数学中考抛物线问题

数学中考抛物线问题

中考中抛物线图像问题 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1. 二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ．‎ ‎ 其中正确结论的个数是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎2. 如图为二次函数 的图象，则下列说法：① ；② ；③ ；④当 时，．其中正确的个数为 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎3. 一次函数 与二次函数 在同一直角坐标系中的图象可能是 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ ‎ ‎4. 已知抛物线 与 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：‎ ‎ ①该抛物线的对称轴在 轴左侧；‎ ‎ ②关于 的方程 无实数根；‎ ‎ ③ ；‎ ‎ ④ 的最小值为 ．‎ ‎ 其中，正确结论的个数为 ‎ ‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎ ‎ ‎5. 已知二次函数 的图象如图所示，有下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的个数有 ‎ ‎ ‎ ‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎ ‎ ‎6. 如图是二次函数 图象的一部分，图象过点 ，对称轴为 ，给出四个结论：① ；②若点 ， 为函数图象上的两点，则 ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎7. 如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴为 ，且过点 ．下列说法：‎ ‎ ① ；‎ ‎ ② ；‎ ‎ ③ ；‎ ‎ ④若 ， 是抛物线上两点，则 ．‎ ‎ 其中说法正确的是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④‎ ‎ ‎ ‎8. 如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 且 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎9. 已知二次函数 （）的图象如图所示，给出以下结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中结论正确的个数有 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎10. 如图 是二次函数 图象的一部分，直线 是对称轴，有下列判断：① ； ② ；③ ；④若 ， 是抛物线上两点，则 . 其中正确的是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④‎ ‎ ‎ ‎11. 如图，是抛物线 的一部分．已知抛物线的对称轴为 ，与 轴的一个交点是 ，有以下结论：① ；② ；③ ；④抛物线与 轴的另一个交点是 ；⑤若点 ， 都在抛物线上，则 ．其中正确的是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. ①②③ B. ③④⑤ C. ②④⑤ D. ①③④⑤‎ ‎ ‎ ‎12. 二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ，下列结论：（）；（）；（）；（）若点 ，点 ，点 在该函数图象上，则 ；（）若方程 的两根为 和 ，且 ，则 ，其中正确的结论有 ‎ ‎ ‎ ‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎ ‎ ‎13. 二次函数 的图象如图，下列结论：‎ ‎ （1）；‎ ‎ （2）；‎ ‎ （3）；‎ ‎ （4）．‎ ‎ 其中不正确的有 ‎ ‎ ‎ ‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎ ‎ ‎14. 已知二次函数 下列说法错误的是 ‎ ‎ A. 当 时， 随 的增大而减小 ‎ B. 若图象与 轴有交点，则 ‎ ‎ C. 当 时，不等式 的解集是 ‎ ‎ D. 若将图象向上平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度后过点 ，则 ‎ ‎ ‎ ‎15. 已知抛物线 和直线 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ ‎ ‎16. 已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③方程 的另一个根在 和 之间；④ ；⑤ ．