中考数学一轮复习 专题练习 数量和位置变化 浙教版

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中考数学一轮复习 专题练习 数量和位置变化 浙教版

专题复习·数量和位置变化(2)‎ ‎ 班级 姓名 学号 ‎ 一.选择题 ‎1.在直角坐标系中,将点(﹣2,3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是(  )‎ ‎  A. (4,﹣3) B. (﹣4,3) C. (0,﹣3) D. (0,3)‎ ‎2.将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为(  )‎ A. y=(x﹣1)2+4 B. y=(x﹣4)2+4 C. y=(x+2)2+6 D. y=(x﹣4)2+6‎ ‎3.货车和小汽车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,小汽车到达乙地后,立即以相同的速度沿原路返回甲地.已知甲、乙两地相距180 千米,货车的速度为60 千米/小时,小汽车的速度为90 千米/小时,则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y(千米)与各自行驶时间t(小时)之间的函数图象是( )‎ ‎4.如图,市煤气公司计划在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室,则储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)的函数图象大致是(  )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为(  )‎ ‎  A. (2,1) B. (2,0) C. (3,3) D. (3,1)‎ ‎6.如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有(  )‎ ‎7.在下面的网格图中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都是网格线的交点,已知B,C两点的坐标分别为(﹣1,﹣1),(1,﹣2),将△ABC绕点C顺时针旋转90°,则点A的对应点的坐标为(  )‎ ‎  A. (4,1) B. (4,﹣1) C. (5,1) D. (5,﹣1)‎ ‎8.如图是自行车骑行训练场地的一部分,半圆O的直径AB=100,在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M(最高点),此时由于自行车故障原地停留了一段时间,修理好继续以相同的速度运动到A点停止.设运动时间为t,点B到直线OC的距离为d,则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是(  )‎ ‎9.如图,已知正△ABC的边长为2,E,F,G分别是AB,BC,CA上的点,且AE=BF=CG,设△EFG的面积为y,AE的长为x,则y关于x的函数图象大致是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.如图,在平面直角坐标系xOy中,△由△绕点P旋转得到,则点P的坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ 二. 填空题 ‎11.在平面直角坐标系中,点A的坐标是,作点A关于x轴的对称点得到点A’,再作点A’关于y轴的对称点,得到点A’’,则点A’’的坐标是( , ).‎ ‎12.如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系,公园的入口位于坐标原点O,古塔位于点A(400,300),从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B,从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C,则点C的坐标是 .‎ ‎13.已知函数,那么= 。‎ ‎14.将正比例函数y=-6x的图象向上平移,则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 .(写出一个即可).‎ ‎15.函数的自变量的取值范围是 .‎ ‎16.已知抛物线,若点P(,5)与点Q关于该抛物线的对称轴对称,则点Q的坐标是 .‎ ‎17.某水库的水位在5小时内持续上涨,初始水位高度为6米,水位以每小时0.3米的速度匀速上升, 则水库的水位与上涨时间之间的函数关系式是 .‎ ‎18.如果,,那么= .‎ 三.解答题 ‎19.我们知道,函数的图像是由二次函数的图像向右平移m个单位,再向上平移n个单位得到.类似地,函数的图像是由反比例函数的图像向右平移m个单位,再向上平移n个单位得到,其对称中心坐标为(m,n).‎ ‎ 理解应用 ‎ 函数的图像可以由函数的图像向右平移 个单位,再向上平移 个单位得到,其对称中心坐标为 .‎ ‎ 灵活运用 ‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,请根据所给的的图像画出函数的图像,并根据该图像指出,当x在什么范围内变化时,?‎ 实际应用 ‎ 某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究.假设刚学完新知识时的记忆存留量为1.新知识学习后经过的时间为x,发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为;若在(≥4)时进行一次复习,发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍(复习时间忽略不计),且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为.如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”,且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的,那么当x为何值时,是他第二次复习的“最佳时机点”?