2019年浙江省杭州市中考数学试卷

2019年浙江省杭州市中考数学试卷

‎2019年浙江省杭州市中考数学试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；‎ ‎1．（3分）计算下列各式，值最小的是（　　）‎ A．2×0+1﹣9 B．2+0×1﹣9 C．2+0﹣1×9 D．2+0+1﹣9‎ ‎2．（3分）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（　　）‎ A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3‎ ‎3．（3分）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎4．（3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（　　）‎ A．2x+3（72﹣x）＝30 B．3x+2（72﹣x）＝30 ‎ C．2x+3（30﹣x）＝72 D．3x+2（30﹣x）＝72‎ ‎5．（3分）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）‎ A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 ‎6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（　　）‎ A．＝ B．＝ C．＝ D．＝‎ 第23页（共23页）‎ ‎7．（3分）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（　　）‎ A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° ‎ C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°‎ ‎8．（3分）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．（3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　）‎ A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx ‎ C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx ‎10．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　）‎ A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 ‎ C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1‎ 二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分；‎ ‎11．（4分）因式分解：1﹣x2＝　 　．‎ ‎12．（4分）某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于　 　．‎ 第23页（共23页）‎ ‎13．（4分）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于　 　cm2（结果精确到个位）．‎ ‎14．（4分）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝　 　．‎ ‎15．（4分）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式　 　．‎ ‎16．（4分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于　 　．‎ 三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（6分）化简：﹣﹣1‎ 圆圆的解答如下：‎ ‎﹣﹣1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．‎ ‎18．（8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．‎ 实际称量读数和记录数据统计表 序号 数据 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 第23页（共23页）‎ 甲组 ‎48‎ ‎52‎ ‎47‎ ‎49‎ ‎54‎ 乙组 ‎﹣2‎ ‎2‎ ‎﹣3‎ ‎﹣1‎ ‎4‎ ‎（1）补充完成乙组数据的折线统计图．‎ ‎（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的等量关系．‎ ‎②甲，乙两组数据的方差分别为S甲2，S乙2，比较S甲2与S乙2的大小，并说明理由．‎ ‎19．（8分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．‎ ‎（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．‎ ‎（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．‎ ‎20．（10分）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．‎ ‎（1）求v关于t的函数表达式；‎ 第23页（共23页）‎ ‎（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．‎ ‎①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．‎ ‎②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．‎ ‎21．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．‎ ‎（1）求线段CE的长；‎ ‎（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．‎ ‎22．（12分）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．‎ ‎（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．‎ ‎（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．‎ ‎（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．‎ ‎23．（12分）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．‎ ‎（1）若∠BAC＝60°，‎ ‎①求证：OD＝OA．‎ ‎②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．‎ ‎（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．‎ 第23页（共23页）‎ 第23页（共23页）‎ ‎2019年浙江省杭州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；‎ ‎1．（3分）计算下列各式，值最小的是（　　）‎ A．2×0+1﹣9 B．2+0×1﹣9 C．2+0﹣1×9 D．2+0+1﹣9‎ ‎【分析】有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．‎ ‎【解答】解：A.2×0+1﹣9＝﹣8，‎ B．2+0×1﹣9＝﹣7‎ C．2+0﹣1×9＝﹣7‎ D．2+0+1﹣9＝﹣6，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．‎ ‎2．（3分）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（　　）‎ A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3‎ ‎【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，‎ ‎∴m＝﹣3，n＝2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．‎ ‎3．（3分）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 第23页（共23页）‎ ‎【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB＝PA＝3．‎ ‎【解答】解：连接OA、OB、OP，‎ ‎∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，‎ ‎∴OA⊥PA，OB⊥PB，‎ 在Rt△AOP和Rt△BOP中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），‎ ‎∴PB＝PA＝3，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了切线长定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．‎ ‎4．（3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（　　）‎ A．2x+3（72﹣x）＝30 B．3x+2（72﹣x）＝30 ‎ C．2x+3（30﹣x）＝72 D．3x+2（30﹣x）＝72‎ ‎【分析】直接根据题意表示出女生人数，进而利用30位学生种树72棵，得出等式求出答案．‎ ‎【解答】解：设男生有x人，则女生（30﹣x）人，根据题意可得：‎ ‎3x+2（30﹣x）＝72．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出男女生的植树棵树是解题关键．‎ ‎5．（3分）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）‎ A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 ‎【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．‎ ‎【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关．‎ 第23页（共23页）‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数．