中考截长补短专题

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截长补短专题 ‎1.已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．‎ ‎（1）求证：BF=EF﹣ED；‎ ‎（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．‎ ‎2. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．‎ ‎（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长．‎ ‎（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．‎ ‎3.已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．‎ ‎（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．‎ ‎（2）求证：ED=BE+FC．‎ ‎4.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE ‎（1）求证：BE=CE；‎ ‎（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．‎ ‎5. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=450，CD=2，BD⊥CD。过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF。（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF。‎ ‎6. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：‎ ‎（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由．‎ ‎（2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．‎ ‎4． 如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于F，直线PF分别交AB、CD于G、H， ‎ ‎ (1)求证： DH =AG+BE；‎ ‎(2)若BE=1，AB=3，求PE的长．‎ ‎24.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC于G，BH⊥DC于H，CH=DH，点E在AB上，点F在BC上，并且EF∥DC． （1）若AD=3，CG=2，求CD；‎ ‎（2）若CF=AD+BF，求证：EF=CD．‎ ‎]‎ 如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF． （1）求证：CE=CF； （2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB． ‎ ‎ ‎ ‎24. 如图，在直角三角形中，是斜边的中点，向外作正方形，正方形，连接；‎ A C B D E F M N ‎24题图 ‎ （1）若°，求的度数；‎ ‎ （2）求证：‎ ‎（沙坪坝区考前模拟6月）24. 已知：如图， 在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，DE交AB于F。⑴若点G为DF的中点，连接AG，∠AED=2∠DAG，AE=2,求DF的长；⑵若AE⊥AB,BE⊥DE，点F为AB的中点，求证：FG-EF=BE ‎ ‎ ‎24．如图，在矩形ABCD中，点M、N在线段AD上，，点E、F分别为线段CN、BC上的点，连接EF并延长，交MB的延长线于点G，EF=FG.‎ ‎ （1）点K为线BM的中点，.若线段AK=2，MN=3，求矩形ABCD 的面积；‎ ‎ （2）求证：MB=NE+BG.‎ ‎24. 已知：如图，在矩形中，是对角线.点为矩形外一点且满足，.交于点，连接，过点作交于.‎ ‎（1）若，求矩形的面积；‎ ‎ （2）若，求证：.‎ ‎1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE ‎（1）求证：BE=CE；‎ ‎（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．‎ ‎ ‎ 证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，‎ ‎∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，‎ ‎∴△BAE≌△CDE，‎ ‎∴BE=CE；‎ ‎（2）延长CD和BE的延长线交于H， ‎ ‎∵BF⊥CD，∠HEC=90°，‎ ‎∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°‎ ‎∴∠EBF=∠ECH，‎ 又∠BEC=∠CEH=90°，‎ BE=CE（已证），‎ ‎∴△BEG≌△CEH，‎ ‎∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，‎ ‎∵△BAE≌△CDE（已证），‎ ‎∴∠AEB=∠GED，‎ ‎∠HED=∠AEB，‎ ‎∴∠GED=∠HED，‎ 又EG=EH（已证），ED=ED，‎ ‎∴△GED≌△HED，‎ ‎∴DG=DH，‎ ‎∴BG=DG+CD．‎ ‎2、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．‎ ‎（1）求证：BF=EF﹣ED；‎ ‎（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．‎ 证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，‎ ‎∴△FCE≌△F′CE，‎ ‎∴EF′=EF=DF′+ED，‎ ‎∴BF=EF﹣ED；‎ ‎（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，‎ ‎∴∠ACB=50°，‎ 由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，‎ ‎∴∠ECB=70°，‎ 而∠B=∠BCD=80°，‎ ‎∴∠DCE=10°，‎ ‎∴∠BCF=30°，‎ ‎∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．‎ ‎3. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．‎ ‎（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长．‎ ‎（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．‎ 解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，‎ ‎∴AM=BM=×6=3；‎ ‎∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，‎ ‎∴四边形AMEF是矩形，‎ ‎∴EF=AM=3；‎ 在Rt△AFE中，AE==5；‎ ‎（2）延长AF、BC交于点N．‎ ‎∵AD∥EN，‎ ‎∴∠DAF=∠N；‎ ‎∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，‎ ‎∴△ADF≌△NCF（AAS），‎ ‎∴AD=CN；‎ ‎∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，‎ 又AE=BE，∠B=∠BAE，‎ ‎∴∠N=∠EAN，AE=EN，‎ ‎∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，‎ ‎∴CE=BE﹣AD．‎ ‎4. 27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．‎ ‎（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．‎ ‎（2）求证：ED=BE+FC．‎ 解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，‎ ‎∴∠ECB=15°，‎ ‎∵∠ECD=45°，‎ ‎∴∠DCF=60°，‎ 在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，‎ ‎∴DF=3，DC=6，‎ 由题得，四边形ABFD是矩形，‎ ‎∴AB=DF=3，‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴BC=3，‎ ‎∴BF=BC﹣FC=3﹣3，‎ ‎∴AD=DF=3﹣3，‎ ‎∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，‎ 答：梯形ABCD的周长是9+3．‎ ‎（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，‎ ‎∴CN=CE，‎ 可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，‎ ‎∴△DEC≌△DNC，‎ ‎∴ED=EN，‎ ‎∴ED=BE+FC．‎ ‎5. (1)解∵BD⊥CD，∠DCB＝45°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，‎ ‎∴CD＝DB＝2，∴CB＝＝2，‎ ‎∵CE⊥AB于E，点G为BC中点，∴EG＝CB＝．‎ ‎(2)证明：证法一：延长BA、CD交于点H，∵BD⊥CD，∴∠CDF＝∠BDH＝90°，‎ ‎∴∠DBH＋∠H＝90°，∵CE⊥AB于E，∴∠DCF＋∠H＝90°，‎ ‎∴∠DBH＝∠DCF，又CD＝BD，∠CDF＝∠BDH，∴△CDF≌△BDH(ASA)，‎ DF＝DH，CF＝BH＝BA＋AH，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°，‎ ‎∠HDA＝∠DCB＝45°，∴∠ADF＝∠HAD，又DF＝DH，DA＝DA，‎ ‎∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF＝AH，‎ 又CF＝BH＝BA＋AH，∴CF＝AB＋AF．‎ 证法二：在线段DH上截取CH=BA，连结DH．‎ ‎∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF＋∠EFB＝90°，∠DCF＋∠DFC＝90°．‎ 又∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF．‎ 又BD=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD．‎ ‎∴AD=HD，∠ADB=∠HDC．‎ 又AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°．‎ ‎∴∠HDC＝45°．∴∠HDB＝∠BDC－∠HDC＝45°．‎ ‎∴∠ADB＝∠HDB．‎ 又AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF＝HF．‎ ‎∴CF＝CH＋HF=AB＋AF．‎