‎ ‎20.如图,菱形OABC的顶点A的坐标为(2,0),∠COA=600,将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转1200得到菱形ODEF.‎ ‎(1)直接写出点F的坐标;‎ ‎(2)求线段OB的长及图中阴影部分的面积.‎ ‎21.平面直角坐标系中,点的横坐标的绝对值表示为,纵坐标 的绝对值表示为,我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值,记为:,即.(其中的“+”是四则运算中的加法)‎ ‎(1)求点,的勾股值、;‎ ‎(2)点在反比例函数的图像上,且,求点的坐标;‎ ‎(3)求满足条件的所有点围成的图形的面积.‎ ‎22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8. 动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动;同时,动点N从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动. 过线段MN的中点G作边AB的垂线,垂足为点G,交△ABC的另一边于点P,连接PM、PN,当点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动,设运动时间为t秒.‎ ‎(1)当t= 秒时,动点M、N相遇;‎ ‎(2)设△PMN的面积为S,求S与t之间的函数关系式;‎ ‎(3)取线段PM的中点K,连接KA、KC,在整个运动过程中,△KAC的面积 是否变化?若变化,直接写出它的最大值和最小值;若不变化,请说明理由.‎ ‎23.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(8,1),B(0,﹣3),反比例函数的图象经过点A,动直线x=t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M,与直线AB交于点N.‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)求△BMN面积的最大值;‎ ‎(3)若MA⊥AB,求t的值.‎ 二. 填空题 ‎11.在平面直角坐标系中,点A的坐标是,作点A关于x轴的对称点得到点A’,再作点A’关于y轴的对称点,得到点A’’,则点A’’的坐标是( , ).‎ ‎12.如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系,公园的入口位于坐标原点O,古塔位于点A(400,300),从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B,从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C,则点C的坐标是 .‎ ‎13.已知函数,那么= 。‎ ‎14.将正比例函数y=-6x的图象向上平移,则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 .(写出一个即可).‎ ‎15.函数的自变量的取值范围是 .‎ ‎16.已知抛物线,若点P(,5)与点Q关于该抛物线的对称轴对称,则点Q的坐标是 .‎ ‎17.某水库的水位在5小时内持续上涨,初始水位高度为6米,水位以每小时0.3米的速度匀速上升, 则水库的水位与上涨时间之间的函数关系式是 .‎ ‎18.如果,,那么= .‎ 三.解答题 ‎19.我们知道,函数的图像是由二次函数的图像向右平移m个单位,再向上平移n个单位得到.类似地,函数的图像是由反比例函数的图像向右平移m个单位,再向上平移n个单位得到,其对称中心坐标为(m,n).‎ ‎ 理解应用 ‎ 函数的图像可以由函数的图像向右平移 个单位,再向上平移 个单位得到,其对称中心坐标为 .‎ ‎ 灵活运用 ‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,请根据所给的的图像画出函数的图像,并根据该图像指出,当x在什么范围内变化时,?‎ 实际应用 ‎ 某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究.假设刚学完新知识时的记忆存留量为1.新知识学习后经过的时间为x,发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为;若在(≥4)时进行一次复习,发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍(复习时间忽略不计),且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为.如果记忆存留量为 时是复习的“最佳时机点”,且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的,那么当x为何值时,是他第二次复习的“最佳时机点”?‎ ‎20.如图,菱形OABC的顶点A的坐标为(2,0),∠COA=600,将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转1200得到菱形ODEF.‎ ‎(1)直接写出点F的坐标;‎ ‎(2)求线段OB的长及图中阴影部分的面积.‎ ‎21.平面直角坐标系中,点的横坐标的绝对值表示为,纵坐标的绝对值表示为,我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值,记为:,即.(其中的“+”是四则运算中的加法)‎ ‎(1)求点,的勾股值、;‎ ‎(2)点在反比例函数的图像上,且,求点的坐标;‎ ‎(3)求满足条件的所有点围成的图形的面积.‎ ‎22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8. 动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动;同时,动点N从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动. 