教案中考数学压轴题

教案中考数学压轴题

中考数学压轴题 1．在△ABC 中，分别以 AB、AC 为直径在△ABC 外作半圆 O1 和半圆 O2，其中 O1 和 O2 分别为两个半圆的 圆心．F 是边 BC 的中点，点 D 和点 E 分别为两个半圆圆弧的中点． （1）如图 1，连接 O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E； （2）如图 2，过点 A 分别作半圆 O1 和半圆 O2 的切线，交 BD 的延长线和 CE 的延长线于点 P 和点 Q，连 接 PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求线段 PQ 的长； （3）如图 3，过点 A 作半圆 O2 的切线，交 CE 的延长线于点 Q，过点 Q 作直线 FA 的垂线，交 BD 的延长 线于点 P，连接 PA．求证：PA 是半圆 O1 的切线． （1）证明：∵O1，O2，F 分别是 AB，AC，BC 边的中点 ∴O1F∥AC 且 O1F＝AO2，O2F∥AB 且 O2F＝AO1 ∴∠BO1F＝∠BAC，∠CO2F＝∠BAC ∴∠BO1F＝∠CO2F ∵点 D 和点 E 分别为两个半圆圆弧的中点 ∴O1F＝AO2＝O2E，O2F＝AO1＝O1D，∠BO1D＝90°，∠CO2E＝90° ∴∠BO1D＝∠∠CO2E，∴∠DO1F＝∠FO2E ∴△DO1F≌△FO2E （2）解：延长 CA 至 G，使 AG＝AQ，连接 BG、AE ∵点 E 是半圆 O2 圆弧的中点，∴AE＝CE＝3 ∵AC 为半圆 O2 的直径，∴∠AEC＝90° ∴∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝3 2 ∵AQ 是半圆 O2 的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ＝90° ∴∠AQE＝∠ACE＝45°，∠GAQ＝90°，∴AQ＝AC＝AG＝3 2 同理：∠BAP=90°，AB=AP＝5 2 ∴CG＝6 2，∠GAB＝∠QAP ∴△AQP≌△AGB，∴PQ＝BG ∵∠ACB＝90°，∴BC＝ AB 2－AC 2＝4 2 ∴BG＝ BC 2＋GC 2＝2 26，∴PQ＝2 26 （3）设直线 FA 与 PQ 的垂足为 M，过 C 作 CG⊥MF 于 G，过 B 作 BH⊥MF 于 H，连接 DH、AD、DM ∵F 是 BC 边的中点，∴S△ABF ＝S△ACF ，∴BH＝CG 由（2）知，∠CAQ＝90°，AC＝AQ，∴∠2＋∠3＝90° ∵FM⊥PQ，∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3 同理：∠2＝∠4 A O1 CB O2 E D F 图 1 A O1 CB O2 E D F P Q 图 2 图 3 A O1 CB O2 E D F P Q A O1 CB O2 E D F A O1 CB O2 E D F P Q G ∴△AMQ≌△CGA，∴AM＝CG，∴AM＝BH 同（2）可证 AD＝BD，∠ADB＝∠ADP＝90° ∴∠ADB＝∠AHB＝90°，∠ADP＝∠AMP＝90° ∴A、D、B、H 四点在以 AB 为直径的圆上 A、D、P、M 四点在以 AP 为直径的圆上 且∠DBH＋∠DAH＝180° ∴∠5＝∠8，∠6＝∠7 ∵∠DAM＋∠DAH＝180°，∴∠DBH＝∠DAM ∴△DBH≌△DAM，∴∠5＝∠9 ∴∠HDM＝90°，∴∠5＋∠7＝90° ∴∠6＋∠8＝90°，∴∠PAB＝90°，∴PA⊥AB 又 AB 是半圆 O1 的直径，∴PA 是半圆 O1 的切线 2．如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，∠AOB＝90°，点 C 是AB ︵ 上的一个动点（不与点 A、B 重合），OD⊥ BC，OE⊥AC，垂足分别为 D、E． （1）当 BC＝1 时，求线段 OD 的长； （2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由； （3）设 BD＝x，△DOE 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域． 解：（1）∵OD⊥BC，∴BD＝ 1 2 BC＝ 1 2 在 Rt△BOD 中，OD＝ OB 2－BD 2＝ 2 （2）存在，长度保持不变的边为 DE。连接 AB ∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝ OA 2＋OB 2＝2 2 ∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D 是 BC 中点，E 是 AC 中点 ∴DE＝ 1 2 AB＝ 2 （3）连接 OC，过 D 作 DF⊥OE 于 F ∵OD＝2，BD＝x， ∴OD＝ 4－x 2 ∵OA＝OB＝OC，OD⊥BC，OE⊥AC， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∵∠AOB＝90°，∴∠DOE＝45° 在 Rt△DOF 中，DF＝OF＝ 在 Rt△DFE 中，EF＝ DE 2－DF 2＝ 2－ ＝ 2 x ∴y＝ 1 2 OE·DF＝ 1 2( ＋ 2 x )· 即 y＝ 4－x 2＋x 4 （0＜x ＜ 2） A E C D O B A O1 CB O2 E D F P Q M G H 1 3 26 8 4 7 5 9 A E C D O B A E C D O B F 3．如图，已知在△ABC 中，AB＝15，AC＝20，cotA＝2，P 是边 AB 上的一个动点，⊙P 的半径为定长．当 点 P 与点 B 重合时，⊙P 恰好与边 AC 相切；当点 P 与点 B 不重合，且⊙P 与边 AC 相交于点 M 和点 N 时， 设 AP＝x，MN＝y． （1）求⊙P 的半径； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当 AP＝6 5 时，试比较∠CPN 与∠A 的大小，并说明理由． 解：（1）过 B 作 BD⊥AC 于 D ∵⊙P 与边 AC 相切，∴BD 是⊙P 的半径， ∵cotA＝2，∴sinA＝ 5 又∵sinA＝ BD AB ，AB＝15，∴BD＝3 5 （2）过 P 作 PH⊥MN 于 H 则 PH＝ 5 x，PM＝BD＝3 5 ∴MH＝ PM 2－PH 2＝ 45－ x 2 ∴y＝2MH＝2 45－ x 2，即 y＝ 2 5 1125－5x 2（3 5≤x ＜15） （3）当 AP＝6 5 时，∠CPN＝∠A 理由如下：当 AP＝6 5 时，PH＝6，MH＝3，AH＝12， ∴AM＝9 ∵AC＝20，MN＝6， ∴CN＝5 ∵ AM MP ＝ 9 3＝ 3 5， PN CN ＝ 3 5， ∴ AM MP ＝ PN CN 又∵PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM ∴∠AMP＝∠PNC， ∴△AMP∽△PNC ∴∠CPN＝∠A 4．如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M 与∠BAD 的 两边相切，点 N 在射线 AB 上，⊙N 与⊙M 是等圆，且两圆外切． （1）设 AN＝x，⊙M 的半径为 y，求 y 关于 x 的函数关系式； （2）当 x 为何值时，⊙M 与 CD 相切？ （3）直线 CD 被⊙M 所截得的弦与直线 BC 被⊙N 所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求 的 x 的值；如果不能，请说明理由． 解：（1）连接 AM、MN，设⊙M 与 AB 相切于点 E，连接 ME BA C N P M A M CB D N BA C N P M DH ∵⊙N 与⊙M 是等圆，且两圆外切 ∴在 Rt△MNE 中，MN＝2ME，∴∠ANM＝30° ∵AD∥BC，∠B＝60°，∴∠BAD＝120° ∵⊙M 与∠BAD 的两边相切 ∴∠NAM＝60°，∴∠AMN＝90° ∴在 Rt△AMN 中 AM＝ 1 2 AN＝ 1 2 x ∴ME＝AM·sin60°＝ 4 x 即 y＝ 4 x（x ＞0） （2）设⊙M 分别与 AD、CD 相切于点 F、G，连接 MA、MF、MG 则 MF＝FD＝MG＝y 且 AF＝MF·cot60°＝ 3 y＝ 3 · 4 x＝ 1 4 x ∵AD＝4，AF＋FD＝AD，∴ 1 4 x＋ 4 x＝4 ∴x＝8( 3－1 ) （3）作 NH⊥BC 于点 H 若直线 CD 被⊙M 所截得的弦与直线 BC 被⊙N 所截得的弦的长相等，则弦心距 MG＝NH ①当点 N 在线段 AB 上时 ∵AB＝10，∴BN＝10－x ∴FD＝MG＝NH＝BN·sin60°＝ 2(10－x ) ∵AF＝ 1 4 x，AF＋FD＝AD，∴ 1 4 x＋ 2(10－x )＝4 ∴x＝ 104－12 11 ②当点 N 在 AB 延长线上时 则 FD＝MG＝NH＝BN·sin60°＝ 2( x－10 ) 1 4 x＋ 2( x－10 )＝4 ∴x＝ 104＋12 11 ∴当 x＝ 104－12 11 或 x＝ 104＋12 11 时，直线 CD 被⊙M 所截得的弦与直线 BC 被⊙N 所截得的弦的长相等。 5．已知：半圆 O 的半径 OA＝4，P 是 OA 延长线上一点，过线段 OP 的中点 B 作 OP 的垂线交半圆 O 于点 C，射线 PC 交半圆 O 于点 D，连接 OD． （1）当 AC︵ ＝ CD︵ 时，求弦 CD 的长； （2）设 PA＝x，CD＝y，求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （3）设 CD 的中点为 E，射线 BE 与射线 OD 交于点 F，当 DF＝1 时，求 tan∠P 的值． BA OP C D A O 备用图 A O 备用图 A M CB D N G F A M CB D N E A M C B D N H F G A M CB D N H F G 解：（1）连接 OC ，当 AC︵ ＝ CD︵ 时，∠POC＝∠DOC ∵BC 垂直平分 OP， ∴PC＝OC＝4 ∴∠P＝∠POC＝∠DOC ∴△DOC∽△DPO， ∴ DO DP ＝ CD DO 即 4 4＋CD ＝ CD 4 ，解得 CD＝2 5－2 （2）作 OE⊥CD 于 E，则 CE＝DE＝ 1 2 y ①当点 C 在 AD︵ 上时 ∵∠PBC＝∠PEO＝90°，∠P＝∠P ∴△PBC∽△PEO，∴ PB PE ＝ PC PO ，即 4＋ ＝ 4 x＋4 ，∴y＝ 1 4 x 2＋2x－4 显然，B 不与 A 重合，∴x＜4 当 D 与 C 重合时，PC 是半圆 O 的切线 ∴PC⊥OC，∠PCO＝90° ， 此时△PCO 是等腰直角三角形 ∴OP＝ 2OC，即 x＋4＝4 2，x＝4 2－4 ∵D 不与 C 重合， ∴x＞4 2－4 ∴4 2－4＜x＜4 ∴y＝ 1 4 x 2＋2x－4（4 2－4＜x＜4） ②当点 C 在 AD︵ 外时， 同理，△PBC∽△PEO，∴ PB PE ＝ PC PO 即 4－ ＝ 4 x＋4 ，∴y＝－ 1 4 x 2－2x＋4（0＜x＜4 2－4） （3）①当点 C 在 AD︵ 上时，过 D 作 DG∥OP 交 BF 于 G 则△DEG∽△PEB，△DEF∽△OBF ∴ DE PE ＝ DG PB ＝ DG OB ＝ DF OF ＝ 1 4＋1 ∴ DE PE ＝ 1 5 ，即 4＋ ＝ 1 5 ，解得 y 2 ＝1 ∴CE＝1，PE＝5，OE＝ 4 2－1 2＝ 15 ， ∴tan∠P＝ OE PE ＝ 5 ②当点 C 在 AD︵ 外时，过 D 作 DG∥OP 交 BE 于 G 则△DEG∽△PEB，△DFG∽△BFO ∴ DE PE ＝ DG PB ＝ DG OB ＝ DF OF ＝ 1 4－1 ∴ DE PE ＝ 1 3 ，即 4－ ＝ 1 3 ，解得 y 2 ＝1 BA OP C DE BA OP C D E F G BA OP C D E BA OP C D E F G ∴CE＝1，PE＝3，OE＝ 4 2－1 2＝ 15 ， ∴tan∠P＝ OE PE ＝ 3 6．