中考数学复习专题几何综合题含答案解析

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中考数学复习专题几何综合题含答案解析

几何综合题 ‎1.已知△ABC中,AD是的平分线,且AD=AB, 过点C作AD的垂线,交 AD的延长线于点H.‎ ‎ (1)如图1,若 ‎ ①直接写出和的度数;‎ ‎ ②若AB=2,求AC和AH的长;‎ ‎ (2)如图2,用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系,并证明.‎ 答案:‎ ‎(1)①,;‎ ‎ ‎ ‎ ②作DE⊥AC交AC于点E.‎ Rt△ADE中,由,AD=2可得DE=1,AE.‎ Rt△CDE中,由,DE=1,可得EC=1.‎ ‎∴AC. ‎ Rt△ACH中,由,可得AH; ‎ ‎(2)线段AH与AB+AC之间的数量关系:2AH=AB+AC 证明: 延长AB和CH交于点F,取BF中点G,连接GH.‎ ‎ 易证△ACH ≌△AFH.‎ ‎∴,.‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∴.‎ ‎2.正方形的边长为,将射线绕点顺时针旋转,所得射线与线段交于点,作于点,点与点关于直线对称,连接.‎ ‎(1)如图,当时,‎ ‎①依题意补全图.‎ ‎②用等式表示与之间的数量关系:__________.‎ ‎(2)当时,探究与之间的数量关系并加以证明.‎ ‎(3)当时,若边的中点为,直接写出线段长的最大值.‎ 答案:(1)①补全的图形如图7所示.‎ ② ∠NCE=2∠BAM.‎ ‎(2)当45°<α<90°时,.‎ ‎ 证明:如图8,连接CM,设射线AM与CD的交点为H. ‎ ‎∵ 四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴ ∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°,直线BD为正方形ABCD的对称轴,‎ 点A与点C关于直线BD对称.‎ ‎∵ 射线AM与线段BD交于点M,‎ ‎∴ ∠BAM=∠BCM=α.‎ ‎∴ ∠1=∠2=.‎ ‎∵ CE⊥AM,‎ ‎∴ ∠CEH=90°,∠3+∠5=90°.‎ 又∵∠1+∠4=90°,∠4=∠5,‎ ‎∴ ∠1=∠3.‎ ‎∴ ∠3=∠2=. ‎ ‎∵ 点N与点M关于直线CE对称,‎ ‎∴ ∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=. ‎ ‎(3)‎ ‎3. 如图,已知,点为射线上的一个动点,过点作,交于点,点在内,且满足,.‎ ‎(1)当时,求的长;‎ ‎(2)在点的运动过程中,请判断是否存在一个定点,使得的值不变?并证明你的判断. ‎ 答案:‎ ‎(1)作⊥交于.‎ ‎∵⊥,,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ ‎∵,,‎ ‎∴,.‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ ‎(2)当点在射线上且满足时,的值不变,始终为1.理由如下: ‎ 当点与点不重合时,延长到使得.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵,是公共边,‎ ‎∴≌.‎ ‎∴. ‎ 作⊥于,⊥于.‎ ‎∵,‎ ‎∴. ‎ ‎∵⊥,⊥,⊥,‎ ‎∴四边形为矩形.‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵⊥,‎ ‎∴.‎ ‎∴,即.‎ 当点与点重合时,由上过程可知结论成立. ‎ ‎4. 如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E为AB边上一动点(与点A,B不重合),连接CE,将∠ACE的两边所在射线CE,CA以点C为中心,顺时针旋转120°,分别交射线AD于点F,G.