其中正确的结论有 ‎ ‎ ‎ ‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎ ‎ ‎17. 二次函数 的图象如图所示，若 ，，，则 ，， 中小于 的数有 ‎ ‎ ‎ ‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎ ‎ ‎18. 二次函数 的图象的一部分如图所示，图象过点 ，对称轴为 .下列结论正确的是 ‎ ‎ ① ② ③ ④ ‎ ‎ ‎ ‎ A. ②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③‎ ‎ ‎ ‎19. 二次函数 的图象如图所示，下列结论：‎ ‎ ① ；‎ ‎ ② ；‎ ‎ ③ ．‎ ‎ 其中正确的有 ‎ ‎ ‎ ‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③‎ ‎ ‎ ‎20. 如图，是二次函数 （）的图象的一部分，给出下列命题：‎ ‎ ① ；② 的两根分别为 和 ；③ ；④ ；‎ ‎ 其中正确的命题是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④‎ ‎ ‎ ‎21. 如图，已知二次函数 的图象如图，分析下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有 ‎ ‎ ‎ ‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎ ‎ ‎22. 已知抛物线 的图象如图，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④‎ ‎ ‎ ‎23. 如图是二次函数 （）图象的一部分，直线 是对称轴，有下列判断：① ；② ；③ ；④若 ， 是抛物线上两点，则 ，其中正确的个数是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎ ‎ ‎24. 如图，已知点 ， 为坐标原点， 是线段 上任意一点（不含端点 ，），过 ， 两点的二次函数 和过 ， 两点的二次函数 的图象开口均向下，它们的顶点分别为 ，，射线 与射线 相交于点 ，当 是等边三角形时，这两个二次函数的最大值之和等于 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎25. 已知二次函数 的图象如图，则下列说法：① ；②该抛物线的对称轴是直线 ；③当 时，；④ ．‎ ‎ 其中正确的个数是 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 二、填空题（共6小题；共30分）‎ ‎26. 如图，已知 在平面直角坐标系中，其中点 、 、 三点的坐标分别为 ，，，点 为 中点， 是 上的一个动点（ 与点 、 不重合），连接 、 ，则 周长的最小值是  ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎27. 已知关于 的二次函数 的图象经过点 ，，，且 ，对于以下结论：‎ ‎ ① ；‎ ‎ ② ；‎ ‎ ③对于自变量 的任意一个取值，都有 ；‎ ‎ ④在 中存在一个实数 ，使得 ．其中结论错误的是  ．（只填写序号）‎ ‎ ‎ ‎28. 二次函数 的图象如图 所示，且 ，，则 ， 的大小关系是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎29. 已知抛物线 开口向上且经过 ，双曲线 经过 ．给出下列结论：；；， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根；．其中正确结论是 （填写序号）．‎ ‎ ‎ ‎30. 二次函数 的图象如图所示，下列结论：‎ ‎ ① ；‎ ‎ ② ；‎ ‎ ③ ；‎ ‎ ④如果一元二次方程 有两个实根 、 ，那么 ．‎ ‎ 其中结论错误的是  ．（只填写序号）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎31. 如图，已知二次函数 的图象经过点 ，，该图象与 轴的另一个交点为 ，则 长为 .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题（共4小题；共52分）‎ ‎32. 如图，已知抛物线 经过 的三个顶点，其中点 ，点 ， 轴，点 是直线 下方抛物线上的动点．‎ ‎ ‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点 且与 轴平行的直线 与直线 ， 分别交于点 ，，当四边形 的面积最大时，求点 的坐标；‎ ‎（3）当点 为抛物线的顶点时，在直线 上是否存在点 ，使得以 ，， 为顶点的三角形与 相似，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎33. 如图，抛物线 经过点 ，且与直线 相交于 ， 两点，点 在 轴上，过点 作 轴，垂足为点 ．