中考数学函数复习专题
x
y
Ox
y
Ox
y
OO
y
x
第一讲：一次函数与反比例函数
1.一次函数与正比例函数的定义：
一次函数：一般地，y=kx+b 若（其中 k,b 为常数且 k≠0），那么 y 是 x 的一次函数
正比例函数：当 b=0, k≠0 时，y=kx,此时称 y 是 x 的正比例函数
2. 一次函数与正比例函数的区别与联系：
从解析式看：y=kx+b(k≠0，b≠0)是一次函数而 y=kx(k≠0，b≠0)是正比例函数，显然正比例函数是一次函数
的特例，一次函数是正比例函数的推广
从图象看：y=kx(k≠0)是过点（0，0）的一条直线，而 y=kx+b(k≠0)是过点（0，b）且与 y=kx 平行的一条直
线。
例 1：如图，已知直线 y=-x+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B，另一直线 y=kx+b(k≠0)经过点 C（1，0），且
把△AOB 分成两部分。
（1）若△AOB 被分成的两部分面积相等，求 k 和 b 的值
3、反比例函数的图象 y = 是由两支曲线组成的。
(1) 当 k>0 时，两支曲线分别位于第一、三象限，
(2) 当 k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限.
例 2.（1）已知函数 的图象分布在第二、四象限内，则 的取值范围是_________
（2）若 ab＜0,则函数 与 在同一坐标系内的图象大致可能是下图中的 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2011•成都）如图，已知反比例函数 的图象经过点（ ，8），直线 y=﹣x+b 经过该反比例函数
图象上的点 Q（4，m）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为 P，连接 0P、OQ，求△OPQ
的面积．
k
x
1ky x
+= k
axy =
x
by =
O
B
A
C
2
4y x
=
1
2y x
=
解：（1）把点（ ，8）代入反比例函数 ，得 k= •8=4，
∴反比例函数的解析式为 y= ；
又∵点 Q（4，m）在该反比例函数图象上，∴4•m=4，
解得 m=1，即 Q 点的坐标为（4，1），
而直线 y=﹣x+b 经过点 Q（4，1），∴1=﹣4+b，解得 b=5，
∴直线的函数表达式为 y=﹣x+5；
（2）联立 ，解得 或 ，∴P 点坐标为（1，4），对于 y=﹣x+5，令 y=0，得 x=5，
∴A 点坐标为（5，0），∴S△OPQ=S△AOB﹣S△OBP﹣S△OAQ= ×5×5﹣ ×5×1﹣ ×5×1= ．
练习：
一、选择题
1、下列各点中，在函数 图像上的是 （ ）
A ．（－2，－4）； B．（2，3）； C．（－6，1）； D．（－ ，3）．
2、如图，A,B 是双曲线 上的点，A,B 两点的横坐标分别是 a,2a,线段 AB 的延长线交 x 轴于点 C，
若 ，则 k=___________.
3、如图，过 x 轴正半轴任意一点 P 作 x 轴的垂线，
分别与反比例函数 y1= 和 y2= 的图像交于点 A
和点 B.若点 C 是 y 轴上任意一点，连结 AC、BC，
则△ABC 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4、已知双曲线 ， 的部分图象如图所示，
是 轴正半轴上一点，过点 作 ∥ 轴，
x
6y −=
)0k(x
ky >=
6S AOC =△
2
x
4
x
2y x
= ky x
=
2
1
P y P AB x
P AB
x
y
O
O x
y
┐
分别交两个图象于点 ．若 ，则 ．
5、如图，点 A 在双曲线 上，且 OA＝4，过 A 作 AC⊥ 轴，
垂足为 C， OA 的垂直平分线交 OC 于 B，则△ABC 周长为( )
A. B.5 C. D.
6、平面直角坐标系中，已知点 O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点 P 是反比例函数 图 象上的一个动点，
过点 P 作 PQ⊥x 轴，垂足为点 Q．若以点 O、P、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似， 则相应的点 P 共有
（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
7、已知反比例函数的图象过点 M（－1，2），则此反比例函数的表达式为( )
A．y= B．y=－ C．y= D．y=－
8、经过点 的双曲线的表达式是( )．
A． ； B． ； C． ； D．
9、如图，已知双曲线 经过直角三角形 OAB 斜边 OA
的中点 D，且与直角边 AB 相交于点 C．若点 A 的坐标为（ ，4），
则△AOC 的面积为( )
A．12 B．9 C．6 D．4
10、如图，矩形 ABOC 的面积为 3，反比例函数 的图象过点 A，
则 k=（ ）
A． B． C． D．
11、已知反比例函数 的图象如图，则一元二次方程
根的情况是（ ）
A．有两个不等实根 B．有两个相等实根
C．没有实根 D．无法确定。
12、下列函数中，y 随 x 增大而减小的是（ ）
A.y=— B.y= C.y=－ D. y= －x－1
13、如图，已知梯形 ABCO 的底边 AO 在 轴上，BC∥AO，AB⊥AO，
过点 C 的双曲线 交 OB 于 D，且 OD ：DB=1 ：2，
若△OBC 的面积等于 3，
1y x
= −
( 0)ky kx
= <
6−
2x x2
1
x
4
,A B 2PB PA= =k
6y x
= x
4 7 2 7 22
x
2
x
2
x2
1
x2
1
( )2,4
y 2x= 1
2
=y x
8y x
= 2y x=
x
ky =
3 5.1− 3− 6−
2ky x
−=
2 2(2 1) 1 0x k x k− − + − =
x
ky x
=
O A
BC
D
x
y
则 k 的值( )
A．等于 2 B．等于 C．等于 D．无法确定
14、反比例函数 与一次函数 y=mx－m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
15、若反比例函数 y= 的图象经过点（-2，1），则此函数的图象一定经过点( )
A．(-2,-1） B. (2,-1） C. （ ，2） D. ( ,2)
16、如图所示，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象依次
是 和 ，设点 在 上， ⊥ 轴于点 ，交 于点 ，
⊥ 轴于点 ，交 于点 ，则四边形 的面积为( )
A． B． C． D.
