数学中考专题一 ——数与式复习讲义无答案

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数学中考专题一 ——数与式复习讲义无答案

热点专题一 数与式 ‎【考点聚焦】‎ ‎  “数与式”包括有理数、实数、代数式、整式与分式四个部分.数与式渗透后面各部分内容之中,联系着所有数学知识.它是开展数学学习和研究的基础,也是中考的重要考点之一.‎ ‎  数与式的考题一般以填空、选择或解答题的形式出现.这部分内容的考题难度不大,但涉及的基本概念和知识点较多.‎ ‎  实数:理解有理数、无理数、数轴、相反数、倒数、绝对值、近似数、有效数字、平方根、算术平方根、立方根的概念.知道实数与数轴上的点一一对应,并会求一个数的相反数、倒数、绝对值.会用科学记数法表示一个数,能按要求用四舍五入法求一个数的近似值.能正确运用实数的运算法则进行实数的混合运算.理解实数的运算律,并能运用运算律简化运算.能运用实数的运算解决简单的问题.会用各种方法比较两个实数的大小.‎ ‎  整式:了解整数指数幂的意义和基本性质;了解整式的概念和有关法则,会进行简单的整式加、减、乘、除运算;掌握平方差公式和完全平方公式,并了解其几何背景,会进行简单的计算;会用提公因式法、公式法进行因式分解.‎ ‎  分式:了解分式的概念,会利用分式的基本性质进行约分和通分,会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方及混合运算.‎ ‎  二次根式:了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则,会用它们进行简单四则运算.‎ ‎  代数式:理解用字母表示数的意义,能分析简单问题,并能用代数式表示,能解释简单代数式的实际背景或几何意义,会求代数式的值.‎ ‎  【热点透视】‎ ‎  热点1:实数及有关概念的考查(包括有理数、数轴、相反数、绝对值)‎ ‎  例1 (1)请写出一对互为相反数的数:_________和_________.‎ ‎  答案不惟一,如:和.‎ ‎  点评:题型新颖.只需给出很简单的一对数即可.如:,.‎ ‎  (2)如右图,数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点,再向右移动5个单位长度到达点,若点表示的数为1,则点表示的数为(  )‎ ‎  (A)       (B)‎ ‎  (C)       (D)‎ ‎  答案:(D)‎ ‎  点评:考查数轴上两点之间的距离,若A点对应a,B点对应b,则.‎ ‎  (3)实数,,,,,中,有理数的个数是(  )‎ ‎  (A)1  (B)2  (C)3  (D)4‎ ‎  答案:(D)‎ ‎  点评:要准确的把握有理数、无理数的概念,不能片面地从形式上判断.另外,有些数能化简的,要先化简,以最简结果进行分类.如:,,.‎ ‎  (1)有理数的分类和判断.(2)求一个数的相反数、绝对值和倒数.(3)利用数轴化简绝时值,或比较大小这些内容是中考的常客.对实数知识点的考查仍以基本题型为主,考查时多以填空、选择题形式出现,题目中包含若干个知识点,同时渗透数形结合思想.‎ ‎  热点2:科学记数法、近似数、有效数字的考查 ‎  例2 (1)国家AAAA级旅游区东江湖的蓄水量为81.‎2亿立方米,81.2亿这个数用科学记数法表示为_____________.‎ ‎  答案:.‎ ‎  (2)怀化市2019年的国民生产总值约为333.9亿元,预计2019年比上一年增长10%,表示2019年怀化市的国民生产总值应是(结果保留3个有效数字)(  )‎ ‎  (A)元  (B)元 ‎  (C)元  (D)元 ‎  答案:(A).‎ ‎  认识和表达生活中的数据,是课标设置的主要内容之一.科学记数法、近似数、有效数字的考查是中考前两题中经常出现的题目,这类题目往往和生活相联系.‎ ‎  热点3:实数的运算能力的考查(包括零指数幂、负整数指数幂性质的运用)‎ ‎  例3 (1)等于(  )‎ ‎  (A)  (B)  (C)  (D)‎ ‎  答案:(D).