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝ 3 5 ，⊙B 的半径长为 1，⊙B 交边 BC 于点 P，点 O 是边 AB 上的动点． （1）如图 1，将⊙B 绕点 P 旋转 180°得到⊙M，请判断⊙M 与直线 AB 的位置关系； （2）在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求 OA 的长； （3）如图 2，点 N 是边 BC 上的动点，如果以 NB 为半径的⊙N 和以 OA 为半径的⊙O 外切，设 NB＝y，OA ＝x，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域． 解：（1）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝ 3 5 ∴AB＝10，BC＝ AB 2－AC 2＝ 10 2－6 2＝8 过点 M 作 MD⊥AB 于 D 在 Rt△MDB 中，∠MDB＝90°，∴sinB＝ MD MB ＝ 3 5 ∵MB＝2，∴MD＝ 3 5×2＝ 6 5 ＞1 ， ∴⊙M 与直线 AB 相离 （2）∵MD＝ 6 5 ＞1＝MP，∴OM ＞MP 若 OP＝MP，易得∠MOB＝90° ∴cosB＝ OB BM ＝ BC AB ＝ 8 10 ， ∴OB＝ 8 5 ∴OA＝10－ 8 5 ＝ 42 5 若 OM＝OP，过 O 作 OE⊥BC 于 E ∴cosB＝ EB OB ＝ BC AB ＝ 8 10 ，∴OB＝ 15 8 ∴OA＝10－ 15 8 ＝ 65 8 ∴当△OMP 是等腰三角形时，OA 的长为 42 5 或 65 8 （3）连接 ON，过 N 作 NF⊥AB 于 F 在 Rt△NFB 中，∠NFB＝90°，sinB＝ 3 5 ，NB＝y ∴NF＝ 3 5 y，BF＝ 4 5 y，∴OF＝10－x－ 4 5 y ∵⊙N 和⊙O 外切，∴ON＝x＋y 在 Rt△NFB 中，ON 2＝OF 2＋NF 2 A B C P 图 1 A B C N 图 2 O A B C P M O A B C P M O E A B C P M D A B C N O F ∴( x＋y )2＝( 10－x－ 4 5 y )2＋( 3 5 y )2 ∴y＝ 250－50x x＋40 （0＜x ＜5） 7．如图，⊙O 的半径为 6，线段 AB 与⊙O 相交于点 C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB 与⊙O 相交于点 E， 设 OA＝x，CD＝y． （1）求 BD 的长； （2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当 CE⊥OD 时，求 AO 的长． 解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCA＝∠ODB ∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴ BD OC ＝ OD AC ∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴ BD 6 ＝ 6 4 ，∴BD＝9 （2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B 又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴ AB AO ＝ AO AC ∵AB＝AC＋CD＋BD＝y＋13，∴ y＋13 x ＝ x 4 ∴y＝ 1 4 x 2－13 ∵0＜y ＜8，∴0＜ 1 4 x 2－13＜12，解得 2 13＜x ＜10 ∴定义域为 2 13＜x ＜10 （3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A ∴∠AOD＝180º－∠A－∠ODC＝180º－∠COD－∠OCD＝∠ADO ∴AD＝AO，∴y＋4＝x，∴ 1 4 x 2－13＋4＝x ∴x＝2±2 10（舍去负值） ∴AO＝2±2 10 9．如图，扇形 OMN 的半径为 1，圆心角 90°，点 B 是 MN︵ 上一动点，BA⊥OM 于点 A，BC⊥ON 于点 C， 点 D、E、F、G 分别是线段 OA、AB、BC、CO 的中点，GF 与 CE 相交于点 P，DE 与 AG 相交于点 Q． （1）求证：四边形 EPGQ 是平行四边形； （2）探索 OA 的长为何值时，四边形 EPGQ 是矩形； （3）试说明 3PQ 2＋OA 2 是定值． N O M BC G F D A Q E P N O M 备用图 A BDC E O A BDC E O （1）证明：∵∠AOC＝90°，BA⊥OM，BC⊥ON ∴四边形 OABC 是矩形，∴AB∥OC，AB＝OC ∵E、G 分别是 AB、CO 的中点 ∴AE∥GC，AE＝GC ∴四边形 AECG 为平行四边形，∴CE∥AG 连接 OB ∵点 D、E、F、G 分别是线段 OA、AB、BC、CO 的中点 ∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ ∴四边形 EPGQ 是平行四边形 （2）当∠CED＝90°时，□EPGQ 是矩形，此时∠AED＋∠CEB＝90° 又∵∠DAE＝∠EBC＝90°，∴∠AED＝∠BCE ∴△AED∽△BCE，∴ AD BE ＝ AE BC 设 OA＝x，AB＝y，则 ＝ x，得 y 2＝2x 2 又 OA 2＋AB 2＝OB 2，即 x 2＋y 2＝1 2， ∴x 2＋2x 2＝1，解得 x＝ 3 ∴当 OA 的长为 3 时，四边形 EPGQ 是矩形 （3）连接 GE 交 PQ 于点 O′，则 O′P＝O′Q，O′G＝O′E 过 P 作 OC 的平行线分别交 BC、GE 于点 B′、A′ 由△PCF∽△PEG 得， PG PF ＝ PE PC ＝ GE FC ＝2 ∴PA′＝ 2 3 A′B′＝ 1 3 AB，GA′＝ 1 3 GE＝ 1 3 OA ∴A′O′＝ 1 2 GE－GA′＝ 1 6 OA 在 Rt△PA′O′ 中，PO′ 2＝PA′ 2＋A′O′ 2，即 PQ 2 4 ＝ AB 2 9 ＋ OA 2 36 又 AB 2＋OA 2＝1 2，∴3PQ 2＝AB 2＋ 1 3， ∴3PQ 2＋OA 2＝AB 2＋ 1 3 ＋OA 2＝1＋ 1 3 ＝ 4 3 10．如图，AE 切⊙O 于点 E，AT 交⊙O 于点 M、N，线段 OE 交 AT 于点 C，OB⊥AT 于点 B，已知∠EAT＝ 30°，AE＝3 3，MN＝2 22． （1）求∠COB 的度数； （2）求⊙O 的半径 R； （3）点 F 在⊙O 上（FME︵ 是劣弧），且 EF＝5，将△OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分 别与点 E、F 重合．在 EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在⊙O 上的 三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC 的周长之比． A BC E F M O N T N O M BC G F D A Q E P N O M BC G F D A Q E P N O M BC G F D A Q E P B′ A′ O′ 解：（1）∵AE 切⊙O 于点 E，∴OE⊥AE ∵OB⊥AT 于点 B，∴∠AEC＝∠OBC＝90° 又∵∠ACE＝∠OCB，∴△ACE∽△OCB ， ∴∠COB＝∠EAT＝30° （2）在 Rt△AEC 中，CE＝AE·tan30°＝3 ∠OCB＝∠ACE＝60° 设 BC＝x，则 OB＝ 3x，OC＝2x 连接 ON，得( 3x )2＋( 22 )2＝( 2x＋3 )2 解得 x＝1 或 x＝－13（舍去），∴x＝1 ∴R＝2x＋3＝5 （3）这样的三角形有 3 个，画直径 FG，连接 GE ∵EF＝OE＝OF＝5，∴∠EFG＝60°＝∠BCO ∴△GEF 即为所要画出的三角形 ∵三种图形变换都不改变图形的形状，即变换前后的两个三角形相似 ∴变换前后两个三角形的周长之比等于它们的相似比 又∵两个直角三角形斜边长 FG＝2R＝10，OC＝2 ， ∴△GEF 与△OBC 的周长之比为 5 : 1 11．定义：P、Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点，线段 PQ 长度的最小值叫做线段 a 与线段 b 的距离． 已知 O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m＋4，n）是平面直角坐标系中四点． （1）根据上述定义，当 m＝2，n＝2 时，如图 1，线段 BC 与线段 OA 的距离是___________； 当 m＝5，n＝2 时，如图 2，线段 BC 与线段 OA 的距离（即线段 AB 长）为___________． （2）如图 3，若点 B 落在圆心为 A，半径为 2 的圆上，线段 BC 与线段 OA 的距离记为 d，求 d 关于 m 的函 数解析式． （3）当 m 的值变化时，动线段 BC 与线段 OA 的距离始终为 2，线段 BC 的中点为 M． ①求出点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长； ②点 D 的坐标为（0，2），m ≥0，n ≥0．作 MH⊥x 轴，垂足为 H，是否存在 m 的值使以 A，M，H 为顶点的三角形与△AOD 相似，若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由． 