17、若点 都在反比例函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
18、下列函数中，y 随 x 的增大而减小的是（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
19、若反比例函数 的图象经过点（-1,2)，则这个函数的图象一定经过点（ ）
A、(2,-1) B、( ,2) C、(-2,-1) D、( ,2)
20、若反比例函数 的图象位于第二、四象限内，则 m 的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1
21、已知反比例函数的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
22、反比例函数 y= ，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大，那么 m 的取值范围是( )
(A)m<3 (B) m>3 (C)m<-3 (D) m>-3
二、填空题
1
3y x= 1
3y x= − 3y x
= 3y x
= −
3
4
24
5
x
my =
k
x
1
2
− 1
2
x
ky 1=
x
ky 2=
1C 2C P 1C PC x C 2C A
PD y D 2C B PAOB
21 kk + 21 kk − 21 kk ⋅ 221 kkk −⋅
1 2 3( 1, ) 2 3y− 、（ ，y ）、（ ，y ） 5y x
=
1 2 3y y y< < 2 1 3y y y< < 1 2 3y y y> > 1 3 2y y y< <
ky x
=
1
2
− 1
2
x
my 1−=
x
m 3+
A
O
y
x
B
O
y
x
D
O
y
x
C
O
y
x
1 x
y
S1
S2 S3
P1
P2
P3
O 2 3 4
AB
P x
y
O
1、点 ，点 是双曲线 上的两点，若 ，则 （ 填 “ = ”、“ ＞ ”、
“＜”）．
2、如果点 A、B 在一个反比例函数的图像上，点 A 的坐标为（1，2），点 B 横坐标为 2，那么 A、B 两点之间的
距离为 ．
3、已知反比例函数的图像经过点（m，3）和（-3,2），则 m 的值为 ．
4、若反比例函数的图象经过点（-2,-1），则这个函数的图象位于第___________象限．
5、设函数 与 的图象的交点坐标为（ ， ），则 的值为__ ___．
6、如果 ， ，那么 ．
7、某中学要在校园内划出一块面积是 100m2 的矩形土地做花圃，设这个矩形的相邻两边的长分别为 xm 和 ym，
那么 y 关于 x 的函数解析式是_________________．
8、反比例函数 y＝
k
x 的图象与正比例函数 y＝3x 的图象交于 Ｏ点 P(m，6)，则反比例函数的关系式
是 ．
9、如图，已知点 A 在双曲线 上，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，OC= ，
线段 OA 的垂直平分线交 OC 于点 B，则△ABC 的周长为 ．
10、若反比例函数 y＝(k－1) 的图象经过第二、四象限，则 k＝ ．
11、一个函数具有下列性质：
①它的图像经过点（-1，1）；②它的图像在二、四象限内； ③在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增
大而增大．则这个函数的解析式可以为 ．
12、如图，在反比例函数 （ ）的图象上，
有点 ，···， ,它们的横坐标依次为
1，2，3，4，···， ．分别过这些点作 轴与 轴
的垂线，图中所构成的阴影部分的面积分别为
，···， ，则 的值为 .
13、如图，A 是反比例函数 y= 图象上一点，过点
A 作 AB⊥y 轴于点 B，点 P 在 x 轴上，△ABP 的面
积为 2，则 K 的值为_____________.
14、如图，△AOB 为等边三角形，点 B 的坐标为（-2,0），
过点 C（2,0）作直线 l 交 AO 于 D，交 AB 于 E，点 E
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 0x x< <
( ) kf x x
= ( )2 3f = − k =
2y x
= − 1y 2y
2y x
= 1y x= − a b 1 1
a b
−
xy 6= 3
2k -5x
xy 6= 0x >
1 2 3 4P P P P， ， ， nP
n x y
1 2 3S S S， ， nS 10321 SSSS ++++
x
k
在某反比例函数图象上，当△ADE 和△DCO 的
面积相等时，那么该反比例函数解析式为 .
三、解答题
1、已知双曲线 和直线 AB 的图象交于点 A(-3,4),AC⊥x 轴于点 C.
(1)求双曲线 的解析式;
(2)当直线 AB 绕着点 A 转动时,与 x 轴的交点为 B(a,0),并与双曲线 另一支还有一个交点的情形下,求
△ABC 的面积 S 与 a 之间的函数关系式.,并指出 a 的取值范围.
2、已知反比例函数 的图像经过第二象限内的点A（－1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．若直
线 经过点A，并且经过反比例函数 的图象上另一点C（n,一2）．
⑴求直线 的解析式；
⑵设直线 与 x 轴交于点 M，求 AM 的长．
3、如图，在以 O 为原点的直角坐标系中，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 B（a，b）在第一象限，四
边形 OABC 是矩形，若反比例函数 （k＞0，x>0）的图象与 AB 相交于点 D，与 BC 相交于点 E，且 BE=CE.
（1）求证：BD=AD；
（2）若四边形 ODBE 的面积是 9，求 k 的值.
ky x
=
ky x
=
ky x
=
x
ky =
baxy +=
x
ky =
baxy +=
baxy +=
x
ky =
4、如图，将—矩形 OABC 放在直角坐际系中，O 为坐标原点．点 A 在 x 轴正半轴上．点 E 是边 AB 上的—个动
点(不与点 A、B 重合)，过点 E 的反比例函数 的图象与边 BC 交于点 F.
