2020年中考数学二轮复习压轴专题圆（含解析）

2020年中考数学二轮复习压轴专题圆（含解析）

圆 ‎1．如图1，△ABD内接于⊙O，AD是直径，∠BAD的平分线交BD于H，交⊙O于点C，连接DC并延长，交AB的延长线于点E，‎ ‎（1）求证：AE＝AD；‎ ‎（2）若＝，求的值；‎ ‎（3）如图2，连接CB并延长，交DA的延长线于点F，若AH＝HC，AF＝6，求△BEC的面积．[来源:%^中教&@网#]‎ 解：（1）∵AD是直径，‎ ‎∴∠ACD＝90°，即AC⊥ED，‎ BD是∠BAD的平分线，‎ 故AE＝AD；‎ ‎[来源*:中国教育出版^&@网~]‎ ‎（2）＝，则设BE＝3a，AB＝2a，AD＝AE＝5a，‎ O交BD于点G，‎ BD是∠BAD的平分线，则，‎ 则OC⊥BD，‎ 第 39 页 共 39 页 故OC∥AB，则OC是△ADE的中位线，‎ 则OG＝AB＝a，OC＝AD＝，‎ 则CG＝OC﹣OG＝，‎ ‎∵CG∥AB，则＝；[中国&^教育出*%#版网]‎ ‎[w%ww^.z*zstep.com@~]‎ ‎（3）设：OG＝m，则AB＝2m，‎ 当AH＝HC时，由（2）知，△AHB≌△CHG（AAS），‎ 则AB＝CG＝2m，则OC＝3m，即圆的半径为3m，‎ ‎∵AB∥CO，则，即，[来源@#:^中教网&%]‎ 解得：m＝1，‎ 故AB＝2，AD＝6，BE＝4，‎ 则BD＝＝4，‎ ‎∵EC＝DC，‎ 则△BEC的面积＝S△EBD＝×BE×BD＝×4×4＝4．‎ ‎2．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．‎ ‎（1）连接AD，求∠OAD；‎ ‎（2）点F在上，∠CDF＝45°，DF交AB于点N．若DE＝，求FN的长．[来源:#z~zstep&.c%o*m]‎ 第 39 页 共 39 页 ‎[来源%:*中#国教~育@出版网]‎ 解：（1）如图1，连接OD，‎ ‎[来^@源:zzstep.&com#%]‎ ‎∵是⊙的直径，于点 ‎∴AB垂直平分CD，‎ ‎∵M是OA的中点，‎ ‎∴，[中~&国^教育#出*版网]‎ ‎∴，‎ ‎∴∠DOM＝60°，‎ ‎∵AO＝OD，‎ ‎∴△OAD是等边三角形，‎ ‎∴∠OAD＝60°；‎ ‎（2）如图2，连接CF，CN，‎ 第 39 页 共 39 页 ‎[来源^@:~中国教育出版*网&]‎ ‎∵OA⊥CD于点M，‎ ‎∴点M是CD的中点，‎ ‎∴AB垂直平分CD，‎ ‎∴NC＝ND，‎ ‎∵∠CDF＝45°，‎ ‎∴∠NCD＝∠NDC＝45°，‎ ‎∴∠CND＝90°，‎ ‎∴∠CNF＝90°，‎ 由（1）可知，∠AOD＝60°，‎ ‎∴∠ACD＝30°，‎ 又∵DE⊥CA交CA的延长线于点E，‎ ‎∴∠E＝90°，[来源:中国%教育出版@~#*网]‎ ‎∵∠ACD＝30°，DE＝．‎ ‎∴CD＝2DE＝2，‎ ‎∴CN＝CD•sin45°＝2，‎ 由（1）可知，∠CAD＝2∠OAD＝120°，‎ ‎∴∠F＝180°﹣120°＝60°，‎ 在Rt△CFN中，FN＝．‎ ‎3．如图1，锐角△ABC，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交AC于点D，[来源:%zzste^p.co~m*#]‎ ‎（1）若∠BDC＝30°，求∠BAC的度数；[来^源:z#zstep%.&~com]‎ 第 39 页 共 39 页 ‎（2）如图2，当0°＜∠BAC＜60°时，作点C关于BD的对称点E，连接AE.DE，DE交AB于F．‎ ‎①点E在⊙O　上　（选填“内”、“上”、“外”）；[ww&w*#.~zzste@p.com]‎ ‎②证明：∠AEF＝∠EAB；‎ ‎③若△BDC为等腰三角形，AD＝2，求AE的长．‎ 解：（1）延长BD交圆O于点G，连结CG，如图：‎ ‎∵，‎ ‎∴∠A＝∠G，‎ ‎∵直径BG，‎ ‎∴∠BCG＝90°，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠BCA＝∠CBA，‎ 设∠BCA＝∠CBA＝α，则∠A＝∠G＝180°﹣2α，∠DCG＝90°﹣α，[ww~@w.zz&ste^p.com#]‎ ‎∴∠BDC＝∠G+∠DCG＝180°﹣2α+90°﹣α＝30°，‎ ‎∴α＝80°，[来源^:*&中教%网~]‎ ‎∴∠BAC＝∠G＝180°﹣2×80°＝20°；‎ ‎（2）连结OC.OE，延长BD交圆O于点M，连结CM，如图：‎ 第 39 页 共 39 页 ‎①∵C.E是关于BD的对称点，‎ ‎∴OC＝OE，‎ ‎∴点E在⊙O上，‎ 故答案为：上；‎ ‎②证明：∵C.E是关于BD的对称点，‎ ‎∴，∠2＝∠3，‎ ‎∴∠4＝∠5＝∠M，‎ 设∠1＝∠ABC＝x，则∠4＝∠5＝∠M＝180°﹣2x，∠6＝90°﹣x，‎ ‎∴∠2＝∠3＝∠M+∠6＝270°﹣3x，‎ ‎∴∠AEF＝∠EDC﹣∠EAD＝2∠3﹣2∠4＝2（270°﹣3x）﹣2（180°﹣2x）＝180°﹣2x，‎ ‎∴∠AEF＝∠5＝180°﹣2x，‎ 即∠AEF＝∠EAB；‎ ‎③∵∠1＝∠ABC＞∠DBC，‎ ‎∴BD＞DC，‎ ‎∵△BDC为等腰三角形，‎ ‎∴分两种情况讨论：‎ ‎（Ⅰ）当BD＝BC时，∠1＝∠2，即x＝270°﹣3x，‎ 解得：x＝67.5°，‎ ‎∴∠4＝45°＜60°，满足题意，此时△AED为等腰直角三角形，AE＝AD＝2，‎ ‎∴AE＝2；‎ ‎（Ⅱ）当DC＝BC时，∠2＝∠DBC，即270°﹣3x＝180°﹣2x，‎ 解得：x＝90°，‎ ‎∴∠4＝0°，不满足0°＜∠BAC＜60°；‎ 综上所述：AE＝2．