解：（1）2 （2）当 4≤m ≤6 时，显然线段 BC 与线段 OA 的距离等于⊙A 半径，即 d＝2 当 2≤m ＜4 时，作 BN⊥x 轴于点 N，线段 BC 与线段 OA 的距离等于 BN 长 ∴d＝ 2 2－(4－m)2＝ －m 2＋8m－12 AO B y x C （图 1） AO B y x C （图 2） AO y x （图 3） B C AO y x C （备用图 1） M AO y x （备用图 2） A BC E F M O N TG (B′) (C′) (O′) AO y x B C B C N ∴d 关于 m 的函数解析式为：d＝{ （3）①由题意可知，由线段 PE，EFG，线段 GK，KNP 所围成的封闭图形就是点 M 随线段 BC 运动所围成 的 ∴点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长为： 2×π×2＋2×2×4＝16＋4π ②∵m ≥0，n ≥0，∴点 M 随线段 BC 运动所形成图形的是线段 M0E 和 EF︵ 易知△AOD 是两直角边为 1 : 2 的直角三角形 若△AMH 与△AOD 相似，则 MH HA ＝ 1 2 或 MH HA ＝2 当 2≤m＋2＜4 时，显然 M1H1＞H1A，∴ M1H1 H1A ＝2 ∵M1H1＝2，∴H1A＝1，∴OH1＝3 ∴m1＝3－2＝1 当 4≤m＋2≤6 即 M2 在线段 CE 上时，同理可求 m2＝5－2＝3 当 6＜m＋2≤8 即 M3 在线段 EF︵ 上时，∵AH3≥2≥M3H3，∴ M3H3 H3A ＝ 1 2 设 M3H3＝x，则 AH3＝2x，∴AH3＝2x－2 又∵RH3＝2，∴( 2x－2 )2＋x 2＝2 2，∴x1＝ 8 5 ，x2＝0（不合题意，舍去） ∴OH3＝4＋2x＝ 36 5 ，∴m3＝ 36 5 －2＝ 26 5 综上可知，存在 m 的值使以 A，M，H 为顶点的三角形与△AOD 相似，相应 m 的值为 1，3， 26 5 12．已知矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝5，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE、CE，以 BE 为直径作⊙O， 交 BC 于点 F，过点 F 作 FH⊥CE 于 H，直线 FH 交⊙O 于点 G． （1）当直线 FH 与⊙O 相切时，求 AE 的长； （2）当 FH∥BE 时，求 FG 的长； （3）在点 E 运动过程中，△OFG 能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时 AE 的长；如果不能，说明 理由． 解：（1）连接 OF、EF，∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BFE＝90° D B A C O F E H AO y x CM EBP N F K G AO y x CM0 EB F M1 M2 M3 H3H2H1 R (D) x 又∠A＝∠ABF＝90°，∴四边形 ABFE 为矩形 ∴AE＝BF，∴DE＝CF ∵FH 与⊙O 相切，∴OF⊥FH ∵FH⊥CE，∴OF∥CE ∵BO＝OE，∴BF＝CF ∴AE＝DE＝ 1 2 AD＝ 5 2 （2）作 OM⊥FG 于 M，连接 OF ∵FH∥BE，∴∠BEC＝∠FHC＝90° 易证△ABE∽△DEC，∴ AE DC ＝ AB DE ， 即 AE 2 ＝ 2 5－AE ，解得 AE＝1 或 4 ①当 AE＝1 时，BF＝1，DE＝CF＝4 ∴BE＝ 5，CE＝2 5，OF＝ 2 由△CFH∽△CBE，得 CH＝ 8 5 ∴OM＝EH＝CE－CH＝ 2 5，∴FM＝ OF 2－OM 2＝ 3 10， ∴FG＝2FM＝ 3 5 ②当 AE＝4 时，BF＝4，DE＝CF＝1 ∴BE＝2 5，CE＝ 5，OG＝ 5 由△CFH∽△CBE，得 CH＝ 5 ∴OM＝EH＝CE－CH＝ 4 5，∴FM＝ OG 2－OM 2＝ 3 5 ∴FG＝2FM＝ 6 5 （3）连接 EF，设 AE＝x，则 EF＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5－x 若△OFG 是等腰直角三角形，则∠FOG＝90° ①当点 G 在点 F 上方时 连接 BG、EG，设 BG、EF 交于点 K，作 GM⊥EF 于 M 则∠FBG＝∠FEG＝45° ∴△BFK 和△EGK 都是等腰直角三角形 ∴KF＝BF＝x，EK＝2－x，GM＝KM＝ 1 2 EK＝1－ 1 2 x FM＝x＋1－ 1 2 x＝1＋ 1 2 x ∵∠GFM＝∠ECF＝90°－∠FEC ， ∴Rt△GMF∽Rt△EFC，∴ GM FM ＝ EF CF ∴ 1－ x 1＋ x ＝ 2 5－x ，解得 x1＝ 9－ 2 ，x2＝ 9＋ 2 ＞5（舍去） ②当点 G 在点 F 下方时 连接 BG、EG，设 BC、EG 交于点 K，作 GM⊥BF 于 M 则∠GBF＝∠GEF＝45° ∴△BGK 和△EFK 都是等腰直角三角形 D B A C O F E H D B A C O F E H M G D B A C O F E H M G O D B A C H G E F M K D B A C H G E FK O M ∴KF＝EF＝2，EK＝2 2 BK＝x－2，GM＝KM＝ 1 2( x－2)，FM＝2＋ 1 2( x－2)＝ 1 2( x＋2) ∵∠MFG＝∠HFC＝∠FEC＝90°－∠HCF ∴Rt△FMG∽Rt△EFC， ∴ FM GM ＝ EF CF ∴ (x＋2) (x－2) ＝ 2 5－x ，解得 x1＝ 1＋ 2 ，x2＝ 1－ 2 （舍去） 综上所述，△OFG 能成为等腰直角三角形，此时 AE 的长为 9－ 2 或 1＋ 2 13．在平面直角坐标系中，点 A（10，0）、B（6，8），点 P 是线段 OA 上一动点（不与点 A、点 O 重合）， 以 PA 为半径的⊙P 与线段 AB 的另一个交点为 C，作 CD⊥OB 于 D（如图 1）． （1）求证：CD 是⊙P 的切线；（2）当⊙P 与 OB 相切时，求⊙P 的半径； （3）在（2）的条件下，设⊙P 与 OB 相切于点 E，连接 PB 交 CD 于 F（如图 2）． ①求 CF 的长； ②在线段 DE 上是否存在点 G 使∠GPF＝45°？若存在，求出 EG 的长；若不存在，请说明理由． （1）证明：连接 PC，过 B 作 BN⊥x 轴于 N ∵PC＝PA，∴∠1＝∠2 ∵A（10，0），B（6，8），∴OA＝10，BN＝8，ON＝6 在 Rt△OBN 中，OB＝ ON 2＋BN 2＝ 6 2＋8 2＝10 ∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠1 ∴∠OBA＝∠2，∴PC∥OB ∵CD⊥OB，∴CD⊥PC ∴CD 是⊙P 的切线 （2）解：设⊙P 的半径为 r ∵⊙P 与 OB 相切于点 E，∴OB⊥PE ∴在 Rt△OPE 中，sin∠EOP＝ PE OP ＝ r 10－r 在 Rt△OBN 中，sin∠BON＝ BN OB ＝ 8 10 ＝ 4 5 ∴ r 10－r ＝ 4 5 ，解得 r＝ 40 9 （3）①由（2）知 r＝ 40 9 ，∴OP＝10－ 40 9 ＝ 50 9 ∴OE＝ OP 2－PE 2＝ 10 3 AO P B D y x C 图 1 AO P B D y x C 图 2 E F AO P B D y x C N 1 2 AO P B D y x C E F N ∵∠PCD＝∠CDE＝∠PED＝90° ， ∴四边形 PCDE 是矩形 ∵PE＝PC，∴矩形 PCDE 是正方形 ∴PE＝DC＝ 40 9 ，∴BD＝OB－OE－DE＝10－ 10 3 － 40 9 ＝ 20 9 ∵∠BFD＝∠PFC，∠BDF＝∠PCF＝90° ∴△BDF∽△PCF，∴ DF CF ＝ BD PC 即 －CF CF ＝ ，解得 CF＝ 80 27 ②存在 在 DE 延长线上截取 ET＝CF ∵四边形 PCDE 是正方形 ∴∠PET＝∠PCF＝90°，PE＝PC ∴△PET≌△PCF，∴∠4＝∠3，PT＝PF ∵∠CPE＝90°，∠GPF＝45° ∴∠GPE＋∠3＝45°，∴∠GPE＋∠4＝45° 即∠GPT＝45°，∴∠GPT＝∠GPF 又 PG＝PG，∴△PGT≌△PGF ， ∴GF＝GT＝GE＋ET＝GE＋CF 设 GE＝a，则 DG＝ 40 9 －a，GF＝ 80 27 ＋a， 又 DF＝DC－CF＝ 40 9 － 80 27 ＝ 40 27 在 Rt△DFG 中，DF 2＋DG 2＝GF 2 ∴( 40 27 )2＋( 40 9 －a )2＝( 80 27 ＋a )2，解得 a＝ 8 9，即 EG 的长为 8 9 14．如图，以△ABC 的边 BC 为弦，在点 A 的同侧画 BC︵ 交 AB 于 D，且∠BDC＝90°＋ 1 2 ∠A，点 P 是 BC︵ 上 的一个动点． （1）判定△ADC 的形状，并说明理由； （2）若∠A＝70°，当点 P 运动到∠PBA＝∠PBC＝15°时，求∠ACB 和∠ACP 的度数； （3）当点 P 在 BC︵ 运动时，过点 P 作直线 MN⊥AP，分别交 AB、AC 于点 M、N，是否存在这样的点 P，使 得△BMP 和△BPC 和△CPN 彼此相似？请说明理由． 解：（1）△ADC 是等腰三角形 ∵∠BDC＝90°＋ 1 2 ∠A ， ∴∠ADC＝90°－ 1 2 ∠A，∠ACD＝90°＋ 1 2 ∠A－∠A＝90°－ 1 2 ∠A ∴∠ACD＝∠ADC，∴△ADC 是等腰三角形 （2）∵∠A＝70°，∠PBA＝∠PBC＝15° ∴∠ACB＝180°－70°－2×15°＝80° ∵∠BPC＝∠BDC＝90°＋ 1 2∠A＝90°＋ 1 2×70°＝125° B A C D 备用图 P B A C D P B A C DM N AO P B D y x C E F G T 3 4 ∴∠PCB＝180°－15°－125°＝40° ∴∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝80°－40°＝40° （3）存在．当点 P 运动至 CD︵ 的中点时，△BMP 和△BPC 和△CPN 彼此相似 ∵P 是 CD︵ 的中点，∴∠ABP＝∠CBP 设∠A＝x°，∠ABP＝∠CBP＝y° 则∠ACB＝180°－x－2y，∠PCB＝180°－y－( 90°＋ 1 2 x )＝90°－y－ 1 2 x ∴∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝180°－x－2y－( 90°－y－ 1 2 x )＝90°－y－ 1 2 x ∴∠PCB＝∠ACP， ∴PC 平分∠ACB ∴当点 P 运动至 CD︵ 的中点时，点 P 是△ABC 的角平分线的交点 连接 AP，则 AP 平分∠BAC，∴∠BMP＝∠CNP＝90°＋ 1 2 x＝∠BPC ∴△BMP 和△BPC 和△CPN 彼此相似 15．如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC＝4AD＝4 2，∠B＝45°．将直角三角板含 45°角的顶点 E 放在边 BC 上移动（不与点 C 重合），一直角边始终经过点 A，斜边与 CD 交于点 F． （1）在点 E 移动过程中，当△ABE 为等腰三角形时，求 CF 的长； （2）在点 E 移动过程中，求△ADF 外接圆半径的最小值． 