（1）若△OAE、△OCF 的而积分别为 ．且 ，求 k 的值.
（2）若 OA=2，0C=4，问当点 E 运动到什么位置时，四边形 OAEF 的面积最大，其最大值为多少?
5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=-2x 的图像与反比例函数 的图像的一个交点为 A（-1，n）.
(1) 求反比例函数 的解析式；
(2) 若 P 是坐标轴上的一点，且满足 PA=0A，直接写出 P 的坐标.
6、如图，一次函数 与反比例函数 在第一象限的图象交于点 ，且点 的横坐标为 1，过点
作 轴的垂线， 为垂足，若 ，求一次函数和反比例函数的解析式.
( 0)ky xx
= >
1 2S S、 1 2 =2S S+
ky x
=
ky x
=
y x b= + ky x
= B B B
y C 3
2BCOS∆ =
y
x
A
O
B
A
B(1,n)
1
－1
－2
n
y
O x
7、已如图，反比例函数 y＝k
x 的图象与一次函数 y＝mx＋b 的图象交于两点 A（1,3） ,B（n,－1）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；
（2）根据图象，直接回答：当 x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(3) 连接 AO、BO，求△ABO 的面积；
8、如图,已知 A(4,a) ，B（－2 ,－4）是一次函数 y＝kx＋b 的图象和反比例函数 的图象的交点.
(1)求反比例函数的解析式；(2) 求一次函数的解析式。
9、如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点。
(1)利用图中条件求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 的取值范围．
10、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 （ ）的图象与一次函数 的图象的一个
交点为 ．
（1）求一次函数的解析式；
x
my =
bkxy +=
x
my =
x
4y x
= 0x > y x b= − +
(4 , )A m
（2）设一次函数 的图象与 y 轴交于点 B，P 为一次函数 的图象上一点，若 的
面积为 5，求点 P 的坐标．
11、已知 A(n，-2)，B(1，4)是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y= 的图象的两个交点，直线 AB 与 y 轴
交于点 C．
(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
(2)求△AOC 的面积；
(3)求不等式 kx+b- <0 的解集(直接写出答案)．
12、如图，将一块直角三角板 OAB 放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点 A 在第一象限，过点 A
的双曲线为 ．在 x 轴上取一点 P，过点 P 作直线 OA 的垂线 l，以直线 l 为对称轴，线段 OB 经轴对称变
换后的像是 O´B´．
（1）当点 O´与点 A 重合时，求点 P 的坐标.
（2）设 P（t，0），当 O´B´与双曲线有交点时，t 的取值范围是多少？
14、如图，一次函数 与反比例函数 的图像交于点A（4，m）和B（－8,－２），与y 轴交于点C，求：
（1） ， ；
（2）根据函数图像可知，当 ＞ 时，x 的取值范围是 ；
ky x
=
y x b= − + y x b= − + OBP△
x
m
x
m
2xky 11 +=
x
ky 2
2 =
=1k =2k
1y 2y
y
xD
C
B
A
O
P
y
x
6
6− O
A
B
A
B
C
P
Q
O x
y
（3）过点 A 作 轴于点 D，点 P 是反比例函数在第一象限图像上的一点，设直线 OP 与线段 AD 交
于点 E，当 时，求点 P 的坐标。
15、如图,反比例函数 的图像经过点 ，过点 作 轴于点B，△AOB的面积为 ．
（1）求 和 的值；
（2）若一次函数 的图象经过点 ，求这个一次函数的解析式．
16、如图所示，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 A，B 两点，且与坐标轴的交点
为 ， ，点 B 的横坐标为-4．
（1）试确定反比例函数的解析式；
（2）求△AOB 的面积；
（3）直接写出不等式 的解．
17、如图，直线 分别交 轴， 轴于点 ，点 是直线 与双曲线 在第一象限内的交
点， 轴，垂足为点 ， 的面积为 4．
（1）求点 的坐标；
（2）求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点 的坐标．
bxky 1 += )0x(x
ky 2 <=
)0,6(− )6,0(
x
kbxk 2
1 >+
1 12y x= + x y A C， P AC ky x
=
PB x⊥ B APB△
P
Q
xAD ⊥
1:3：SS ΔODE四边边形ODA
=
ky x
= ( )4,A b A AB x⊥ 2
k b
3y ax= − A
20.(2006)如图，已知反比例函数 y＝ （k＜0)的图象经过点 A（- ，m），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，且△AOB
的面积为 .
（1）求 k 和 m 的值；
（2）若一次函数 y＝ax+1 的图象经过点 A，并且与 x 轴相交于点
C，求∠ACO 的度数和│AO│∶│AC│
(2008) 如图，已知反比例函数 y = 的图象经过点 A（1，- 3），一次函数 y = kx + b 的图象经过点 A 与点 C
（0，- 4），且与反比例函数的图象相交于另一点 B.
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求点 B 的坐标.
(2011 绵阳)右图中曲线是反比例函数 的图象的一支．
（1）这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数 n 的取值范围是什么？
（2）若一次函数 的图象与反比例函数的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B，△AOB 的面积为 2，
求 n 的值．
x
k 3
3
x
m
x
ny 7+=
3
4
3
2 +−= xy
A
BO x
y
第二讲：二次函数
一、y=ax2，y＝ax2+c
二次函数 y=ax2 的图象的一些性质：
①、图象——“抛物线”是轴对称图形；
②、与 x、y 轴交点——（ 0，0）即原点；（与 x、y 轴交点——（ 0，c））
③、a 的绝对值越大抛物线开口越大，a﹥0，开口向上：
当 x﹤0 时，（对称轴左侧），y 随 x 的增大而减小（y 随 x 的减小而增大）
当 x﹥0 时，（对称轴右侧），y 随 x 的增大而增大（y 随 x 的减小而减小）
a﹤0，开口向下：
当 x﹤0 时，（对称轴左侧），y 随 x 的增大而增大（y 随 x 的减小而减小）
当 x﹥0 时，（对称轴右侧），y 随 x 的增大而减小（y 随 x 的减小而增大）
二、y＝a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k
1、画 y=a（x－h）2+k（a≠0）的图像，列表时：在对称轴 x=h 两侧对称取点.