‎ ‎(1)依题意补全图形;‎ ‎(2)若∠ACE=α,求∠AFC 的大小(用含α的式子表示);‎ ‎(3)用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系,并证明.‎ 答案:(1)补全的图形如图所示.‎ ‎(2)解:由题意可知,∠ECF=∠ACG=120°.‎ ‎∴∠FCG=∠ACE=α.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,‎ ‎∴∠DAC=∠BAC= 30°. ∴∠AGC=30°.‎ ‎∴∠AFC =α+30°. ‎ ‎(3)用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系为.‎ 证明:作CH⊥AG于点H.‎ 由(2)可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°. ‎ ‎∴CA=CG. ∴HG =AG.‎ ‎∵∠ACE =∠GCF,∠CAE =∠CGF,‎ ‎∴△ACE≌△GCF.‎ ‎∴AE =FG.‎ 在Rt△HCG中, ‎ ‎∴AG =CG.即AF+AE=CG.‎ ‎5.如图,Rt△ABC中,∠ACB = 90°,CA = CB,过点C在△ABC外作射线CE,且∠BCE = ,点B关于CE的对称点为点D,连接AD,BD,CD,其中AD,BD分别交射线CE于点M,N.‎ ‎(1)依题意补全图形;‎ ‎(2)当= 30°时,直接写出∠CMA的度数;‎ ‎(3)当0°<< 45°时,用等式表示线段AM,CN之间的数量关系,并证明.‎ 答案:(1)如图; ‎ ‎(2)45°; ‎ ‎(3)结论:AM=CN. ‎ 证明:作AG⊥EC的延长线于点G.‎ ‎∵点B与点D关于CE对称,‎ ‎∴CE是BD的垂直平分线.‎ ‎∴CB=CD.‎ ‎∴∠1=∠2=.‎ ‎∵CA=CB,∴CA=CD.∴∠3=∠CAD.‎ ‎∵∠4=90°,‎ ‎∴∠3=(180°∠ACD)=(180°90°)=45°.‎ ‎∴∠5=∠2+∠3=+45°-=45°.‎ ‎∵∠4=90°,CE是BD的垂直平分线,‎ ‎∴∠1+∠7=90°,∠1+∠6=90°.‎ ‎∴∠6=∠7. ‎ ‎∵AG⊥EC,‎ ‎∴∠G=90°=∠8. ‎ ‎∴在△BCN和△CAG中,‎ ‎∠8=∠G,‎ ‎∠7=∠6, ‎ BC=CA,‎ ‎∴△BCN≌△CAG.‎ ‎∴CN=AG. ‎ ‎∵Rt△AMG中,∠G=90°,∠5=45°,‎ ‎∴AM=AG. ‎ ‎∴AM=CN. ‎ ‎6.在正方形ABCD中,M是BC边上一点,点P在射线AM上,将线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ,连接BP,DQ.‎ ‎(1)依题意补全图1;‎ ‎(2)①连接,若点P,Q,D恰好在同一条直线上,求证:; ②若点P,Q,C恰好在同一条直线上,则BP与AB的数量关系为: .‎ 答案:(1)补全图形略 ‎ ‎ (2)①证明:‎ ‎ 连接,如图2,‎ ‎ ∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段,‎ ‎ ∴,.‎ ‎ ∵四边形是正方形,‎ ‎ ∴,.‎ ‎ ∴. ‎ ‎ ∴△≌△. ‎ ‎ ∴,.‎ ‎ ∵在中,,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵在中,,‎ ‎ 又∵,,‎ ‎ ∴. ‎ ‎ ②.‎ ‎7.如图,在等腰直角△ABC中,∠CAB=90°,F是AB边上一点,作射线CF,‎ 过点B作BG⊥CF于点G,连接AG.‎ ‎ (1)求证:∠ABG=∠ACF;‎ ‎(2)用等式表示线段CG,AG,BG之间 的等量关系,并证明.‎ 答案:(1)证明 :‎ ‎∵ ∠CAB=90°.‎ ‎∵ BG⊥CF于点G,‎ ‎∴ ∠BGF=∠CAB=90°. ‎ ‎∵∠GFB=∠CFA. ‎ ‎∴ ∠ABG=∠ACF. ‎ ‎(2)CG=AG+BG. ‎ 证明:在CG上截取CH=BG,连接AH,‎ ‎∵ △ABC是等腰直角三角形, ‎ ‎∴ ∠CAB=90°,AB=AC.