2015厦门中考数学试卷及答案

2015厦门中考数学试卷及答案

‎2015年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试 数 学 ‎ ‎（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）‎ ‎ 准考证号 姓名 座位号 ‎ 注意事项：‎ ‎1．全卷三大题，27小题，试卷共4页，另有答题卡．‎ ‎2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分．‎ ‎3．可直接用2B铅笔画图． ‎ 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）‎ ‎1. 反比例函数y＝的图象是 ‎ A． 线段 B．直线 C．抛物线 D．双曲线 ‎2. 一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的结果有 ‎ A.1种 B. 2种 C. 3种 D．6种 ‎3. 已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是 A. －2xy2 B. 3x‎2 C. 2xy3 D. 2x 3‎ ‎4. 如图1，△ABC是锐角三角形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，‎ 则点C到直线AB的距离是 图1‎ A. 线段CA的长 B.线段CD的长 ‎ C. 线段AD的长 D.线段AB的长 ‎5. 2—3可以表示为 ‎ A．22÷25 B．25÷‎22 ‎‎ C．22×25 D．（－2）×（－2）×（－2）‎ ‎ ‎ ‎6．如图2，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，‎ 若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的是 A．∠A和∠B互为补角 B． ∠B和∠ADE互为补角 ‎ C．∠A和∠ADE互为余角 D．∠AED和∠DEB互为余角 图2‎ ‎7. 某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以(x－10) 元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是 ‎ A. 原价减去10元后再打8折 B. 原价打8折后再减去10元 ‎ C. 原价减去10元后再打2折 D. 原价打2折后再减去10元 ‎ ‎8. 已知sin6°＝a，sin36°＝b，则sin2 6°＝‎ ‎ A. a2 B. ‎2a C. b2 D． b ‎9．如图3，某个函数的图象由线段AB和BC组成，其中点 ‎ A（0，），B（1，），C（2，），则此函数的最小值是 A．0 B． C．1 D． 图3‎ ‎10．如图4，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是 ‎ A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点 ‎ B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点 ‎ C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点 ‎ D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点 图4‎ 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．不透明的袋子里装有1个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机 摸出一个球，则摸出红球的概率是 ． ‎ ‎12．方程x2＋x＝0的解是 ． ‎ ‎13．已知A，B，C三地位置如图5所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是‎4 km，‎ B，C两地的距离是‎3 km，则A，B两地的距离是 km；若A地在 C地的正东方向，则Ｂ地在C地的 方向． ‎ ‎14．如图6，在矩形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，E是边AD的中点， 图5‎ 若AC＝10，DC＝2，则BO＝ ，∠EBD的大小约为 ‎ 度 分．（参考数据：tan26°34′≈）‎ ‎15．已知(39＋)×(40＋)＝a＋b，若a是整数，1＜b＜2，则a＝ ． 图6‎ ‎16．已知一组数据1，2，3，…，n（从左往右数，第1个数是1，第2个数是2，第3个数是3，依此类推，第n个数是n）．设这组数据的各数之和是s，中位数是k，则s＝ ‎ ‎（用只含有k的代数式表示）． ‎ 三、解答题（本大题有11小题，共86分） ‎ ‎17．（本题满分7分）‎ 计算：1－2＋2×(－3)2 ． ‎ ‎18．（本题满分7分）‎ 在平面直角坐标系中，已知点A（－3,1），B（－2,0），‎ C（0,1）,请在图7中画出△ABC，并画出与△ABC 关于原点O对称的图形． 图7‎ ‎19．（本题满分7分）‎ 计算：＋．‎ ‎20．（本题满分7分）‎ 如图8，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，‎ ‎ AD＝3 ，AB＝5，求的值．‎ ‎ 图8‎ ‎21．（本题满分7分）‎ 解不等式组 ‎22.（本题满分7分）‎ 某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试，他们的成绩（百分制）如下表所示．