解：（1）∵BC＝4AD＝4 2，∴AD＝ 2 ∵等腰梯形 ABCD，∠B＝45°， ∴AB＝ 2× 1 2( BC－AD )＝ × 1 2(4 2－ 2)＝3 ∵∠B＝45°， ∴∠BAE＋∠AEB＝135° ∵∠AEF＝45°， ∴∠CEF＋∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠CEF，又∠B＝∠C ∴△BAE∽△CEF， ∴ BE CF ＝ AB EC ∴CF＝ EC AB·BE＝ BC－BE AB ·BE＝ 4－BE 3 ·BE （1） 若 AE＝BE，则∠AEB＝90°，BE＝ 2 AB＝ 3 2，代入（1）得 CF＝ 5 2 若 AB＝AE，则∠BAE＝90°，BE＝ 2AB＝3 2，代入（1）得 CF＝2 若 AB＝BE，则 BE＝3，代入（1）得 CF＝4 2－3 （2）设△ADF 外接圆的圆心为 O ， ∵∠ADF＝135°，∴∠AOF＝90°，∴AF＝ 2r 当 AF 最小时，r 也最小；又当 CF 最大时，AF 最小 由（1）知 CF＝ 4－BE 3 ·BE＝－ 1 3 BE 2＋ 4 3 BE＝－ 1 3( BE－2 2)2＋ 8 3 2 B C A E F D B C A E F D 当 BE＝2 2 即 E 为 BC 中点时，CF 最大，为 8 3，此时 DF＝3－ 8 3 ＝ 1 3 作 FG⊥AD 于 G，则 FG＝DG＝ 6，AG＝AD＋DG＝ 7 6 ∴AF 长的最小值为： AG 2＋FG 2＝ 5 3 ∴△ADF 外接圆半径的最小值为 2AF＝ 5 6 20．如图，已知直线 l 与⊙O 相离，OA⊥l 于点 A，OA＝5，OA 与⊙O 相交于点 P，AB 与⊙O 相切于点 B， BP 的延长线交直线 l 于点 C． （1）试判断线段 AB 与 AC 的数量关系，并说明理由； （2）若 PC＝2 5，求⊙O 的半径和线段 PB 的长； （3）若在⊙O 上存在点 Q，使△QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，求⊙O 的半径 r 的取值范围． （1）AB＝AC．理由如下： 连接 OB ∵AB 与⊙O 相切于点 B，OA⊥AC，∴∠OBA＝∠OAC＝90° ∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90° ∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB ∵∠OPB＝∠APC，∴∠ABP＝∠ACP ∴AB＝AC （2）设⊙O 的半径为 r，则 OP＝OB＝r，PA＝5－r ∴AB 2＝OA 2－OB 2＝5 2－r 2 AC 2＝PC 2－PA 2＝( 2 5 )2－( 5－r )2 ∵AB＝AC，∴5 2－r 2＝( 2 5 )2－( 5－r )2 解得 r＝3 ∴AB＝ 5 2－3 2＝4，∴sin∠BOP＝ AB OA ＝ 4 5 ，cos∠BOP＝ OB OA ＝ 3 5 过 B 作 BD⊥OP 于 D 则 DB＝OB·sin∠BOP＝3× 4 5 ＝ 12 5 ，OD＝OB·cos∠BOP＝3× 3 5 ＝ 9 5 ∴DP＝OP－OD＝3－ 9 5 ＝ 6 5 ∴PB＝ DB 2＋DP 2＝ 6 5 5 （3）作线段 AC 的垂直平分线 MN，作 OE⊥MN C P O B A l O A l （备用图） B C A E F D G O C P O B A l D C P O B A l E M N 则 OE＝ 1 2 AC＝ 1 2 AB＝ 1 2 5 2－r 2 由题意，⊙O 与直线 MN 有交点 ∴OE≤r，即 1 2 5 2－r 2≤r，∴r ≥ 5 又∵直线 l 与⊙O 相离，∴r ＜5 ∴ 5≤r ＜5 21．在平面直角坐标系 xOy 中，已知动点 P 在正比例函数 y＝x 的图象上，点 P 的横坐标为 m（m＞0）．以 点 P 为圆心， 5m 为半径的圆交 x 轴于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴于 C、D 两点（点 D 在点 C 的上方），点 E 为平行四边形 DOPE 的顶点（如图）． （1）写出点 B、E 的坐标（用含 m 的代数式表示）； （2）连接 DB、BE，设△BDE 的外接圆交 y 轴于点 Q（点 Q 异于点 D），连接 EQ、BQ．试问线段 BQ 与线 段 EQ 的长是否相等？为什么？ （3）连接 BC，求∠DBC－∠DBE 的度数． 解：（1）B（3m，0），E（m，4m） （2）BQ 与 EQ 相等，理由如下：易得 D（0，3m），作 EK⊥y 轴于 K 则得 OB＝OD，EK＝DK ∴△BOD 和△EKD 均为等腰直角三角形 ∴∠EDB＝90° ∴BE 为△EDB 外接圆的直径 ∴∠EQB＝90°，∴∠QDB＝∠QEB＝45° ∴∠QBE＝45°，∴∠QEB＝∠QBE ∴BQ＝EQ （3）由（2）知，△BDE 为直角三角形 易得 DE＝ 2m，BD＝3 2m 在 Rt△BOC 中，BO＝3CO＝3m 在△BDE 和△BOC 中 ∠BDE＝∠BOC＝90°，且 DE BD ＝ CO BO ＝ 1 3 ∴△BDE∽△BOC， ∴∠DBE＝∠OBC， ∴∠∠DBC－∠DBE＝∠DBC－∠OBC＝45° 22．如图 1，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半 轴上，且 OA＝2，OC＝1，矩形对角线 AC、OB 相交于点 E，过点 E 的直线与边 OA、BC 分别相交于点 G、 H． （1）①直接写出点 E 的坐标：____________； ②求证：AG＝CH； C B P O x D y E A C B P O x D y E A （备用图） C B P O x D y E A F K （2）如图 2，以 O 为圆心、OC 为半径画弧交 OA 于点 D，若直线 GH 与弧 CD 所在的圆相切于矩形内一点 F，求直线 GH 的函数关系式； （3）在（2）的结论下，梯形 ABHG 的内部有一点 P，当⊙P 与 HG、GA、AB 都相切时，求⊙P 的半径． 解：（1）①（1， 1 2） ②证明：在矩形 OABC 中， ∵EA＝EC，OA∥BC， ∴∠GAE＝∠HCE 又∵∠GEA＝∠HEC， ∴△AGE≌△CHE， ∴AG＝CH （2）连接 ED、OF、OB ， ∵D 为 OA 中点，E 为 OB 中点 ∴ED＝ 1 2 AB＝ 1 2 ，且 ED∥AB ∴∠EDO＝∠BAO＝90°，∴ED 切⊙O 于 D 又直线 GH 切⊙O 于 F，∴EF＝ED＝ 1 2 又∵HC 是⊙O 的切线，∴HF＝HC 设 AG＝m，则 HC＝HF＝AG＝m，OG＝2－m， 由（1）可知，EH＝EG，∴EG＝ 1 2 ＋m，FG＝1＋m 在 Rt△OFG 中，OG 2＝OF 2＋FG 2 ∴( 2－m )2＝1 2＋( 1＋m )2，解得 m＝ 1 3 ， ∴OG＝2－m＝ 5 3 ，∴点 G 坐标为（ 5 3 ，0） 设直线 GH 的函数关系式为 y＝kx＋b，将点 E（1， 1 2）、G（ 5 3 ，0）代入 得 { 解得 { ， ∴直线 GH 的函数关系式为 y＝－ 3 4 x＋ 5 4 （3）连接 BG，作∠BAO 的平分线交 BC 于点 M，交 BG 于点 P 由（2）知，BH＝ 5 3 ，GH＝ 5 3 ，∴BH＝GH，∴∠HBG＝∠HGB ∵BC∥OA，∴∠HBG＝∠AGB，∴∠HGB＝∠AGB， 即 GB 平分∠HGA，∴点 P 即为所求圆的圆心 ∵AM 平分∠BAO，∴∠BAM＝45° ∴MB＝AB＝1，∴MC＝1，∴M（1，1） 设直线 AM 的函数关系式为 y＝k1x＋b1 则 { 解得 { ∴y＝－x＋2 设直线 BG 的函数关系式为 y＝k2x＋b2 ∵B（2，1）、G（ 5 3 ，0） B GO x H y E A C 图 1 B GO x H y E A C 图 2 F D B GO x H y E A C 备用图 F D B GO x H y E A C F D P M B GO x H y E A C F D ∴{ 解得 { ， ∴y＝3x－5 由 { 解得 { ∴点 P 坐标为（ 7 4 ， 1 4）， ∴⊙P 的半径为 1 4 29．已知：如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2 3，∠A＝60°，以点 D 为圆心的⊙D 与边 AB 相切于点 E． （1）求证：⊙D 与边 BC 也相切； （2）设⊙D 与 BD 相交于点 H，与边 CD 相交于点 F，连接 HF，求图中阴影部分的面积（结果保留 π）； （3）⊙D 上一动点 M 从点 F 出发，按逆时针方向运动半周，当 S△HDF ＝ 3S△MDF 时，求动点 M 经过的弧 长（结果保留 π）． （1）证明：连接 DE，过点 D 作 DN⊥BC 于 N ∵四边形 ABCD 是菱形，∴BD 平分∠ABC ∵边 AB 与⊙D 相切于点 E， ∴DE⊥AB ， ∴DN＝DE ∴⊙D 与边 BC 也相切 （2）解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝AB＝2 3 ∵∠A＝60°，∴DE＝AD·sin60°＝3，即⊙D 的半径是 3 又∵∠HDF＝ 1 2∠CDA＝60°，DH＝DF，∴△HDF 是等边三角形 过 H 作 HG⊥DF 于 G，则 HG＝3×sin60°＝ 3 2 ∴S△HDF ＝ 1 2×3× 3 2 ＝ 9 4 ，S 扇形 HDF ＝ 60 × π × 3 2 360 ＝ 3π 2 ∴S 阴影 ＝S 扇形 HDF － S△HDF ＝ 3π 2 － 9 4 ＝ 6π－9 4 （3）假设点 M 运动到点 M1 时，满足 S△HDF ＝ 3S△M1DF 过点 M1 作 M1P⊥DF 于 P，则 9 4 ＝ 3× 1 2×3×M1P ∴M1P＝ 3 2 ，∴∠FDM1＝30°，此时点 M 经过的弧长为：l1＝ 30 × π × 3 180 ＝ π 2 过点 M1 作 M1M2∥DF 交⊙D 于点 M2，则满足 S△HDF ＝ 3S△M1DF ＝ 3S△M2DF 此时∠FDM2＝150°，点 M 经过的弧长为：l,2＝ 150 × π × 3 180 ＝ 5π 2 综上所述，当 S△HDF ＝ 3S△MDF 时，动点 M 经过的弧长为 π 2 或 5π 2 30．