‎ ‎ ‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若 是直线 上方该抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，求线段 的最大值；‎ ‎（3）在（2）的条件，设 与 相交于点 ，当线段 与 相互平分时，请求出点 的坐标．‎ ‎ ‎ ‎34. 已知：如图，直线 与 轴相交于点 ，与直线 相交于点 ．‎ ‎ ‎ ‎（1）求点 的坐标；‎ ‎（2）请判断 的形状并说明理由；‎ ‎（3）动点 从原点 出发，以每秒 个单位的速度沿着 ，， 的路线向点 匀速运动（ 不与点 ， 重合），过点 分别作 轴于 ， 轴于 ，设运动 秒时，矩形 与 重叠部分的面积为 ．‎ ‎ 求： 与 之间的函数关系式． 当 为何值时， 最大，并求出 的最大值．‎ ‎ ‎ ‎35. 如图， 的圆心 ，半径为 ， 与 轴相交于 ， 两点（点 在点 的上方），与 轴的正半轴交于点 ，直线 的表达式为 ，与 轴相交于点 ，以点 为顶点的抛物线过点 ．‎ ‎ ‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）动点 在抛物线上，当点 到直线 的距离最小时，求出点 的坐标及最小距离．‎ 答案 第一部分 ‎1. C 【解析】因为抛物线开口向下，‎ 所以 ．‎ 因为抛物线的对称轴为直线 ，‎ 所以 ．‎ 因为抛物线与 轴的交点在 轴上方，‎ 所以 ，‎ 所以 ．故①正确；‎ 因为抛物线与 轴有两个交点，‎ 所以 ．即 ．故②正确；‎ 因为 ，‎ 所以 ．故③错误；‎ 因为抛物线开口向下， 是对称轴，‎ 所以 对应的 值是最大值，‎ 所以 ．故④正确．‎ ‎2. C 3. D 4. D 5. C ‎ ‎6. B 7. C 8. B 9. C 【解析】 抛物线与 轴有两个交点，‎ ‎ ，即 ．①正确；‎ ‎ 抛物线开口向上，‎ ‎ ．‎ ‎ 对称轴在 轴的右侧，‎ ‎ ．‎ ‎ 抛物线与 轴交于负半轴，‎ ‎ ．‎ ‎ ，②正确；‎ ‎ ，‎ ‎ ．③错误；‎ ‎ 时，，‎ ‎ ，即 ．④错误；‎ 根据抛物线的对称性可知，当 时，，‎ ‎ ．⑤正确，‎ ‎10. B ‎ ‎【解析】由题意得 ，， ，‎ 整理得 ，．‎ 当 时 ．‎ 故①正确，②错误．‎ ‎ ．‎ 故③正确．‎ ‎ 的对称轴为直线 ，．‎ ‎ ．‎ 故④正确．‎ ‎11. D 【解析】 抛物线的对称轴为 ，‎ ‎ ，，，故③正确；‎ ‎ 抛物线开口向上，‎ ‎ ，；由图象知 ，‎ ‎ ，故①正确；由抛物线的单调性知：当 时，，即 ，故②错误；‎ ‎ ，而对称轴方程为 ，‎ ‎ 抛物线与 轴的另一个交点是 ，故④正确．‎ ‎ ，‎ ‎ 由抛物线的性质知：，故⑤正确；故正确结论为①③④⑤．‎ ‎12. B 13. C 【解析】抛物线的开口向上，则 ；‎ 对称轴为 ，即 ，故 ，故（2）错误；‎ 抛物线交 轴于负半轴，则 ，故（1）正确；‎ 把 代入 得：，故（3）错误；‎ 把 代入 得：，把 代入 得：，‎ 则 ，故（4）错误；‎ 不正确的是（2）（3）（4）．‎ ‎14. B 【解析】二次函数为 ．对称轴为直线 ，图象开口向上．‎ A．当 时， 随 的增大而减小，故选项A正确；‎ B．若图象与 轴有交点，即 ，则 ，故选项B错误；‎ C．当 时，不等式 的解集是 ，故选项C正确；‎ D．原式化为 ，将图象向上平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度后所得函数表达式是 ，又函数图象过点 ，代入表达式得 ，故选项D正确.‎ ‎15. D ‎ ‎【解析】A、由二次函数的图象可知 ，此时直线 应经过二、四象限，故A可排除；‎ B、由二次函数的图象可知 ，对称轴在 轴的右侧，可知 、 异号，，此时直线 应经过一、二、四象限，故B可排除；‎ C、由二次函数的图象可知 ，此时直线 应经过一、三象限，故C可排除；‎ ‎16. D 17. A 【解析】 图象开口向下，‎ ‎ .‎ ‎ 对称轴在 轴左侧，‎ ‎ ， 同号.‎ ‎ ， .‎ ‎ 图象经过 轴正半轴，‎ ‎ .‎ ‎ .‎ 当 时，，‎ ‎ .‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ ‎ .‎ ‎ .‎ 则 ，， 中，值小于 的数有 ，，．‎ ‎18. B 19. B 【解析】图象与 轴有两个交点，‎ ‎ ，‎ ‎ ；‎ 当 时，函数对应的 值小于 ，‎ ‎ ，；‎ 由图象可知，，对称轴 ，‎ ‎ ．综上所述，①③正确．‎ ‎20. B ‎ ‎【解析】①抛物线开口向上，，抛物线与 轴交于负半轴，，对称轴在 轴的左侧，，‎ ‎ ，①错误；‎ ‎②由抛物线的对称性可知，‎ ‎ 的两根分别为 和 ，②正确；‎ ‎③对称轴 ，，③错误；‎ ‎④ 时，，，，，‎ ‎ ，④正确．‎ ‎21. B 【解析】① ，，， 错误；‎ ‎② 函数与 轴有两个交点， 正确；‎ ‎③ 当 时，，当 时，，即 ，两式相加得，，‎ ‎ 错误；‎ ‎④ 当 时，，当 时，，‎ 故 ，， 正确．