过线段MN的中点G作边AB的垂线,垂足为点G,交△ABC的另一边于点P,连接PM、PN,当点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动,设运动时间为t秒.‎ ‎(1)当t= 秒时,动点M、N相遇;‎ ‎(2)设△PMN的面积为S,求S与t之间的函数关系式;‎ ‎(3)取线段PM的中点K,连接KA、KC,在整个运动过程中,△KAC的面积 是否变化?若变化,直接写出它的最大值和最小值;若不变化,请说明理由.‎ ‎23.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(8,1),B(0,﹣3),反比例函数的图象经过点A,动直线x=t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M,与直线AB交于点N.‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)求△BMN面积的最大值;‎ ‎(3)若MA⊥AB,求t的值.‎ ‎24.如图,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线的对称轴绕着点P(,2)顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点,点Q是该抛物线上的一点.‎ ‎(1)求直线AB的函数表达式;‎ ‎(2)如图①,若点Q在直线AB的下方,求点Q到直线AB的距离的最大值;‎ ‎(3)如图②,若点Q在y轴左侧,且点T(0,t)(t<2)是直线PO上一点,当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时,求所有满足条件的t的值.‎ 答案详解 一.选择题 ‎3.货车和小汽车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,小汽车到达乙地后,立即以相同的速度沿原路返回甲地.已知甲、乙两地相距180 千米,货车的速度为60‎ ‎ 千米/小时,小汽车的速度为90 千米/小时,则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y(千米)与各自行驶时间t(小时)之间的函数图象是( )‎ 解答:解:由题意得 ‎ 出发前都距离乙地180 千米,出发两小时小汽车到达乙地距离变为零,再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180 千米,经过三小时,货车到达乙地距离变为零,‎ ‎ 故C 符合题意, ‎ ‎ 故选:C. ‎ ‎4.如图,市煤气公司计划在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室,则储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)的函数图象大致是(  )‎ 解答: 解:由储存室的体积公式知:104=Sd,‎ 故储存室的底面积S(m2)与其深度d(m)之间的函数关系式为S=(d>0)为反比例函数.‎ 故选:A.‎ ‎5.如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为(  )‎ ‎  A. (2,1) B. (2,0) C. (3,3) D. (3,1)‎ 解:由题意得,△ODC∽△OBA,相似比是,‎ ‎∴=,又OB=6,AB=3,‎ ‎∴OD=2,CD=1,‎ ‎∴点C的坐标为:(2,1),‎ 故选:A.‎ ‎6.如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有(  )‎ ‎  A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解答: 解:要使△ABP与△ABC全等,点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离,即3个单位长度,故点P的位置可以是P1,P3,P4三个,‎ 故选C ‎7.在下面的网格图中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都是网格线的交点,已知B,C两点的坐标分别为(﹣1,﹣1),(1,﹣2),将△ABC绕点C顺时针旋转90°,则点A的对应点的坐标为(  )‎ ‎  A. (4,1) B. (4,﹣1) C. (5,1) D. (5,﹣1)‎ 解答:解:如图,A点坐标为(0,2),‎ 将△ABC绕点C顺时针旋转90°,则点A的对应点的A′的坐标为(5,﹣1).‎ ‎ 故选D.‎ ‎8.如图是自行车骑行训练场地的一部分,半圆O的直径AB=100,在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M(最高点),此时由于自行车故障原地停留了一段时间,修理好继续以相同的速度运动到A点停止.设运动时间为t,点B到直线OC的距离为d,则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是(  )‎ 故选C.‎ ‎9.如图,已知正△ABC的边长为2,E,F,G分别是AB,BC,CA上的点,且AE=BF=CG,设△EFG的面积为y,AE的长为x,则y关于x的函数图象大致是( )‎ A. B. C. D.‎ 解答: 解:根据题意,有AE=BF=CG,且正三角形ABC的边长为2,‎ ‎∴. ∴△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等.‎ 在△AEG中,,∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴其图象为开口向上的二次函数.‎ 故选D.‎ ‎10.如图,在平面直角坐标系xOy中,△由△绕点P旋转得到,则点P的坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ 解答: 解:根据“旋转不改变图形的形状与大小”和“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的性质,确定图形的旋转中心的步骤为:1.