‎ ‎4．如图，AB是⊙O的直径，点C.D在⊙O上，AD与BC相交于点E．连接BD，作∠BDF＝∠‎ 第 39 页 共 39 页 BAD，DF与AB的延长线相交于点F．‎ ‎（1）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DF∥BC，求证：AD平分∠BAC；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若AB＝10，BD＝6，求CE的长．‎ 解：（1）连接OD，CD，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴∠ADO+∠ODB＝90°，‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠BAD＝∠ADO，‎ ‎∵∠BDF＝∠BAD，‎ ‎∴∠BDF+∠ODB＝90°，‎ ‎∴∠ODF＝90°，‎ ‎∴OD⊥DF，‎ ‎∴DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵DF∥BC，‎ ‎∴∠FDB＝∠CBD，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴∠CAD＝∠CBD，且∠BDF＝∠BAD，‎ ‎∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BDF，‎ 第 39 页 共 39 页 ‎∴AD平分∠BAC；‎ ‎（3）∵AB＝10，BD＝6，‎ ‎∴AD＝＝＝8，‎ ‎∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDE＝90°，[来源:^&*@中~教网]‎ ‎∴△BDE∽△ADB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴DE＝，‎ ‎∴AE＝AD﹣DE＝，‎ ‎∵∠CAD＝∠BAD，‎ ‎∴sin∠CAD＝sin∠BAD ‎∴[来源:~中国教育%*出版&网@]‎ ‎∴‎ ‎∴CE＝‎ ‎5．如图1，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（﹣3，0），与y轴相交于B.C两点，且BC＝8，连接AB．‎ ‎[来#%源:中*国教育出^版网~]‎ ‎（1）求证：∠ABO1＝∠ABO；‎ ‎（2）求AB的长；‎ 第 39 页 共 39 页 ‎（3）如图2，⊙O2经过A.B两点，与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，求出BM﹣BN的值．‎ ‎（1）证明：如图1﹣1，连接AO1，‎ ‎∵⊙O1与x轴相切于点A，‎ ‎∴∠OAO1＝90°，‎ 又∠AOB＝90°，‎ ‎∴∠OAO1+∠AOB＝180°，‎ ‎∴AO1∥OB，‎ ‎∴∠ABO＝∠O1AB，‎ ‎∵O1A＝O1B，‎ ‎∴∠O1AB＝∠ABO1，‎ ‎∴∠ABO1＝∠ABO；‎ ‎（2）解：如图1﹣2，过点O1作O1H⊥BC于H，‎ 则CH＝BH＝BC＝4，‎ ‎∴∠O1HO＝∠HOA＝∠OAO1＝90°，‎ ‎∴四边形AO1HO是矩形，‎ ‎∴AO1＝AO＝3，‎ ‎∴在Rt△O1HB中，‎ O1B＝＝5，‎ ‎∴HO＝O1A＝O1B＝5，‎ ‎∴OB＝HO﹣BH＝1，[中国@%教#育&出版网*]‎ ‎∴在Rt△AOB中，‎ AB＝＝＝；‎ ‎（3）解：如图2，作点B关于x轴的对称点B'，则点OB'＝OB＝1，AB＝AB'，‎ ‎∴BB'＝2，∠AB'O＝∠ABO ‎∴由（1）知，∠ABO＝∠ABO1，‎ ‎∴∠ABO1＝∠AB'O，‎ ‎∴180°﹣∠ABO1＝180°﹣∠AB'O，[来^*源:&中国教育出版网#~]‎ 第 39 页 共 39 页 即∠ABN＝∠AB'M，‎ 又∵，‎ ‎∴∠AMB'＝∠N，[来%&~源^:中#教网]‎ ‎∴△AMB'≌△ANB（AAS），‎ ‎∴MB'＝NB，[www#.zz*^ste&p.co@m]‎ ‎∴BM﹣BN＝BM﹣B'M＝BB'＝2，[来源:^%中国教育&出版~网#]‎ ‎∴BM﹣BN的值为2．‎ ‎[来源:&^*中~国教育出版网#]‎ ‎6．