‎ ‎  (2)计算:.‎ ‎  答案:.‎ ‎  点评:考查实数的运算法则、方法、技巧.运算时要认真审题,确定符号,明确运算顺序,灵活运用.‎ ‎  (3)下列各数与最接近的是(  )‎ ‎  (A)2.5  (B)2.6  (C)2.7  (D)2.8‎ ‎  答案:(B).‎ ‎  点评:考查开方和乘方是互为逆运算,不好直接估算出来,要反过来计算各数的平方.‎ ‎  (4)小明设计了一个关于实数的运算程序如下,当输入x的值为时,则输出的数值为________.‎ ‎  答案:1.‎ ‎  点评:渗透编程中框图的思想.其实就是计算:当时,的值.‎ ‎  实数的混合运算中,运算顺序和运算技巧,零指数幂和负指数幂等是中考中的热点,实数的运算主要是由二次根式、三角函数、幂等组成的混合算式的计算,一般难度不大. ‎ ‎  热点4:整式的运算及同底数幂乘法法则、积和幂的乘方法则、乘法公式的运用的考查(包括因式分解)‎ ‎  例4 (1)下列运算正确的是(  )‎ ‎  (A)     (B)‎ ‎  (C)     (D)‎ ‎  答案:(D).‎ ‎  点评:考查幂的运算.熟练掌握幂的运算公式.不要搞混.‎ ‎  (2)若与是同类项,则________. ‎ ‎  答案:5.‎ ‎  点评:同类项是所含字母相同且相同字母的次数也相同.从而,,.‎ ‎  (3)先化简,再求值:‎ ‎  ,其中,.‎ ‎  答案:化简为:,值为1.‎ ‎  点评:一定要先化简再求值.不要直接代入求值.‎ ‎  (4)分解因式: _______.‎ ‎  答案:.‎ ‎  点评:因式分解的一般方法,先提取公因式,然后再考虑是否能运用公式法.要注意整体代换的思想.‎ ‎  考点主要是用代数式表示数量关系,单项式的系数、次数,多项式的项和次数,整式的运算,多项式的因式分解等内容.有时也出现与其他知识的综合题和探索型题.为此,应重视通过对特殊现象的研究而得出一般结论的方法,即数学上常用的归纳法.‎ ‎  热点5:非负数的考查(包括、()、的非负性.)‎ ‎  例5 (1)如果a,b是任意的两个实数,下列各式中的值一定是负数的是(  )‎ ‎  (A)      (B)‎ ‎  (C)    (D)‎ ‎  答案:(D).‎ ‎  点评:考查、、的非负性.只有不能为0,其它可以为0.‎ ‎  (2)若,求.‎ ‎  答案:4.‎ ‎  点评:利用、、的非负性,而、的和为0,只有,,解得:,,再代入计算.‎ ‎  、、的非负性,是中学数学中一个很重要的性质.利用它们的这个性质,可以处理很多问题,应用很广.‎ ‎  热点6:分式的意义、分式的基本性质及分式的混合运算考查 ‎  例6 (1)当x_________时,分式有意义.‎ ‎  答案:.‎ ‎  点评:分式有意义,分母必须不为0.即.‎ ‎  (2)分式的值为1时,m的值是(  )‎ ‎  (A) (B) (C) (D)‎ ‎  答案:(C).‎ ‎  点评:让分式等于1,然后解分式方程.‎ ‎  (3)已知分式:,.下面三个结论:①A,B相等;②A,B互为相反数;③A,B互为倒数.请问哪个正确?为什么?‎ ‎  答案:②.‎ ‎  点评:题型新颖.其实就是计算B, 再与A进行比较.‎ ‎  分式的考点主要是分式有意义、分式的值,分式的运算、分式的化简、求值的方法和技巧.命题形式有填空题、选择题,有关运算、化简求值的题目多以解答题的形式出现.‎ ‎  热点7:二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念,二次根式的性质及计算的考查 ‎  例7 (1)16的平方根是_____.‎ ‎  答案:±4.‎ ‎  点评:注意平方根、算术平方根的区别.‎ ‎  (2)要使二次根式有意义,x应满足的条件是(  )‎ ‎  (A)  (B)  (C)  (D)‎ ‎  答案:(A).‎ ‎  点评:被开方数必须大于或等于0,不要忘了等号.‎ ‎  (3)计算: _______.