‎ ‎∵ ∠ABG=∠ACH.‎ ‎∴ △ABG≌△ACH.‎ ‎∴ AG =AH,∠GAB=∠HAC. ‎ ‎∴ ∠GAH=90°.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ GH=AG. ‎ ‎∴ CG=CH+GH=AG+BG. ‎ ‎8.如图,在正方形ABCD中,E是BC边上一点,连接AE,延长CB至点F,使BF=BE,过点F作FH⊥AE于点H,射线FH分别交AB、CD于点M、N,交对角线AC于点P,连接AF.‎ ‎(1)依题意补全图形;‎ ‎(2)求证:∠FAC=∠APF;‎ ‎(3)判断线段FM与PN的数量关系,并加以证明.‎ 答案:(1)补全图如图所示.‎ ‎ (2)证明∵正方形ABCD,‎ ‎∴∠BAC=∠BCA=45°,∠ABC=90°,‎ ‎∴∠PAH=45°-∠BAE.‎ ‎∵FH⊥AE.‎ ‎∴∠APF=45°+∠BAE.‎ ‎∵BF=BE,‎ ‎∴AF=AE,∠BAF=∠BAE.‎ ‎∴∠FAC=45°+∠BAF.‎ ‎∴∠FAC=∠APF.‎ ‎ (3)判断:FM=PN. ‎ ‎ 证明:过B作BQ∥MN交CD于点Q,‎ ‎∴MN=BQ,BQ⊥AE.‎ ‎∵正方形ABCD,‎ ‎∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°.‎ ‎∴∠BAE=∠CBQ.‎ ‎∴△ABE≌△BCQ.‎ ‎∴AE=BQ.‎ ‎∴AE=MN.‎ ‎∵∠FAC=∠APF,‎ ‎∴AF=FP.‎ ‎∵AF=AE,‎ ‎∴AE=FP.‎ ‎∴FP=MN.‎ ‎∴FM=PN.‎ ‎9.如图所示,点P位于等边的内部,且∠ACP=∠CBP.‎ ‎(1) ∠BPC的度数为________°;‎ ‎(2) 延长BP至点D,使得PD=PC,连接AD,CD.‎ ‎①依题意,补全图形;‎ ‎②证明:AD+CD=BD;‎ (3) 在(2)的条件下,若BD的长为2,求四边形ABCD的面积.‎ ‎ 解:(1)120°. ----------------------------2分 D ‎(2)①∵如图1所示.‎ ‎②在等边中,,‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴为等边三角形.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 在和中,‎ ‎∴. ‎ ‎∴‎ ‎∴-----------------------------------------4分 ‎ ‎(3)如图2,作于点,延长线于点.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又由(2)得, ‎ ‎-----------------------------------7分 ‎ ‎10.如图1,在等边三角形ABC中,CD为中线,点Q在线段CD上运动,将线段QA绕点Q顺时针旋转,使得点A的对应点E落在射线BC上,连接BQ,设∠DAQ=α ‎(0°<α<60°且α≠30°).‎ ‎(1)当0°<α<30°时,‎ ①在图1中依题意画出图形,并求∠BQE(用含α的式子表示);‎ ②探究线段CE,AC,CQ之间的数量关系,并加以证明;‎ ‎(2)当30°<α<60°时,直接写出线段CE,AC,CQ之间的数量关系. ‎ 图1 备用图 解:(1)①. ………………………………………………………………………… 1分 ‎② 0≤≤.……………………………………………………………… 2分 ‎(2)设直线与x轴,y轴的交点分别为点A,点B,可得,‎ ‎.‎ ‎∴ ,,.‎ 由0≤≤,作直线.‎ ①如图13,当⊙D与x轴相切时,相应的圆心满足题意,其横坐标取到最大值.作轴于点,‎ 可得∥OB,.‎ ‎∵ ⊙D的半径为1,‎ 图13‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ,.‎ ‎∴ .‎ ②如图14,当⊙D与直线相切时,‎ 相应的圆心满足题意,其横坐标取到最小值. ‎ 作轴于点,则⊥OA.