几何证明题中考综合练习

几何证明题中考综合练习

B A C D 图8‎ ‎1.如图8，△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于D，求证：‎ M N P Q O A B 图10‎ ‎2.如图10，MN切⊙O于P，AB是⊙O的弦，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，PQ⊥AB于Q.‎ 求证：AM·BN.‎ ‎3.如图11，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，对角线AC=5，BD=3，试求此梯形的面积.‎ A B C D 图11‎ ‎4. （本题6分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF=∠OBE。‎ 求证：OE=OF。‎ ‎ ‎ ‎5.. （本题9分）如图1，AB是圆O直径，直线l交圆O于C1、C2，AD⊥l，垂足为D。‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）若将直线l向上平移（如图2），交圆O于C1、C2，使弦C‎1C2与直线AB相交（交点不与A、B重合），其它条件不变，请你猜想，AC1、AC2、AB、AD之间的关系，并说明理由。‎ ‎（3）若将直线l平移到与圆O相切时，切点为C，其他条件不变，请你在图3上画出变化后的图形，标好相应字母并猜想AC、AB、AD的关系是什么？（只写出关系，不加以说明）‎ ‎ ‎ ‎6.（本小题满分8分）如图12，在中，，的垂直平分线交于，交于，且．（1）求证：四边形是菱形．‎ Ｂ Ｆ Ｃ Ａ Ｅ Ｄ 图12‎ ‎ （2）当的大小满足什么条件时，菱形是正方形？请回答并证明你的结论．‎ ‎7．如图14（），两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起，并且有公共的直角顶点．‎ ‎（1）将图14（）中的绕点顺时针旋转角，在图14（）中作出旋转后的 ‎（保留作图痕迹，不写作法，不证明）．‎ ‎（2）在图14（）中，你发现线段，的数量关系是 ，直线，相交成 度角．‎ Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｏ Ｃ Ｏ Ｄ Ｄ Ｃ Ｏ Ｂ Ａ 图14（）‎ 图14（）‎ 图14（）‎ ‎（3）将图14（）中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图14（），这时（2）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若绕点继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．‎ ‎8. 图14‎ 如图14，在中，，是的中点，以为直径的交的边于点．‎ 求证：（1）是的中点；（2）．‎ ‎9．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．‎ ‎（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；‎ 图16（1）‎ ‎（2）如图16（1），已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形；‎ ‎（3）如图16（2），将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，‎ ‎．‎ 图16（2）‎ 求证：，即四边形是勾股四边形．‎ ‎10．（本小题满分8分）‎ E C B A D O 第22题图 如图，把矩形沿直线折叠，点落在点处，与交于点，连接．‎ ‎（1）四边形是什么图形？说明理由．‎ ‎（2）若，，求的长．‎ ‎11．（本小题满分7分）‎ 如图，扇形是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线，底面圆半径．‎ O C B H A 第23题图 ‎（1）当时，求的度数．‎ ‎（2）当，时，分别求的度数（直接写出结果）‎ ‎（3）当（为大于1的整数）时，猜想的度数（直接写出结果）．‎ ‎12．（本小题满分9分）‎ 已知，如图，在中，，点是的中点，经过，，三点，与交于另一点．‎ ‎（1）请你仔细观察图形，连接图中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段相等．‎ D C O E B 第12题图 A ‎（2）在图中，过点作的切线，交于点．‎ ‎①求证：；‎ ‎②若，求的值．‎ A E D O B C 第13题图 ‎13．（本小题满分8分）‎ 如图，已知是的直径，过的中点，‎ 且于点．‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）若，，求的半径．‎ ‎14．（本小题满分8分）‎ 如图，在梯形中，为的中点，交于点．‎ 第14题图 ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当，且平分时，求的长．‎ ‎15．（本小题满分9分）‎ 如图，为的直径，劣弧，连接并延长交于．‎ 求证：（1）是的切线；‎ 第15题图 ‎（2）．‎ ‎16.(本小题8分)‎ ‎ 在图1和图2中，已知OA=OB，AB=24，⊙O的直径为10．‎ ‎ (1)如图l，若AB与⊙O相切于点C，试求OA的值；‎ ‎(2)如图2，若AB与⊙O相交于D、E两点，且D、E均为AB的三等分点，试求tan A的值．‎ ‎17..(本小题9分)‎ ‎ 如图，已知线段AB与直线CD交于点B．‎ ‎ (1)若点P是CD上离点A最近的点，请你用尺规作出点P和以AP为直径的⊙O(允许用三角尺作垂线；不写作法，保留作图痕迹)；‎ ‎(2)若⊙O交A B于点E，F是PB的中点，试利用你作出的图证明EF与⊙O相切．‎ ‎18．（本题7分）如图，在中，，是上的一点，且，点是的中点，连结．‎ ‎（1）求证：‎ A C D E B ‎（2）求证：‎ ‎（3）若，，那么的周长是多少？‎ ‎19．（本题10分）已知：如图等边内接于，点是劣弧上的一点（端点除外），延长至，使，连结．‎ ‎（1）若过圆心，如图①，请你判断是什么三角形？并说明理由．‎ A O C D P B 图①‎ A O C D P B 图②‎ ‎（2）若不过圆心，如图②，又是什么三角形？为什么？‎ ‎20．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O切线；‎ ‎（2）若⊙O的直径为4，AD=3，求∠BAC的度数．‎ ‎　‎ ‎21．（本题满分10分）‎ 如图中，，，如果将在坐标平面内，绕原点按顺时针方向旋转到的位置．‎ y x A B O ‎（1）求点的坐标．‎ ‎（2）求顶点从开始到点结束经过的路径长．‎ ‎ ‎ ‎23．（本题满分13分）‎ 三角形中位线定理，是我们非常熟悉的定理．‎ ‎①请你在下面的横线上，完整地叙述出这个定理： ．‎ ‎②根据这个定理画出图形，写出已知和求证，并对该定理给出证明．‎ ‎24．（本题满分10分）‎ A B C D 如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．‎ ‎25．（本题满分14分）‎ 如图（1），两半径为的等圆和相交于两点，且过点．过点作直线垂直于，分别交和于两点，连结．‎ ‎（1）猜想点与有什么位置关系，并给出证明；‎ ‎（2）猜想的形状，并给出证明；‎ ‎（3）如图（2），若过的点所在的直线不垂直于，且点在点的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．