中考数学中的折叠问题26088

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中考数学中的折叠问题26088

中考数学中的折叠问题 为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力,近几年来中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题,实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质,搞清折叠前后哪些量变了,哪些量没变,折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等,对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题,把握住了关键点,并不难解决。‎ 例1 (成都市中考题)把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠, EM、FM为折痕,折叠后的C点落在或的延长线上,那么∠EMF的度数是( )‎ A、85° B、90° C、95° D、100°‎ 分析与解答:本题考查了有关折叠的知识。‎ 由题意可知:∠BME=∠,∠CMF=∠,°,又与重合, ‎ 则∠EMF=∠+∠=°= 90°,故选B。‎ 例2 (武汉市实验区中考题)将五边形ABCDE纸片按如图的方式折叠,折痕为AF, 点E、D分别落在、。已知∠AFC=76°,则等于( )‎ A、31° B、28° C、24° D、22°‎ 分析与解答:本题同样是考查了折叠的知识。根据题意得:180°-76°=104°,则=104°-76°=28°,故选B。‎ G E F 例3(河南省实验区中考题)如图,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在轴、y轴上,连结OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在点的位置,若OB=,,则点的坐标为 。‎ 分析与解答:本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。‎ ‎ 例4(浙江省实验区中考题)现有一张长和宽的比为2∶‎ ‎1的长方形纸片,将它折两次(第一次折后也可打开铺平再折第二次),使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四部分(称为一个操作),如图甲(虚线表示折痕),除图甲外,请再给出一个不同的操作,分别将折痕画在矩形中(规定:一个操作得到的四个图形,和另一个操作得到的四个图形,如果能够“配对”得到四组全等的图形,那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作)。‎ 例5(南京市中考题)已知矩形纸片,AB=2,AD=1。将纸片折叠后,使顶点A与边CD上的点E重合。‎ ‎(1) 如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G(如图1),AF=,求DE的长;(2) 如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G(如图2),△AED的外接圆与直线BC相切,求折痕FG的长。‎ M N O 分析与解答:(1)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,AF=,∠D=90°,根据轴对称的性质,得EF=AF=。 ∴DF=AD-AF= ,在Rt△DEF中,由勾股定理得 。‎ ‎(2)设AE与FG的交点为O,根据轴对称的性质,得AO=EO, 取AD的中点M,连接MO,则MO=DE,MO∥DC。设,则 ,在矩形ABCD中,‎ ‎∠C=∠D=90° ∴AE为△AED的外接圆的直径, O为圆心。延长MO交BC 于 点N,则ON∥CD,∴∠CNM=180°-∠C=90°∴ON⊥BC,四边形MNCD是矩形。‎ ‎∴MN=CD=AB=2,∴ON=MN-MO= ∵ △AED的外接圆与BC相切,∴ ON是△AED的外接圆的半径。 ∴ OE=ON=,AE=2ON=4-。在Rt△AED中, ∴ 解这个方程,得。∴,。 根据轴对称的性质,得AE⊥FG,∴ ∠FOE=∠D=90°。‎ ‎ 又 ∵∠FEO=∠AED,∴△FEO∽△AED,∴, ∴ 可得 又AB∥CD, ∴∠EFO=∠AGO,∠FEO=∠GAO ∴△FEO≌△GAO ‎ ‎ ∴FO=GO ∴, ∴折痕FG的长是。‎ ‎ ‎ 中考实战一:‎ 一、选择题 ‎1.(德州市)如图,四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF.若CD=6,则AF等于(  )‎ A.4      B.3‎ C.4      D.8‎ ‎2.(江西省)如图,将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,若∠DBC=22.5°,则在不添加任何辅助线的情况下,图中45°的角(虚线也视为角的边)有( )‎ A.6个         B.5个        ‎ C.4个         D.3个 ‎3.(乐山市)如图,把矩形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则矩形ABCD的边BC长为(  )‎ A.20        B.22        C.24        D.30‎ ‎4.(绵阳市)当身边没有量角器时,怎样得到一些特定度数的角呢?动手操作有时可以解“燃眉之急”.如图,已知矩形ABCD,我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角:(1)以点A所在直线为折痕,折叠纸片,使点B落在AD上,折痕与BC交于E;(2)将纸片展平后,再一次折叠纸片,以E所在直线为折痕,使点A落在BC上,折痕EF交AD于F.