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0），点 M（4，4），直线 y＝－ 3 4 x＋b 过点 M，分别交 x 轴、 y 轴于 B、C 两点，以点 A 为圆心，AM 为半径作⊙A． D C BA E M H F D C BA E M H F N G D C BA M1 H F M2 P （1）⊙M 的半径为_________，b＝_________； （2）判断直线 BC 与⊙A 的位置关系，并说明理由； （3）若 EF 切⊙A 于点 F，分别交线段 AB、BC 于点 G、E，且 FE⊥BC，求 FG EG 的值． （4）若点 P 在⊙A 上，点 Q 是 y 轴上一点且在点 C 下方，当△PQM 为等腰直角三角形时，直接写出点 Q 的坐标． （1）5 7 （2）直线 BC 与⊙A 相切 理由如下：对于 y＝－ 3 4 x＋7，当 x＝0 时，y＝7；当 y＝0 时，x＝ 28 3 ∴B（ 28 3 ，0），C（0，7），∴OB＝ 28 3 ，OC＝7 连接 AM，过 M 作 MH⊥x 轴于 H 则 AH＝3，BH＝ 28 3 －4＝ 16 3 ，MH＝4，∴ AH MH ＝ MH BH ＝ 3 4 又∠AHM＝∠MHB＝90°，∴△AMH∽△MBH ∴∠MAH＝∠BMH ∵∠AMH＋∠MAH＝90°，∴∠AMH＋∠BMH＝90°，即 AM⊥BC ∴直线 BC 与⊙A 相切 （3）连接 AM，AF ∵EF 切⊙A 于点 F，∴∠AFG＝90° 又∵AM⊥BC，EF⊥BC，∴四边形 AFEM 是矩形 ∴∴EF＝AM＝5，AF∥BC ∴∠GAF＝∠CBO ∴FG＝AF·tan∠GAF＝AF·tan∠CBO＝5× 3 4 ＝ 15 4 ∴EG＝EF－FG＝5－ 15 4 ＝ 5 4 ，∴ FG EG ＝3 （4）（0，0）或（0，2）或（0，－8）或（0，3－ 41） 提示：①当∠PQM＝90°时，MQ＝PQ ∵M（4，4），∴∠MOB＝45° 由对称性知，M、P 两点关于 x 轴对称 ∴点 Q 与原点 O 重合 ∴Q（0，0） ②当∠PMQ＝90°时，MQ＝MP BA M O x y C H A M O x y P (Q) C A B M O x E y F G C A B M O x y C A B M O x y 备用图 C A B M O x y 备用图 作 MH⊥x 轴于 H，MG⊥y 轴于 G，则 MG＝MH，∠GMH＝90° ∴∠GMQ＝∠HMP＝90°－∠QMH ∴△MGQ≌△MHP，∴∠MHP＝∠MGQ＝90° ∴点 P 在 x 轴的正半轴上，即点 P 是⊙A 与 x 轴正半轴的交点 ∴GQ＝HP＝5＋1－4＝2，∴QO＝4－2＝2 ∴Q（0，2） ③当∠MPQ＝90°时，PM＝PQ 设 P（m，n），Q（0，t），分两种情况： i）若点 P 在 y 轴右侧的⊙A 上 作 PG⊥y 轴于 G，MH⊥PG 于 H，则△PGQ≌△MHP，得： { 由②、③解得 {（舍去）{ 把 m＝ 5＋ 2 ，n＝ 3－ 2 代入①，得 t＝3－ 41 ∴Q（0，3－ 41） ii）若点 P 在 y 轴左侧的⊙A 上，则： { 由⑤、⑥解得 {（舍去）{ 把 m＝－4，n＝0 代入④，得 t＝－8 ∴Q（0，－8） 综上所述，点 Q 的坐标为（0，0）或（0，2）或（0，－8）或（0，3－ 41） 33．已知⊙O 是△ABC 的外接圆，点 P 是⊙O 上的任意一点（不与 A、B、C 重合），⊙P 在△ABC 的外部 且与△ABC 相邻的一边相切，⊙P 称为△ABC 的“卫星圆”．过与 P 相邻的△ABC 的两个顶点作⊙P 的切线 交于 S，两切线和与⊙P 相切的一边组成的三角形称为△ABC 的“卫星三角形”（如图 1 中的△SAC）． （1）如图 1，若△ABC 为等边三角形，⊙O 的半径为 r． ①∠S 的大小是否发生变化，若无变化，求∠S 的大小，若有变化，说明变化趋势； ②当点 P 在劣弧 AC 上运动时，⊙P 与边 AC 相切于 D 点，设 AD＝x，⊙P 的半径为 y，求 y 关于 x 的函数 关系式； （2）如图 2，若△ABC 中，AC＝BC，∠C＝120°，⊙O 的半径为 r，点 P 在优弧 AB 上，⊙P 与直线 AB 相 切（切点不是 A、B），求“卫星三角形”的面积最大值． 解：（1）①∠S 的大小不变 连接 PA、PC ∵△ABC 为等边三角形，∴∠B＝60° ∴∠APC＝120° 在△APC 中，∠APC＝180°－(∠PAC＋∠PCA ) A M O x y P Q G H A M O x y P H Q A M O x y PH Q G A M O x y P H Q G P B A C O S 图 1 D A C B O 图 2 P B A C O S D ＝180°－ 1 2(∠SAC＋∠SCA ) ＝180°－ 1 2(180°－∠S ) ＝90°＋ 1 2∠S ∴90°＋ 1 2∠S＝120°，∴∠S＝60°， ∴∠S 的大小不变，始终等于 60° ②连接 OC、OP、PD，作 OM⊥AC 于 M，ON⊥PD 于 N 则四边形 OMDN 是矩形，∴DN＝OM，ON＝DM ∵△ABC 为等边三角形，∴∠OCM＝30° ∴OM＝ 1 2 r，AM＝CM＝ 2r 当 x ＜ 2r 时，ON＝ 2r－x，PN＝y＋ 1 2 r 在 Rt△ONP 中，ON 2＋PN 2＝OP 2 ∴( 2r－x )2＋( y＋ 1 2 r )2＝r 2 ∴y＝ －x 2＋r＋ r 2－ 1 2 r 当 2r ≤x ＜ 3r 时，ON＝x－ 2r，PN＝y＋ 1 2 r ， 同理可得 y＝ －x 2＋r＋ r 2－ 1 2 r 综上，y＝ －x 2＋r＋ r 2－ 1 2 r （2）当 P 点运动到优弧 AB 中点时，⊙P 的半径最大，从而“卫星三角形”的面积最大 分别过点 A、B 作⊙P 的切线交于 S，则△SAB 是△ABC 的“卫星三角形” 连接 PA、PB、OA、OC，设 OC 与 AB 相交于点 D ∵AC＝BC，∴OC⊥AB，AD＝BD ∵∠ACB＝120°，∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60° ∵OA＝OC，∴△OAC 是等边三角形 ∴∠OAD＝30°，AD＝ 2 r，∴AB＝ 3r ∵∠ACB＝120°，∴∠P＝60°，△PAB 是等边三角形 ∵SA、AB 是⊙P 的切线，∴∠PAE＝∠PAB＝60° ∴∠SAB＝60° 同理，∠SBA＝60°，∴△SAB 是等边三角形 ∴S△SAB ＝ 4 AB 2＝ 3 4 r 2 即“卫星三角形”面积的最大值为 3 4 r 2 34．已知纸片⊙O 的半径为 2，如图 1，沿弦 AB 折叠操作． （1）如图 2，当折叠后的AB ︵ 经过圆心 O 时，求AB ︵ 的长； （2）如图 3，当弦 AB＝2 时，求折叠后AB ︵ 所在圆的圆心 O′ 到弦 AB 的距离； （3）在图 1 中，再将纸片⊙O 沿弦 CD 折叠操作． ①如图 4，当 AB∥CD，折叠后的 CD︵ 与AB ︵ 所在圆外切于点 P 时，设点 O 到弦 AB、CD 的距离之和为 d， 求 d 的值； P B A C O S D M N P B A C O S D MN A C B O P D S E A ②如图 5，当 AB 与 CD 不平行，折叠后的 CD︵ 与AB ︵ 所在圆外切于点 P 时，设点 M 为 AB 的中点，点 N 为 CD 的中点．试探究四边形 OMPN 的形状，并证明你的结论． 解：（1）如图 1，过点 O 作 OE⊥AB 交⊙O 于点 E，连接 OA、OB、AE、BE ∵点 E 与点 O 关于 AB 对称，∴△OAE、△OBE 为等边三角形 ∴∠OEA＝∠OEB＝60° ∴AB ︵ 的长为： 120π × 2 180 ＝ 4π 3 （2）如图 2，连接 O′A、O′B ∵AB ︵ 折叠前后所在的圆⊙O 与⊙O′ 是等圆 ∴O′A＝O′B＝OA＝AB＝2 ∴△AO′B 为等边三角形 ∴O′E＝O′B·sin60°＝ 3 （3）①如图 3，当CPD︵ 与APB ︵ 所在圆外切于点 P 时 过点 O 作 EF⊥AB 交AEB ︵ 于点 E，交CFD︵ 于点 F ∵AB∥CD，∴EF 垂直平分 CD，且必过点 P 根据垂径定理及折叠，可知 PH＝ 1 2 PE，PG＝ 1 2 PF 又∵EF＝4，∴点 O 到 AB、CD 的距离之和 d 为： d＝PH＋PG＝ 1 2 PE＋ 1 2 PF＝ 1 2( PE＋PF )＝2 ②如图 4，当 AB 与 CD 不平行时，四边形 OMPN 是平行四边形 证明如下：设 O′、O″ 为APB ︵ 和CPD︵ 所在圆的圆心 ∵O′ 与 O 关于 AB 对称，O″ 与 O 关于 CD 对称 ∴M 为 OO′ 的中点，N 为 OO″ 的中点 ∵CPD︵ 与APB ︵ 所在圆外切，∴连心线 O′O″ 必过切点 P ∵CPD︵ 与APB ︵ 所在圆与⊙O 都是等圆， ∴O′P＝O″P＝2 ∴PM＝ 1 2 OO″＝ON，PM∥OO″，也即 PM∥ON 图 2 B A OO B A 图 1 图 3 O B A O′ O A B 图 4 C D P A B 图 5 D OP M C N O A B 图 3 C D P E H G F A B 图 4 D OP O′ O″ N M C 图 1 B A OE 图 2 O B A O′ E ∴四边形 OMPN 是平行四边形 40．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于 F， 切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K． （1）求证：KE＝GE； （2）若 KG 2＝KD·GE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若 sinE＝ 3 5 ，AK＝2 5，求 FG 的长． 解：（1）连接 OG ∵EF 为⊙O 的切线，∴OG⊥EF ∴∠OGA＋∠KGE＝90° ∵CD⊥AB，∴∠OAG＋∠HKA＝90° ∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG ∴∠KGE＝∠HKA，∴KE＝GE （2）AC 与 EF 的位置关系是 AC∥EF 理由如下： 连接 DG ∵KG 2＝KD·GE＝KD·KE， ∴ KG KD ＝ KE KG ∵∠DKG＝∠GKE， ∴△KDG∽△KGE， ∴∠AGD＝∠E 又∵在⊙O 中，∠AGD＝∠ACD， ∴∠E＝∠ACD， ∴AC∥EF （3）∵∠ACH＝∠E，∴sin∠ACH＝sinE＝ 3 5 在 Rt△ACH 中，设 AH＝3t，则 AC＝5t，CH＝4t 由 AC∥EF，易得△ACK 是等腰三角形，CK＝AC＝5t ∴HK＝CK－CH＝t 在 Rt△AHK 中，由勾股定理得 AH 2＋HK 2＝AK 2 即( 3t )2＋t 2＝( 2 5 )2，解得 t＝ 2 ∴AH＝3 2，CA＝CK＝5 2 连接 BC 由△ACH∽△ABC，得 AC 2＝AH·AB（或由射影定理得） ∴AB＝ AC 2 AH ＝ (5)2 3 ＝ 25 3 在 Rt△EFH 中，由 sinE＝ 3 5 可得 tanF＝ 4 3 在 Rt△OFG 中，tanF＝ OG FG ＝ 4 3 ∴FG＝ 3 4 OG＝ 3 8 AB＝ 25 8 O G D E AC B F H K O G D E AC B F H K 49．如图，在平面直角坐标系中，半径分别为 m、n（0＜m ＜n）的两圆⊙O1 和⊙O2 相交于 P，Q 两点，且 点 P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1 与 x 轴、y 轴分别切于点 M、N，⊙O2 与 x 轴、y 轴分别切 于点 R、H． （1）求两圆的圆心 O1、O2 所在直线的解析式； （2）求两圆的圆心 O1、O2 之间的距离 d； （3）令四边形 PO1QO2 的面积为 S1，四边形 RMO1O2 的面积为 S2．试探究：是否存在一条经过 P、Q 两点、 开口向下，且在 x 轴上截得的线段长为 | S1－S2| d 的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在， 请说明理由． 