解析法巧解中考数学压轴题

解析法巧解中考数学压轴题

解析法巧解中考压轴题 ‎ 在平面几何题中，适当的建立直角坐标系，利用代数的方法解决几何问题，即解析法，有时会显得更简洁高效．现以近年中考压轴题为例，分析说明解析法之妙．‎ ‎ 例1 （2013泰州）如图1，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连结PQ，M为PQ中点．‎ ‎ ‎ ‎ 若AD＝10，AB＝a，DP＝8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．‎ ‎ 分析 本题将矩形、三角形、动点、参数相结合，考察学生利用相似解决问题的综合能力，难度较大，区分度高，按照参考答案给出的解题思路，如图2所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE>MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围．‎ ‎ 由△ADP∽△ABQ，解得QB＝a．‎ ‎ 由△QBE∽△QCP，同样由比例关系得出BE＝．‎ ‎ 又因为MN为QCP的中位线，得出 ‎ MN＝PC＝（a－8）．‎ ‎ 再由BE>MN，‎ 即 ‎ 得出a> 12.5．‎ ‎ 当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为a>12.5．‎ ‎ 这种解法不仅要想到添加辅助线，还两次运用了相似比，计算量大，易出错．比较稳妥而简洁的做法是将图形放进直角坐标系中，利用数形结合的方法来解决此类问题．‎ 一如何建立合适、恰当的坐标系呢？通常需要考虑以下两点：‎ ‎ 第一，让尽可能多的点落在直角坐标系上，这些点的坐标含有数字O，可以起到简化运算的功效；‎ ‎ 第二，考虑图形的对称性，同样，也能起到简化运算的作用．‎ 解答 如图3所示，建立以B点为原点，BC方向为x轴正半轴，BA方向为y轴正半轴的直角坐标系．‎ ‎ 则A(0，a)，P(0，a－8)．‎ ‎ 直线AP的斜率为kAP＝－，‎ ‎ ∴直线AQ为y＝x＋a，‎ ‎ 直线AQ与x轴交于点Q，‎ ‎ ∴Q(－a，0)．‎ 又M为线段QP上的中点，‎ ‎∴M（5－a，－4）．‎ 因为M点落在矩形ABCD的外部，所以M点在第二象限，‎ ‎∴解得a＞12.5．‎ ‎ 这样，通过建立合适的直角坐标系，使图形上各点得到确定，让问题变得清晰明了，避免了运用相似而产生的复杂计算．‎ ‎ 例2（2014连云港）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB＝8．‎ ‎ 问题思考：‎ ‎ 如图4，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．‎ ‎ ‎ ‎ (1)分别连结AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．‎ ‎ 问题拓展：‎ ‎ (2)如图5，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM＝BN＝1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点D所经过的路径的长 ‎ (3)在第二问的情况下，求OM＋OB的最小值．‎ ‎ 分析 ‎ ‎ 这是一道关于正方形的综合题，难度较大，解题难点在于分析动点的运动轨迹，需要很好的空间想象能力和作图分析能力；此外本题还综合考查了二次函数、整式的运算、四边形、中位线、相似、轴对称与勾股定理等众多知识点．但是，如果我们建立直角坐标系，用解析几何的方法就可以避开相似，省去很多不必要的麻烦．在第(1)问根据点的坐标，求得PK＝a，进而求得DK＝PD－PK＝，然后根据面积公式即可求得，第(2)(3)问涉及点的运动轨迹，GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上，如图6所示；然后利用轴对称的性质，求出OM＋OB的最小值．‎ 解答 (1)如图6所示，以A点为原点，AB方向 为x轴正半轴，AC方向为y轴正半轴，建立直角坐标系．‎ 设AP＝a．‎ ‎ 又P在M到N之间运动，‎ ‎ ∴1≤a≤7．‎ ‎ ∴a经过的路径是一条与AB平行的线段，长为3．‎ ‎ (3)如图7所示，作点M关于直线XY的对称点M'，连结BM'．‎ ‎ 由轴对称性质可知，M'(1，8)，‎ ‎ 由两点之间线段最短可知，此时OM＋OB＝BM'最小，‎ 而BM'＝‎ ‎ ∴OM＋DB的最小值为．‎ 综上所述，在以特殊图形为基础几何问题中，不要因变化多端的条件而搞乱思路，可以尝试用解析几何的方法去应对，有可能达到化繁为简的效果．‎