如图，P是直径AB上的一点，AB＝6，CP⊥AB交半圆于点C，以BC为直角边构造等腰Rt△BCD，∠BCD＝90°，连接OD．‎ 小明根据学习函数的经验，对线段AP，BC，OD的长度之间的关系进行了探究．‎ 第 39 页 共 39 页 下面是小明的探究过程，请补充完整：‎ ‎（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，BC，OD的长度的几组值，如下表：[来源&*#:~中国教育@出版网]‎ 位置1‎ 位置2‎ 位置3‎ 位置4‎ 位置5‎ 位置6‎ 位置…‎ AP ‎0.00‎ ‎1.00‎ ‎2.00‎ ‎3.00‎ ‎4.00‎ ‎5.00‎ ‎…‎ BC ‎6.00‎ ‎5.48‎ ‎4.90‎ ‎4.24‎ ‎3.46‎ ‎2.45‎ ‎…‎ OD ‎6.71‎ ‎7.24‎ ‎7.07‎ ‎6.71‎ ‎6.16‎ ‎5.33‎ ‎…‎ 在AP，BC，OD的长度这三个量中确定　AP　的长度是自变量，　BC　的长度和　OD　的长度都是这个自变量的函数；‎ ‎（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；‎ ‎（3）结合函数图象，推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为　4.5　．‎ 解：（1）由图表观察，可看出随着AP的变化，BC和OD都在发生变化，且都有唯一确定的值和其对应，所以AP的长度是自变量，BC和OD的长度都是这个自变量的函数，‎ 故答案分别为：AP，BC，OD；‎ 第 39 页 共 39 页 ‎（2）如右图，可先描点，再画出如图所示图象；‎ ‎（3）由图象可推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为4.5，‎ 故答案为：4.5．‎ ‎7．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A.B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径．‎ ‎（3）过点B作⊙O的切线交CA的延长线于G，如果连接AE，将线段AC以直线AE为对称轴作对称线段AH，点H正好落在⊙O上，连接BH，求证：四边形AHBG为菱形．[中^#国教@育出&%版网]‎ ‎（1）证明：如图1，连接OA，OD，‎ 则∠OAF＝∠D，[中~国@%*教^育出版网]‎ ‎∵D为BE的下半圆弧的中点，‎ ‎∴，‎ 第 39 页 共 39 页 ‎∴∠EOD＝∠BOD＝×180°＝90°，‎ ‎∴∠OFD+∠D＝90°，‎ ‎∵CA＝CF，‎ ‎∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，‎ ‎∴∠CAF+∠∠OAF＝90°，[来源#:*中国教%育出~&版网]‎ 即∠CAO＝90°，‎ ‎∴OA⊥CA，‎ ‎∴AC是⊙O的切线；‎ ‎[来源:zz%s&tep^.c@o#m]‎ ‎（2）如图1，设半径为r，‎ 则OF＝BF﹣OB＝8﹣r，‎ ‎∵在Rt△OFD中，OF2+OD2＝DF2，[来源:中国*^教&育%#出版网]‎ ‎∴（8﹣r）2+r2＝（）2，‎ 解得，r1＝6，r2＝2（舍去），‎ ‎∴⊙O的半径为6；[来源%#:@*中教网&]‎ ‎（3）如图2，连接EH，‎ 由对称性可知AC＝AH，∠CAE＝∠HAE，‎ 又∵AE＝AE，‎ ‎∴△CAE≌△HAE（SAS），‎ ‎∴∠C＝∠EHA，‎ ‎∵，‎ ‎∴∠EHA＝∠ABE，‎ ‎∴∠C＝∠ABE，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴∠OAB＝∠OBA，[来源*:中国教&育出^版@网~]‎ ‎∵BE为⊙O的直径，‎ ‎∴∠EAB＝90°，‎ ‎∴∠OAB+∠OAE＝90°，‎ 第 39 页 共 39 页 又∵∠CAE∠+∠OAE＝90°，[www~.zzste^p.c@#*om]‎ ‎∴∠CAE＝∠OAB，‎ ‎∴∠C＝∠OBA＝∠∠OAB＝∠CAE，[中国教育出版~*%#@网]‎ ‎∴AC＝AB，‎ ‎∴△CAE≌△BAO（ASA），‎ ‎∴AE＝AO＝OE，[中@国%教#&育出版*网]‎ ‎∴△AEO是等边三角形，‎ ‎∴∠AEO＝60°，‎ ‎∴∠ABE＝90°﹣∠AEO＝30°，∠AHB＝∠AEO＝60°，‎ ‎∴∠ABG＝90°﹣∠ABE＝60°，‎ ‎∵CA＝AH，CA＝AB，‎ ‎∴AH＝AB，‎ 又AHB＝60°，‎ ‎∴△ABH是等边三角形，‎ ‎∴AB＝BH＝AH，‎ ‎∵GB，GA是⊙O的切线，‎ ‎∴GB＝GA，‎ 又∠ABG＝60°，‎ ‎∴△ABG是等边三角形，‎ ‎∴AB＝BG＝AG，‎ ‎∴BH＝AH＝BG＝AG，‎ ‎∴四边形AHBG是菱形．‎ 第 39 页 共 39 页 ‎[来源:#%中~国@教&育出版网]‎ ‎[www.