解：（1）由题意，O1（m，m），O2（n，n） 设 O1、O2 所在直线的解析式为 y＝kx＋b ∴{ 解得 { ∴所求直线的解析式为 y＝x （2）连接 O1P，∵O1（m，m），P（4，1） ∴O1P 2＝( m－4 )2＋( m－1 )2＝2m 2－10m＋17 又 O1P 为⊙O1 的半径，即 O1P＝m ∴O1P 2＝m 2，即 2m 2－10m＋17＝m 2 ∴m 2－10m＋17＝0 同理可得：n 2－10n＋17＝0 ∴m、n 是一元二次方程 x 2－10x＋17＝0 的两个根 ∴m＋n＝10，mn＝17 ∵O1（m，m），O2（n，n） ∴d 2＝( m－n )2＋( m－n )2＝2( m－n )2 ＝2( m＋n )2－8mn＝2×10 2－8×17 ＝64 ∴d＝8 （3）连接 PQ 由相交两圆的性质，可知 P、Q 两点关于直线 O1O2 对称， ∴PQ⊥O1O2 ∵P（4，1），直线 O1O2 解析式为 y＝x，∴Q（1，4） ∴PQ＝ (4－1)2＋(1－4)2＝3 2 ∴S1＝ 1 2 PQ·O1O2＝ 1 2×3 2×8＝12 2 又 S2＝ 1 2( O1M＋O2R )·MR＝ 1 2( m＋n )( n－m ) M H O1 R N P O2 Q y x M H O1 R N P O2 Q y x ＝ 1 2( m＋n ) (m＋n)2－4mn＝ 1 2×10× 10 2－4 × 17 ＝20 2 ∴ | S1－S2| d ＝ |12－20| × 8 ＝1，即抛物线在 x 轴上截得的线段长为 1 假设存在这样的抛物线，其解析式为 y＝ax 2＋bx＋c ∵抛物线过点 P（4，1），Q（1，4） ∴{ 解得 {， ∴抛物线解析式为 y＝ax 2－( 5a＋1 )x＋4a＋5 令 y＝0，得 ax 2－( 5a＋1 )x＋4a＋5 设两根为 x1，x2，则有：x1＋x2＝ 5a＋1 a ，x1x2＝ 4a＋5 a ∵抛物线在 x 轴上截得的线段长为 1，即| x1－x2|＝1 ∴( x1－x2 )2＝1，∴( x1＋x2 )2－4x1x2＝1 即( 5a＋1 a )2－4( 4a＋5 a )＝1，化简得：8a 2－10a＋1＝0 设两根为 a1，a2，则有：a1＋a2＝ 10 8 ，a1a2＝ 1 8 ∴a1＞0，a2＞0，这与抛物线开口向下（即 a ＜0）矛盾 ∴不存在这样的抛物线 53．如图，梯形 ABCD 是等腰梯形，且 AD∥BC，O 是腰 CD 的中点，以 CD 长为直径作圆，交 BC 于 E， 过 E 作 EH⊥AB 于 H． （1）求证：OE∥AB； （2）若 EH＝ 1 2 CD，求证：AB 是⊙O 的切线； （3）若 BE＝4BH，求 BH CE 的值． （1）证明：∵等腰梯形 ABCD，∴∠B＝∠C 又 OE＝OC ∴∠1＝∠C ， ∴∠1＝∠B，∴OE∥AB （2）过 O 作 OG⊥AB 于 G ∵EH⊥AB，∴OG∥EH 又 OE∥AB，∴四边形 OGHE 是平行四边形，∴EH＝OG 又 EH＝ 1 2 CD，∴OG＝ 1 2 CD ∵CD 为⊙O 直径，∴OG 是⊙O 半径 又 OG⊥AB，∴AB 是⊙O 的切线 （3）连接 DE，∵DC 为直径，∴∠DEC＝90° 设 BH＝x，∵BE＝4BH，∴BE＝4x 在 Rt△BHE 中，由勾股定理得 EH＝ (4x)2－x 2＝ 15x 又 EH＝ 1 2 CD，∴CD＝2 15x ∵∠B＝∠C，∴Rt△BEH∽Rt△CDE ， ∴ BH CE ＝ BE CD ＝ 4x 2x ＝ 2 15 56．如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线 PO 交⊙于点 E，F，过点 B 作 PO 的垂线 BA，垂足为点 D， 交⊙O 于点 A，延长 AO 与⊙O 交于点 C，连接 BC，AF． （1）求证：直线 PA 为⊙O 的切线； （2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的等量关系，并加以证明； A CB O D H E A C B O D E PF A CB O D H E G 1 （3）若 BC＝6，tan∠F＝ 1 2 ，求 cos∠ACB 的值和线段 PE 的长． （1）证明：连接 OB，∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO＝90° ∵OA＝OB，BA⊥PO 于 D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB 又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO ∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴直线 PA 为⊙O 的切线 （2）EF 2＝4OD·OP 证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90° ∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90° ∴∠OAD＝∠OPA，∴△OAD∽△OPA ∴ OD OA ＝ OA OP ，即 OA 2＝OD·OP， 又∵EF＝2OA，∴EF 2＝4OD·OP （3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝ 1 2 BC＝3 设 AD＝x，∵tan∠F＝ AD FD ＝ 1 2 ，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3 在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得( 2x－3 )2＝x 2＋3 2 解得 x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）， ∴AD＝4，OA＝2x－3＝5 ∵AC 是⊙O 直径，∴∠ABC＝90° ，又∵AC＝2OA＝10，BC＝6，∴cos∠ACB＝ BC AC ＝ 6 10 ＝ 3 5 ∵OA 2＝OD·OP，∴3( PE＋5 )＝25，∴PE＝ 10 3 58．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0），以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 x 轴交于 O、B 两点，OC 为弦，∠AOC＝60°，P 是 x 轴上的一动点，直线 CP 交⊙A 于点 Q，连接 OQ、AQ． （1）当△OCQ 是等腰三角形时，求点 P 的坐标； （2）当△APQ 是等腰三角形时，求∠OCQ 的度数． 解：（1）∵AC＝AO，∠AOC＝60°，∴△AOC 是等边三角形 ①若 OC 为腰，则 OA 垂直平分 CQ ∴OP＝ 1 2 OA＝1，∴P（1，0） ②若 OC 为底 i）当点 P 在直径 OB 上时 过 C 作 CM⊥OA 于 M，则∠OCM＝30° ∵∠OQC＝ 1 2 ∠OAC＝30°，∴∠OCQ＝ 1 2(180°－30°)＝75° ∴∠PCM＝75°－30°＝45°，∴△PCM 是等腰直角三角形 ∴PM＝CM＝ 2 OC＝ 3 A B C O xP Q y A B C O x P Q y M A B C O xP Q y A C B O D E PF ∴OP＝OM＋PM＝1＋ 3，∴P（1＋ 3，0） ii）当点 P 在 BO 的延长线上时，则 AQ 垂直平分 OC ∴∠QOC＝∠QCO＝ 1 2 ∠OAQ＝15° ∴∠CPO＝∠AOC－∠QCO＝60°－15°＝45° 过 C 作 CM⊥OA 于 M，则∠OCM＝30° 则△PCM 为等腰直角三角形，∴PM＝CM＝ 2 OC＝ 3 ∴OP＝PM－OM＝ 3－1，∴P（1－ 3，0） （2）设∠OCQ＝x，显然 AP≠AQ ①若 PQ＝AQ i）当点 P 在 BO 的延长线上时 则∠ACQ＝60°＋x，∠QPA＝∠QAP＝60°－x ∠AQC＝2∠QPA＝120°－2x ∵AC＝AQ，∴∠ACQ＝∠AQC ∴60°＋x＝120°－2x，∴x＝20° ii）当点 P 在直径 OB 上时 则∠ACQ＝∠AQC＝60°－x ∴∠QPA＝∠QAP＝ 1 2[180°－(60°－x)]＝60°＋ 1 2 x 又∵∠QPA＝∠CPO＝180°－(60°＋x)＝120°－x ∴60°＋ 1 2 x＝120°－x，∴x＝40° iii）当点 P 在 OB 的延长线上时 则∠AQC＝∠ACQ＝x－60° ∠QPA＝ 1 2∠AQC＝ 1 2 x－30° ∵∠OCQ＋∠COA＋∠QPA＝180° ∴x＋60°＋ 1 2 x－30°＝180°，∴x＝100° ②若 PA＝PQ i）当点 P 在 O、A 之间时 则∠PAQ＝∠PQA＝∠PCA＝60°－x ∠PAQ＝2∠OCQ＝2 x ∴60°－x＝2 x，∴x＝20° ii）当点 P 在 A、B 之间时 则∠PAQ＝∠PQA＝∠PCA＝x－60° ∠PAQ＝∠AOQ＋∠AQO ∵∠OCQ＋∠COQ＋∠CQO＝180° ， ∴x＋60°＋2(x－60°)＝180°，∴x＝80° 59．如图，在△ABC 中，AB＝AC，且⊙O 内切于△ABC，D、E、F 是切点，CF 交⊙O 于 G，EG 延长线交 BC 于 M，AG 交⊙O 于 K． （1）求证：△MCG∽△MEC； O B F A CD M G E K O B F A CD M G E K A B C O xP Q y M A B C O xP Q y A B C O xP Q y A B C O xP Q y A B C O xP Q y A B C O x P Q y （2）若 EM⊥BC，求 cos∠FAK 的值． （1）证明：连接 EF ∵AE、AF 是⊙O 的切线，E、F 为切点，∴AE＝AF 又 AB＝AC，∴ AF AB ＝ AE AC ∴EF∥BC，∴∠1＝∠2 ∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3 又∠CME 为公共角，∴△MCG∽△MEC （2）解：∵△MCG∽△MEC，∴ MC MG ＝ ME MC ∴MC 2＝MG·ME ∵⊙O 切 BC 于点 D， ∴MD 2＝MG·ME ∴MC 2＝MD 2， ∴MC＝MD， ∴MC＝ 1 2 CD＝ 1 2 CE 又 EM⊥CD， ∴在 Rt△EMC 中，∠3＝30°，∠ECM＝60° 又 AB＝AC， ∴△ABC 为等边三角形 ∴D、E、F 为三边中点，且 CF⊥AB 设 CM＝a，则 AF＝CD＝2a，AC＝4a，CF＝2 3a，CG＝ 2 3a ∴FG＝CF－CG＝2 3a－ 2 3a＝ 4 3a ∴在 Rt△AFG 中，AG＝ AF 2＋FG 2＝ 2 3a ∴cos∠FAK＝ AF AG ＝ 2a a ＝ 7 60．已知矩形 ABCD 中，半径为 r 的两个等圆⊙O1、⊙O2 外切，且⊙O1 与边 AB、BC 相切，⊙O2 与边 BC 相切．点 E 是边 CD 上一点，将△ADE 沿 AE 翻折得△AD′E，AD′ 恰好与⊙O2 相切于点 D′．