把这两个三角形的对应点连接起来;2.作每条线的垂直平分线;3.这三条垂直平分线交于一点,此点为旋转中心. 因此,‎ 作图如答图, 点P的坐标为.‎ 故选B.‎ 二. 填空题 ‎11.在平面直角坐标系中,点A的坐标是,作点A关于x 轴的对称点得到点A’,再作点A’关于y轴的对称点,得到点A’’,则点A’’的坐标是( , ).‎ 解答: 解:关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同,纵坐标互为相反数,从而点A关于x轴对称的点A’的坐标是;‎ 关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变,横坐标互为相反数,从而点A’ 关于y轴对称的点A’’的坐标是.‎ ‎12.如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系,公园的入口位于坐标原点O,古塔位于点A(400,300),从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B,从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C,则点C的坐标是 .‎ 解答: 解:如答图,连接AC,‎ ‎∵A(400,300),∴OD=400m,AD=300m.‎ 由题意可得:AB=300m,BC=400m,‎ 在△AOD和△ACB中,∵,‎ ‎∴△AOD≌△ACB(SAS).∴∠CAB=∠OAD.‎ ‎∵B、O在一条直线上,∴C、A、D也在一条直线上.‎ ‎∴AC=AO=500m, CD=AC=AD=800m.‎ ‎∴C点坐标为:(400,800).‎ ‎13.已知函数,那么= 。‎ 解答: 解:把 直接代入函数即可求出函数值:‎ ‎ 。‎ ‎14.将正比例函数y=-6x的图象向上平移,则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 .(写出一个即可).‎ 解答: 解:根据“上加下减”的原则在函数解析式后加一个大于0的数即可,如y=-6x+1(答案不唯一)。‎ ‎15.函数的自变量的取值范围是 .‎ 解答: 解:求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使在实数范围内有意义,必须.‎ ‎16.已知抛物线,若点P(,5)与点Q关于该抛物线的对称轴对称,则点Q的坐标是 .‎ 解答: 解:根据抛物线解析式求出抛物线对称轴为x,再根据图象得出点P(-2,5)关于对称轴对称点Q:两点的纵坐标不变,两点横坐标到对称轴的距离相等,都为3,得到Q点坐标为(4,5)。‎ ‎17.某水库的水位在5小时内持续上涨,初始水位高度为6米,水位以每小时0.3米的速度匀速上升, 则水库的水位与上涨时间之间的函数关系式是 .‎ 解答: 解:∵水位以每小时0.3米的速度匀速上升,上涨的时间是,‎ ‎∴上涨的水库的水位是.‎ ‎∵初始水位高度为6米,∴水库的水位.‎ ‎∵水库的水位在5小时内持续上涨,∴.‎ ‎∴水库的水位与上涨时间之间的函数关系式是.‎ ‎18.如果,,那么= .‎ 解答: 解:根据函数值的意义得到关于的一元一次方程,解出即可:‎ 由题意可得:2=-4,化系数为1得:=-2。‎ 三.解答题 ‎19.我们知道,函数的图像是由二次函数的图像向右平移m个单位,再向上平移n个单位得到.类似地,函数的图像是由反比例函数的图像向右平移m个单位,再向上平移n个单位得到,其对称中心坐标为(m,n).‎ ‎ 理解应用 ‎ 函数的图像可以由函数的图像向右平移 个单位,再向上平移 个单位得到,其对称中心坐标为 .‎ ‎ 灵活运用 ‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,请根据所给的的图像画出函数的图像,并根据该图像指出,当x在什么范围内变化时,?‎ 实际应用 ‎ 某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究.假设刚学完新知识时的记忆存留量为1.新知识学习后经过的时间为x,发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为;若在(≥4)时进行一次复习,发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍(复习时间忽略不计),且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为.如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”,且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的,那么当x为何值时,是他第二次复习的“最佳时机点”?‎ ‎【答案】解:理解应用:1;1;(1,1).‎ 灵活运用:函数的图像如答图:‎ 由图可知,当时,.‎ 实际应用:当时,,‎ ‎∴由解得.‎ ‎∴当进行第一次复习时,复习后的记忆存留量变为1.‎ ‎∴点(4,1)在函数的图象上.‎ ‎∴由解得.∴.‎ ‎∴由解得.‎ ‎∴当时,是他第二次复习的“最佳时机点”.‎ ‎20.如图,菱形OABC的顶点A的坐标为(2,0),∠COA=600,将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转1200得到菱形ODEF.‎ ‎(1)直接写出点F的坐标;‎ ‎(2)求线段OB的长及图中阴影部分的面积.‎ ‎【答案】解:(1).‎ ‎(2)如答图,连接,与相交于点,‎ ‎∵菱形OABC中,,∠COA=600,‎ ‎∴,,.‎ ‎∴,‎ ‎.‎ ‎∵将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转1200得到菱形ODEF,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎21.平面直角坐标系中,点的横坐标的绝对值表示为,纵坐标的绝对值表示为,我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值,记为:,即.