*z%zstep#.~co^m]‎ ‎8．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，AC＝BC，D.E是⊙O上两点，连接AD.DE.AE．[来%源:中教~#&网^]‎ ‎（1）如图1，求证：∠AED﹣∠CAD＝45°；‎ ‎（2）如图2，若DE⊥AB于点H，过点D作DG⊥AC于点G，过点E作EK⊥AD于点K，交AC于点F，求证：AF＝2DG；[中国~@*教#育出&版网]‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF、CD，若∠CDF＝∠GAD，DK＝3，求⊙O的半径．‎ 第 39 页 共 39 页 ‎（1）证明：如图1，连接CO，CE，‎ ‎∵AB是直径，[中^国教~*育%&出版网]‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∵AC＝BC，‎ ‎∴∠B＝∠CAB＝45°，[来源:~@中国^#教育%出版网]‎ ‎∴∠COA＝2∠B＝90°，[中国^*教育#~&出版网]‎ ‎∵，‎ ‎∴∠CAD＝∠CED，‎ ‎∴∠AED﹣∠CAD＝∠AED﹣∠CED＝∠AEC＝∠COA＝45°，[来源^&#*:中教网%]‎ 即∠AED﹣∠CAD＝45°；‎ ‎[中^国教育出版&~网#@]‎ ‎（2）如图2，连接CO并延长，交⊙O于点N，连接AN，过点E作EM⊥AC于M，‎ 则∠CAN＝90°，[来源:zzstep%.@~co&*m]‎ ‎∵AC＝BC，AO＝BO，‎ ‎∴CN⊥AB，‎ ‎∴AB垂直平分CN，[w~ww.zzs^&t#ep.co*m]‎ ‎∴AN＝AC，‎ ‎∴∠NAB＝∠CAB，‎ ‎∵AB垂直平分DE，‎ ‎∴AD＝AE，‎ ‎∴∠DAB＝∠EAB，‎ ‎∴∠NAB﹣∠EAB＝∠CAB﹣∠DAB，‎ 即∠GAD＝∠NAE，‎ ‎∵∠CAN＝∠CME＝90°，[来源:z^@zstep&.co*%m]‎ ‎∴AN∥EM，‎ ‎∴∠NAE＝∠MEA，‎ ‎∴∠GAD＝∠MEA，‎ 又∵∠G＝∠AME＝90°，AD＝EA，‎ ‎∴△ADG≌△EAM（AAS），‎ 第 39 页 共 39 页 ‎∴AG＝EM，AM＝DG，‎ 又∵∠MEF+∠MFE＝90°，∠MFE+∠GAD＝90°，‎ ‎∴∠MEF＝∠GAD，‎ 又∵∠G＝∠FME＝90°，‎ ‎∴△ADG≌△EFM（ASA），‎ ‎∴DG＝MF，‎ ‎∵DG＝AM，‎ ‎∴AF＝AM+MF＝2DG；‎ ‎[来源:*%中国教育出#版网&~]‎ ‎（3）∵∠CDF＝∠GAD，∠FCD＝∠DCA，‎ ‎∴△FCD∽△DCA，[中%&国教*^育出版~网]‎ ‎∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA，‎ ‎∵AC＝BC，AB为直径，[来源:%中*国~教#育出^版网]‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA＝45°，‎ ‎∴△GFD为等腰直角三角形，‎ 设GF＝GD＝a，则FD＝a，AF＝2a，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∵∠FAK＝∠DAG，∠AKF＝∠G＝90°，‎ ‎∴△AFK∽△ADG，‎ ‎∴＝＝，‎ 在Rt△AFK中，‎ 设FK＝x，则AK＝3x，‎ ‎∵FK2+AK2＝AF2，‎ ‎∴x2+（3x）2＝（2a）2，‎ 解得，x＝a（取正值），[来源:z%z&ste*^p.~com]‎ ‎∴FK＝a，‎ 在Rt△FKD中，FK2+DK2＝FD2，‎ 第 39 页 共 39 页 ‎∴（a）2+32＝（a）2，‎ 解得，a＝（取正值），‎ ‎∴GF＝GD＝，AF＝，‎ ‎∵△FCD∽△DCA，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴CD2＝CA•FC，‎ ‎∵CD2＝CG2+GD2，[来源:zz@s#t^%*ep.com]‎ ‎∴CG2+GD2＝CA•FC，‎ 设FC＝n，‎ 则（﹣n）2+（）2＝（+n）n，‎ 解得，n＝，[来%^~&源:中#教网]‎ ‎∴AC＝AF+CF＝+＝，‎ ‎∴AB＝AC＝，[www#.zz*^ste&p.co@m]‎ ‎⊙O的半径为．[来源:^%中国教育&出~版#网]‎ 第 39 页 共 39 页 ‎9．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E．‎ ‎（1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径；‎ ‎（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD；[来^源:z#zstep%.&~com]‎ ‎（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．