则∠AFE =( )‎ A.60°   B.67.5°   C.72°   D.75°‎ ‎5. (绍兴市)学习了平行线后,小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的(如图(1)~(4) ).‎ 从图中可知,小敏画平行线的依据有( )‎ ‎①两直线平行,同位角相等; ②两直线平行,内错角相等;‎ ‎③同位角相等,两直线平行; ④内错角相等,两直线平行.‎ A.①②         B.②③        C.③④        D.①④‎ ‎ ‎ ‎6.(贵阳市)如图6-1所示,将长为20cm,宽为2cm的长方形白纸条,折成图6-2所示的图形并在其一面着色,则着色部分的面积为( )‎ A.34cm2        B.36 cm2        ‎ C.38 cm2       D.40 cm2‎ 二、填空题 ‎7.(成都市)如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点C,D分别落在C′,D′的位置上,EC′交AD于点G.已知∠EFG=58°,那么∠BEG      °.‎ ‎    ‎ ‎8. (苏州市)如图,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点A′处,已知∠1+∠2=100°,则∠A的大小等于____________度.‎ 三、解答题 ‎9.(荆门市)如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;‎ 如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;‎ 在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.‎ ‎10. (济宁市)如图,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上,得折痕PQ.‎ 求证:△PBE∽△QAB;‎ 你认为△PBE和△BAE相似吗?如果相似给出证明,如不相似请说明理由;‎ 如果沿直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC上?为什么?‎ ‎11.(威海市)如图,四边形ABCD为一梯形纸片,AB∥‎ CD,AD=BC.翻折纸片ABCD,使点A与点C重合,折痕为EF.已知CE⊥AB.‎ ‎(1)求证:EF∥BD;‎ ‎(2)若AB=7,CD=3,求线段EF的长.‎ ‎12. (烟台市)生活中,有人喜欢把传送的便条折成形状,折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面):‎ 如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为2 6 cm,宽为xcm,分别回答下列问题:‎ 为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P),试求x的取值范围.‎ ‎(2)如果不但要折成图④的形状,而且为了美观,希望纸条两端超出点P的长度相等,即最终图形是轴对称图形,试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示).‎ ‎13. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D′处,折痕为EF.‎ ‎(1)求证:△ABE≌△AD′F;‎ ‎(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形?证明你的结论.‎ ‎14.(孝感市)在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,其具体操作过程是:‎ 第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开(如图1);‎ 第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN(如图2).‎ 请解答以下问题:‎ ‎(1)如图2,若延长MN交BC于P,△BMP是什么三角形?请证明你的结论.‎ ‎(2)在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP ?‎ ‎(3)设矩形ABCD的边AB=2,BC=4,并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM′为y=kx,当∠M′BC=60°时,求k的值.此时,将△ABM′沿BM′折叠,点A是否落在EF上(E、F分别为AB、CD中点)?为什么?‎ ‎15.(邵阳市)如图①,△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿着一条直线折叠后,使点A与点C重合(图 ‎②).‎ ‎(1)在图①中画出折痕所在的直线l.设直线l与AB,AC分别相交于点D,E,连结CD.(画图工具不限,不要求写画法)‎ ‎(2)请你找出完成问题(1)后所得到的图形中的等腰三角形.(不要求证明)‎ ‎16.(济宁市)如图,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上,得折痕PQ.‎ ‎(1)求证:△PBE∽△QAB;‎ ‎(2)你认为△PBE和△BAE相似吗?如果相似给出证明,如补相似请说明理由;‎ ‎(3)如果直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC上?为什么?‎ ‎17.(临安市)如图,△OAB是边长为 的等边三角形,其中O是坐标原点,顶点B在y轴正方向上,将△OAB 折叠,使点A落在边OB上,记为A′,折痕为EF.‎ ‎(1)当A′E//x轴时,求点A′和E的坐标;‎ ‎(2)当A′E//x轴,且抛物线经过点A′和E时,求抛物线与x轴的交点的坐标;‎ ‎(3)当点A′在OB上运动,但不与点O、B重合时,能否使△A′EF成为直角三角形?