难度中等。
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