‎ 解：（1）如图1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP，[中%国教*&育^出版@网]‎ 在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，[来*@源:中国教育出版%#网&]‎ ‎∴∠BAH＝30°，‎ 第 39 页 共 39 页 ‎∴BH＝AB＝2，AH＝AB•sin60°＝2，‎ ‎∴HP＝BP﹣BH＝1，‎ ‎∴在Rt△AHP中，‎ AP＝＝，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠APM＝90°，‎ 在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°，‎ ‎∴AM＝＝＝，‎ ‎∴⊙O的半径为，‎ 即PA的长为，⊙O的半径为；‎ ‎（2）当∠APB＝2∠PBE时，‎ ‎∵∠PBE＝∠PAE，‎ ‎∴∠APB＝2∠PAE，‎ 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，‎ ‎∴∠APB＝∠PAD，‎ ‎∴∠PAD＝2∠PAE，‎ ‎∴∠PAE＝∠DAE，‎ ‎∴AE平分∠PAD；‎ ‎（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，‎ ‎∴AB是⊙O的直径，‎ ‎∴r＝AB＝2；‎ ‎②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，‎ 第 39 页 共 39 页 ‎∴＝，‎ 在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，‎ ‎∴AF＝AB•sin60°＝2，BF＝AB＝2，[来^源:#中教%*网&]‎ ‎∴＝，[中国^教#育~出&版%网]‎ ‎∴EF＝，‎ 在Rt△BFE中，‎ BE＝＝＝，‎ ‎∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，‎ ‎∴△OBE是等边三角形，‎ ‎∴r＝；‎ ‎③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，‎ ‎∴AE为⊙O的直径，‎ ‎∴∠BPE＝90°，‎ 如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，‎ 在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4，‎ ‎∴DN＝DC•sin60°＝2，CN＝CD＝2，‎ ‎∴PQ＝DN＝2，[来&源:z*zstep.co~@m%]‎ 设QE＝x，则PE＝2﹣x，‎ 在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°，‎ ‎∴AE＝2QE＝2x，‎ ‎∵PE∥DN，‎ ‎∴△BPE∽△BND，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，[来源@#:^中教&网%]‎ 第 39 页 共 39 页 ‎∴BP＝10﹣x，[来源:zzst@e%p.#co*&m]‎ 在Rt△ABE与Rt△BPE中，‎ AB2+AE2＝BP2+PE2，‎ ‎∴16+4x2＝（10﹣x）2+（2﹣x）2，‎ 解得，x1＝6（舍），x2＝，‎ ‎∴AE＝2，[中国*教育%出&版#网@]‎ ‎∴BE＝＝＝2，‎ ‎∴r＝，‎ ‎∴⊙O的半径为2或或．‎ 第 39 页 共 39 页 ‎10．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，AB＝AD ‎（1）如图1，求证：CA平分∠BCD；‎ ‎（2）如图2，连接BD交AC于点E，若BD为⊙O直径，求证：tan∠CAD＝；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，点F为BC中点，连接AF并延长交⊙O于G，若FG＝2，tan∠GAD＝，求DE的长 ‎．