江苏省泰州市中考数学试卷

江苏省泰州市中考数学试卷

‎2016年江苏省泰州市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分 ‎1．（3分）（2016•泰州）4的平方根是（　　）‎ A．±2 B．﹣2 C．2 D．‎ ‎2．（3分）（2016•泰州）人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将数0.0000077用科学记数法表示为（　　）‎ A．77×10﹣5 B．0.77×10﹣7 C．7.7×10﹣6 D．7.7×10﹣7‎ ‎3．（3分）（2016•泰州）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）（2016•泰州）如图所示的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）（2016•泰州）对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（　　）‎ A．平均数是1 B．众数是﹣1 C．中位数是0.5 D．方差是3.5‎ ‎6．（3分）（2016•泰州）实数a、b满足+4a2+4ab+b2=0，则ba的值为（　　）‎ A．2 B． C．﹣2 D．﹣‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 ‎7．（3分）（2016•泰州）（﹣）0等于　 　．‎ ‎8．（3分）（2016•泰州）函数中，自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎9．（3分）（2016•泰州）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1枚，朝上一面的点数为偶数的概率是　 　．‎ ‎10．（3分）（2018•徐州）五边形的内角和是　 　°．‎ ‎11．（3分）（2016•泰州）如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为　 　．‎ ‎12．（3分）（2016•泰州）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于　 　．‎ ‎13．（3分）（2016•泰州）如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为　 　cm．‎ ‎14．（3分）（2016•泰州）方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为　 　．‎ ‎15．（3分）（2016•泰州）如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，则图中阴影部分的面积为　 　．‎ ‎16．（3分）（2016•泰州）二次函数y=x2‎ ‎﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（12分）（2016•泰州）计算或化简：‎ ‎（1）﹣（3+）；‎ ‎（2）（﹣）÷．‎ ‎18．（8分）（2016•泰州）某校为更好地开展“传统文化进校园”活动，随机抽查了部分学生，了解他们最喜爱的传统文化项目类型（分为书法、围棋、戏剧、国画共4类），并将统计结果绘制成如图不完整的频数分布表及频数分布条形图．‎ 最喜爱的传统文化项目类型频数分布表 项目类型 频数 频率 书法类 ‎18‎ a 围棋类 ‎14‎ ‎0.28‎ 喜剧类 ‎8‎ ‎0.16‎ 国画类 b ‎0.20‎ 根据以上信息完成下列问题：‎ ‎（1）直接写出频数分布表中a的值；‎ ‎（2）补全频数分布条形图；‎ ‎（3）若全校共有学生1500名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人？‎ ‎19．（8分）（2016•泰州）一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、乙两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．‎ ‎（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；‎ ‎（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由．‎ ‎20．（8分）（2016•泰州）随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长到2015年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率．‎ ‎21．（10分）（2016•泰州）如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．‎ ‎（1）求证：AD∥BC；‎ ‎（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．‎ ‎22．（10分）（2016•泰州）如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（取1.73，结果精确到0.1千米）‎ ‎23．（10分）（2016•泰州）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．‎ ‎（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．‎ ‎24．（10分）（2016•泰州）如图，点A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，经过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D．‎ ‎（1）若m=2，求n的值；‎ ‎（2）求m+n的值；‎ ‎（3）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC=1，求直线AB的函数关系式．‎ ‎25．（12分）（2016•泰州）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．