‎ ‎6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（　　）‎ A．＝ B．＝ C．＝ D．＝‎ ‎【分析】先证明△ADN∽△ABM得到＝，再证明△ANE∽△AMC得到＝，则＝，从而可对各选项进行判断．‎ ‎【解答】解：∵DN∥BM，‎ ‎∴△ADN∽△ABM，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵NE∥MC，‎ ‎∴△ANE∽△AMC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：三在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．‎ ‎7．（3分）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（　　）‎ A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° ‎ C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°‎ 第23页（共23页）‎ ‎【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，把∠C＝∠A+∠B代入求出∠C即可．‎ ‎【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，‎ ‎∴2∠C＝180°，‎ ‎∴∠C＝90°，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．‎ ‎8．（3分）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据直线①判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断．‎ ‎【解答】解：A、由①可知：a＞0，b＞0．‎ ‎∴直线②经过一、二、三象限，故A正确；‎ B、由①可知：a＜0，b＞0．‎ ‎∴直线②经过一、二、三象限，故B错误；‎ C、由①可知：a＜0，b＞0．‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；‎ D、由①可知：a＜0，b＜0，‎ ‎∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．‎ ‎9．（3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　）‎ A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx ‎ C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx ‎【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABC＝90°，‎ ‎∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，‎ ‎∴∠EAB＝x，‎ ‎∴∠FBA＝x，‎ ‎∵AB＝a，AD＝b，‎ ‎∴FO＝FB+BO＝a•cosx+b•sinx，‎ 故选：D．‎ 第23页（共23页）‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．‎ ‎10．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　）‎ A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 ‎ C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1‎ ‎【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．‎ ‎【解答】解：∵y＝（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，‎ ‎∴△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，‎ ‎∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，‎ ‎∴M＝2，‎ ‎∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，‎ ‎∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；‎ 当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；‎ 综上可知，M＝N或M＝N+1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．‎ 二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分；‎ ‎11．（4分）因式分解：1﹣x2＝　（1﹣x）（1+x）　．‎ ‎【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．‎ 第23页（共23页）‎ ‎【解答】解：∵1﹣x2＝（1﹣x）（1+x），‎ 故答案为：（1﹣x）（1+x）．‎ ‎【点评】本题考查因式分解﹣运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解．‎ ‎12．（4分）某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于　　．‎ ‎【分析】直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数．‎ ‎【解答】解：∵某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，‎ 则这m+n个数据的平均数等于：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题主要考查了加权平均数，正确得出两组数据的总和是解题关键．‎ ‎13．（4分）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于　113　cm2（结果精确到个位）．‎ ‎【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．‎ ‎【解答】解：这个冰淇淋外壳的侧面积＝×2π×3×12＝36π≈113（cm2）．‎ 故答案为113．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．‎ ‎14．（4分）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝　或　．‎ ‎【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值．‎ 第23页（共23页）‎ ‎【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；‎ 若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；‎ 综上所述，cosC的值为或．‎ 故答案为或．‎ ‎【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．‎ ‎15．（4分）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式　y＝﹣x+1　．‎ ‎【分析】根据题意写出一个一次函数即可．‎ ‎【解答】解：设该函数的解析式为y＝kx+b，‎ ‎∵函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，‎ ‎∴‎ 解得：，‎ 所以函数的解析式为y＝﹣x+1，‎ 故答案为：y＝﹣x+1．‎ ‎【点评】本题考查了各种函数的性质，题目中x、y均可以取0，故不能是反比例函数．‎ ‎16．（4分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于　2（5+3）　．‎ 第23页（共23页）‎ ‎【分析】设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，由△A′EP∽△D′PH，推出＝，推出＝，可得x＝2a，再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABC是矩形，‎ ‎∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，‎ 由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，‎ ‎∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，‎ ‎∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，‎ ‎∵△A′EP∽△D′PH，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴x2＝4a2，‎ ‎∴x＝2a或﹣2a（舍弃），‎ ‎∴PA′＝PD′＝2a，‎ ‎∵•a•2a＝1，‎ ‎∴a＝1，‎ ‎∴x＝2，‎ ‎∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，‎ ‎∴AD＝4+2++1＝5+3，‎ ‎∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）．‎ 故答案为2（5+3）‎ ‎【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．‎ 三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（6分）化简：﹣﹣1‎ 圆圆的解答如下：‎ 第23页（共23页）‎ ‎﹣﹣1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．‎ ‎【分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案．‎ ‎【解答】解：圆圆的解答错误，‎ 正确解法：﹣﹣1‎ ‎＝﹣﹣‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝﹣．‎ ‎【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．‎ ‎18．（8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．