‎ ‎ ‎ 应聘者 面试 笔试 甲 ‎87‎ ‎ 90‎ 乙 ‎ 91‎ ‎ 82‎ ‎ 若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？ ‎ ‎23．（本题满分7分）‎ 如图9，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．‎ 若DE＝DF，AD＝2，BC＝6，求四边形AEDF的周长．‎ 图9‎ ‎24．（本题满分7分）‎ 已知实数a，b满足a－b＝1，a2－ab＋2＞0，当1≤x≤2时，函数y＝（a≠0）的最大值与最小值之差是1，求a的值．‎ ‎25.（本题满分7分）‎ 如图10，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）(q＜n），点B，D在直线y＝x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，‎ CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积是2．‎ 求证：四边形ABCD是矩形．‎ 图10‎ ‎26．（本题满分11分）‎ 已知点A（－2，n）在抛物线y＝x2＋bx＋c上．‎ ‎ （1）若b＝1，c＝3，求n的值；‎ ‎ （2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值是－4，请画出点 P（x－1，x2＋bx＋c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．‎ ‎27．（本题满分12分）‎ 已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB ，‎ 延长DA，CB相交于点E．‎ ‎ （1）如图11，EB＝AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；‎ ‎ （2）如图12，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF＝30°．‎ ‎ 当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．‎ 图11 图12‎ ‎2015年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试 数学参考答案 说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分表的要求相应评分.‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 选项 D C D B A C B A B C 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）‎ ‎11. 12. 0，－1 13. 5；正北 ‎ ‎14. 5，18,26 15. 1611 16. 2k2－k ‎ 三、解答题（本大题共9小题，共86分）‎ ‎17．（本题满分7分）‎ 解： 1－2＋2×(－3)2 ‎ ‎ ＝－1＋2×9 ‎ ‎ ＝17. ……………………………7分 ‎18．（本题满分7分）‎ ‎ 解：‎ ‎……………………………7分 ‎19．（本题满分7分）‎ ‎ 解： ＋ ‎＝ ……………………………5分 ‎ ＝2 ……………………………7分 ‎20．（本题满分7分）‎ 解：∵ DE∥BC，‎ ‎∴ △ADE ∽△ABC. ……………………………4分 ‎ ∴ ＝. ……………………………6分 ‎ ∵ ＝， ‎ ‎ ∴ ＝. ……………………………7分 ‎21．（本题满分7分）‎ 解：解不等式2x＞2，得x＞1. ……………………………3分 ‎ 解不等式x＋2≤6＋3x，得x≥－2. ……………………………6分 ‎ 不等式组的解集是x＞1. ……………………………7分 ‎22.（本题满分7分）‎ 解：由题意得，‎ 甲应聘者的加权平均数是＝88.2. ……………………………3分 乙应聘者的加权平均数是＝87.4. ……………………………6分 ‎∵88.2＞87.4，‎ ‎∴甲应聘者被录取. ……………………………7分 ‎23．（本题满分7分）‎ 解：∵AB＝AC，E，F分别是边AB，AC的中点，‎ ‎∴AE＝AF＝AB. ……………………………1分 ‎ 又∵DE＝DF，AD＝AD，‎ ‎ ∴△AED≌△AFD. ……………………………2分 ‎ ∴∠EAD＝∠FAD.‎ ‎ ∴AD⊥BC， ……………………………3分 ‎ 且D是BC的中点.‎ 在Rt△ABD中，∵E是斜边AB的中点，‎ ‎∴DE＝AE. ……………………………6分 ‎ 同理，DF＝AF.‎ ‎∴四边形AEDF的周长是2AB.‎ ‎ ∵BC＝6，∴BD＝3.‎ 又AD＝2，‎ ‎∴AB＝.‎ ‎∴四边形AEDF的周长是2. ……………………………7分 ‎ ‎ ‎24．（本题满分7分）‎ 解1：由a－b＝1，a2－ab＋2＞0得，a＞－2. ……………………………2分 ‎∵a≠0，‎ ‎（1）当－2＜a＜0时， ……………………………3分 在1≤x≤2范围内y随x的增大而增大，‎ ‎∴ －a＝1.‎ ‎∴ a＝－2 ……………………………4分 不合题意，舍去. ‎ ‎（2）当a＞0时， ……………………………5分 在1≤x≤2范围内y随x的增大而减小，‎ ‎∴ a－＝1.‎ ‎∴ a＝2. ……………………………6分 综上所述a＝2. ……………………………7分 解2：（1）当a＜0时， ……………………………1分 在1≤x≤2范围内y随x的增大而增大，‎ ‎∴ －a＝1.