北京市中考数学试卷及答案

北京市中考数学试卷及答案

‎2016年北京市中考数学试卷及答案 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．‎ ‎1.如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（　　）‎ A．45°　　　　B．55°　　　　C．125°　　　　D．135°‎ ‎【解析】由生活知识可知这个角小于90度，排除C、D，又OB边在50与60之间，所以度数应为55°．故选B．‎ ‎2.神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．2.8×103 B．28×103 C．2.8×104 D．0.28×105‎ ‎【解析】28000=2.8×104．故选C．‎ ‎3.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）‎ A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b ‎【解析】A．如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；‎ B.如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；‎ C.如图所示：1＜b＜2,则-2＜-b＜-1,故a＜-b,故此选项错误；‎ D.由选项C可得，此选项正确.‎ 故选D.‎ ‎4.内角和为540°的多边形是（　　）‎ ‎ ‎ ‎【解析】设它是n边形，根据题意得（n﹣2）•180°=540°，解得n=5．故选C．‎ ‎5.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）‎ A．圆锥　　　　　　B．三棱锥　　　　　　C．圆柱　　　　　　D．三棱柱 ‎【解析】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选D．‎ ‎6.如果a+b=2，那么代数式的值是（　　）‎ A．2　　　　　　B．﹣2　　　　　　C．　　　　　　D．‎ ‎【解析】∵a+b=2，∴原式===a+b=2．故选A．‎ ‎7.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　）‎ A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ ‎【解析】A.是轴对称图形，故本选项错误；B.是轴对称图形，故本选项错误；C.是轴对称图形，故本选项错误；D.不是轴对称图形，故本选项正确.故选D.‎ ‎8.在1～7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（　　）‎ A．3月份　　　　B．4月份　　　　C．5月份　　　　D．6月份 ‎【解析】各月每斤利润：3月：7.5-4.5＝3(元)，4月：6-2.5＝3.5(元)，5月：4.5-2＝2.5(元)，6月：3-1.5＝1.5(元)，所以4月份每斤水果利润最大.故选B.‎ ‎9.如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（　　）‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ ‎【解析】因为A点坐标为（-4，2），所以原点在点A的右边，且在点A的下边2个单位处，从点B来看，B(2,-4),所以原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处.如下图，O1符合.故选A.‎ ‎10.为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%．为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：m3），绘制了统计图，如图所示，下面有四个推断：‎ ‎① 年用水量不超过180 m3的该市居民家庭按第一档水价交费 ‎② 年用水量超过240 m3的该市居民家庭按第三档水价交费 ‎③ 该市居民家庭年用水量的中位数在150～180之间 ‎④ 该市居民家庭年用水量的平均数不超过180‎ 正确的是（　　）‎ A．①③　　　　B．①④　　　　C．②③　　　　D．②④‎ ‎【解析】年用水量不超过180 m3的居民家庭有：0.25+0.75+1.5+1.0+0.5=4（万户），×100%=80%，所以①正确；年用水量超过240 m3的居民家庭有：0.15+0.15+0.05=0.35（万户），×100%=7%＞5%，故②不正确；由图可知，样本中年用水量不超过120 m3的居民有0.25+0.75+1.5=2.5（万户），所以中位数不可能在150m3～180m3之间，故③不正确；‎ 由图中数据可得该市居民家庭年用水量的平均数为(0.25×45+0.75×75+1.5×105+1.0×135+0.5×165+0.4×195+0.25×225+0.15×255+0.15×285+0.05×315)÷5=134.7(m3)＜180(m3),故④正确.故选B.‎ 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ ‎11.如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．‎ ‎【解析】由题意，得x-1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．‎ ‎12.下图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式： ．‎ ‎【解析】最大矩形的长为(a+b+c)，宽为m,所以它的面积为m(a+b+c);又最大矩形的面积为三个小矩形面积之和，三个小矩形的面积分别为:ma,mb,mc,所以有m(a+b+c)=ma+mb+mc.故答案为:m(a+b+c)=ma+mb+mc.（开放性试题，答案合理即可）‎ ‎13.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：‎ 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 ．‎ ‎【解析】=（0.865+0.904+0.888+0.875+0.882+0.878+0.879+0.881）÷8≈0.882，∴这种幼树移植成活的概率约为0.882．故答案为：0.882．‎ ‎14.如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.5 m,已知小军、小珠的身高分别为1.8 m,1.5 m,则路灯的高为 m.‎ ‎【解析】‎ 如图，∵CD∥AB∥MN，∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，∴，，即，，解得AB=3．