2、y=a（x－h）2＋k（a≠0）具有以下性质：
抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向
y= a (x－h)2+k
(a>0)
x=h (h，k) 向上
y= a ( x－h)2+k
(a<0)
x=h (h，k) 向下
三、 y＝ax2+bx+c(a、b、c 是常数 ，a≠0)
y＝ax2+bx+c 化为 y＝a (x+ )2+
，
对照 y=a(x-h)2+k 的形式得对称轴为 x=- ,顶点坐标为（- ，
）
关于二次函数变换：
1、比较函数 y＝3x 2 与 y＝3(x-1)2 的图象的性质．
2、在同一直角坐标系中比较函数 y＝3(x-1)2 和 y＝3(x-1)2+2 的图象性质
总结：
一般地，平移二次函数 y=ax2 的图象便可得到二次函数为 y=ax2+c，y＝a(x-h)2，y=a(x-h)2+k 的图象．
(1)将 y＝ax2 的 图象上下移动便可得到函数 y=ax2+c 的图象，当 c>0 时，向上移动，当 c<0 时，向下移动．
(2)将函数 y＝ax2 的图象左右移动便可得到函数 y=a(x-h)2 的图象，当 h>0 时，向右移动，当 h<0 时，向左移
动．
(3)将函数 y＝ax2 的图象既上下移，又左右移，便可得到函数 y＝a(x-h)+k 的图象．
因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐标与 a，h，k 的值有关．
基础练习：
一、选择题
1、已知 + =y,其中 与 成反比例,且比例系数为 ,而 与 成正比例,且比例系数为 ,若 x=-1
时,y=0,则 , 的关系是( )
A. =0 B. =1 C. =0 D. =-1
a
b
2 a
bac
4
4 2−
a
b
2 a
b
2
a
bac
4
4 2−
1y 2y 1y 1
x 1k 2y 2x 2k
1k 2k
1 2k k+ 1 2k k 1 2k k− 1 2k k
2、已知二次函数 ， 为常数，当 y 达到最小值时，x 的值为（ ）（A）
（A） ; （B） ; （C） ; （D）
3、若二次函数 的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0）， 则 S=a+b+c 的变化范围是
( )
（A）0
1; (C) 10,△>0; B.a>0, △<0; C.a<0, △<0; D.a<0, △<0
二、填空题：
5、已知方程组 的解也是二元一次方程 x-y=1 的一个解，则 a=_________。
6、已知直线 与 轴， 轴围成一个三角形，则这个三角形面积为 。
7、若 m＜－1，则下列函数：① ;② y =－mx+1; ③ y = mx; ④ y =(m + 1)x 中，y 随 x 增大而增大
的是___________。
8、已知二次函数 (a≥1）的图像上两点 A、B 的横坐标分别是－1、2，点 O 是坐标原点，如果△AOB 是
直角三角形，则△OAB 的周长为 。
三、解答题：
9、已知不等式 的最小整数解是方程 的解，求 a 的值。
10、已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1、x2，一元二次方程 x2＋b2x＋20＝
0 的两实根为 x3、x4，且 x2－x3＝x1－x4＝3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标。
答案：
一、C B A B
二、 5、-
6、18
7、（1）（2）
8、
10、y=x2+3x+2 (-3/2,- 1/4)
巩固提高：
1、(陕西中考)若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（ ）
A．(1，2) B．(－1，－2) C．(2，－1) D．(1，－2)
2
5 2 3
x ay
x y
+ =
− =
5
2
222 )(22 baxbaxy +++−= ba,
ba +
2
ba +
ab2−
2
ba −
2 +y ax bx c= +
2y ax=
6+= xy x y
( )0xx
my =
2y ax=
5( 2) 8 6( 1) 7x x− + < − + 2 4x ax− =
5224 +
2、（安徽中考）已知函数 的图象如图，则 的图象可能是（ ）
3、(黄冈中考)小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点 A，再走上坡路到达点 B，最后走下坡路到达工
作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速
度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）
A．12 分钟 B．15 分钟 C．25 分钟 D．27 分钟
4、（广东深圳）如图，反比例函数 的图象与直线 的交点为 A，B，过点 A 作 y 轴的平行线与过点 B
作 x 轴的平行线相交于点 C，则 的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5、（广西河池）如图 5，A、B 是函数 的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥ 轴，AC∥ 轴，△ABC 的
面积记为 ，则（ ）
A． B． C． D．
6、函数 在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）
7、已知二次函数 y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 2 所示，给出以下结论：① a+b+c＜0；② a－b+c＜0；③ b+2a
＜0；④ abc＞0 .其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③
2y x
= x y
S
2S = 4S = 2 4S< < 4S >
2 +y ax b y ax bx c= + = +与
y kx b= + 2y kx b= +
4y x
= − 1
3y x= −
ABC△
A
O
BC x
y
第 4 题图
O
B
x
y
C
A
图 5
图
图
x-1 1
y
O
图 2
8、二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），
其中正确结论的个数是（ ）
A． 4 个 B． 3 个 C． 2 个 D． 1 个
考点： 二次函数图象与系数的关系．
分析： 利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．
解答： 解：∵抛物线和 x 轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线 x﹣1，和 x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和 x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线 x=﹣1，∴y=a﹣b+c 的值最大，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，即 m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有 3 个，
9、已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣m=0 没有实数根，有下
列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
解答： 解：①∵二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与 y 轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴 x=﹣ ＞0，
∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；
③∵一元二次方程 ax2+bx+c﹣m=0 没有实数根，
∴y=ax2+bx+c 和 y=m 没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选 D．
10、当﹣2≤x≤1 时，二次函数 y=﹣（x﹣m）2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为（ ）
A． B． 或 C． 2 或 D． 2 或﹣ 或
解答：解：二次函数的对称轴为直线 x=m，
①m＜﹣2 时，x=﹣2 时二次函数有最大值，
11、抛物线
y=ax2+bx+c 的
顶点为 D（﹣1，2），与 x 轴的一个交点 A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程 ax2+bx+c﹣2=0 有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（ C ）
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
12、（钦州中考）一次函数的图象过点（0，2），且函数 y 的值随自变量 x 的增大而增大，请写出一个符合条件
的函数解析式：_ _．
13、（绍兴中考）如图，已知函数 和 的图象交点为 ，
则不等式 的解集为 ．
14、（湖北黄石）如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），……Pn（xn，yn）在函数 y= （x＞0）的图象上，△
OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3……△PnAn－1An……都是等腰直角三角形，斜边 OA1，A1A2……An-1An，都在 x 轴上，
则 y1+y2+…yn= 。
15．（天津市）已知图中的曲线是反比例函数 （ 为常数）图象的一支．
（Ⅰ） 这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数 的取值范围是什么？
（Ⅱ）若该函数的图象与正比例函数 的图象在第一象内限的交点为 ，过 点作 轴的垂线，垂足为
，当 的面积为 4 时，求点 的坐标及反比例函数的解析式．
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，
解得 m=﹣，与 m＜﹣2 矛盾，故 m 值不存在；
②当﹣2≤m≤1 时，x=m 时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=4，解得 m=﹣ ，m= （舍去）；
③当 m＞1 时，x=1 时，二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得 m=2，
综上所述，m 的值为 2 或﹣ ．故选 C．
y x b= + 3y ax= + P
3x b ax+ > +
O x
y
1
P
y=x+b
y=ax+3
x
9
5my x
−= m
m
2y x= A A x
B OAB△ A
x
y
O
第 14 题
图
16、（浙江嘉兴）如图，曲线 C 是函数 在第一象限内的图象，抛物线是函数 的图象．点
（ ）在曲线 C 上，且 都是整数．
（1）求出所有的点 ；
（2）在 中任取两点作直线，求所有不同直线的条数；
（3）从（2）的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率．
17.某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品．据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500kg；
销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式；
(3)商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？
31, 解：(1) 按每千克 50 元销售，一个月能售出 500kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg。现在单价
定为每千克 55 元，即涨了 5 元，所以月销售量减少 50kg，所以月销售量为 500-50=450kg，月销售利润为
（55-40）×450=6750 元。
(2) 设销售单价为每千克 x 元，则上涨了 x-50 元，月销售量减少（x-50）×10kg，即月销售量为 500-10
（x-50），所以利润为 y=[500-10（x-50）] ×（x-40），
即
(3)月销售利润达到 8000 元，即 ，解得 x=60 或 x=80
当 x=60 时，销售量为 500-10（60-50）=400，
当 x=80 时，销售量为 500-10（80-50）=200
而月销售量不超过 10000 元，即销售量不超过 ，而 400>250，所以 x=60 应舍去，所以销售单价应
定于 80 元。
18、（重庆市江津区）抛物线 与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC 的周长最小？若存
在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点 P 的坐标
xy 6= 422 +−−= xxy
),( yxPn
nP
210( 140 4000)y x x= − + −
28000 10( 140 4000)x x= − + −
10000 25040
=
cbxxy ++−= 2
1 2n = ，， x y，
( )nP x y，
（第 12 题）
6
4
2
2 4 6
y
xO
及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.
19、（湖北省荆门市） 一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A（ ，0），B（m＋2，0）两点，记抛物线顶点为
C，且 AC⊥BC．
（1）若 m 为常数，求抛物线的解析式；
（2）若 m 为小于 0 的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
（3）设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点，问是否存在实数 m，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出 m 的值；
若不存在，请说明理由．
20.已知经过原点的抛物线 y=-2x2+4x（如图所示）与 x 的另一交点为 A 现将它向右平移 m（m＞0）位，所得抛
物线与 x 轴交于 C、D 点，与原抛物线交于点 P
（1）求点 P 的坐标（可用含 m 式子表示）
（2）设△PCD 的面积为 s，求 s 关于 m 关系式．
（3）过点 P 作 x 轴的平行线交原抛物线于点 E，交平移后的抛物线于点 F．请问是否存在 m，使以点 E、O、A、
F 为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）首先将抛物线表示出顶点式的形式，再进行平移，左加右减，即可得出答案；
（2）求出抛物线与 x 轴的交点坐标，根据当 0＜m＜2，当 m=2，即点 P 在 x 轴时，当 m＞2 即点 P 在第四象限时，
分别得出即可；
（3）根据 E、O、A、F 为顶点的四边形是平行四边形，则 EF=OA=2 由轴对称可知 PE=PF，表示出 E 点的坐标，
再把点 E 代入抛物线解析式得出即可．
解答： 解：
2m −
O BA
C
D
x
y
第 15 题图