‎ ‎（1）证明：∵AB＝AD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴∠ACB＝∠ACD，‎ ‎∴CA平分∠BCD；[w~#@w&w.zzst*ep.com]‎ 第 39 页 共 39 页 ‎（2）证明：如图2，过点D作AC的平行线交BC延长线于Q，‎ ‎∵＝，[来源:zzs@tep.c^%&o#m]‎ ‎∴∠CAD＝∠CBD，‎ ‎∵BD为直径，‎ ‎∴∠BCD＝90°，‎ ‎∴tan∠CAD＝tan∠CBD＝，‎ ‎∵DQ∥AC ‎∴∠Q＝∠ACB，∠ACD＝∠CDQ，‎ 由（1）得∠ACB＝∠ACD，‎ ‎∴∠Q＝∠CDQ，‎ ‎∴CD＝CQ，‎ ‎∵CE∥DQ，‎ ‎∴DE：EB＝CQ：BC，‎ 即DE：EB＝CD：CB，‎ ‎∴tan∠CAD＝；‎ ‎（3）如图3，过点D.B分别作DH⊥AG于H，BN⊥AG于N，过O作OM⊥AG于M，‎ ‎∵tan∠GAD＝，‎ ‎∴设AH＝3k，DH＝4k，‎ ‎∵∠BAN+∠NAD＝90°，∠NAD+∠ADH＝90°，‎ ‎∴∠BAN＝∠ADH，‎ 又∵∠BNA＝∠AHD＝90°，AB＝AD，‎ ‎∴△ADH≌△BAN（AAS），[来源:中国%教育出版@#~*网]‎ ‎∴BN＝AH＝3k，AN＝DH＝4k，[ww~w.z%^zs#tep.c&om]‎ ‎∵DH∥OM∥BN，且OB＝OD，‎ ‎∴MH＝MN，NH＝AN﹣AH＝k，[来&源#%:^中*教网]‎ ‎∵OM⊥AG，[来源:zzst~#@ep&^.com]‎ ‎∴MA＝MG，‎ 第 39 页 共 39 页 ‎∴AH＝NG＝3k，‎ ‎∴FN＝3k﹣2，‎ 连接CG，过点C作CP∥AB，‎ 则∠ABF＝∠PCF，∠BAF＝∠P，[来&源@:*zzstep^.c%om]‎ 又BF＝CF，‎ ‎∴△ABF≌△PCF（AAS），‎ ‎∴FA＝FP，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴∠BAF＝∠GCB，‎ ‎∴∠GCF＝∠P，‎ ‎∴△FCG∽△FPC，‎ ‎∴CF2＝FG•FP，CF＝BF，‎ 即BN2+FN2＝FG•FA，‎ ‎∴（3k）2+（3k﹣2）2＝2（4k+3k﹣2），‎ 解得k＝1 或k＝（∵FN＞0∴舍去），‎ ‎∴在Rt△AHD中，‎ AH＝3，DH＝4，‎ ‎∴AD＝＝5，[www.z@zste&p*~.co#m]‎ ‎∴BD＝AB＝5，‎ ‎∴BF2＝BN2+FN2＝（3k）2+（3k﹣2）2＝10，[中*国教育^@出~版网#]‎ ‎∴BF＝，‎ ‎∴BC＝2，‎ ‎∴在Rt△BCD中，‎ CD＝＝，‎ ‎∴tan∠CBD＝＝＝，‎ ‎∴DE＝BD＝．‎ 第 39 页 共 39 页 ‎11．已知：AB.AC是⊙O中的两条弦，连接OC交AB于点D，点E在AC上，连接OE，∠AEO＝∠BDO．‎ ‎（1）如图1，若∠CAD＝∠COE，求证：＝；‎ ‎（2）如图2，连接OA，若∠OAB＝∠COE，求证：AE＝CD；‎ ‎（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长AO交⊙O于点F，点G在AB上，连接GF，若∠ADC＝2∠BGF，AE＝5，DG＝1，求线段BG的长．‎ ‎（1）证明：设OE与AB交于点H，[来#%源&:~中教^网]‎ ‎∵∠CAD＝∠COE，∠EHA＝∠DHO，‎ 第 39 页 共 39 页 ‎∴∠AEO＝∠ODA，‎ ‎∵∠AEO＝∠BDO，‎ ‎∴∠BDO+∠ADO＝180°，‎ ‎∴∠ADO＝∠BDO＝90°，‎ ‎∴OD⊥AB，‎ ‎∴；‎ ‎（2）证明：∵∠AEO+∠CEO＝180°，∠BDO+∠ADO＝180°，‎ ‎∴∠AEO＝∠BDO，‎ ‎∴∠CEO＝∠ADO，[来源:中国@教育^#出版网*%]‎ 在△CEO和ODA中，‎ ‎∵∠COE＝∠OAD，∠CEO＝∠ADO，OC＝OA，‎ ‎∴△CEO≌△ODA（AAS），‎ ‎∴CE＝OD，∠ECO＝∠AOD，‎ ‎∴OA＝AC＝OC，‎ ‎∴△AOC为等边三角形，‎ ‎∵AE＝AC﹣CE，CD＝OC﹣OD，‎ ‎∴AE＝CD；‎ ‎（3）证明：延长FG交OC于点S，延长CO到点T，使OT＝OS，连接AT，BF，‎ 设∠BGF＝α，则∠BGF＝∠SGD＝α，[来~源:#zzstep*.c&o%m]‎ ‎∵∠ADC＝2∠BGF＝2α，∠ADC＝∠GSD+∠SGD ‎∴∠DSG＝∠DGS＝α ‎∴SD＝DG＝1‎ ‎∵AE＝CD＝5‎ ‎∴CS＝CD﹣SD＝4‎ 在△FOS和△AOT中，‎ ‎∵OS＝OT，∠SOF＝∠AOT，OF＝OA，‎ ‎∴△FOS≌△AOT（SAS）[w@ww.zzs*&te#p.com~]‎ 第 39 页 共 39 页 ‎∴∠ATO＝∠FSO＝α，‎ ‎∵∠ADC＝2α，‎ ‎∴∠DAT＝∠DTA＝α，‎ ‎∴AD＝DT，‎ 设OA＝OC＝AC＝r，‎ ‎∴OT＝OS＝r﹣4，OD＝r﹣5，AD＝DT＝2r﹣9，‎ 在△ADC中，CD＝5，AC＝r，AD＝2r﹣9，∠ACD＝60°，‎ 解△ADC得，r＝8，AD＝7，‎ 过点D作DK⊥OA，在△DOK中，[来&^%源:中教网@~]‎ ‎∵OD＝3，∠DOK＝60°，‎ ‎∴OK＝，AK＝，cos∠DAK＝＝，[来~#源^:中国教@*育出版网]‎ 在△ABF中，AB＝AF×cos∠DAK＝，‎ ‎∴BG＝AB﹣AG＝．‎ 第 39 页 共 39 页 ‎12．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CH⊥BD于H，CH与过A点的直线相交于点F，∠FAD＝∠ABD．