‎ ‎（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；‎ ‎（2）若点P在线段AB上．‎ ‎①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；‎ ‎②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．‎ ‎26．（14分）（2016•泰州）已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m．对于函数y1，当x=2时，该函数取最小值．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；‎ ‎（3）若函数y1、y2的图象都经过点（1，﹣2），过点（0，a﹣3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016年江苏省泰州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分 ‎1．（3分）（2016•泰州）4的平方根是（　　）‎ A．±2 B．﹣2 C．2 D．‎ ‎【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案．‎ ‎【解答】解：4的平方根是：±=±2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2016•泰州）人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将数0.0000077用科学记数法表示为（　　）‎ A．77×10﹣5 B．0.77×10﹣7 C．7.7×10﹣6 D．7.7×10﹣7‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎【解答】解：0.0000077=7.7×10﹣6，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2016•泰州）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形．是中心对称图形，故错误；‎ B、是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；‎ D、是轴对称图形．不是中心对称图形，故错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2016•泰州）如图所示的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】该几何体的左视图为一个矩形，俯视图为矩形．‎ ‎【解答】解：该几何体的左视图是边长分别为圆的半径和厚的矩形，俯视图是边长分别为圆的直径和厚的矩形，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了简单几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2016•泰州）对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（　　）‎ A．平均数是1 B．众数是﹣1 C．中位数是0.5 D．方差是3.5‎ ‎【分析】根据众数、中位数、方差和平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：这组数据的平均数是：（﹣1﹣1+4+2）÷4=1；‎ ‎﹣1出现了2次，出现的次数最多，则众数是﹣1；‎ 把这组数据从小到大排列为：﹣1，﹣1，2，4，最中间的数是第2、3个数的平均数，则中位数是=0.5；‎ 这组数据的方差是：[（﹣1﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（4﹣1）2+（2﹣1）2]=4.5；‎ 则下列结论不正确的是D；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了方差、平均数、众数和中位数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2016•泰州）实数a、b满足+4a2+4ab+b2=0，则ba的值为（　　）‎ A．2 B． C．﹣2 D．﹣‎ ‎【分析】先根据完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．‎ ‎【解答】解：整理得，+（2a+b）2=0，‎ 所以，a+1=0，2a+b=0，‎ 解得a=﹣1，b=2，‎ 所以，ba=2﹣1=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 ‎7．（3分）（2016•泰州）（﹣）0等于　1　．‎ ‎【分析】依据零指数幂的性质求解即可．‎ ‎【解答】解：由零指数幂的性质可知：（﹣）0=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题主要考查的是零指数幂的性质，掌握零指数幂的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2016•泰州）函数中，自变量x的取值范围是　　．‎ ‎【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；令分母为0，可得到答案．‎ ‎【解答】解：根据题意得2x﹣3≠0，‎ 解可得x≠，‎ 故答案为x≠．‎ ‎【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2016•泰州）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1枚，朝上一面的点数为偶数的概率是　　．‎ ‎【分析】根据概率公式知，6个数中有3个偶数，故掷一次骰子，向上一面的点数为偶数的概率是．‎ ‎【解答】解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向上一面的点数为偶数，‎ 故其概率是=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了概率的求法的运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2018•徐州）五边形的内角和是　540　°．