‎ O2‎ O1‎ N M B A 图（1）‎ O2‎ O1‎ N M B A 图（2）‎ ‎26．（本题7分）将图（1）中的矩形沿对角线剪开，再把沿着方向平移，得到图（2）中的．其中是与的交点，是与的交点．在图（2）中除与全等外，还有几对全等三角形（不得添加辅助线和字母）？请一一指出，并选择其中一对证明．‎ A B C D A C D E F 图（1）‎ 图（2）‎ ‎27．（本题8分）如图，已知为坐标原点，点的坐标为，的半径为1，过作直线平行于轴，点在上运动．‎ ‎（1）当点运动到圆上时，求线段的长．‎ ‎（2）当点的坐标为时，试判断直线与的位置关系，并说明理由．‎ A l y x O ‎28．（10分）（2008•包头）如图，△ABC中，AD平分∠BAC交△ABC的外接圆⊙O于点H，过点H作EF∥BC交AC、AB的延长线于点E、F．‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AH=8，DH=2，求CH的长；‎ ‎（3）若∠CAB=60°，在（2）的条件下，求的长．‎ ‎　‎ ‎29、（10分）一副斜边相等的直角三角形（∠DAC=45°，∠BAC=30°），按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形。‎ ‎ （1）A、B、C、D四点在同一个圆上吗？如果在，请写出证明过程；如果不在，请说明理由。‎ A B D l C ‎ （2）过点D作直线ι∥AC，求证：ι是这个圆的切线 ‎30、（10分）公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=‎10米，∠B=∠C=120°，∠A=45°。‎ Al BAl DAl Cl ‎ 请你求出这块草地的面积 ‎31、（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。‎ B A C F D ‎32．（7分）如图所示，正方形的边在正方形的边上，连接．‎ ‎（1）求证：．‎ ‎（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．‎ E F G D A B C ‎33．（8分）如图，在直角梯形中，‎ A D B O C Q P ‎，，为的直径，动点从点开始沿边向点以1cm/s的速度运动，动点从点开始沿边向点以2cm/s的速度运动．分别从点同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．‎ ‎（1）当为何值时，四边形为平行四边形？‎ ‎（2）当为何值时，与相切？‎ ‎34．（本小题满分10分）‎ O N B P C A M 如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）求证：；BC= AB ‎(3）点是的中点，交于点，若，求的值．‎ ‎ ‎ ‎35．（本小题满分12分）‎ 如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．‎ ‎（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．‎ ‎①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；‎ ‎②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？‎ A Q C D B P ‎（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？‎ ‎36．（2010•赤峰）在▱ABCD中，AC是一条对角线，∠B=∠CAD，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE．‎ ‎（1）求证：四边形ABED是等腰梯形；‎ ‎（2）若AB=AD=4，求梯形ABED的面积．‎ ‎37．（2010•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，BC是一条弦，连接OC并延长至点P，使PC=BC，∠BOC=60°．‎ ‎（1）求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为1，且AB、PB的长是方程x2+bx+c=0的两根，求b、c的值．‎ ‎38．（2010•赤峰）两块完全相同的三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）如图①放置在同一平面上（∠C=∠C1=90°，∠ABC=∠A1B1C1=60°），斜边重合．若三角板Ⅱ不动，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动，图②是滑动过程中的一个位置．‎ ‎（1）在图②中，连接BC1、B1C，求证：△A1BC1≌△AB1C；‎ ‎（2）三角板Ⅰ滑到什么位置（点B1落在AB边的什么位置）时，四边形BCB1C1是菱形？说明理由．‎ ‎39. （2011内蒙古赤峰，22，12分）如图，等圆⊙和⊙相交于A、B两点，⊙经过⊙的圆心，两圆的连心线交⊙于点M，交AB于点N，连结BM，已知AB=2 （1）求证：BM是⊙的切线；（2）求的长。 ‎ ‎40. （2011内蒙古赤峰，25，14分）如图（图1、图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，FN⊥BC，交BC的延长线于点N。‎ ‎（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？为什么？‎ ‎（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x, △ECF的面积为y。‎ ‎①求y与x的函数关系式；‎ ‎②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值。‎ ‎41．（本小题满分7分）在□ ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O，BD = 2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．（1）求证：EF = BF ‎（2）在上述条件下，若AC = BD，G是BD上一点，且BG∶GD = 3∶1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．‎ 第22题图①‎ 第22题图②‎ ‎42．（本小题满分8分）‎ 第42题图 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90o，△MDB的一边DB在AB上，边MD与AC交于点N ，以BD为直径的⊙O与边AC恰相切于点N，与MB交于点E．‎ ‎（1）求证：∠AND = ∠MBD DN ‎⌒ ⌒‎ ‎（2）若BC = 6，AD = 4，求 的长．（结果保留π）‎ ‎43、（6分）如图所示，再一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，现测得AC=‎30m，BC=‎70m，∠CAB=120°，请计算A、B两个凉亭之间的距离.‎ ‎44、（7分）如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG.‎ ‎（1）求证：EG=CF；‎ ‎（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系.