‎ ‎（1）求证：AF为⊙O的切线；[来~%源#:中国教育出版*&网]‎ ‎（2）若BD平分∠ABC，求证：DA＝DC；‎ ‎（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半径为2，求EN的长．‎ ‎（1）证明：如图1，∵AC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠DAC+∠DCA＝90°．‎ ‎∵＝，‎ ‎∴∠ABD＝∠DCA，‎ ‎∵∠FAD＝∠ABD，‎ ‎∴∠FAD＝∠DCA，‎ ‎∴∠FAD+∠DCA＝90°，‎ ‎∴CA⊥AF，[来^源~:中&@*教网]‎ ‎∴AF为⊙O的切线．‎ ‎[来*源:中@教&%网~]‎ ‎（2）证明：如图2，连接OD，∵＝，[中~国%&*教育出^版网]‎ 第 39 页 共 39 页 ‎∴∠ABD＝∠AOD，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴∠DBC＝∠DOC，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD＝∠DBC，[w^*ww.z&zst@e%p.com]‎ ‎∴∠DOA＝∠DOC，[来@^~源:#中国教育出版网%]‎ ‎∴DA＝DC．‎ ‎（3）如图3，连接OD交CF于M，作EP⊥AD于P，‎ ‎∵AC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADC＝90°．[来源:zz&step%.com@#~]‎ ‎∵DA＝DC，[www.z#zste&*p~.co@m]‎ ‎∴DO⊥AC，‎ ‎∴∠FAC＝∠DOC＝90°，[中*国教育^@出~版网#]‎ ‎∴AF∥OM，‎ ‎∵AO＝OC，‎ ‎∴OM＝AF．‎ ‎∵∠ODE+∠DEO＝90°，∠OCM+∠DEO＝90°．‎ ‎∴∠ODE＝∠OCM．‎ ‎∵∠DOE＝∠COM，OD＝OC，‎ ‎∴∴△ODE≌△OCM，‎ ‎∴OE＝OM，‎ 设OM＝m，[来&源:中国^%教@育出版~网]‎ ‎∴AE＝2﹣m，AP＝PE＝2﹣m，DP＝2+m，[来%源~&:中教*@网]‎ ‎∵∠AED+∠AEN＝135°，∠AED+∠ADE＝135°，‎ ‎∴∠AEN＝∠ADE，‎ ‎∵∠EAN＝∠DPE，‎ ‎∴△EAN∽△DPE，‎ 第 39 页 共 39 页 ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴m＝，[中%国^教*@育出~版网]‎ ‎∴AN＝，AE＝，[来@源%#:^中教网&]‎ ‎∴勾股定理得NE＝．[来源:zzst@ep%.c#o*&m]‎ ‎13．MN是⊙O上的一条不经过圆心的弦，MN＝4，在劣弧MN和优弧MN上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接AM，BM．‎ ‎（1）如图1，AB是直径，AB交MN于点C，∠ABM＝30°，求∠CMO的度数；‎ ‎（2）如图2，连接OM，AB，过点O作OD∥AB交MN于点D，求证：∠MOD+2∠DMO＝90°；‎ ‎（3）如图3，连接AN，BN，试猜想AM•MB+AN•NB的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．[www.zzs%te*p.~c#om@]‎ 第 39 页 共 39 页 解：（1）如图1，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，[来@源:中教^网#&%]‎ ‎∴∠AMB＝90°．‎ ‎∵，‎ ‎∴∠AMN＝∠BMN＝45°．‎ ‎∵OM＝OB，‎ ‎∴∠OMB＝∠OBM＝30°，‎ ‎∴∠CMO＝45°﹣30°＝15°；[中国教育出@&^版~网*]‎ ‎（2）如图2，连接OA，OB，ON．‎ ‎∵，[w^ww.zz&step.com#~*]‎ ‎∴∠AON＝∠BON．‎ 又∵OA＝OB，‎ ‎∴ON⊥AB．‎ ‎∵OD∥AB，[来*源%:z#zstep.^co&m]‎ 第 39 页 共 39 页 ‎∴∠DON＝90°．‎ ‎∵OM＝ON，[来源:中国教&育~出版网@%#]‎ ‎∴∠OMN＝∠ONM．‎ ‎∵∠OMN+∠ONM+∠MOD+∠DON＝180°，‎ ‎∴∠MOD+2∠DMO＝90°；‎ ‎（3）如图3，延长MB至点M′，使BM′＝AM，连接NM′，作NE⊥MM′于点E．‎ 设AM＝a，BM＝b．‎ ‎∵四边形AMBN是圆内接四边形，‎ ‎∴∠A+∠MBN＝180°．‎ ‎∵∠NBM′+∠MBN＝180°，‎ ‎∴∠A＝∠NBM′．‎ ‎∵，‎ ‎∴AN＝BN，[来@源:中*&国~%教育出版网]‎ ‎∴△AMN≌△BM′N（SAS），‎ ‎∴MN＝NM′，BM′＝AM＝a．‎ ‎∵NE⊥MM′于点E．‎ ‎∴．‎ ‎∵ME2+（BN2﹣BE2）＝MN2，[来源:zzs*te^p&.co@m~]‎ ‎∴．