‎ ‎【分析】根据多边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入计算即可．‎ ‎【解答】解：（5﹣2）•180°‎ ‎=540°，‎ 故答案为：540°．‎ ‎【点评】本题考查的是多边形的内角和的计算，掌握多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2016•泰州）如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为　1：9　．‎ ‎【分析】由DE与BC平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：9，‎ 故答案为：1：9．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2016•泰州）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于　20°　．‎ ‎【分析】过点A作AD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠BAD=∠β．根据平行线的传递性可得AD∥l2，从而得到∠DAC=∠α=40°．再根据等边△ABC可得到∠BAC=60°，就可求出∠DAC，从而解决问题．‎ ‎【解答】解：过点A作AD∥l1，如图，‎ 则∠BAD=∠β．‎ ‎∵l1∥l2，‎ ‎∴AD∥l2，‎ ‎∵∠DAC=∠α=40°．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC=60°，‎ ‎∴∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°﹣40°=20°．‎ 故答案为20°．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行线的性质、平行线的传递性、等边三角形的性质等知识，当然也可延长BA与l2交于点E，运用平行线的性质及三角形外角的性质解决问题．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2016•泰州）如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为　2.5　cm．‎ ‎【分析】‎ 根据平移的性质：对应线段平行，以及三角形中位线定理可得B′是BC的中点，求出BB′即为所求．‎ ‎【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置，‎ ‎∴A′B′∥AB，‎ ‎∵O是AC的中点，‎ ‎∴B′是BC的中点，‎ ‎∴BB′=5÷2=2.5（cm）．‎ 故△ABC平移的距离为2.5cm．‎ 故答案为：2.5．‎ ‎【点评】考查了平移的性质，平移的基本性质：‎ ‎①平移不改变图形的形状和大小；‎ ‎②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2016•泰州）方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为　﹣3　．‎ ‎【分析】先求出方程2x﹣4=0的解，再把x的值代入方程x2+mx+2=0，求出m的值即可．‎ ‎【解答】解：2x﹣4=0，‎ 解得：x=2，‎ 把x=2代入方程x2+mx+2=0得：‎ ‎4+2m+2=0，‎ 解得：m=﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，先求出x的值，再代入方程x2+mx+2=0是解决问题的关键，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2016•泰州）如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙‎ O上，线段BD经过圆心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，则图中阴影部分的面积为　π　．‎ ‎【分析】通过解直角三角形可求出∠AOB=30°，∠COD=60°，从而可求出∠AOC=150°，再通过证三角形全等找出S阴影=S扇形OAC，套入扇形的面积公式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=2，AB=1，‎ ‎∴OB==，sin∠AOB==，∠AOB=30°．‎ 同理，可得出：OD=1，∠COD=60°．‎ ‎∴∠AOC=∠AOB+（180°﹣∠COD）=30°+180°﹣60°=150°．‎ 在△AOB和△OCD中，有，‎ ‎∴△AOB≌△OCD（SSS）．‎ ‎∴S阴影=S扇形OAC．‎ ‎∴S扇形OAC=πR2=π×22=π．‎ 故答案为：π．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定、解直角三角以及扇形的面积公式，解题的关键是找出S阴影=S扇形OAC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据拆补法将不规则的图形变成规则的图形，再套用规则图形的面积公式进行计算即可．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2016•泰州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为　（1+，3）或（2，﹣3）　．‎ ‎【分析】△ABC是等边三角形，且边长为2，所以该等边三角形的高为3，又点C在二次函数上，所以令y=±3代入解析式中，分别求出x的值．由因为使点C落在该函数y轴右侧的图象上，所以x＞0．‎ ‎【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，‎ ‎∴AB边上的高为3，‎ 又∵点C在二次函数图象上，‎ ‎∴C的纵坐标为±3，‎ 令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，‎ ‎∴x=1或0或2‎ ‎∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，‎ ‎∴x＞0，‎ ‎∴x=1+或x=2‎ ‎∴C（1+，3）或（2，﹣3）‎ 故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）‎ ‎【点评】本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，分类讨论的思想等知识，题目比较综合，解决问题的关键是根据题意得出C的纵坐标为±3．