‎ ‎  答案:‎ ‎  点评:先化成最简二次根式,再合并.‎ ‎  重点考查最简二次根式、同类二次根式的概念,以及二次根式的化简、求值.通常以填空题、选择题的形式出现,常与一元二次方程、函数等知识相联系.‎ ‎  热点8:探究规律,发现规律的考查 ‎  例8 (1)观察一列有规律的数:4,8,16,32,…,它的第2 007个数是(  )‎ ‎  (A)  (B)  (C)  (D)‎ ‎  答案:(C).‎ ‎  点评:第1个数:;第2个数:;第3个数:;…第2 007个数:.认真观察,从特殊到一般.‎ ‎(2)观察下列各式:‎ ‎  猜想:_________.‎ ‎  答案:.‎ ‎  点评:1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10 …‎ ‎  (3)观察:,,将以上三个等式两边分别相加得:.‎ ‎  ①猜想并写出: _________.‎ ‎  ②直接写出下列各式的计算结果:‎ ‎_________.‎ ‎_________.‎ ‎  ③探究计算:.‎ ‎  答案:①;②,;③.‎ ‎  点评:认真观察:.‎ 而③中原式 ‎  归纳、猜想型试题是近年中考出现的新题型,其特点是:给出一组具有递进关系的数、式子、图形,或某个由简单到复杂的操作过程,或某一具体的问题情境,通过探求其变化过程中的规律,归纳或猜想出一般性的结论;有的题目还要求对结论的正确性加以验证.解答这类试题的思路是:从简单的、局部的、特殊的情形出发,通过分析、比较、提炼,发现其中的规律,进而归纳或猜想出一般性的结论.‎ ‎  【考题预测】‎ ‎  1._____的倒数是; 0.28的相反数是_____.‎ ‎  2.当x_______时,分式有意义.‎ ‎  3.二次根式有意义,则x的取值范围______.‎ ‎  4.如下图,是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为时,则输出的数值为_________.‎ ‎  5.的绝对值是________.‎ ‎  6.(1)数轴上表示和的两点之间的距离是_____,数轴上表示1和的两点之间的距离是_______.‎ ‎  (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_____,如果,那么________.‎ ‎  7.当代数式的值为7时,代数式的值是_______.‎ ‎  8.如果,,则________.‎ ‎  9.下列说法中,不正确的是(  )‎ ‎  (A)的平方是 1  (B)的平方根是 ‎  (C)的立方是  (D)的立方根是 ‎  10.的值等于(  )‎ ‎  (A)  (B)3  (C)9  (D)‎ ‎  11.如果a是实数,那么下面说法正确的是(  )‎ ‎  (A)一定是负数  (B)一定是正数 ‎  (C)的倒数是   (D)一定不是负数 ‎  12.下列根式中,与是同类二次根式的是(  )‎ ‎  (A)  (B)  (C)  (D) ‎ ‎  13.下列运算中错误的是(  )‎ ‎  (A)     (B)‎ ‎  (C)     (D) ‎ ‎  14.如果,那么一定有(  )‎ ‎  (A)  (B)  (C)  (D)‎ ‎  15.适合的正整数a的值有(  )‎ ‎  (A)1个  (B)2个  (C)3个  (D)4个 ‎  16.计算题:(1);‎ ‎  (2);‎ ‎  (3);‎ ‎  (4).‎ ‎  17.从2开始,连续的偶数相加,它们和的情况如下:‎ ‎       2=1×2‎ ‎      2+4=6=2×3‎ ‎     2+4+6=12=3×4‎ ‎    2+4+6+8=20=4×5‎ ‎   2+4+6+8+10=30=5×6‎ ‎  __________.‎ ‎  利用上式计算:(1);‎ ‎  (2)40+42+44+…+400.‎
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