若能,请求出此时点A′的坐标;若不能,请你说明理由.‎ ‎18.(南宁市)如图,在锐角△ABC中,BC=9,AH⊥BC于点H,且AH=6,点D为AB边上的任意一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E.设△ADE的高AF为x(0<x<6),以DE为折线将△‎ ADE翻折,所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y(点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上).‎ ‎(1)分别求出当0<x≤3与3<x<6时,y与x的函数关系式;‎ ‎(2)当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?‎ ‎19.(宁夏回族自治区)如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,连结AE.证明:‎ ‎(1)BF=DF;‎ ‎(2)AE∥BD.‎ 中考实战二:‎ 一、选择题 ‎1.(山东日照4分)在平面直角坐标系中,已知直线与轴、轴分别交于A、B两点,点C(0,n)是轴上一点.把坐标平面沿直线AC折叠,使点B刚好落在轴上,则点C的坐标是 ‎ A、(0,) B、(0,) C、(0,3) D、(0,4)‎ ‎2.(天津3分)如图.将正方形纸片ABCD折叠,使边AB、CB均落在对角线BD上,得折痕BE、BF,则∠EBF的大小为( )‎ ‎ (A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°‎ ‎3.(重庆4分)如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正确结论的个数是( )‎ ‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎4.(浙江温州4分)如图,O是正方形ABCD的对角线BD上一点,⊙O与边AB,BC都相切,点E,F分别在AD,DC上,现将△DEF沿着EF对折,折痕EF与⊙O相切,此时点D恰好落在圆心O处.若DE=2,则正方形ABCD的边长是 ‎ A、3 B、4 C、 D、‎ ‎5.(浙江省3分)如图,直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8,按如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则S△BCE:S△BDE等于( )‎ ‎ A. 2:5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21‎ ‎6.(吉林省3分)如图所示,将一个正方形纸片按下列顺序折叠,然后将最后 折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如“”的图形,将纸片展开,得到的图形是 ‎7.(江苏海南3分)如图,将平行四边形ABCD折叠,使顶点D恰落在AB边上的点M处,折痕为AN,那么对于结论 ①MN∥BC,②MN=AM,下列说法正确的是 (      )‎ ‎ A、①②都对 B、①②都错 ‎ ‎ C、①对②错 D、①错②对 ‎8.(山东菏泽3分)如图所示,已知在三角形纸片ABC中,BC=3,AB=6,∠BCA=90°.在AC上取一点E,以BE为折痕,使AB的一部分与BC重合,A与BC延长线上的点D重合,则DE的长度为(   )‎ ‎ A、6 B、3 C、2 D、‎ ‎9.(山东济宁3分)如图:△ABC的周长为30cm,把△ABC的边AC对折,使顶点C和点A重合,折痕交BC边于点D,交AC边与点E,连接AD,若AE=4cm,则△ABD的周长是(   )‎ A. 22cm B.20cm C. 18cm D.15cm ‎ ‎10.(山东泰安3分)如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合,若BC=3,则折痕CE的长为(   )‎ ‎ A、 B、 C、 D、6‎ ‎11.(广东广州3分)如图所示,将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折,接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折,然后剪下一个小三角形,再将纸片打开,则打开后的展开图是(   )‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎12.(河北省3分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=6,D,E 分别在 AB、AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处,若A′为CE的中点,则折痕DE的长为 (   )‎ ‎ A、 B、‎2 ‎ C、3 D、4‎ ‎13.(四川宜宾3分)如图,矩形纸片ABCD中,已知AD =8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在 点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为 (   )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎14.(四川泸州2分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10,将BC向BA方向翻折过去,使点C落在BA上的点C′,折痕为BE,则EC的长度是(   )‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎15.(四川内江3分)如图.