若 AD＝3，折 痕 AE 的长为 10． （1）求 r 的值； （2）求证：矩形 ABCD 为正方形． （1）解：过点 D′ 作 AD 的平行线，分别交 AB、CD 于点 F、G 则四边形 AFGD 是矩形，∴FG＝AD＝3 ∵AD＝3，AE＝ 10，∴AD′＝AD＝3 D′E＝DE＝ 10－9＝1 ∵∠AD′E＝∠D＝90°，∴∠AD′F＋∠ED′G＝90° ∵∠AD′F＋∠D′AF＝90°，∴∠D′AF＝∠ED′G O B F A CD M G E K 1 2 3 D B A C O1 E O2 D′ D B A C O1 E O2 D′ F G E H EK ∴Rt△AD′F∽Rt△D′EG，∴ D′F EG ＝ AD′ D′ E ＝3 设 EG＝x，则 D′F＝3x，D′G＝3－3x 在 Rt△D′EG 中，D′G 2＋EG 2＝D′E 2 ∴( 3－3x )2＋x 2＝1，解得 x＝1（舍去）或 x＝ 4 5， ∴D′F＝3x＝ 12 5 ，D′G＝3－3x＝ 3 5 连接 O2D′，作 O2H⊥FG 于 H ， ∵AD′ 与⊙O2 相切于点 D′，∠AD′O2＝90° ∵∠AD′E＝90°， ∴O2、D′、E 三点共线 ∴△D′O2H∽△D′EG， ∴ D′H D′G ＝ O2H EG ＝ D′O2 D′ E ，即 D′H ＝ O2H ＝ r 1， ∴D′H＝ 3 5 r，O2H＝ 4 5 r 连接 O2O1 并延长交 AB 于 K，则四边形 FKO2H 是矩形，∴FK＝O2H＝ 4 5 r，FH＝O2K＝3r ∵FH＋D′H＝D′F， ∴3r＋ 3 5 r＝ 12 5 ， ∴r＝ 2 3 （2）证明：∵CD＝DE＋EG＋GC＝1＋ 4 5 ＋ 4 5× 2 3 ＋ 2 3 ＝3 ， AD＝3，∴AD＝CD， ∴矩形 ABCD 为正方形 61．如图，已知直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A、B 的坐标分别为（4，0）、（0，2），P 是△AOB 外接 圆上的一点，且∠AOP＝45°． （1）求点 P 的坐标； （2）若点 P 在第一象限，连接 BP、AP，在 BP 上任取一点 E，连接 AE．将线段 AE 绕 A 点顺时针旋转 90° 到 AF，连接 BF 交 AP 于点 G，当 E 在线段 BP 上运动时，（不与 B、P 重合），求 BE PG 的值； （3）若点 P 在第一象限，点 Q 是弧 AP 上一动点（不与 A、P 重合），连接 PQ、AQ、BQ，求 BQ－AQ PQ 的 值． 解：（1）连接 PA、PB，过 P 作 PM⊥x 轴于 M ∵∠AOB＝90°，∴AB 是△AOB 外接圆的直径，∴∠APB＝90° 在 Rt△AOB 中，OA＝4，OB＝2，由勾股定理，得 AB＝2 5 ∵∠AOP＝45°，∴OP 平分∠AOB ∴ PA︵ ＝ PB︵ ，∴PA＝PB O P1 A B x y M P2 O A B x y O A B x y 备用图 O A B x y 备用图 ∴△PAB 是等腰直角三角形，∴PA＝ 2 AB＝ 10 在 Rt△POM 中，∠POM＝45°，∴PM＝OM 设 PM＝OM＝x，则 AM＝4－x，在 Rt△PMA 中，x 2＋(4－x)2＝( 10)2，解得 x1＝3，x2＝1 当 x＝3 时，点 P 在第一象限，∴P1（3，3） 当 x＝1 时，点 P 在第四象限，∴P2（1，－1） （2）过 F 作 FH⊥PA，则△AFH≌△EAP ∴AH＝EP，FH＝AP＝BP ∵∠FGH＝∠BGP，∴Rt△FGH≌Rt△BGP ∴PG＝GH＝ 1 2 PH ∵PA＝PB，AH＝EP，∴PH＝BE，∴PG＝ 1 2 BE ∴ BE PG ＝2 （3）在 BQ 上取点 C，使∠CPQ＝90°，连接 PC 由（1）知，△PAB 是等腰直角三角形，∴∠PAB＝45°，∴∠PQB＝45° ∴△PQC 是等腰直角三角形，∴CQ＝ 2PQ，∠PCQ＝45° ∴∠PCB＝135° ∵AB 是△AOB 外接圆的直径，∴∠AQB＝90° 又∠PQB＝45°，∴∠PQA＝135°， ∴∠PCB＝∠PQA 又∠PBC＝∠PAQ，PB＝PA ∴△PBC≌△PAQ， ∴BC＝AQ ∵BC＋CQ＝BQ， ∴AQ＋ 2PQ＝BQ ∴ BQ－AQ PQ ＝ 2 70．如图，直角坐标系中，已知 A（0，3）、C（6，0），D（3，3）．点 P 从 C 点出发，沿折线 C－D－A 运 动到达点 A 时停止，过 C 点作直线 GC⊥PC，且与过 O、P、C 三点的⊙M 交于 G 点，连接 OP、PG、 OG． （1）直接写出∠DCO 的度数； （2）当点 P 在线段 CD 上运动时，设 P 点运动路线的长为 m，△OPG 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式； （3）设圆心 M 的纵坐标为 n，试探索：在点 P 运动的整个过程中，n 的取值范围． 解：（1）∠DCO＝45° （2）过点 P 作 PB⊥x 轴于 B 则 PB＝BC＝ 2 m G C P O x A D y M O P A B x y E G F H O P A B x y Q C G C P O x A D y M B 在 Rt△POB 中，OB＝6－ 2 m ∴OP 2＝( 2 m )2＋( 6－ 2 m )2 ∵GC⊥PC，∴PG 为⊙M 的直径 ∴∠POG＝90°，∠OGP＝∠PCO＝45° ∴OP＝OG ∴S＝ 1 2 OP·OG＝ 1 2 OP 2＝ 1 2[( 2 m )2＋( 6－ 2 m )2]， 即 S＝ 1 2 m 2－3 2m＋18 （3）依题意得，∠ODC＝90°，△OPC 的外心必在 OC 的垂直平分线上 作 MN⊥x 轴于 N，连接 OM 则 ON＝ 1 2 OC＝3，∴直线 MN 经过点 D ①当点 P 在 CD 上时，∠OPC 为钝角或直角 ∴点 M 在 x 轴下方或 x 轴上 由（2）知 OM＝ 2 OP，在 Rt△MON 中 MN 2＝OM 2－ON 2＝( 2 OP )2－3 2 ＝ 1 2 m 2－3 2m＋18－9＝ 1 2 m 2－3 2m＋9 ∵0＜m ≤3 2，∴0≤MN ＜3，即 n 的取值范围是－3＜n ≤0 ①当点 P 在 AD 上时，依题意得，OM＝PM 根据勾股定理，ON 2＋MN 2＝DM 2＋PD 2 ∴3 2＋n 2＝( 3－n )2＋( m－3 2)2，∴n＝ 1 6( m－3 2)2 ∵3 2≤m ≤3 2＋3，∴0≤n ≤ 3 2 综合得，n 的取值范围是－3＜n ≤ 3 2 76．已知半圆 O 的直径 AB＝4，沿它的一条弦折叠． （1）如图 1，若折叠后的圆弧与直径 AB 相切于点 D，且 AD : DB＝3 : 1，求折痕 EF 的长； （2）如图 2，若折叠后的圆弧与直径 AB 相交于点 B、D 两点，且 AD : DB＝1 : 3，求折痕 BC 的长． 解：（1）如图 1，设折叠后的圆弧所对圆心为 O′，连接 O′O、O′D、OE，O′O 与 EF 交于点 M，则 O′O 与 EF 互相垂直平分 ∵AB＝4，∴OA＝OB＝2 OA B E F D O′ M 图 1 OA BD 图 2 C OA B E F D 图 1 G C P O x A D y M B N G C P O x A D y M N ∵AD : DB＝3 : 1，∴DB＝ 1 4 AB＝1， ∴OD＝1 ∴O′O＝ OD 2＋O′D 2＝ 1 2＋2 2＝ 5， ∴OM＝ 2 ∴EM＝ OE 2－OM 2＝ 2 2－()2＝ 2 ∴EF＝2EM＝ 11， 即折痕 EF 的长为 11 （2）如图 2，作 DE⊥BC 交⊙O 于 E，连接 AC、AE、BE、DE，设 AE 与 BC 相交于 F ∵AB＝4，AD : DB＝1 : 3，∴AD＝1，DB＝3 由折叠的对称性可知 BE＝BD＝3，∠ABC＝∠EBC＝ 1 2∠ABE ∴ EF AF ＝ BE AB ＝ 3 4 ，∴EF＝ 3 4 AF＝ 3 7 AE ∵AB 是半圆 O 的直径，∴∠AEB＝90° ∴AE＝ AB 2－BE 2＝ 4 2－3 2＝ 7，∴EF＝ 3 7 7 ∴BF＝ BE 2＋EF 2＝ 6 7 14 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90° ∴△ABC∽△FBE， ∴ BC AB ＝ BE BF ， ∴BC＝ BE BF·AB＝ 3 ×4＝ 14 80．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 M 的坐标为（4，3），以 M 为圆心，以 MO 为半径作⊙M， 分别交 x 轴、y 轴于 B、A 两点． （1）求直线 AB 的解析式； （2）点 P（x，0）为 x 轴正半轴上一点，过点 P 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB、线段 OM 于点 D、E，过 点 E 作 y 轴的垂线交直线 AB 于点 F．设线段 DF 的长为 y，求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在 x 的值，使得经过 D、E、M 三点的圆与△AOB 的一边所在的直线相 切．若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由． 解：（1）过 M 作 MH⊥x 轴于 H，MK⊥y 轴于 K 则 OB＝2OH，OA＝2OK ∵M（4，3），∴OB＝8，OA＝6 OA B E F D 图 2 C A O B M x y 备用图 A O B M x y A O B M x y 备用图 A O BH E M P F x y 图 1 D ∴B（8，0），A（0，6） 设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b ∴{ 解得：{ ∴直线 AB 的解析式为 y＝－ 3 4 x＋6 （2）∵tan∠MOH＝ MH OH ＝ 3 4 ，OP＝x，∴PE＝ 3 4 x ∴D（x，－ 3 4 x＋6），E（x， 3 4 x） ∴DE＝－ 3 4 x＋6－ 3 4 x＝－ 3 2 x＋6 如图 1，∵EF∥OB，∴∠AFE＝∠ABO ∴tan∠AFE＝tan∠ABO＝ AO OB ＝ 6 8 ＝ 3 4 ∴DF＝ 5 3 DE＝ 5 3(－ 3 2 x＋6 ) ∴y＝－ 5 2 x＋10（0＜x ＜4） （3）∵∠MDE＝∠MED，∴△DEM 是等腰三角形 设△DEM 的外接圆圆心为 G，过 M 作 MQ⊥DE 于 Q，则点 G 在 MQ 上 ①当⊙G 与 y 轴相切时，如图 2 则⊙G 的直径 KM＝4，∴DM＝KM·cos∠DMQ＝4× 4 5 ＝ 16 5 ∴QM＝DM·cos∠DMQ＝ 16 5 × 4 5 ＝ 64 25 ∴x＝KQ＝4－ 64 25 ＝ 36 25 ②当⊙G 与 x 轴相切时，如图 3 则⊙G 的半径 GM＝MH＝3，过 G 作 GT⊥AB 于 T ∴DM＝2TM＝2GM·cos∠DMQ＝2×3× 4 5 ＝ 24 5 QM＝DM·cos∠DMQ＝ 24 5 × 4 5 ＝ 96 25 x＝KQ＝4－ 96 25 ＝ 4 25 ③∵∠GTD＝90°，∴DG＞GT ∴⊙G 始终与直线 AB 相交 综上所述，当 x＝ 36 25 或 x＝ 4 25 时，过 D、E、M 三点的圆与△AOB 的一边所在的直线相切 81．