故答案为：3．‎ ‎15.百子回归图是由1，2，3,…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为 ．‎ ‎【解析】1+2+3+4+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=5050，共10行，每一行的10个数之和相等，所以每一行数字之和为=505.故答案为：505.‎ ‎16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．‎ 已知：直线l和l外一点P.‎ 求作：直线的垂线，使它经过点P.‎ 作法：如图.‎ ‎(1)在直线l上任取两点A,B;‎ ‎(2)分别以点A,B为圆心.AP,BP长为半径作弧，两弧相交于点Q;‎ ‎(3)作直线PQ，所以直线PQ就是所求的垂线.‎ 请回答：该作图的依据是 ．‎ ‎【解析】由作图可知，AP＝AQ，所以点A在线段PQ的垂直平分线上，同理，点B也在线段PQ的垂直平分线上，所以有AB⊥PQ．‎ ‎【答案】（1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；（2）两点确定一条直线．‎ 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7‎ 分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．‎ ‎17.计算：．‎ ‎【解】原式=‎ ‎18.解不等式组： ‎ ‎【解】解不等式2x+5＞3（x﹣1），得x＜8，解不等式，得x＞1，∴不等式组的解集为1＜x＜8．‎ ‎19.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．‎ ‎【解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD, ∴,∵AE平分,∴‎ ‎20.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．‎ ‎【解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ==4m+5＞0，解得m＞．‎ ‎（2）m=1，此时原方程为，即x（x+3）=0，解得，．(答案不唯一)‎ ‎20.如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（－6，0）的直线与直线﹕y=2x相交于点B（m，4）．‎ ‎（1）求直线的表达式；‎ ‎（2）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与，的交点分别为C，D，当点C位于点D 上方时，写出n的取值范围．‎ ‎【解析】(1)由点B在直线上，可求出m的值，设1的表达式为y=kx+b,由A、B两点均在直线上，可求出的表达式；‎ ‎（2）根据，表达式表示出C(),D,由于点C在点D的上方，得到解不等式即可得到结论.‎ ‎【解】(1) ∵点B在直线上, ∴4=2m, ∴m=2,设的表达式为y=kx+b, 由A、B两点均在直线上得到解得则l1的表达式为 (2) C(),D ,点C在点D的上方，所以解得n＜2.‎ ‎22.调查作业：了解你所住小区家庭5月份用气量情况．‎ 小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2～5之间，这300户家庭的平均人数均为3.4．‎ 小天、小东、小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．‎ 表1 抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表 （单位：m3）‎ 表2 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 （单位：m3）‎ 表3 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 （单位：m3）‎ 根据以上材料回答问题：‎ 小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．‎ ‎【解】小天调查的样本容量较少；小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为（2×3+3×11+4）÷15≈2.87，远远偏离了平均人数的3.4，所以他的数据抽样有明显问题；小芸抽样的调查数据中，家族人数的平均值为（2×2+3×7+4×4+5×2）÷15=3.4，说明小芸抽样数据质量较好，且样本类型较全面，因此小芸的抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况．‎ ‎23.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．‎ ‎（1）求证：BM=MN；‎ ‎（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．‎ ‎【证明】（1）△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，且MN=AD,在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM=AC,又∵AC=AD,∴BM=MN.‎ ‎【解】(2)∵∠BAD=60°，且AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC,∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°.∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2,而由（1）知，MN=BM=AC=×2=1，∴BN=.‎ ‎24.阅读下列材料：‎ 北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．‎ ‎2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.1%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%．文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2794.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高．2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．