‎ ‎22. B 【解析】①由图象可知 ，，，，错误；‎ ‎②把 代入抛物线解析式可得 ，正确；‎ ‎③根据对称轴大于 即得正确；‎ ‎④抛物线与 轴有 个交点，故 ，错误．‎ ‎23. C 【解析】① 直线 是对称轴，‎ ‎ ，即 ，①正确；‎ ‎② 时，，‎ ‎ ，②错误；‎ ‎ 时，，‎ ‎ ，又 ，‎ ‎ ，③正确；‎ ‎④根据抛物线的对称性，得到 与 时的函数值相等，‎ ‎ ，④正确，‎ ‎24. C 【解析】‎ 过 、 、 作 的垂线，垂足分别为 、 、 ，则 ．‎ ‎ 是等边三角形 ‎ ，．‎ 设 ，根据二次函数的对称性得出 ，．‎ 易证 ，，得出 ，，代入求出 和 ，相加即可求出答案．‎ ‎25. C ‎ ‎【解析】抛物线与 轴交于原点，‎ ‎ ，故①正确；‎ 该抛物线的对称轴是：，‎ 直线 ，故②正确；‎ 当 时，，‎ ‎ 对称轴是直线 ，‎ ‎ ，，‎ 又 ，‎ ‎ ，故③错误；‎ ‎ 对应的函数值为 ，‎ ‎ 对应的函数值为 ，‎ 又 时函数取得最小值，‎ ‎ ，即 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．故④正确．‎ 第二部分 ‎26. ‎ ‎27. ②‎ ‎28. ‎ ‎【解析】 抛物线的开口向下，‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ ‎ 且 ．‎ ‎ ，．‎ ‎ 抛物线与 轴的正半轴相交，‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ 由图象可知当 时，，即 ．‎ ‎ ，即 ．‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎29. ①③④‎ ‎30. ④‎ ‎【解析】由图象可得，，，，，‎ 所以 ，，，‎ 因为 时，； 时，，‎ 所以 ，，‎ 所以 ，，故②正确，‎ 所以 ，‎ 即 ，故①正确，‎ 又因为 时，，，‎ 所以 ，‎ 所以 ，故③正确，‎ 如果一元二次方程 有两个实根 、 ，‎ 则 ，故④错误，‎ ‎31. ‎ 第三部分 ‎32. （1） 因为点 ， 在抛物线上，‎ 所以 ‎ 解得 ‎ 所以抛物线的解析式为 .‎ ‎      （2） 因为 轴，．‎ 所以 ，‎ 所以 ，，‎ 所以点 的坐标 ，‎ 因为点 ，，‎ 所以直线 的解析式为 ，‎ 设点 ‎ 所以 ，‎ 所以 ，‎ 因为 ，，‎ 所以 ‎ ‎ 因为 ，‎ 所以当 时，四边形 的面积的最大值是 ，‎ 此时点 ．‎ ‎      （3） 因为 ，‎ 所以 ，‎ 所以 ，，‎ 所以 ，‎ 所以 .‎ 同理可得：，‎ 所以 ，‎ 所以在直线 上存在满足条件的 ，‎ 设 且 ，， . ‎ 因为以 ，， 为顶点的三角形与 相似，‎ ‎①当 时，‎ 所以 ，‎ 所以 ，‎ 所以 ，‎ 所以 .‎ ‎②当 时，‎ 所以 ，‎ 所以 ，‎ 所以 ，‎ 所以 ．‎ ‎33. （1） 因为 轴，垂足为点 ，且点 在直线 上，‎ 所以点 的坐标为 ，‎ 因为抛物线 经过点 和点 ，‎ 所以 ‎ 解得 ‎ 故抛物线的解析式为 ．‎ ‎      （2） 如图所示：‎ 设动点 的坐标为：，则点 的坐标为 ，‎ 因为 轴于点 ，且点 在直线 上方，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 所以当 时， 的最大值为 ．‎ ‎      （3） 因为 与 互相平分，‎ 所以 ，‎ 所以 ，即 ，‎ 解得 ，．‎ 因为点 分别是 ， 的中点，且点 在直线 ，‎ 当 时，点 的横坐标为 ，‎ 所以点 的坐标为 ，‎ ‎ 当 时，点 的横坐标为 ，‎ 所以点 的坐标为 ，‎ 综上所述，点 的坐标为 ，．‎ ‎34. （1） 由题意，得 ‎ 解得 ‎ 所以点 的坐标为 .‎ ‎      （2） 将 代入 中，得 .‎ 所以 ，即 .‎ 作 于 ，则 ， .‎ 因为 ，‎ 所以 .‎ 因为 .‎ 所以 是等边三角形；‎ ‎      （3） ① 当 时，在 中，‎ 因为 ，，‎ 所以 ， .‎ 所以 ．‎ 当 时，设 与 相交于点 .‎ 因为 ，，‎ 所以 ， .‎ 所以 .‎ ‎ ‎ ‎ ② 当 时，， 时，；‎ 当 时， .‎ ‎ 时，．‎ 因为 ，‎ 所以当 时， 最大，最大值为 ．‎ ‎35. （1） 如图1，连接 ，则 ，．‎ 在 中，．‎ ‎ ，，‎ ‎ ，，，‎ ‎ 设抛物线表达式为 ．‎ 将 代入表达式得 ，‎ 解得 ，‎ ‎ 抛物线表达式为 ．‎ ‎      （2） 直线 的表达式为 ，‎ 令 ，解得 ，‎ ‎ ．‎ 当 时，，‎ ‎ 点 在直线 上．‎ 在 和 中，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ ‎ ，即 ．‎ ‎ 直线 与 相切于点 ．‎ ‎      （3） 如图2，过点 作直线 的垂线段 ，垂足为 ，过点 作直线 垂直于 轴，交直线 于点 ．‎ 设 ，，‎ 则 ‎ ‎ ‎ 当 时， 取最小值为 ，此时 ．‎ ‎ 动点 在运动过程中， 的三边比例关系不变，‎ ‎ 当 取最小值时， 也取最小值，‎ 此时 ．‎ ‎ 动点 坐标为 时，点 到直线 的距离最小，最小距离为 ．‎