[来%源:#z~&z@step.com]‎ 化简得ab+NB2＝16，‎ ‎∴AM•MB+AN•NB＝16．‎ ‎14．已知，在△PAB中，PA＝PB，经过A.B作⊙O．‎ 第 39 页 共 39 页 ‎（1）如图1，连接PO，求证：PO平分∠APB；‎ ‎（2）如图2，点P在⊙O上，PA：AB＝：2，E是⊙O上一点，连接AE.BE．求tan∠AEB的值；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，AE经过圆心O，AE交PB于点F，过F作FG⊥BE于点G，EF+BG＝14，求线段OF的长度．‎ ‎（1）证明：连接OA，OB，[www^~.&zzstep.co@m%]‎ 则OA＝OB，‎ 又∵PA＝PB，‎ ‎∴PO垂直平分AB，‎ ‎∴∴PO平分∠APB；‎ ‎（2）解：延长PO，交AB于H，过点A作AM⊥PB于M，‎ 由（1）知PH垂直平分AB，‎ ‎∵PA：AB＝：2，‎ ‎∴设AB＝2，则AP＝BP＝，AH＝BH＝1，‎ ‎∴在Rt△PAH中，[来*@源:zz^ste%p.~com]‎ PH＝＝3，‎ ‎∵S△PAB＝AB•PH＝PB•AM，‎ ‎∴2×3＝×AM，‎ ‎∴AM＝，‎ 在Rt△PAM中，‎ 第 39 页 共 39 页 PM＝＝，‎ ‎∴tan∠APM＝＝：＝，‎ ‎∵∠AEB＝∠APM，‎ ‎∴tan∠AEB＝；‎ ‎（3）连接PO并延长，交AB于点H，由（1）知，PH垂直平分AB，‎ ‎∵AE为直径，‎ 在Rt△EFG中，tan∠FEG＝，‎ ‎∴设FG＝3x，则EG＝4x，EF＝5x，‎ ‎∵EF+BG＝14，‎ ‎∴BG＝14﹣5x，‎ ‎∴∠ABE＝90°＝∠AHP＝∠PHB，‎ ‎∴PH∥EB，[来源:z^z#s*tep.~co&m]‎ ‎∴∠HPB＝∠GBF，‎ ‎∴△HPB∽△GBF，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴＝，‎ 解得，x＝1，‎ ‎∴EF＝5，BE＝BG+EG＝9+4＝13，‎ ‎∴AB＝BE＝，[中国^教&育*出@版~网]‎ ‎∴AE＝＝，[来#源:%@&中教网*]‎ ‎∴OE＝AE＝，‎ ‎∴OF＝OE﹣EF＝﹣5＝，‎ ‎∴线段OF的长度为．‎ 第 39 页 共 39 页 ‎15．如图1，在⊙O中，点A为的中点，点D在⊙O上．‎ ‎（1）求证：∠BAC+2∠ADB＝180°；[来&源:中^国@教育出*版网#]‎ ‎（2）如图2，点G为⊙O上一点，DG与BC的延长线交于点K，若∠CBD＝2∠ABC，BC＝CK，求证：BG＝KG；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，AC与BG的延长线交于点E，CE＝3AC＝15，BE＝10，求线段BD的长．‎ ‎（1）证明：如图1，连接DC，‎ ‎∵点A为的中点，‎ 第 39 页 共 39 页 ‎∴，‎ ‎∴∠ADB＝∠ADC，[www.^z&z@ste*p.co~m]‎ ‎∴∠BDC＝2∠ADB，‎ ‎∵四边形ABCD是圆内接四边形，‎ ‎∴∠BAC+∠BDC＝180°，‎ ‎∴∠BAC+2∠ADB＝180°；‎ ‎[来源:中~^&国@教育出版网#]‎ ‎（2）如图2，连接CG，[来@源:中*&国教%育#出版网]‎ ‎∵∠ABC＝∠ADC＝∠ADB，‎ ‎∴∠BDC＝2∠ABC，‎ ‎∵∠CBD＝2∠ABC，[w@w&w.zz*step.co~#m]‎ ‎∴∠BDC＝∠CDB，‎ ‎∴CB＝CD，‎ ‎∵BC＝CK，‎ ‎∴CD＝CK，‎ ‎∴∠CDK＝∠K，‎ ‎∵∠CBD+∠CDB+∠CDK+∠K＝180°，[ww*w.z~z#step.c^om@]‎ ‎∴∠CBD+∠K＝90°，‎ ‎∴∠BDK＝90°，‎ ‎∴BG为⊙O的直径，‎ ‎∴BCG＝90°，[来*源%:zzs#tep&.@com]‎ ‎∴GC⊥BK，‎ 又∵BC＝CK，‎ ‎∴BG＝KG；[中~国%&*教育出^版网]‎ ‎（3）∵CE＝3AC＝15，‎ ‎∴AC＝AB＝5，‎ ‎∵四边形ABGC是圆内接四边形，[来源:zzst*#~ep&^.com]‎ ‎∴∠BAC+∠BGC＝180°，‎ 第 39 页 共 39 页 ‎∵∠CGE+∠BGC＝180°，‎ ‎∴∠BAC＝∠CGE，‎ 又∵∠E＝∠E，‎ ‎∴△ECG∽△EBA，‎ ‎∴＝＝，‎ 即＝＝，‎ ‎∴GE＝6，CG＝，‎ ‎∴BG＝BE﹣GE＝4，‎ 由（2）知，BG＝KG，‎ ‎∴KG＝4，‎ 在Rt△BCG中，‎ BC＝＝＝5，‎ ‎∴BK＝BC+CK＝10，[中%~国教育出&*版^网]‎ ‎∵∠BDG＝∠GCK＝90°，∠K＝∠K，‎ ‎∴△KCG∽△KDB，‎ ‎∴＝，‎ 即＝，‎ ‎∴DB＝，‎ ‎∴线段BD的长为．‎ 第 39 页 共 39 页 ‎[来#源:中教*^&网%]‎ ‎[来&源:%中国@教*育#出版网]‎ ‎ ‎ 第 39 页 共 39 页