‎ ‎（以上数据来源于北京市统计局）‎ 根据以上材料解答下列问题：‎ ‎（1）用折线图将2011～2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；‎ ‎（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估 2016年北京市文化创意产业实现增加值约 ‎ 亿元，你的预估理由: ．‎ ‎【解】（1）如下图：‎ ‎（2）3355.7，按照增加值的平均增长量计算（答案不唯一）‎ ‎25.如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：AC∥DE；‎ ‎（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．‎ ‎【证明】（1）∵ED与⊙O相切于D,∴OD⊥DE,∵F为弦AC中点，∴OD⊥AC,∴AC∥DE.‎ ‎【解】(2)作DM⊥OA于M,连接CD,CO,AD.首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据 S平行四边形ACDE=AE·DM，只要求出DM即可.∵AC∥DE,AE=AO,∴OF=DF,∵AF⊥DO,‎ ‎∴AD=AO,∴AD=AO=OD,∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，‎ ‎∴∠CDO=∠DOA=60°，∴AO∥CD,即AE∥CD,又AC∥DE,∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM=，∴平行四边形ACDE的面积=．‎ ‎26.已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x＞0，下表是y与x的几组对应值：‎ 小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．‎ 下面是小腾的探究过程，请补充完整：‎ ‎（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；‎ ‎（2）根据画出的函数图象，写出：‎ ‎①x＝4对应的函数值y约为 ；‎ ‎②该函数的一条性质： ．‎ ‎【解】（1）如下图：‎ ‎（2）①2（2.1到1.8之间都正确）‎ ‎②该函数有最大值（其他正确性质都可以）．‎ ‎27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线（m＞0）与x轴的交点为A，‎ B．‎ ‎（1）求抛物线的顶点坐标；‎ ‎（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．‎ ‎①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；‎ ‎②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．‎ ‎【解】（1）将抛物线表达式变为顶点式为，则抛物线顶点坐标为（1，-1）.‎ ‎（2）①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）,共3个.‎ ‎②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含A，B两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，∴．‎ ‎28.在等边三角形ABC中：‎ ‎（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；‎ ‎（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．‎ ‎①依题意将图2补全；‎ ‎②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：‎ 想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；‎ 想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；‎ 想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…‎ 请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．‎ ‎【解】‎ ‎（1）∵AP=AQ,∴∠AQB=APC,∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵∠BAP=20°，∴∠APC=∠BAP+∠B=60°+20°=80°.∴∠AQB=80°.‎ ‎(2)①如图3；②∵AP=AQ,∴∠APQ=AQP, ∴∠APB=AQC,∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C =60°，∴∠BAP=∠CAQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，∴∠MAC=∠BAP，∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，∴∠PAM=60°，∵AP=AQ，∴AP=AM，∴△APM是等边三角形，∴AP=PM．‎ ‎29.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（，），点Q的坐标为（，），且，，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图．‎ ‎（1）已知点A的坐标为（1，0）．‎ ‎①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；‎ ‎②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；‎ ‎（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3）．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．‎ ‎【解】‎ ‎（1）①S=2×1=2；②由题意知C的坐标为（3，2）或者（3，-2），设AC的表达式为y=kx+b,将A、C的坐标分别代入AC的表达式得到：或解得或则直线AC的表达式为y=x-1或y=-x+1.‎ ‎(2)若⊙O上存在点N,使M、N的相关矩形为正方形，则直线MN的斜率k=±1,即过M点作k=±1的直线，与⊙O有交点，即存在N,当k=-1时，极限位置是直线与⊙O相切，如图l1与l2,直线l1与⊙O切于点N,连接ON,ON=,∠ONM=90°，∴l1与y轴交于P1(0,-2).M1(m1,3),∴3-(-2)=0-m1,∴m1=-5,∴M1(-5,3);同理可得M2(-1,3);当k=1时，极限位置是直线与（与⊙O相切），可得（1，3）， （5，3）．‎ 因此m的取值范围为1≤m≤5 或者．‎