‎ ‎∴ a＝－2. ……………………………2分 ‎∴ b＝－3.‎ 而a2－ab＋2＝0，不合题意， ‎ ‎∴a≠－2. ……………………………3分 ‎（2）当a＞0时， ……………………………4分 在1≤x≤2范围内y随x的增大而减小，‎ ‎∴ a－＝1.‎ ‎∴ a＝2. ……………………………5分 ‎∴ b＝1. 而a2－ab＋2＝4＞0，符合题意， ‎ ‎∴ a＝2. ……………………………6分 综上所述， a＝2. ……………………………7分 ‎25.（本题满分7分）‎ 解1：∵ AB∥CD，‎ ‎∴∠EAB＝∠ECD，∠EBA＝∠EDC.‎ ‎∵ BE＝DE，‎ ‎∴ △AEB≌△CED. ……………………………1分 ‎∴ AB＝CD＝4. ‎ ‎∵AB∥CD， ‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形. ……………………………2分 A（2，n），B（m，n）（m＞2），‎ ‎∴ AB∥x轴，且CD∥x轴.‎ ‎∵ m＞2，∴m＝6. ……………………………3分 ‎∴n＝×6＋1＝4.‎ ‎∴ B（6，4）. ‎ ‎∵△AEB的面积是2，‎ ‎∴△AEB的高是1. ……………………………4分 ‎∴平行四边形ABCD的高是2.‎ ‎∵ q＜n，‎ ‎∴q＝2.‎ ‎∴p＝2， ……………………………5分 即D（2，2）. ‎ ‎∵点A（2，n），‎ ‎∴DA∥y轴. ……………………………6分 ‎∴AD⊥CD，即∠ADC＝90°. ‎ ‎∴四边形ABCD是矩形. ……………………………7分 ‎ ‎ 解2：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠EAB＝∠ECD，∠EBA＝∠EDC.‎ ‎∵ BE＝DE，‎ ‎∴ △AEB≌△CED. ……………………………1分 ‎∴ AB＝CD＝4. ‎ ‎∵AB∥CD， ‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形. ……………………………2分 ‎∵A（2，n），B（m，n）（m＞2），‎ ‎∴ AB∥x轴，且CD∥x轴.‎ ‎∵ m＞2，∴m＝6. ……………………………3分 ‎∴n＝×6＋1＝4.‎ ‎∴ B（6，4）. ‎ 过点E作EF⊥AB，垂足为F，‎ ‎∵△AEB的面积是2，‎ ‎∴EF＝1. ……………………………4分 ‎∵ q＜n，‎ ‎∴点E的纵坐标是3.‎ ‎∴点E的横坐标是4.‎ ‎∴点F的横坐标是4. ……………………………5分 ‎∴点F是线段AB的中点. ‎ ‎∴直线EF是线段AB的中垂线.‎ ‎∴EA＝EB. ……………………………6分 ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AE＝EC，BE＝ED.‎ ‎∴AC＝BD. ‎ ‎∴四边形ABCD是矩形. ……………………………7分 ‎26．（本题满分11分）‎ ‎（1）解：∵ b＝1，c＝3，‎ ‎∴ y＝x2＋x＋3. ……………………………2分 ‎∵点A（－2，n）在抛物线y＝x2＋x＋3上，‎ ‎∴n＝4－2＋3 ……………………………3分 ‎＝5. ……………………………4分 ‎（2）解：∵点A（－2，n），B（4，n）在抛物线y＝x2＋bx＋c上，‎ ‎∴∴b＝－2.‎ ‎∴顶点的横坐标是－＝1.‎ 即顶点为（1，－4）.‎ ‎∴－4＝1－2＋c.‎ ‎∴c＝－3. ……………………………7分 ‎∴P（x－1，x2－2x－3）. ‎ ‎∵将点（x，x2－2x－3）向左平移一个单位得点P（x－1，x2－2x－3），‎ ‎∴将点（x，x2－2x－3）的纵坐标随横坐标变化的函数的图象向左平移 一个单位后可得点P（x－1，x2－2x－3）的纵坐标随横坐标变化的函 数的图象. ……………………………8分 设p＝x－1，q＝x2－2x－3，‎ 则q＝p2－4.‎ 画出抛物线q＝p2－4的图象. ……………………………11分 ‎27．（本题满分12分）‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠ABC＝90°. ‎ ‎∴∠ABE＝90°. ……………………………1分 ‎∵AC平分∠DCB，‎ ‎∴∠ACB＝∠ACD. ……………………………2分 ‎∴AB＝AD. ……………………………3分 ‎∵EB＝AD，‎ ‎∴EB＝AB. ……………………………4分 ‎∴△ABE是等腰直角三角形. ……………………………5分 ‎（2）直线EF与⊙O相离. ‎ 证明：过O作OG⊥EF，垂足为G. ‎ 在Rt△OEG中，‎ ‎∵∠OEG＝30°，‎ ‎∴OE＝2OG. ……………………………6分 ‎∵∠ADC＝90°,‎ ‎ ∴AC是直径. ‎ 设∠ACE＝，AC＝2r.‎ 由（1）得∠DCE＝2， ‎ 又∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠AEC＝90°－2.‎ ‎∵≥30°，‎ ‎∴（90°－2）－≤0. ……………………………8分 ‎∴∠AEC≤∠ACE. ‎ ‎∴AC≤AE. ……………………………9分 在△AEO中，∠EAO＝90°＋，‎ ‎∴∠EAO＞∠AOE.‎ ‎∴EO＞AE. ……………………………10分 ‎∴EO－AE＞0.‎ ‎ 由AC≤AE得AE－AC≥0.‎ ‎∴EO－AC＝EO＋AE－AE－AC ‎ ＝（EO－AE）＋（AE－AC）＞0.‎ ‎∴EO＞AC. ‎ 即2OG≥2r.‎ ‎∴OG＞r. ……………………………11分 ‎∴直线EF与⊙O相离. ……………………………12分