(其中的“+”是四则运算中的加法)‎ ‎(1)求点,的勾股值、;‎ ‎(2)点在反比例函数的图像上,且,求点的坐标;‎ ‎(3)求满足条件的所有点围成的图形的面积.‎ ‎【答案】解:(1)∵,,‎ ‎∴,.‎ ‎(2)∵点在反比例函数的图像上,∴可设.‎ ‎∵,∴.‎ 若,则,解得.∴或.‎ 若,则,解得.∴或.‎ 综上所述,点的坐标为或或或.‎ ‎(3)设,‎ ‎∵,∴.‎ 若,则,即.‎ 若,则,即.‎ 若,则,即.‎ 若,则,即.‎ ‎∴满足条件的所有点围成的图形是正方形,如答图. ‎ ‎∴满足条件的所有点围成的图形的面积为18.‎ ‎22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8. 动点M从点A 出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动;同时,动点N从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动. 过线段MN的中点G作边AB的垂线,垂足为点G,交△ABC的另一边于点P,连接PM、PN,当点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动,设运动时间为t秒.‎ ‎(1)当t= 秒时,动点M、N相遇;‎ ‎(2)设△PMN的面积为S,求S与t之间的函数关系式;‎ ‎(3)取线段PM的中点K,连接KA、KC,在整个运动过程中,△KAC的面积是否变化?若变化,直接写出它的最大值和最小值;若不变化,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)2.5.‎ ‎(2)在整个运动过程中,分三段:点与点重合前;点与点重合后点M、N相遇前;点与点重合后点M、N相遇后.‎ 当点与点重合时,如答图1,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴根据勾股定理,得,解得.‎ 由(1)动点M、N相遇时,.‎ 当点N运动到点A时,由得.‎ ‎①当时,如题图,‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,,∴,即.‎ ‎∴.‎ ‎②当时,如答图2,‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,,‎ ‎∴,即.‎ ‎∴.‎ ‎③当时,如答图3,‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,,‎ ‎∴,即.‎ ‎∴.‎ 综上所述,S与t之间的函数关系式为.‎ ‎(3)在整个运动过程中,△KAC的面积变化,它的最大值是4,最小值是.‎ ‎23.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(8,1),B(0,﹣3),反比例函数的图象经过点A,动直线x=t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M,与直线AB交于点N.‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)求△BMN面积的最大值;‎ ‎(3)若MA⊥AB,求t的值.‎ ‎【答案】解:(1)把点A(8,1)代入反比例函数得:k=1×8=8, ‎ ‎∴k=8.‎ ‎(2)设直线AB的解析式为:,‎ ‎∵A(8,1),B(0,﹣3),‎ ‎∴,解得:. ∴直线AB的解析式为:.‎ 由(1)得反比例函数的解析式为:,‎ 设,则.‎ ‎∴.‎ ‎∴△BMN的面积是t的二次函数.‎ ‎∵<0,∴△BMN的面积有最大值.‎ ‎∴当t=3时,△BMN的面积的最大值为.‎ ‎(3)如答图,过点作轴于点,延长交轴于点,‎ ‎∵MA⊥AB,∴.‎ ‎∴,即,解得.‎ ‎∴.‎ 又∵A(8,1),∴直线AP的解析式为:.‎ ‎∴解得,.‎ ‎∴.‎ ‎24.如图,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线的对称轴绕着点P(,2)顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点,点Q是该抛物线上的一点.‎ ‎(1)求直线AB的函数表达式;‎ ‎(2)如图①,若点Q在直线AB的下方,求点Q到直线AB的距离的最大值;‎ ‎(3)如图②,若点Q在y轴左侧,且点T(0,t)(t<2)是直线PO上一点,当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时,求所有满足条件的t的值.‎ ‎【答案】解:(1)如答图1,设直线AB与轴的交点为M,‎ ‎∵,P(,2),∴.‎ 设直线AB的解析式为,‎ 则,解得.‎ ‎∴直线AB的解析式为.‎ ‎(2)如答图2,过点Q作轴的垂线QC,交AB于点C,再过点Q作直线AB的垂线,垂足为点D,‎ 根据条件可知,是等腰直角三角形.‎ ‎∴.‎ 设,则,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴当时,点Q到直线AB的距离的最大值为.‎ ‎(3)∵,∴中必有一角等于45°.‎ ‎①由图可知,不合题意.‎ ‎②若,‎ 如答图3,过点B作轴的平行线与轴和抛物线分别交于点,此时,.‎ 根据抛物线的轴对称性质,知,‎ ‎∴是等腰直角三角形.‎ ‎∵与相似,且,‎ ‎∴也是等腰直角三角形.‎ i)若,‎ 联立,解得或.‎ ‎∴. ∴.∴,此时,.‎ ii)若,,此时,.‎ ‎③若,②是情况之一,答案同上.‎ 如答图4,5,过点B作轴的平行线与轴和抛物线分别交于点,以点为圆心,为半径画圆,则都在上,设与y轴左侧的抛物线交于另一点.‎ ‎∵根据圆周角定理,,‎ ‎∴点也符合要求.‎ 设,‎ 由得解得或,‎ 而,故.∴.‎ 可证是等边三角形,∴.‎ ‎∴.‎ 则在中,.‎ i)若,‎ 如答图4,过点作轴于点,‎ 则,‎ ‎∴.‎ ‎∴,此时,.‎ ii)若,‎ 如答图5,过点作轴于点,‎ 设,则.‎ ‎∵,∴,.∴.‎ ‎∴,此时,.‎ 综上所述,所有满足条件的t的值为或或或.‎
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