‎ ‎45、（8分）如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，.‎ ‎（1）求证：直线PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）求cos∠BCA的值 ‎46．（2012赤峰）如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．‎ ‎（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）‎ ‎（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．‎ ‎47．（2012赤峰）如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．‎ ‎（1）求证：四边形CDOF是矩形；‎ ‎（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．‎ ‎48．（2012赤峰）如图，AB是⊙O的弦，点D是半径OA上的动点（与点A．O不重合），过点D垂直于OA的直线交⊙O于点E、F，交AB于点C．‎ ‎（1）点H在直线EF上，如果HC=HB，那么HB是⊙O的切线吗？请说明理由；‎ ‎（2）连接AE、AF，如果，并且CF=16，FE=50，求AF的长．‎ ‎49．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．‎ ‎（1）求证：AF﹣BF=EF；‎ ‎（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．‎ ‎50．如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC．‎ ‎（1）求证：∠PAC=∠B，且PA•BC=AB•CD；‎ ‎（2）若PA=10，sinP=，求PE的长．‎ ‎51．（6分）（2013•呼和浩特）如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB．‎ ‎52．（9分）（2013•呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，‎ ‎（1）的值为　　；‎ ‎（2）求证：AE=EP；‎ ‎（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎53．（12分）（2013•赤峰）如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．‎ ‎（1）求证：NQ⊥PQ；‎ ‎（2）若⊙O的半径R=3，NP=，求NQ的长．‎ ‎54．（7分）（2014•呼和浩特）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△CED；‎ ‎（2）求证：DE∥AC．‎ ‎55．（8分）（2014•呼和浩特）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．‎ ‎（1）求证：∠ACM=∠ABC；‎ ‎（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．‎ ‎56.（10分）如图（8），已知△ABC中AB=AC ‎（1）作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）在（1）条件下，连接CF，求证：∠E=∠ACF ‎57. 24．如图，在中，以为直径的⊙交于点，弦∥交于点，且．‎ ‎（1）求证：是⊙的切线；‎ ‎（2）求⊙的半径．‎ ‎58．以为直径作半圆，=10，点是该半圆上一动点，连接、，延长至点，使=，过点作于点，交于点，在点运动过程中：‎ ‎（1）如图1，当点与点重合时，连接，试判断的形状，并证明你的结论；‎ ‎（2）如图2，当=8时，求线段的长；‎ ‎（3）当点在线段上时，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出此时线段的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎59．（10分）（2015•赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．‎ ‎（1）求证：PB是的切线．‎ ‎（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．‎ ‎60．（12分）（2015•赤峰）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．‎ ‎（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；‎ ‎（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？‎ ‎　‎ ‎61．（5分）（2015•通辽）如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．‎ ‎　‎ ‎62．（7分）（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．‎ ‎　‎ ‎63. （本题满分9分）‎ 如图，在□ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接EC、AF，AF与EC交 第21题图 于点M，AF的延长线与DC的延长线交于点N.‎ ‎（1）求证：AB=CN ‎（2）若AB=，BE=2MF，试用含的式子表示线段AN的长.‎ ‎64. （本题满分8分）‎ 如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，且∠B=2∠A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF=FC.‎ ‎（1）求证：CF是⊙O的切线.‎ ‎（2）设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长.‎ 第22题图 ‎66.‎ ‎67．（10分）（2015•包头）如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；‎ ‎（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．‎ ‎68．（12分）（2015•包头）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（t＞0）．‎ ‎（1）求线段CD的长；‎ ‎（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？‎ ‎（3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l．‎ ‎①t为何值时，l经过点C？‎ ‎②求当l经过点D时t的值，并求出此时刻线段PQ的长．‎ ‎69．（9分）（2015•鄂尔多斯）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接EC、AF，AF与EC交于点M，AF的延长线与DC的延长线交于点N．‎ ‎（1）求证：AB=CN；‎ ‎（2）若AB=2n，BE=2MF，试用含n的式子表示线段AN的长．