在直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC翻折,B点落在D点的位置,且AD交y轴于点E.那么点D的坐标为 (   )‎ ‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎16.(甘肃天水4分)如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则CF的长为(   ) ‎ ‎ A、6 B、4 C、2 D、1‎ ‎17.(云南昭通3分)如图所示,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF,若∠EFC′=1250,那么∠ABE的度数为(   ) ‎ ‎ A.150 B.200 C.250 D.300‎ ‎18.(福建三明4分)如图,在正方形纸片ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,沿过点B的直线折叠,使点C落在EF上,落点为N,折痕交CD边于点M,BM与EF交于点P,再展开.则下列结论中:①CM=DM;②∠ABN=30°;③AB2=3CM2;④△PMN是等边三角形.正确的有(   )‎ ‎ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 ‎19.(福建莆田4分)如图,在矩形ABCD中,点E在AB边上,沿CE折叠矩形ABCD,使点B落在AD边上的点F处,若AB=4,BC=5,则tan∠AFE的值为 (   )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎20.(黑龙江省绥化3分)如图,在Rt△ABC中,AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折叠,使AB落在AC上,点B与AC上的点E重合,展开后,折痕AD交BO于点F,连接DE、EF.下列结论:①tan∠ADB=2;②图中有4对全等三角形;③若将△DEF沿EF折叠,则点D不一定落在AC上;④BD=BF;⑤S四边形DFOE=S△AOF,上述结论中正确的个数是 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 ‎21.(湖南岳阳3分)‎ 如图,把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使C点落在E处,BE与AD相交于点F,下列结论:①BD=AD2+AB2;②△ABF≌△EDF;③;④AD=BD•cos45°.其中正确的一组是 ‎ ‎ A、①② B、②③ C、①④ D、③④‎ 二、填空题 ‎1.(重庆潼南4分)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,将△BCD沿着直线BD翻折,使点C落在斜边AB上的点E处,DC=‎5cm,则点D到斜边AB的距离是     cm.‎ ‎2.(浙江绍兴5分)取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折,并沿图3中过矩形顶点的斜线(虚线)剪开,把剪下的①这部分展开,平铺在桌面上.若平铺的这个图形是正六边形,则这张矩形纸片的宽和长 之比为    ‎ ‎3.(浙江台州5分)点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上,将△BDE沿直线DE翻折,使点B落在B1处,DB1、EB1分别交边AC于点F、G.若∠ADF=80º,则∠CGE= .‎ ‎ ‎ ‎4.(广西贺州3分)把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠,使顶点B和顶点D重合,折痕为EF.若BF=4,FC=2,则∠DEF的度数是_ .‎ ‎5.(广西贵港2分)如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部 分是一个四边形ABCD,若AD=6cm,∠ABC=60°,则四边形ABCD的 面积等于_ cm2.‎ ‎6.(湖北荆州4分)如图,双曲线(>0)经过四边形OABC的顶点A、C,‎ ‎∠ABC=90°,OC平分OA与轴正半轴的夹角,AB∥轴,将△ABC沿AC翻折 后得△AB′C,B′点落在OA上,则四边形OABC的面积是 .‎ ‎7.(湖南衡阳3分)如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则△ABE的周长为   .‎ ‎8.(湖南怀化3分)如图,∠A=30°,∠C′=60°,△ABC 与△A'B'C'关于直线对称,则∠B= ‎ ‎9.(江苏南通3分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2cm,点E在 BC上,且AE=CE.若将纸片沿AE折叠,点B恰好与AC上的点B1‎ 重合,则AC=     cm.‎ ‎10.(山东滨州4分)将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图所示图形.若∠CED′=56°,则∠AED的大小是  .‎ ‎11.(内蒙古包头3分)如图,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA,OC分别落在x轴、y轴上,连接AC,将矩形纸片OABC沿AC折叠,使点B落在点D的位置,若B(1,2),则点D的横坐标是   .‎ ‎12.(内蒙赤峰3分)如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=60°,BC=6,把△ABC沿直线AD折叠,点C落在C′处,连接BC′,那么BC′的长为  .‎ ‎13.(四川广元5分)如图,M为矩形纸片ABCD的边AD的中点,将 纸片沿BM、CM折叠,使点A落在A1处,点D落在D1处.若∠A1MD1‎ ‎=40º,则∠BMC的度数为 .‎ ‎14.