（1）原抛物线：y=-2x2+4x=-2（x-1）2+2，
则平移后的抛物线为：y=-2（x-1-m）2+2，
由题得 ，
解得 ，
∴点 P 的坐标为（ ， ）；
（2）抛物线：y=-2x2+4x=-2x（x-2）
∴抛物线与 x 轴的交点为 O（0，0）A（2，0），
∴AC=2，
∵C、D 两点是抛物线 y=-2x2+4x 向右平移 m（m＞0）个，
单位所得抛物线与 x 轴的交点∴CD=OA=2，
①当 0＜m＜2，即点 P 在第一象限时，如图 1，作 PH⊥x 轴于 H．
∵P 的坐标为（ ， ），
∴PH= ，
∴S= CD•2•（- m2+2）=- m2+2，
②当 m=2，即点 P 在 x 轴时，△PCD 不存在，
③当 m＞2 即点 P 在第四象限时，如图 2，作 PH⊥x 轴于 H．
∵P 的坐标为（ ， ），
∴PH= ，
∴S= CD•HP= ×2× = m2-2；
（3）如图 3 若以 E、O、A、F 为顶点的四边形是平行四边形，则 EF=OA=2
由轴对称可知 PE=PF，
∴PE= ，
∵P（ ， ），
∴点 E 的坐标为（ ， ），
把点 E 代入抛物线解析式得： ，
第三讲：二次函数应用
一、动点问题
（一）、因动点产生的面积关系
例 1、在平面直角坐标系中，△BCD 的边长为 3cm 的等边三角形, 动点 P、Q 同时从点 A、O 两点出发，分别沿
AO、OB 方向匀速移动，它们的速度都是 1cm/s, 当点 P 到达点 O 时,P、Q 两点停止运动. 设点 P 的运动时间为 t(s),
解答下列问题:
(1) 求 OA 所在直线的解析式;
(2) 当 t 为何值时, △POQ 是直角三角形;
(3) 是否存在某一时刻 t，使四边形 APQB 的面积是△AOB 面积的三分之二? 若存
在, 求出相应的 t 值; 若不存在，请说明理由．
解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．
△ABC 中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝(3－t ) cm．
△PBQ 中，BP＝3－t，BQ＝t，
若△PBQ 是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．
当∠BQP＝90°时，BQ＝ BP．
即 t＝ (3－t )，
t＝1 (秒)．
当∠BPQ＝90°时，BP＝ BQ．
3－t＝ t，
t＝2 (秒)．
答：当 t＝1 秒或 t＝2 秒时，△PBQ 是直角三角形． …………………4′
⑵ 过 P 作 PM⊥BC 于 M ．Rt△BPM 中，sin∠B＝ ，
1
2
1
2
1
2
1
2
PM
PB
Q
P
P
A
x
y
BO
∴PM＝PB·sin∠B＝ (3－t )．
∴S△PBQ＝ BQ·PM＝ · t · (3－t )．
∴y＝S△ABC－S△PBQ
＝ ×32× － · t · (3－t )
＝ ．
∴y 与 t 的关系式为： y＝ ． …………………6′
假设存在某一时刻 t，使得四边形 APQC 的面积是△ABC 面积的 ，
则 S 四边形 APQC＝ S△ABC ．
∴ ＝ × ×32× ．
∴t 2－3 t＋3＝0．
∵(－3) 2－4×1×3＜0，
∴方程无解．
∴无论 t 取何值，四边形 APQC 的面积都不可能是△ABC 面积的
．……8′
例 2、 如图，边长为 1 的正方形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴
上．动点 D 在线段 BC 上移动(不与 B，C 重合)，连接 OD，过点 D 作 DE⊥OD，交边 AB 于点 E，连接 OE．记 CD
的长为 t．
(1) 当 t＝ 时，求直线 DE 的函数表达式；
(2) 如果记梯形 COEB 的面积为 S，那么是否存在 S 的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时 t 的值；
若不存在，请说明理由；
解：(1)易知△CDO∽△BED，
所以 ，即 ，得 BE= ，则点 E
的坐标为 E(1， )．……………………………(2 分)
设直线 DE 的一次函数表达式为 y=kx+b ，直线经过两点 D( ，1) 和E(1 ， ) ，
代 入 y=kx+b 得 ， ，故 所 求 直 线 DE 的 函 数 表 达 式 为 y=
．…………………………(2 分)
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
23 3 3 9 3
4 4 4
t t− +
23 3 3 9 3
4 4 4
t t− +
2
3
2
3
23 3 3 9 3
4 4 4
t t− + 2
3
1
2
3
2
2
3
3
1
BD
CO
BE
CD =
3
11
13
1
−
=
BE 9
2
9
7
3
1
9
7
3
1−=k 9
10=b
9
10
3
1 +− x
M
A
CQB
P
(注：用其它三角形相似的方法求函数表达式，参照上述解法给分)
(2) 存在 S 的最大值．………………………………………………1 分
求最大值：易知△COD∽△BDE，所以 ，即 ，BE=t－t2，……1 分
×1×(1＋t－t2) ．………………………1 分
故当 t= 时，S 有最大值 ．……………………………2 分
（二）因动直线产生的面积关系
例 3．如图所示，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点（1，－5）和（－2，4）．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）设此抛物线与直线 y=x 相交于点 A，B（点 B 在点 A 的右侧），平行于 x轴的直线 x=m（00,－y 表示点 E 到 OA 的距离．
∵OA 是 的对角线，
∴ ．
因为抛物线与 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量 的
取值范围是 1＜ ＜6．
① 根据题意，当 S = 24 时，即 ．
化简，得 解之，得
故所求的点 E 有两个，分别为 E1（3，－4），E2（4，－4）．
点 E1（3，－4）满足 OE = AE，所以 是菱形；
7
2x =
x y
x x
7
2x =
27( )2y a x k= − +
2
2
7(6 ) 0,2
7(0 ) 4.2
a k
a k
− + =
− + =
2 25, .3 6a k= = −
22 7 25( )3 2 6y x= − − 7 25( , ).2 6
−
( , )E x y
22 7 25( )3 2 6y x= − −
OEAF
21 72 2 6 4( ) 252 2OAES S OA y y= = × × ⋅ = − = − − +
x x
x
274( ) 25 242x− − + =
27 1( ) .2 4x − = 1 23, 4.x x= =
OEAF
7
2x =
B(0,4)
A(6,0)
E
F
x
y
O
点 E2（4，－4）不满足 OE = AE，所以 不是菱形．
② 当 OA⊥EF，且 OA = EF 时， 是正方形，此时点 E 的
坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E，
使 为正方形．
例 5. 如图所示, 在平面直角坐标系 xOy 中, 矩形 OABC 的边长 OA、OC 的长分剔为 12cm、6 cm, 点 A、C 分别在 y
轴的负半轴和 x 轴的正半轴上, 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B, 且 18a+c=0.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果点 P 由点 A 开始沿 AB 边以 1cm/s 的速度向点 B 移动, 同时点 Q 由点 B 开始沿 BC 边以 2cm/s 的速
度向点 C 移动.