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（12分）（2016•泰州）计算或化简：‎ ‎（1）﹣（3+）；‎ ‎（2）（﹣）÷．‎ ‎【分析】（1）先化成最简二次根式，再去括号、合并同类二次根式即可；‎ ‎（2）先将括号内的分式通分，进行减法运算，再将除法转化为乘法，然后化简即可．‎ ‎【解答】解：（1）﹣（3+）‎ ‎=﹣（+）‎ ‎=﹣﹣‎ ‎=﹣；‎ ‎（2）（﹣）÷‎ ‎=（﹣）•‎ ‎=•‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题考查了二次根式的加减法以及分式的混合运算，正确化简是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）（2016•泰州）某校为更好地开展“传统文化进校园”活动，随机抽查了部分学生，了解他们最喜爱的传统文化项目类型（分为书法、围棋、戏剧、国画共4类），并将统计结果绘制成如图不完整的频数分布表及频数分布条形图．‎ 最喜爱的传统文化项目类型频数分布表 项目类型 频数 频率 书法类 ‎18‎ a 围棋类 ‎14‎ ‎0.28‎ 喜剧类 ‎8‎ ‎0.16‎ 国画类 b ‎0.20‎ 根据以上信息完成下列问题：‎ ‎（1）直接写出频数分布表中a的值；‎ ‎（2）补全频数分布条形图；‎ ‎（3）若全校共有学生1500名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人？‎ ‎【分析】（1）首先根据围棋类是14人，频率是0.28，据此即可求得总人数，然后利用18除以总人数即可求得a的值；‎ ‎（2）用50乘以0.20求出b的值，即可解答；‎ ‎（4）用总人数1500乘以喜爱围棋的学生频率即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）14÷0.28=50（人），‎ a=18÷50=0.36．‎ ‎（2）b=50×0.20=10，如图，‎ ‎（3）1500×0.28=420（人），‎ 答：若全校共有学生1500名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有420人．‎ ‎【点评】本题考查了频数分布表及频数分布直方图，用到的知识点是：频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2016•泰州）一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、乙两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．‎ ‎（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；‎ ‎（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据列表，可得答案；‎ ‎（2）游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等．‎ ‎【解答】解：列举所有可能：‎ 甲 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 乙 ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（2）游戏不公平，理由如下：‎ 由表可知甲获胜的概率=，乙获胜的概率=，‎ 乙获胜的可能性大，‎ 所以游戏是不公平的．‎ ‎【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 ‎　‎ ‎20．（8分）（2016•泰州）随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长到2015年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率．‎ ‎【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均增长率为x，根据“从2013年的200万元增长到2015年的392万元”，即可得出方程．‎ ‎【解答】解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x，‎ 根据题意，得：200（1+x）2=392，‎ 解得：x1=0.4，x2=﹣2.4（不符合题意，舍去）．‎ 答：该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%．‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的应用．关于平均增长率问题，可设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±‎ x）2=b．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2016•泰州）如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．‎ ‎（1）求证：AD∥BC；‎ ‎（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．‎ ‎【分析】（1）由AB=AC，AD平分∠CAE，易证得∠B=∠DAG=∠CAG，继而证得结论；‎ ‎（2）由CG⊥AD，AD平分∠CAE，易得CF=GF，然后由AD∥BC，证得△AGF∽△BGC，再由相似三角形的对应边成比例，求得答案．