‎ ‎　‎ ‎70．（8分）（2015•鄂尔多斯）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，且∠B=2∠A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF=FC．‎ ‎（1）求证：CF是⊙O的切线．‎ ‎（2）设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长．‎ ‎71．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△EAF；‎ ‎（2）试判断四边形EFDA的形状，并证明你的结论．‎ ‎72．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；‎ ‎（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长．‎ ‎73．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．‎ ‎（1）求证：AE=BF；‎ ‎（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；‎ ‎（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．‎ ‎74.（2016包头）．如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．‎ ‎（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF，求AE的长；‎ ‎（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．‎ ‎①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；‎ ‎②求EF的长；‎ ‎（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=，求的值．‎ ‎75．如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．‎ ‎（1）求证：ED是⊙O的切线；‎ ‎（2）当OE=10时，求BC的长．‎ ‎76.(本题满分8分)‎ ‎（改2013•湖州）如图，O为坐标原点，点B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，cos∠AOB= ,反比例函数y= (k>0)在第一象限内的图像经过点A，与BC交于点F.‎ ‎(1)若OA=5,OB=6，求反比例函数解析式及C点的坐标.‎ ‎(2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积为6，求OA的长.‎ ‎77.（本题满分9分）‎ 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直经作⊙O交BC与D点，过点D作⊙O的切线EF，交AB于点E，交AC的延长线于点F.‎ ‎(1)求证:FE⊥AB.‎ ‎(2)当AE=6，AF=10时，示BE的长.‎ ‎78.（本题满分11分）‎ ‎（改2008·武汉）如图，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A，O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E.‎ ‎（1）求证：PB=PE ‎（2）如图，若正方形ABCD的边长为2，过E作EF⊥AC于点F，在P点运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由.‎ ‎（3）如图，用等式表示线段PC,PA,CE之间的数量关系：（不需证明）‎ 图 图 图 ‎79．（7分）（2016•呼和浩特）已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．‎ ‎（1）求证：△ACE≌△BCD；‎ ‎（2）求证：2CD2=AD2+DB2．‎ ‎80．（9分）（2016•呼和浩特）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．‎ ‎（1）求证：∠FBC=∠FCB；数学加专项强化班 ‎（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．‎ ‎81．（2017赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．‎ ‎（1）求证：AM是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．‎ ‎82（2017赤峰）．如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则 S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，‎ 即S△ABC=absin∠C 同理S△ABC=bcsin∠A S△ABC=acsin∠B 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：‎ 如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则 a2=b2+c2﹣2bccos∠A b2=a2+c2﹣2accos∠B c2=a2+b2﹣2abcos∠C 用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：‎ ‎（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．‎ 解：S△DEF=EF×DFsin∠F=　 　；‎ DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=　 　．‎ ‎（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．‎ ‎83（2017赤峰）．△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．‎ ‎（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；‎ ‎（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．‎ ‎（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．‎ ‎84．（2017呼和浩特）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．‎ ‎（1）求证：BD=CE；‎ ‎（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．‎ ‎85．（2017呼和浩特）如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上的四个点，C是劣弧的中点，AC与BD交于点E．‎ ‎（1）求证：DC2=CE•AC；‎ ‎（2）若AE=2，EC=1，求证：△AOD是正三角形；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH的面积．‎