①移动开始后第 t 秒时, 设△PBQ 的面积为 S, 试写出 S 与 t 之间的函数关系式, 并写出 t 的取值范围;
②当 S 取得最小值时, 在抛物线上是否存在点 R, 使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果
存在, 求出 R 点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.
解: (1)据题意知: A(0, －12), B(6, －12)
∵A 点在抛物线上, ∴C=－12
∵18a+c=0, ∴a= ………(1 分)
由 AB=6 知抛物线的对称轴为: x=3
即:
∴抛物线的解析式为: …(3 分)
(2)①由图象知: PB=6－t, BQ=2t
∴S== ……(4 分)
即 (0≤t≤1) ………………(5 分)
②假设存在点 R, 可构成以 P、B、R、Q 为顶点的平行四边形.
∵ (0≤t≤1)
∴当 t= 时, S 取得最小值 9. ………………………………………(6 分)
这时 PB=6-3=3, BQ=6, P(3, －12), Q(6, －6) ………(7 分)
分情况讨论:
A】假设 R 在 BQ 的右边, 这时 QR PB, ∵P(3, －12)，PB=3, Q(6, －6)
R 的横坐标为 9, R 的纵坐标为－6, 即(9, －6)
代入 , 左右两边不相等
∴这时 R(9, －6) 不在抛物线上. ……………………………………(8 分)
B】假设 R 在 BQ 的左边, 这时 PR QB, 则:
R 的横坐标为 3, 纵坐标为－6, 即(3, －6)
代入 , 左右两边不相等, R 不在抛物线上. …………(9 分)
C】假设 R 在 PB 的下方, 这时 PR QB, 则:
R(6, －18)代入 , 左右两边相等, R(6, －18)在抛物线上.
综上所述, 存点一点 R(6, －18)满足题意. …………………………(10 分)
同步练习
OEAF
OEAF
OEAF
3
2
432
−=⇒=− ba
b
1243
2 2 −−= xxy
ttttBQPB 62)6(2
1
2
1 2 +−=⋅−=⋅
tts 62 +−=
9)3(6 22 +−−=+−= ttts
3
1243
2 2 −−= xxy
1243
2 2 −−= xxy
1243
2 2 −−= xxy
Q
P
C
A
x
y
B
O
1、已知抛物线 与 轴相交于 两点（ 点在 点的左边），与 轴的负半轴相交于点 ,
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点 ，使 ？如果存在，请确定点 的位置，并求出点 的坐标：
如果不存在，请说明理由．
2、如图,抛物线 与 轴交于点 、B 两点，抛物线的对称
轴为直线 x=1,
(1)求 的值及抛物线的解析式；
(2) 过 A 的直线与抛物线的另一交点 C 的横坐标为 2. 直线 AC 的解析式；
(3)点 Q 是抛物线上的一个动点, 在 x 轴上是否存在点 F ,使得以点 A、C、F、
Q 为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点 F 的坐标；
若不存在，请说明理由．
3、如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，点 ，与
轴 交 于 点 ， 其 顶 点 为 ， 直 线 的 函 数 关 系 式 为 ， 又
．
（1）求二次函数的解析式和直线 的函数关系式；
（2）抛物线上是否存在一点 P，使△PBC 以 BC 为直角边的直角三角形？若存，
求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
4、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的对称轴为直线 x=2, 该抛物线与 x 轴交干 A、B 两点（B 在 A 的
右侧）, 与 y 轴交于点 C, 且 B、C 的坐标分别为（3,0）、(0,3).