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAE，‎ ‎∴∠DAG=∠CAG，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠ACB，‎ ‎∵∠CAG=∠B+∠ACB，‎ ‎∴∠B=∠CAG，‎ ‎∴∠B=∠DAG，‎ ‎∴AD∥BC；‎ ‎（2）解：方法一：‎ 过点A作AH⊥BC于点H，‎ ‎∵AD平分∠CAE，‎ ‎∴∠CAF=∠GAF，‎ ‎∵AB=AC，AH⊥BC，‎ ‎∴∠BAH=∠HAC，BH=HC，‎ ‎∴∠HAC+∠CAF=×180°=90°，‎ 又∵∠AFC=∠AHC=90°‎ ‎∴四边形CHAD是矩形，‎ ‎∴AF=HC=4，‎ ‎∴BC=2HC=8．‎ 方法二：∵CG⊥AD，‎ ‎∴∠AFC=∠AFG=90°，‎ 在△AFC和△AFG中，‎ ‎，‎ ‎∴△AFC≌△AFG（ASA），‎ ‎∴CF=GF，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴△AGF∽△BGC，‎ ‎∴GF：GC=AF：BC=1：2，‎ ‎∴BC=2AF=2×4=8．‎ ‎【点评】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意证得△AGF∽△BGC是关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2016•泰州）如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（取1.73，结果精确到0.1千米）‎ ‎【分析】过B作BE⊥AD于E，三角形的内角和得到∠ADB=45°，根据直角三角形的性质得到AE=2．BE=2，求得AD=2+2，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：过B作BE⊥AD于E，‎ ‎∵∠NAD=60°，∠ABD=75°，‎ ‎∴∠ADB=45°，‎ ‎∵AB=6×=4，‎ ‎∴AE=2．BE=2，‎ ‎∴DE=BE=2，‎ ‎∴AD=2+2，‎ ‎∵∠C=90，∠CAD=30°，‎ ‎∴CD=AD=1+≈2.7千米．‎ ‎【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2016•泰州）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．‎ ‎（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．‎ ‎【分析】（1）结论：AB是⊙O切线，连接DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要证明∠ADF=∠DCF即可解决问题．‎ ‎（2）只要证明△PCF∽△PAC，得=，设PF=a．则PC=2a，列出方程即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）AB是⊙O切线．‎ 理由：连接DE、CF．‎ ‎∵CD是直径，‎ ‎∴∠DEC=∠DFC=90°，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠DEC+∠ACE=180°，‎ ‎∴DE∥AC，‎ ‎∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，‎ ‎∵∠DFC=90°，‎ ‎∴∠FCD+∠CDF=90°，‎ ‎∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，‎ ‎∴∠ADF+∠CDF=90°，‎ ‎∴∠ADC=90°，‎ ‎∴CD⊥AD，‎ ‎∴AB是⊙O切线．‎ ‎（2）∵∠CPF=∠CPA，∠PCF=∠PAC，‎ ‎∴△PCF∽△PAC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴PC2=PF•PA，设PF=a．则PC=2a，‎ ‎∴4a2=a（a+5），‎ ‎∴a=，‎ ‎∴PC=2a=．‎ ‎【点评】本题考查切线的判定、相似三角形的判定和性质、圆的有关性质等知识，解题的关键是添加辅助线，记住直径所对的圆周角是直角，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2016•泰州）如图，点A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，经过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D．‎ ‎（1）若m=2，求n的值；‎ ‎（2）求m+n的值；‎ ‎（3）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC=1，求直线AB的函数关系式．‎ ‎【分析】（1）先把A点坐标代入y=求出k的值得到反比例函数解析式为y=，然后把B（﹣4，n）代入y=可求出n的值；‎ ‎（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m=k，﹣4n=k，然后把两式相减消去k即可得到m+n的值；‎ ‎（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，利用正切的定义得到tan∠AOE==，tan∠BOF==，则+=1，加上m+n=0，于是可解得m=2，n=﹣2，从而得到A（2，4），B（﹣4，﹣2），然后利用待定系数法求直线AB的解析式．‎ ‎【解答】解：（1）当m=2，则A（2，4），‎ 把A（2，4）代入y=得k=2×4=8，‎ 所以反比例函数解析式为y=，‎ 把B（﹣4，n）代入y=得﹣4n=8，解得n=﹣2；‎ ‎（2）因为点A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，‎ 所以4m=k，﹣4n=k，‎ 所以4m+4n=0，即m+n=0；‎ ‎（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，‎ 在Rt△AOE中，tan∠AOE==，‎ 在Rt△BOF中，tan∠BOF==，‎ 而tan∠AOD+tan∠BOC=1，‎ 所以+=1，‎ 而m+n=0，解得m=2，n=﹣2，‎ 则A（2，4），B（﹣4，﹣2），‎ 设直线AB的解析式为y=px+q，‎ 把A（2，4），B（﹣4，﹣2）代入得，解得，‎ 所以直线AB的解析式为y=x+2．