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，CD∥AB，且 AB 是⊙O 的直径，AE⊥CD 交 CD 的延长线于点 E， 若 AE＝2，CD＝3． （1）求⊙O 的直径； （2）翻折图形，使点 B 与点 E 重合，折痕交⊙O 于 P、Q 两点，求△BPQ 的面积． A O D BH E M P K GQ x y 图 2 A O D BH E M P K GQ T x y 图 3 A B D O Q E P C 解：（1）连接 AC、BD ∵CD∥AB，AE⊥CD，∴AE⊥AB ∵AB 是⊙O 的直径，∴AE 是⊙O 的切线 ∴∠DAE＝∠EBA＝∠ACE ∴Rt△DAE∽Rt△ACE，∴ DE AE ＝ AE CE 即 DE 2 ＝ 2 3＋DE ，解得 DE＝－4（舍去）或 DE＝1 ∴CE＝CD＋DE＝3＋1＝4 ∴AC＝ AE 2＋CE 2＝2 5，AD＝ AE 2＋DE 2＝ 5 ∵∠ABD＝∠ACE，∴Rt△ABD∽Rt△ACE ∴ AB AC ＝ AD AE ，即 AB 2 ＝ 2 ∴AB＝5，即⊙O 的直径为 5 （2）设 PQ 分别与 BE、AB 交于点 F、G，过 O 作 OH⊥PQ 于 H，连接 OQ ∵AE＝2，AB＝5，∴BE＝ AE 2＋AB 2＝ 29 ∴cos∠ABE＝ AB BE ＝ 5 ，BF＝ 1 2 BE＝ 2 ∴BG＝ BF cos∠ABE ＝ 29 10 ，∴OG＝BG－OB＝ 29 10 － 5 2 ＝ 2 5 由题意 BF⊥PQ，又 OH⊥PQ， ∴OH∥BF， ∴∠GOH＝∠ABE ∴OH＝OG·cos∠GOH＝OG·cos∠ABE＝ 2 5× 5 ＝ 2 ∴HQ＝ OQ 2－OH 2＝ ()2－()2＝ 1 2 ∴S△BPQ ＝ 1 2 PQ·BF＝HQ·BF＝ 1 2 × 2＝ 1 4 709 84．如图，在平面直角坐标系中，半径为 1 的⊙M 与 x 轴相切于原点 O，点 P（t，0）是 x 轴上一动点，PA 与⊙M 相切于点 A，过 A 作弦 AB∥x 轴交⊙M 于 B，连接 OA、OB，设 P（t，0）． （1）求证：△PAO∽△OAB； （2）当点 P 在 x 轴的正半轴上运动时，若四边形 ABOP 是菱形，求 t 的值； （3）当直线 AP 与 BO 的交点在 x 轴的下方时，求 t 的取值范围； （4）连接 BP 交⊙M 于点 C，当 t 为何值时，四边形 ABOC 是梯形？ A B D O Q E P C H F G A C B O P y M x （1）证明：∵PA 是⊙M 的切线，OA 是弦，∴∠PAO＝∠ABO ∵AB∥PO，∴∠BAO＝∠AOP ∴△PAO∽△OAB （2）∵四边形 ABOP 是菱形，∴OB∥PA，∠BOA＝∠POA ∵△PAO∽△OAB，∴∠BOA＝∠OPA ∴∠BOA＝∠POA＝∠OPA ∵OB∥PA，∴∠BOA＋∠OPA＝180° ∴∠POA＝∠OPA＝60°，∴△AOP 是等边三角形 ∴△AOB 是等边三角形 ∵⊙M 的半径为 1，即 MO＝1 ∴OP＝AO＝2MO·cos30°＝2× 2 ＝ 3 ∴t＝ 3 （3）由（2）知，当点 P 在 x 轴的正半轴上运动时 当 t＝ 3 时，四边形 ABOP 是菱形，此时 AP∥BO 连接 MP ∵PA、PO 是⊙M 切线，∴MP 平分∠OPA，MP⊥OA 又∵MO⊥OP，∴∠MOA＝∠OPM 当 t ＞ 3 时，则∠OPA＜60°，∴∠OPM＜30° ∴∠MOA＜30°，∴∠AOP＞60°，∴∠AOP＞∠OPA ∵AB∥x 轴，∴OM 垂直平分 AB，∴OA＝OB ∴∠BOM＝∠AOM，∴∠1＝∠AOP ∴∠1＞∠OPA ∴直线 AP 与 BO 的交点在 x 轴的上方 同理可证：当 t ＜ 3 时，直线 AP 与 BO 的交点在 x 轴的下方 同理，当点 P 在 x 轴的负半轴上运动时 当 t ＞－ 3 时，直线 AP 与 BO 的交点在 x 轴的下方 ∴当－ 3＜t ＜ 3 时，直线 AP 与 BO 的交点在 x 轴的下方 （4）显然 OC 与 AB 不平行，所以当 AC∥BO 时，四边形 ABOC 是梯形 延长 AC 交 OP 于 D ∵PA 是⊙M 的切线，AC 是弦，∴∠PAD＝∠ABC ∵AB∥x 轴，∴∠ABC＝∠CPD，∴∠PAD＝∠CPD 又∵∠ADP＝∠PDC，∴△ADP∽△PDC ∴ PD AD ＝ CD PD ，∴PD 2＝AD·CD ∵OD 是⊙M 的切线，OC 是弦，∴∠COD＝∠OAD 又∵∠ODC＝∠ADO，∴△OCD∽△AOD ∴ OD AD ＝ CD OD ，∴OD 2＝AD·CD＝PD 2， ∴OD＝PD＝ | t | 2 连接 PM 交 OA 于 N，则 MP 垂直平分 OA，易证△OMN∽△PMO，得 OM ON ＝ PM OP 即 1 ON ＝ | t | ，∴ON＝ | t | ，∴OA＝ 2| t | AB O P y M x AB O P y M x 1 AB O P y x CM D N AB O P y x M BA OP y x C M D N 由△PAO∽△OAB，得 OP OA ＝ OA AB ，∴AB＝ OA 2 OP ＝ 4| t | 1＋t 2 ∵AB∥OD，AC∥BO，∴四边形 ABOD 是平行四边形 ∴AB＝OD，∴ 4| t | 1＋t 2 ＝ | t | 2 ∵| t |≠0，∴ 4 1＋t 2 ＝ 1 2 ，∴t＝± 7， ∴当 t＝± 7 时，四边形 ABOC 是梯形 86．如图，点 O′ 是 x 轴负半轴上一点，⊙O′ 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C、E 两点，点 D 是⊙O′ 上一点，且 DC︵ ＝ AC︵ ，已知 A（2，0），C（0，－4）． （1）求圆心 O′ 的坐标； （2）连接 AC、BC，在 BC 上取点 M，使 CM＝AC，连接 DM 并延长线交⊙O′ 于 N，求证：DM＝ 2 5 MN； （3）P 是劣弧BC︵ 上一动点，Q 为劣弧 PC︵ 的中点，连接 AP、EQ 交于点 F．当点 P 在劣弧 BC︵ 上运动时（不 包括 B、C 两点），线段 AF 的长度是否发生变化？若变化，请指出变化范围，若不变化，请求出其值．（用 备用图作答） （1）解：由题意，AB 是⊙O′ 的直径， ∴∠ACB＝90° 又∵∠AOC＝90°， ∴△OCA∽△OBC， ∴ OA OC ＝ OC OB ，∴ 2 4 ＝ 4 OB ， ∴OB＝8 ∴AB＝OA＋OB＝2＋8＝10， ∴O′A＝5 ， ∴OO′＝O′A－OA＝5－2＝3 ∵点 O′ 是 x 轴负半轴上一点， ∴O′（－3，0） （2）证明：连接 AD、BD、AN、BN， ∵ DC︵ ＝ AC︵ ，∴CD＝AC 又∵CM＝AC，∴CD＝CM， ∴∠CDM＝∠CMD ∵ DC︵ ＝ AC︵ ，∴∠DBC＝∠ABC＝∠ADC ∵∠CDM＝∠ADC＋∠ADN，∠CMD＝∠DBC＋∠BDN ∴∠ADN＝∠BDN，∴AN＝BN ∴△ABN 是等腰直角三角形 ∴BN＝AB·cos45°＝5 2 ∵OA＝2，OB＝8，OC＝4，∴CD＝AC＝2 5，BC＝4 5 ∴CM＝CD＝2 5，∴BM＝2 5 ∵∠DCM＝∠BNMN，∠DMC＝∠BMN， ∴△DMC∽△BMN，得 MN＝BN＝5 2， DM BM ＝ CD BN ∴ DM 2 ＝ 2 5 ， ∴DM＝2 2 ， ∴DM＝ 2 5 MN （3）不变，AF＝2 连接 AC、AE、AQ、PE，则 AC＝AE AB y N C x E M D O′ O AB y N C x E M D O′ O AB y C x E O′ O 备用图 AB y N C x E Q P O′ OF ∴∠ACE＝∠AEC ∵Q 为劣弧 PC︵ 的中点，∴∠CEQ＝∠PEQ 又∵∠P＝∠ACE，∴∠AEC＋∠CEQ＝∠P＋∠PEQ 即∠AEF=∠AFE，∴AF＝AE＝AC＝2 5 91．已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC︵ 的中点． （1）如图 1，P 为 ABC︵ 的中点，求证：PA＋PC＝ 3PD； （2）如图 2，P 为 ABC︵ 上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （1）证明：连接 AD ∵D 为 AC︵ 的中点，P 为 ABC︵ 的中点 ， ∴PD 为⊙O 的直径， ∴∠PAD＝90° ∵∠B＝60°，∴∠APC＝60° ∵D 为 AC︵ 的中点，∴∠APD＝∠CPD＝30° ∴PA＝PD·cos30°＝ 2 PD ∵P 为 ABC︵ 的中点，∴PA＝PC，∴PA＋PC＝ 3PD （2）成立 理由如下：延长 PA 到 E，使 EA＝PC，连接 DE、AD、DC 则∠EAD＋∠PAD＝180° ∵∠PCD＋∠PAD＝180° ∴∠EAD＝∠PCD ∵D 为 AC︵ 的中点，∴ AD︵ ＝ CD︵ ∴AD＝CD ∴△EAD≌△PCD，∴ED＝PD 过 D 作 DH⊥PE 于 H 由（1）知，∠APD＝30° ∴PH＝PD·cos30°＝ 2 PD，PE＝2PH＝ 3PD ∵PA＋EA＝PE， ∴PA＋PC＝ 3PD 92．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 E 在劣弧 BC︵ 上，连接 AE 交 BC 于点 D，经过 B、C 两点的圆弧交 AE 于点 I．已知 BE 2＝AE·DE，BI 平分∠ABC． （1）求证：BE＝EI； （2）若⊙O 的半径为 5，BC＝8，∠BDE＝45°． ①求BIC︵ 的半径和 AD 的长；②求 sin∠ABC 和 tan∠ABI 的值． O A B D I E C D A PO C B 图 1 D A P O C B 图 2 D A PO C B D A P O C B E H （1）证明：∵BE 2＝AE·DE，∴ AE BE ＝ BE DE 又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△BDE，∴∠BAE＝∠EBC ∵BI 平分∠ABC，∴∠ABI＝∠DBI ∵∠BIE＝∠BAE＋∠ABI，∠EBI＝∠EBC＋∠DBI ∴∠BIE＝∠EBI，∴EB＝EI （2）①连接 OC、OE，设 OE 交 BC 于 F ∵∠BAE＝∠EBC，∠EBC＝∠EAC ∴∠BAE＝∠EAC，∴ BE︵ ＝ CE︵ ，∴EB＝EI＝EC ∴点 E 是BIC︵ 的圆心 ∵ BE︵ ＝ CE︵ ，∴OE 垂直平分 BC，∴BF＝CF＝ 1 2 BC＝4 在 Rt△OFC 中，OC＝5，FC＝4，∴OF＝3，∴EF＝2 在 Rt△BEF 中，由勾股定理得 BE＝2 5 ， ∴BIC︵ 的半径为 2 5 ∵∠BDE＝45°， ∴△DEF 是等腰直角三角形 ∴DF＝EF＝2，DE＝ 2EF＝2 2 ∵AE·DE＝BE 2， ∴( AD＋2 2 )×2 2＝( 2 5 )2， ∴AD＝3 2 ②∵∠BDE＝45°， ∴∠ADG＝45° ∴△ADG 是等腰直角三角形， ∴AG＝DG＝3 ∵BF＝4，DF＝2， ∴BD＝6 ∴BG＝BD＋DG＝9， ∴AB＝ AG 2＋BG 2＝3 10 ∴sin∠ABC＝ AG AB ＝ 3 3 ＝ 10 过 I 作 IH⊥AB 于 H，IK⊥BC 于 K ∵BI 平分∠ABC， ∴IH＝IK ∵S△ABI ＝ 1 2 AB·IH，S△DBI ＝ 1 2 BD·IK， S △ ABI S △ DBI ＝ AI DI ∴ AI DI ＝ AB BD ，∴ 3－DI DI ＝ 3 6 ， ∴DI＝2( 5－ 2) ∴DK＝IK＝DI·cos45°＝ 10－2， ∴BK＝BD＋DK＝4＋ 10 ∴tan∠ABI＝tan∠IBC＝ IK BK ＝ －2 4＋＝ 10－3 O A B D I E C H K O A B D I E CF G