‎ 实际称量读数和记录数据统计表 序号 数据 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 甲组 ‎48‎ ‎52‎ ‎47‎ ‎49‎ ‎54‎ 乙组 ‎﹣2‎ ‎2‎ ‎﹣3‎ ‎﹣1‎ ‎4‎ 第23页（共23页）‎ ‎（1）补充完成乙组数据的折线统计图．‎ ‎（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的等量关系．‎ ‎②甲，乙两组数据的方差分别为S甲2，S乙2，比较S甲2与S乙2的大小，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）利用描点法画出折线图即可．‎ ‎（2）利用方差公式计算即可判断．‎ ‎【解答】解：（1）乙组数据的折线统计图如图所示：‎ ‎（2）①＝50+．‎ 第23页（共23页）‎ ‎②S甲2＝S乙2．‎ 理由：∵S甲2＝[（48﹣50）2+（52﹣50）2+（47﹣50）2+（49﹣50）2+（54﹣50）2]＝6.8．‎ S乙2＝[（﹣2﹣0）2+（2﹣0）2+（﹣3﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（4﹣0）2]＝6.8，‎ ‎∴S甲2＝S乙2．‎ ‎【点评】本题考查折线统计图，算术平均数，方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ ‎19．（8分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．‎ ‎（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．‎ ‎（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．‎ ‎【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；‎ ‎（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，‎ ‎∴PA＝PB，‎ ‎∴∠B＝∠BAP，‎ ‎∵∠APC＝∠B+∠BAP，‎ ‎∴∠APC＝2∠B；‎ ‎（2）根据题意可知BA＝BQ，‎ ‎∴∠BAQ＝∠BQA，‎ ‎∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴∠BQA＝2∠B，‎ ‎∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，‎ ‎∴5∠B＝180°，‎ ‎∴∠B＝36°．‎ ‎【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．‎ ‎20．（10分）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．‎ ‎（1）求v关于t的函数表达式；‎ ‎（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．‎ ‎①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．‎ ‎②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．‎ ‎【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；‎ ‎（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；‎ ‎②8点至11点30分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，‎ ‎∴v关于t的函数表达式为：v＝，（0≤t≤4）．‎ ‎（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时 将t＝6代入v＝得v＝80；将t＝代入v＝得v＝100．‎ ‎∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．‎ ‎②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：‎ ‎8点至11点30分时间长为小时，将t＝代入v＝得v＝＞120千米/小时，超速了．‎ 故方方不能在当天11点30分前到达B地．‎ 第23页（共23页）‎ ‎【点评】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解，本题属于中档题．‎ ‎21．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．‎ ‎（1）求线段CE的长；‎ ‎（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．‎ ‎【分析】（1）设出正方形CEFG的边长，然后根据S1＝S2，即可求得线段CE的长；‎ ‎（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出HD和HG的长，即可证明结论成立．‎ ‎【解答】解：（1）设正方形CEFG的边长为a，‎ ‎∵正方形ABCD的边长为1，‎ ‎∴DE＝1﹣a，‎ ‎∵S1＝S2，‎ ‎∴a2＝1×（1﹣a），‎ 解得，（舍去），，‎ 即线段CE的长是；‎ ‎（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，‎ ‎∴CH＝0.5，‎ ‎∴DH＝＝，‎ ‎∵CH＝0.5，CG＝，‎ ‎∴HG＝，‎ ‎∴HD＝HG．‎ 第23页（共23页）‎ ‎【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．‎ ‎22．（12分）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．‎ ‎（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．‎ ‎（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．‎ ‎（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．‎ ‎【分析】（1）将（0，0），（1，0）代入y＝（x﹣x1）（x﹣x2）求出函数解析式即可求解；‎ ‎（2）对称轴为x＝，当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；‎ ‎（3）将已知两点代入求出m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，再表示出mn＝[﹣][﹣]，由已知0＜x1＜x2＜1，可求出0≤﹣≤，0≤﹣≤，即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；‎ ‎∴二次函数经过点（0，0），（1，0），‎ ‎∴x1＝0，x2＝1，‎ ‎∴y═x（x﹣1）＝x2﹣x，‎ 当x＝时，y＝﹣，‎ ‎∴乙说点的不对；‎ ‎（2）对称轴为x＝，‎ 当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；‎ ‎（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，‎ ‎∴m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，‎ ‎∴mn＝[﹣][﹣]‎ ‎∵0＜x1＜x2＜1，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴0≤﹣≤，0≤﹣≤，‎ ‎∴0＜mn＜．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将mn准确的用x1和x2表示出来是解题的关键．‎ ‎23．（12分）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．‎ ‎（1）若∠BAC＝60°，‎ ‎①求证：OD＝OA．‎ ‎②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．‎ ‎（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．‎ ‎【分析】（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；‎ ‎（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，而∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）①连接OB、OC，‎ 则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∴∠OBC＝30°，‎ ‎∴OD＝OB＝OA；‎ ‎②∵BC长度为定值，‎ ‎∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，‎ 当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，‎ ‎△ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OBsin60°×＝；‎ ‎（2）如图2，连接OC，‎ 设：∠OED＝x，‎ 则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，‎ 则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，‎ ‎∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，‎ ‎∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，‎ ‎∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，‎ 即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，‎ 化简得：m﹣n+2＝0．‎ ‎【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中（2），∠AOD＝∠COD+∠AOC是本题容易忽视的地方，本题难度适中．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/4 16:24:51；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557‎ 第23页（共23页）‎