2 4y x x m= − + x A B， B A y C
6AB =
P AOP COP△ ≌△ P P
63)1(2 −−−−= mxmxy x A
m
2 2 3y ax ax= − + x A B y
C D DC 3y kx= +
tan 1OBC∠ =
DC
y
x
D
C
A O B
Q C
A x
y
BO
B O x
y
A
A
C
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点 P，使△PAC 是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理
由．
(三)、因动点产生的三角形相似问题
例 6．如图，直线 与 轴， 轴分别相交于点 ，点 ，经过 两
点的抛物线 与 轴的另一交点为 ，顶点为 ，且对称轴是直线
．
（1）求 点的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）连结 ．请问在 轴上是否存在点 ，使得以点 为顶点的三角
形与 相似，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1） 直线 与 轴相交于点 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ．…………………………（1 分）
又 抛物线过 轴上的 两点，且对称轴为 ，
根据抛物线的对称性，
点 的坐标为 ．…………………………（2 分）
（2） 过点 ，易知 ， ．-----（3 分）
3y x= − + x y B C B C，
2y ax bx c= + + x A P
2x =
A
AC x Q P B Q， ，
ABC△ Q
3y x= − + x B
∴ 0y = 3x =
∴ B (3 0)，
x A B， 2x =
∴ A (1 0)，
3y x= − + C (0 3)C ， 3c∴ =
y
xO B
C
A
A
A B
C
P
O x
y
2x =
A B
C
P
O x
y
2x =
1Q 2QM
又 抛物线 过点 ，
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4 分）
解，得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5 分）
． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6 分）
（3）连结 ，由 ，得 ，
设抛物线的对称轴交 轴于点 ，在 中， ，
．
由点 易得 ，在等腰直角三角形 中， ，
由勾股定理，得 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7 分）
假设在 轴上存在点 ，使得以点 为顶点的三角形与 相似．
①当 ， 时， ．
即 ， ，
又 ， 点 与点 重合， 的坐标是 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9 分）
②当 ， 时， ．
即 ， ．
，
的坐标是 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11 分）
．
点 不可能在 点右侧的 轴上（无此判断，亦不扣分）．
综上所述，在 轴上存在两点 ，能使得以点 为顶点的三角形与 相似．（12
分）
同步练习
1、如图，在直角坐标系中， 为原点，抛物线 与 轴的负半轴交于点 ，与 轴的正半轴交
2y ax bx c= + + (1 0) (3 0)A B，， ，
3 0
9 3 3 0
a b
a b
+ = =∴ + + =
，
．
1
4
a
b
=
= −
，
．
2 4 3y x x∴ = − +
PB 2 24 3 ( 2) 1y x x x= − + = − − (2 1)P −，
x M Rt PBM△ 1PM MB= =
45 2PBM PB∴ = =，∠
(3 0) (0 3)B C，， ， 3OB OC= = OBC 45ABC = ∠
3 2BC =
x Q P B Q， ， ABC△
BQ PB
BC AB
= 45PBQ ABC= = ∠ ∠ PBQ ABC△ ∽△
2
23 2
BQ = 3BQ∴ =
3BO = ∴ Q O 1Q∴ (0 0)，
QB PB
AB BC
= 45QBP ABC= = ∠ ∠ QBP ABC△ ∽△
2
2 3 2
QB = 2
3QB∴ =
2 73 3 3 3OB OQ OB QB= ∴ = − = − = ，
2Q∴ 7 03
，
180 45 135 135PBx BAC PBx BAC= − = < ∴ ≠ ， ，∠ ∠ ∠ ∠
∴ Q B x
x 1 2
7(0 0) 03Q Q
，， ， P B Q， ， ABC△
O 2 3y x bx= + + x A y
于点 B，tan∠ACO= ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线 与线段 交于点 （不与点 重合），则是否存在这样的直线 ，使得以
为顶点的三角形与 相似？若存在，求出该直线的函数表达式
及点 的坐标；若不存在，请说明理由.
(五)、其它二次函数的综合问题
例 7、如图，一元二次方程 的二根 （ ）是抛物线 与 轴的两个交
点 的横坐标，且此抛物线过点 ．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）设此抛物线的顶点为 ，对称轴与线段 相交于点 ，求点 和点 的坐标．
（3）在 轴上有一动点 ，当 取得最小值时，求 点的坐标．
解：（1）解方程
得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
抛物线与 轴的两个交点坐标为： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
设抛物线的解析式为
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
在抛物线上
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
抛物线解析式为： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）由 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
抛物线顶点 的坐标为： ，对称轴方程为： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
3
1
: ( 0)l y kx k= ≠ BC D B C， l
B O D， ， BAC△
D
2 2 3 0x x+ − = 1 2x x， 1 2x x< 2y ax bx c= + + x
B C， (3 6)A ，
P AC Q P Q
x M MQ MA+ M
2 2 3 0x x+ − =
1 23 1x x= − =，
∴ x ( 3 0) (1 0)C B− ，， ，
( 3)( 1)y a x x= + −
(3 6)A∵ ，
6 (3 3) (3 1)a= + −∴ · 1
2a =∴
∴ 21 3
2 2y x x= + −
2 21 3 1 ( 1) 22 2 2y x x x= + − = + −
∴ P ( 1 2)− −， 1x = −
A
O
B
C
x
y
x
y
A（3，6）
Q
C O B
P
设直线 的方程为：
在该直线上
解得 直线 的方程为： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
将 代入 得
点坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
（3）作 关于 轴的对称点 ，连接 ； 与 轴交于点 即为所求的点
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
设直线 方程为
解得
直线 ： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
令 ，则 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13 分
点坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分
同步练习
1、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 A（3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为 D，求△BCD 的面积；
（3）在抛物线的对称轴上有一个动点 P，当△0CP 是腰长为 5 的等腰三角形时，
求点 P 的坐标.
AC y kx b= +
(3 6) ( 3 0)A C −∵ ，， ，
3 6
3 0
k b
k b
+ =
− + =
∴ 3
1
b
k
=
=
∴ AC 3y x= +
1x = − 3y x= + 2y =
Q∴ ( 1 2)− ，
A x (3 6)A′ −， A Q′ A Q′ x M
A Q′ y kx b= +
3 6
2
k b
k b
+ = −
− + =
∴ 0
2
b
k
=
= −
∴ A C′ 2y x= −
0x = 0y =
M∴ (0 0)，
2y ax bx c= + +
x
y
A（3，6）
Q
C O B
P
(3 6)A −，
AO B
C
x
y
2、如图，已知抛物线 与 x 轴的一个交点 A（3，0）.
(1)分别求出这条抛物线与 x 轴的另一个交点 B 及与 y 轴的交点 C 的坐标；
（2）设抛物线的顶点为 D，求直线 CD 的解析式；
(3)求 tan∠DAC 的值.
32 ++−= mxxy
x1 2 3 4-1-2
-1
-2
-3
1
2
3
y
O
A
C
D
B