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2016•泰州）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．‎ ‎（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；‎ ‎（2）若点P在线段AB上．‎ ‎①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；‎ ‎②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明△APE≌△CFE，根据全等三角形的性质证明结论；‎ ‎（2）①根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质解答；‎ ‎②根据PE∥CF，得到=，代入a、b的值计算求出a：b，根据角平分线的判定定理得到∠HCG=∠BCG，证明∠AEC=∠ACB，即可求出∠AEC的度数．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，‎ ‎∴AB=BC，BP=BF，‎ ‎∴AP=CF，‎ 在△APE和△CFE中，‎ ‎，‎ ‎∴△APE≌△CFE，‎ ‎∴EA=EC；‎ ‎（2）①∵P为AB的中点，‎ ‎∴PA=PB，又PB=PE，‎ ‎∴PA=PE，‎ ‎∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，‎ ‎∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；‎ ‎②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，‎ ‎∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a ‎∵PE∥CF，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得，a=b；‎ 作GH⊥AC于H，‎ ‎∵∠CAB=45°，‎ ‎∴HG=AG=×（2b﹣2b）=（2﹣）b，又BG=2b﹣a=（2﹣）b，‎ ‎∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，‎ ‎∴∠HCG=∠BCG，‎ ‎∵PE∥CF，‎ ‎∴∠PEG=∠BCG，‎ ‎∴∠AEC=∠ACB=45°．‎ ‎∴a：b=：1；∴∠AEC=45°．‎ ‎【点评】本题考查的是正方形的性质、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，掌握相关的性质定理和判定定理、正确作出辅助性是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎26．（14分）（2016•泰州）已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m．对于函数y1，当x=2时，该函数取最小值．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；‎ ‎（3）若函数y1、y2的图象都经过点（1，﹣2），过点（0，a﹣3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值．‎ ‎【分析】（1）由于题意知x=2时，该函数取得最小值，所以x=2时该函数y1的对称轴；‎ ‎（2）若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，则分为两种情况讨论，一种是抛物线与x轴有两个交点时，另一种是抛物线与x轴有1个交点，然后分别求出C的值即可；‎ ‎（3）函数y1与y2经过（1，﹣2），所以可求出c与m的值，根据函数解析式画出图象可知，若过点（0，a﹣3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点时，则﹣3＜a﹣3＜﹣2或a﹣3＞﹣2．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知：函数y1的对称轴为x=2，‎ ‎∴﹣=2，‎ ‎∴b=﹣4，‎ ‎（2）由题意知：△=b2﹣4c=16﹣4c，‎ 当△＞0时，‎ ‎∴c＜4，‎ 此时函数y1与x轴有两个不同的交点，‎ 由于若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，‎ ‎∴c=0，‎ ‎∴y1=x2﹣4x，‎ 令y1=0，‎ ‎∴x=0或x=4，‎ ‎∴两个公共点间的距离为4，‎ 当△=0时，‎ ‎∴c=4，‎ 此时抛物线与x轴只有一个交点，与y轴只有一个交点，‎ ‎∴两个公共点间的距离，由勾股定理可求得：=2，‎ ‎（3）∵函数y1、y2的图象都经过点（1，﹣2），‎ ‎∴将（1，﹣2）代入函数y1和函数y2，‎ ‎∴﹣2=1﹣4+c，‎ ‎﹣2=1+m，‎ ‎∴c=1，m=﹣3，‎ ‎∴函数y1=x2﹣4x+1，函数y2=x2﹣3，‎ 联立 解得：x=1，y=﹣2，‎ ‎∵过点（0，a﹣3）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点，‎ ‎∴﹣3＜a﹣3＜﹣2或a﹣3＞﹣2‎ 当﹣3＜a﹣3＜﹣2时，如图1，‎ 即0＜a＜1，‎ 令y=a﹣3代入y1，‎ ‎∴x2﹣4x+4﹣a=0，‎ ‎∴x3=2﹣，x4=2+，‎ 令y=a﹣3代入y2，‎ a﹣3=x2﹣3，‎ ‎∴x1=﹣，x2=，‎ ‎∴x4﹣x3+x2﹣x1=4，‎ ‎∵0＜a＜1，‎ ‎∴0＜4＜4，‎ 当a﹣3＞﹣2，如图2， ‎ 即a＞1，‎ 令y=a﹣3代入y1，‎ ‎∴x2﹣4x+4﹣a=0，‎ ‎∴x2=2﹣，x4=2+，‎ 令y=a﹣3代入y2，‎ a﹣3=x2﹣3，‎ ‎∴x1=﹣，x3=，‎ ‎∴x4﹣x3+x2﹣x1=4，‎ 综上所述，过点（0，a﹣3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点时，x4﹣x3+x2﹣x1的最大值为4．‎ ‎【点评】本题考查函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，一元二次方程的解法和数形结合的思想，综合程度较高，需要学生利用数形结合的思想解决问题．‎ ‎　‎