‎ 图14‎ 设直线与直线的交点为F.‎ 可得,OF⊥AB.则.‎ ‎∵ ⊙D的半径为1,‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ,‎ ‎.‎ ‎∴ .‎ 由①②可得,的取值范围是≤≤.‎ ‎………………………………………… 5分 图15‎ ‎(3)画图见图15.‎ ‎.……………………………… 7分 ‎11.如图,在等边中, 分别是边上的点,且 , ,点与点关于对称,连接,交于.‎ ‎(1)连接,则之间的数量关系是 ;‎ ‎(2)若,求的大小; (用的式子表示)‎ ‎(3)用等式表示线段和之间的数量关系,并证明.‎ ‎(1); ‎ ‎(2)解:连接,,‎ ‎∵是等边三角形,‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵点与点关于对称,‎ ‎∴,.‎ ‎∴.‎ 由(1)知.‎ ‎∴,,在以为圆心,为半径的圆上.‎ ‎∴. ‎ ‎(3).理由如下: ‎ 连接,延长,交于点,‎ ‎∵是等边三角形,‎ ‎∴,.‎ ‎∵点与点关于对称,‎ ‎∴,.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 设,‎ 则.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ 由(2)知.‎ ‎∴.‎ ‎∴,.‎ 四边形中,.‎ ‎∴.‎ ‎∴是等边三角形. ‎ ‎∴,.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ 在与中,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴. ‎ ‎12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,M是BC的中点,延长AM到点D,AE= AD,∠EAD=90°,CE交AB于点F,CD=DF.‎ ‎(1)∠CAD= 度; ‎ ‎(2)求∠CDF的度数;‎ ‎(3)用等式表示线段和之间的数量关系,并证明.‎ ‎ ‎ 解:(1)45 ……………………………………………………………1分 ‎(2)解:如图,连接DB.‎ ‎∵°,是的中点,‎ ‎∴∠BAD=∠CAD=45°.‎ ‎∴△BAD≌△CAD. ………………………………2分 ‎∴∠DBA=∠DCA,BD = CD.‎ ‎∵CD=DF,‎ ‎∴BD=DF. ………………………………………3分 ‎∴∠DBA=∠DFB=∠DCA.‎ ‎∵∠DFB+∠DFA =180°,‎ ‎∴∠DCA+∠DFA =180°.‎ ‎∴∠BAC+∠CDF =180°.‎ ‎∴∠CDF =90°. ………………………………………4分 ‎(3)CE=CD. ……………………………………5分 证明:∵°,‎ ‎∴∠EAF=∠DAF=45°.‎ ‎∵AD=AE,‎ ‎∴△EAF≌△DAF. …………………………………6分 ‎∴DF=EF.‎ 由②可知,CF=. …………………………7分 ‎∴CE=CD.‎ ‎13.如图,正方形ABCD中,点E是BC边上的一个动点,连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转90°,得到AF,连接EF,交对角线BD于点G,连接AG.‎ ‎(1)根据题意补全图形;‎ ‎(2)判定AG与EF的位置关系并证明;‎ ‎(3)当AB = 3,BE = 2时,求线段BG的长.‎ 解:(1)图形补全后如图…………………1分 ‎(2)结论:AG⊥EF. …………………2分 证明:连接FD,过F点FM∥BC,交BD的延长线于点M.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=DA=DC=BC,∠DAB=∠ABE=∠ADC=90°,‎ ‎∠ADB=∠5=45°.‎ ‎∵线段AE绕点A逆时针旋转90°,得到AF,‎ ‎∴AE=AF,∠FAE=90°.‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∴△FDA≌△EBA. …………………3分 ‎∴∠FDA=∠EBA=90°,FD=BE.‎ ‎∵∠ADC=90°,‎ ‎∴∠FDA+∠ADC=180°。‎ ‎∴点F、D、C三点共线.‎ ‎∴∠ADB=∠3=45°. ‎ ‎∵FM∥BC,‎ ‎∴∠4=∠5=45°,‎ ‎∴FM=FD,‎ ‎∴FM=BE.‎ ‎∵∠FGM=∠EGB,FM=BE,∠4=∠5,‎ ‎∴△FMG≌△EGB. ‎ ‎∴FG=EG.‎ ‎∵AE=AF,‎ ‎∴AG⊥FE. ………………4分 ‎(3) 解:如图,DB与FE交于点G.‎ ‎∵AB=3,BE=2,‎ ‎∴DC=3,CE=1,FD=2.‎ ‎∴Rt△DAB中,DB=3.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴DH∥BC,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴DH=.‎ ‎∴,即,‎ ‎∴BG=. ………………7分 ‎14.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,点M是线段BC的中点,点N在射线MB上,连接AN,平移△ABN,使点N移动到点M,得到△DEM(点D与点A对应,点E与点B对应),DM交AC于点P.‎ ‎(1)若点N是线段MB的中点,如图1.‎ ‎① 依题意补全图1;‎ ‎② 求DP的长;‎ ‎(2)若点N在线段MB的延长线上,射线DM与射线AB交于点Q,若MQ=DP,求 CE的长.‎ ‎ ‎ 解:(1)①如图1,补全图形. ………………… 1分 ‎ ② 连接AD,如图2.‎ 在Rt△ABN中,‎ ‎∵∠B=90°,AB=4,BN=1,‎ ‎∴.‎ ‎∵线段AN平移得到线段DM,‎ ‎∴DM=AN=,‎ AD=NM=1,AD∥MC,‎ ‎∴△ADP∽△CMP.‎ ‎∴.‎ ‎∴.………………… 3分 ‎(2)连接,如图3.‎ 由平移知:∥,且=.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴∥,且=.‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴∥.‎ ‎∴.‎ 又∵,‎ ‎ ∴.‎ ‎∵∥,‎ ‎∴.‎ 又∵是的中点,且,‎ ‎ ∴.‎ ‎∴(舍负).‎ ‎ ∴.‎ ‎∴.………………… 7分 ‎(2)法二,连接AD,如图4.‎ 设CE长为x,‎ ‎∵线段AB移动到得到线段DE,‎ ‎∴,AD∥BM.‎ ‎∴△ADP∽△CMP.‎ ‎∴.‎ ‎∵MQ=DP,‎ ‎∴.‎ ‎∵△QBM∽△QAD,‎ ‎∴.‎ 解得.‎ ‎∴. ………………… 7分 ‎15.如图,在△ABC中,AB=AC>BC,BD 是AC边上的高,点C关于直线BD的对称点为点E,连接BE.‎ ‎(1) ①依题意补全图形;‎ ‎②若∠BAC=,求∠DBE的大小(用含的式子表示);‎ (2) 若DE=2AE,点F是BE中点,连接AF,BD=4,求AF的长.‎ ‎(1)解:①如图. ……………………… 1分 ②∵ AB=AC,∠BAC=,‎ ‎∴ ∠ABC=∠ACB=90°-. ‎ ‎∵点C关于直线BD的对称点为点E,BD 是AC边上的高.‎ ‎∴ BD⊥CE,CD=DE. ‎ ‎∴ BE=BC.‎ ‎∴ ∠BEC=∠ACB=90°-. …………………… 2分 ‎∴∠DBE=.……………… 3分 ‎(2)解:作FG⊥AC于G,‎ ‎∵BD⊥CE,∴FG∥BD ‎∵点F是BE中点,∴EG=DG.∴…………4分 ‎∵DE=2AE,∴AE=EG=DG.……………… 5分 设AE=EG=DG=x,则CD=DE=2x,AC=5x,∴AB=AC=5x.‎ ‎∴BD=4x. ∵BD=4,∴x =1.……………… 6分 ‎∴AG=2.‎ ‎∵=2,‎ ‎∴AF=.……………… 7分
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