(四川绵阳4分)如图,将长8 cm,宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠,使点A与C重合,则折痕EF的长等于 cm.‎ ‎16.(贵州安顺4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′点,那么△ADC′的面积是   .‎ ‎17.(浙江金华、丽水4分)如图,将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中,B(2,0),∠AOB=60°,点A在第一象限,过点A的双曲线为.在轴上取一点P,过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,线段OB经轴对称变换后的像是O´B´.‎ ‎(1)当点O´与点A重合时,点P的坐标是       ;‎ ‎(2)设P(t,0),当O´B´与双曲线有交点时,t的取值范围是        .‎ ‎18.(重庆江津4分)如图,在平面直角坐标系中有一矩形ABCD,其中A(0,0),B (8,0),D (0,4),若将△ABC沿AC所在直线翻折,点B落在点E处.则E点的坐标是     .‎ 三、解答题 ‎1.(贵州遵义10分)把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠,使点A与点E重合,点C与点F重合(E、F两点均在BD上),折痕分别为BH、DG.(1)求证:△BHE≌△DGF;(2)若AB=6cm,BC=8cm,求线段FG的长.‎ ‎2.(黑龙江大庆7分)如图,ABCD是一张边AB长为2、边AD长为1的矩形纸片,沿过点B的折痕将A角翻折,使得点A落在边CD上的点A1处,折痕交边AD于点E.‎ ‎(1)求∠DA1E的大小;‎ ‎(2)求△A1BE的面积.‎ ‎3.(广东省7分)如图,直角梯形纸片ABCD中,AD//BC,∠A=90º,∠C=30º.折叠纸片使BC经过点D,点C落在点E处,BF是折痕,且BF=CF=8.‎ ‎(1)求∠BDF的度数;‎ ‎(2)求AB的长.‎ ‎4.(广东深圳8分)如图1,一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD折叠,点C落在点C′的位置,BC′交AD于点G.‎ ‎(1)求证:AG=C′G;‎ ‎(2)如图2,再折叠一次,使点D与点A重合,得折痕EN,EN交AD于M,求EM的长.‎ ‎5. (四川南充8分)如图,点E是矩形ABCD中CD边上一点,△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在AD上.‎ ‎(1)求证:△ABE∽△DFE ‎(2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值。‎ ‎6.(江苏徐州6分)如图,将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠: 对折、展平, 得折痕EF(如图①); 沿GC折叠, 使点B落在EF上的点B' 处(如图②); 展平, 得折痕GC(如图③); 沿GH折叠, 使点C落在DH上的点C' 处(如图④); 沿GC' 折叠(如图⑤); 展平, 得折痕GC' 、GH(如图⑥)。‎ (1) 求图②中∠BCB' 的大小;‎ (2) 图⑥中的△GCC' 是正三角形吗?请说明理由. ‎ ‎7.(山东莱芜9分)已知:矩形纸片ABCD,AB=2,BC=3。操作:将矩形纸片沿EF折叠,使点B落在边CD上。探究:(1)如图①,若点B与A重合,你认为△EDA′和△FDC全等吗?如果全等给出证明,如果不全等请说明理由;(2)如图②,若点B与CD中点重合,求△FCB′与△B′DG的周长之比。‎ ‎7.(山东威海11分)如图,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取A B C D D A M N C B K ‎1‎ 一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK。‎ ‎⑴若∠1=70°,求∠MKN的度数;‎ ‎⑵△MNK的面积能否小于?若能,求出此时∠1的度数;若不能,试说明理由;‎ ‎⑶如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你用备用图探究可能出现的情况,求最大值。‎A B C D A B C D 备用图 ‎8.(湖北十堰8分)如图,AB是半圆O的直径,点C为半径OB上一点,过点C作CD⊥AB交半圆O于点D,将△ACD沿AD折叠得到△AED,AE交半圆于点F,连接DF。‎ ‎(1)求证:DE是半圆的切线;‎ ‎(2)连接OD,当OC=BC时,判断四边形ODFA的形状,并证明你的结论。‎ ‎9. (甘肃兰州12分)已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连接AF和CE.‎ ‎(1)求证:四边形AFCE是菱形;‎ ‎(2)若AE=10cm,△ABF的面积为24cm2,求△ABF的周长;‎ ‎(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC•AP?若存在,请说明点P的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由.‎ ‎10.(辽宁抚顺14分) 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是梯形,BC∥AD,∠BAD+∠CDA=90°,且tan∠BAD=2,AD在x轴上,点A的坐标(-1,0),点B在y轴的正半轴上,BC=OB.‎ ‎(1)求过点A、B、C的抛物线的解析式;‎ ‎(2)动点E从点B(不包括点B)出发,沿BC运动到点C停止,在运动过程中,过点E作EF⊥AD于点F,将四边形ABEF沿直线EF折叠,得到四边形A1B1EF,点A、B的对应点分别是点A1、B1,设四边形A1B1EF与梯形ABCD重合部分的面积为S,F点的坐标是(,0).                                 ‎ ‎①当点A1落在(1)中的抛物线上时,求S的值; ‎ ‎②在点E运动过程中,求S与的函数关系式.‎ 备用图 ‎11.(黑龙江牡丹江10分)如图,将矩形OABC放置在平面直角坐标系中,点D在边OC上,点E在边OA上,把矩形沿直线DE翻折,使点O落在边AB上的点F处,且tan∠BFD=.若线段OA的长是一元二次方程2—7一8=0的一个根,又2AB=3OA.请解答下列问题:‎ ‎ (1)求点B、F的坐标:‎ ‎ (2)求直线ED的解析式:‎ ‎ (3)在直线ED、FD上是否存在点M、N,使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎12.(湖南怀化10分)在矩形AOBC中,OB=6,OA=4,分別以OB,OA所在直线为轴和轴,建立如图所示的平面直角坐标系.F是BC上的一个动点(不与B、C重合),过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E.‎ ‎(1)求证:AE•AO=BF•BO;‎ ‎(2)若点E的坐标为(2,4),求经过O、E、F三点的抛物线的解析式;‎ ‎(3)是否存在这样的点F,使得将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB上?若存在,求出此时的OF的长:若不存在,请说明理由.‎ ‎14.(广东珠海9分)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=AB=1,BC=2.将点A折叠到CD边上,记折叠后A点对应的点为P(P与D点不重合),折痕EF只与边AD、BC相交,交点分别为E、F.过点P作PN∥BC交AB于N、交EF于M,连结PA、PE、AM,EF与PA相交于O.‎ ‎(1)指出四边形PEAM的形状(不需证明);‎ ‎(2)记∠EPM=,△AOM、△AMN的面积分别为S1、S2.‎ ‎ ① 求证:= PA2.‎ ‎ ② 设AN=x,y=,试求出以为自变量的函数y的解析式,并确定y的取值范围.‎ O A B C D P E F M N ‎ ‎ ‎15.(湖北孝感14分)如图(1),矩形ABCD的一边BC在直接坐标系中轴上,折叠边AD,使点D落在轴上点F处,折痕为AE,已知AB=8,AD=10,并设点B坐标为(),其中.‎ ‎(1)求点E、F的坐标(用含的式子表示);(5分)‎ ‎(2)连接OA,若△OAF是等腰三角形,求的值;(4分)‎ ‎(3)如图(2),设抛物线经过A、E两点,其顶点为M,连接AM,若∠OAM=90°,求、、的值.(5分)‎ 图(1) 图(2)‎ ‎16. (陕西省12分)如图①,在矩形ABCD中,将矩形折叠,使B落在边AD(含端点)上,落点记为E,这时折痕与边BC或者边CD(含端点)交于F,然后展开铺平,则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”‎ ‎(1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个   三角形 ‎(2)如图②、在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,,当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时,画出这个“折痕△BEF”,并求出点F的坐标;‎ ‎(3)如图③,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”?若存在,说明理由,并求出此时点E的坐标?若不存在,为什么?‎ 图① 图② 图③ 图④‎ ‎18.(辽宁辽阳14分)如图,已知Rt△ABO,∠BAO=90°,以点O为坐标原点,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,AO=3,∠AOB=30°,将Rt△ABO沿OB翻折后,点A落在第一象限内的点D处.‎ ‎(1)求D点坐标;‎ ‎(2)若抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过B、D两点,求此抛物线的表达式;‎ ‎(3)若抛物线的顶点为E,它的对称轴与OB交于点F,点P为射线OB上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点M.是否存在点P,使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是.‎ ‎21.(福建龙岩14分)如图,在直角梯形ABCD中,∠D=∠BCD=90°,∠B=60°,AB=6,AD=9,点E是CD上的一个动点(E不与D重合),过点E作EF∥AC,交AD于点F(当E运动到C时,EF与AC重合).把△DEF沿EF对折,点D的对应点是点G,设DE=x,△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y。‎ ‎(1) 求CD的长及∠1的度数;‎ ‎(2) 若点G恰好在BC上,求此时x的值;‎ ‎(3) 求y与x之间的函数关系式。并求x为何值时,y的值最大?最大值是多少?‎ ‎22.(福建宁德13分)直线与x轴、y轴分别交于点A、B,点E从B点,出发以每秒1个单位的速度沿线段BO向O点移动(与B、O点不重合),过E作EF∥AB,交x轴于F.将四边形ABEF沿EF折叠,得到四边形DCEF,设点E的运动时间为秒.‎ ‎⑴①直线与坐标轴交点坐标是A(___,___),B(___,___);‎ ‎②画出t=2时,四边形ABEF沿EF折叠后的图形(不写画法);‎ ‎⑵若CD交y轴于H点,求证:四边形DHEF为平行四边形;并求为何值时,四边形DHEF为菱形(计算结果不需化简);‎ ‎⑶设四边形DCEF落在第一象限内的图形面积为S,求S关于的函数表达式,并求出S的最大值.‎
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