2017年度高考数学快速命中考点10

2017年度高考数学快速命中考点10

‎2014高考数学快速命中考点10‎ 一、选择题 ‎1．一个锥体的主视图和左视图如图4－1－12所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)‎ 图4－1－12‎ ‎【解析】　若俯视图为C，则俯视图的宽和左视图的宽长度不同，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎2．如图4－1－13所示为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为 ‎(　　)‎ 图4－1－13‎ A．16＋4π　　　　　　 B．12＋4π C．16＋8π D．12＋8π ‎【解析】　由三视图知该几何体是一个半圆柱和一个三棱柱的组合体．图柱的底面半径为2，高为2，三棱柱的底面是直角边分别为3和4的直角三角形，三棱柱的高为2，故该几何体的侧面积为S＝4π＋3×2＋5×2＝16＋4π.‎ ‎【答案】　A ‎3．某四棱台的三视图如图4－1－14所示，则该四棱台的体积是(　　)‎ 图4－1－14‎ A．4 B. C. D．6‎ ‎【解析】　由四棱台的三视图还原出直观图及其对应的数据，把数据代入棱台的体积公式进行计算．‎ 由三视图可还原出四棱台的直观图如图所示，其上底和下底都是正方形，边长分别是1和2，与底面垂直的棱为棱台的高，长度为2，故其体积为V＝×(12＋＋22)×2＝，选B.‎ ‎【答案】　B ‎4．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC外接球的表面积等于(　　)‎ A．8π B．16π C．48π D．不确定的实数 ‎【解析】　设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab＝8，‎ ‎∴‎2a＋2b＝4＝8，当且仅当a＝b＝2时等号成立．‎ 此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π.‎ ‎【答案】　B ‎5．某几何体的三视图如图4－1－15所示，则该几何体的体积为(　　)‎ 图4－1－15‎ A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π ‎【解析】　将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解．‎ 原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V＝4×2×2＋π×22×4＝16＋8π.‎ ‎【答案】　A 二、填空题 ‎6．某四棱锥的三视图如图4－1－16所示，该四棱锥的体积是________．‎ 图4－1－16‎ ‎【解析】　由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD.其中DC＝2，AB＝3，BC＝，所以四棱锥的体积为××2＝.‎ 俯视图 ‎【答案】　 ‎7．如图4－1－17，在三棱柱A1B‎1C1—ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F—ADE的体积为V1，三棱柱A1B‎1C1—ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.‎ 图4－1－17‎ ‎【解析】　设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥F—ADE的高等于h，于是三棱锥F—ADE的体积V1＝×S·h＝Sh＝V2，故V1∶V2＝1∶24.‎ ‎【答案】　1∶24‎ ‎8．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥‎ 平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．‎ ‎【解析】　如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得HA＝·2R＝R，∴OH＝.‎ ‎∵截面面积为π＝π·(HM)2，‎ ‎∴HM＝1.‎ 在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，‎ ‎∴R2＝R2＋HM2＝R2＋1，‎ ‎∴R＝.‎ ‎∴S球＝4πR2＝4π·2＝π.‎ ‎【答案】　π 三、解答题 ‎9．下列三个图中，左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图．右边两个是其正视图和侧视图．‎ 图4－1－18‎ ‎(1)请在正视图的下方，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程)．‎ ‎(2)求该多面体的体积(尺寸如图)．‎ ‎【解】　(1)作出俯视图如图所示：‎ ‎(2)依题意，该多面体是由正方体ABCD—A1B‎1C1D1截去三棱锥E—A1B1D1而得到，截去的三棱锥体积为VE—A1B1D1＝S△A1B1D1·A1E＝××1＝，正方体体积V正＝23＝8.‎ 所以所求多面体的体积V多＝8－＝.‎ ‎10．已知四面体ABCD(图1)，将其沿AB，AC，AD剪开，展成的平面图形正好是图2所示的直角梯形A‎1A2A3D(梯形的顶点A1，A2，A3重合于四面体的顶点A)．‎ ‎(1)证明：AB⊥CD；‎ ‎(2)当A1D＝10，A‎1A2＝8时，求四面体ABCD的体积．‎ ‎　　　 图1　　　　　　　　　　　图2‎ 图4－1－19‎ ‎【解】　(1)证明　在四面体ABCD中，‎ ⇒AB⊥平面ACD⇒AB⊥CD.‎ ‎(2)在题图2中作DE⊥A‎2A3于E.‎ 因为A‎1A2＝8，所以DE＝8.‎ 又因为A1D＝A3D＝10，‎ 所以EA3＝6，A‎2A3＝10＋6＝16.‎ 又A‎2C＝A‎3C，所以A‎3C＝8，‎ 即题图1中AC＝8，AD＝10，‎ 由A‎1A2＝8，A1B＝A2B得题图1中AB＝4，‎ 所以S△ACD＝S△A3CD＝DE·A‎3C＝×8×8＝32.‎ 又因为AB⊥平面ACD，‎ 所以VB—ACD＝×32×4＝.‎ ‎11．如图4－1－20是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧视图、俯视图．已知CF＝2AD，侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示．求该几何体的体积．‎ 图4－1－20‎ ‎【解】　取CF中点P，过P作PQ∥CB交BE于Q，连接PD，QD，则AD∥CP，‎ 且AD＝CP.‎ ‎∴四边形ACPD为平行四边形，‎ ‎∴AC∥PD.‎ ‎∴平面PDQ∥平面ABC.该几何体可分割成三棱柱PDQ－CAB和四棱锥D－PQEF，‎ ‎∴V＝V三棱柱PDQ－CAB＋VD－PQEF ‎＝×22sin 60°×2＋××＝3.‎