中考数学专题复习和训练求阴影部分的面积

中考数学专题复习和训练求阴影部分的面积

求阴影部分的面积 专题透析：‎ 计算平面图形中的面积问题是中考中的常考题型，多以选择题、填空题的形式出现，其中求阴影部分的面积是这类问题的难点.不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形和圆、圆弧等基本图形组合而成，考查内容涉及平移、旋转、相似、扇形面积等相关知识，还常与函数相结合.在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分析和组合图形，常常借助转化化归思想，将阴影部分（不规则图形）转化为规则的易求的图形求解.‎ 典例精析：‎ 例1.如图，菱形的对角线分别为，以为圆心的弧与相切于点，则阴影部分的面积是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 分析：本题的阴影部分是不规则的，要直接求出阴影部分的面积不现实，但我们发现阴影部分是菱形减去扇形的面积;菱形可根据题中条件直接求出，要求扇形扇形的面积关键是求出圆心角的度数和半径;连结交于点，所有这些问题均可以化归在△或△中利用三角函数和勾股定理来解决. 选D 师生互动练习：‎ ‎1. 如图，△中，;以点为 圆心的⊙与相切于，与分别交于两点，则 图中阴影部分的面积为 .‎ ‎2.如图的阴影部分是一商标图案（图中阴影部分），它以正方形 的顶点为圆心，为半径作,再以为圆心，为半径作弧，‎ 交的延长线与,和就围成了这个图案，若正方形的边 长为4，则这个图案的面积为 A. B. C. D.‎ ‎3.如图，Rt△中,,点O在斜边上，半径 为，⊙过点切于,交边于点E，则由线段及围成的阴影部分的面积为 . ‎ ‎4. 已知直角扇形的半径，以为直径在扇形内作半 圆⊙，过引∥交于,求与半圆弧及围成的 阴影部分的面积为 .‎ 例2.如图，⊙的圆心在定角的角平分线上运动，且⊙与的两边相切，图中的阴影部分的面积关于⊙的半径变化的函数图象大致是 （ ）‎ 分析：连结后，本题关键是抓住阴影部分的面积=四边形的面积-扇形的面积.设阴影部分的面积为，⊙的半径.‎ ‎∵⊙切于点,切于点 , ∴,‎ ‎∴;∵平分,，且图中阴影部分的面积=四边形的面积-扇形的面积.‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ，且是定角 ‎∴阴影部分的面积关于⊙的半径之间是二次函数关系. 故选C.‎ 师生互动练习：‎ ‎1.如图，已知正方形的边长为1，分别为各边上的点，且 ‎；设小正方形的面积为,为，则关于的函数图象大致为 （ ）‎ ‎2.(2013.临沂中考）如图，正方形中，，对角线与相交于点，点分别从两点同时出发，以的速度沿运动，到点停止运动.设运动时间为，的面积为与的函数关系式可用图象表示为 （ ）‎ ‎3.（2014.菏泽中考）如图在Rt中，,正方形的顶点分别是边的动点，两点不重合.设的长度为，与正方形 的重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与的函数关系的是 （ ）‎ 例3.如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形 的顶点称为格点.已知每个正六边形的边长为1，△的顶点在格点上，‎ 则△的面积为 . ‎ 分析:‎ 延长，然后作出过点与格点所在的水平直线，一定交于点.‎ 则图中的阴影部分 = △的面积 - △的面积.‎ 由正六边形的边长为1，根据正多边形形的性质，可以得出过正六边 形中心的对角线长为2，间隔一个顶点的对角线长为，则；若△和△都以为求其面积的底边,则它们相应的高怎样化归在直角三角形中来求出呢？‎ 解：（由同学们自我完成解答过程）‎ 师生互动练习：‎ ‎1.如图已知网格中每个小正方形的边长为2，图中阴影部分的 每个端点位置情况计算图中的阴影部分的面积之和为 .‎ ‎2.如图，已知下面三个图形中网格中的每个正方形的边长都设为.(结果均保留)‎ ‎⑴.图①中的阴影图案是由两段以格点为圆心，分别以小正方形的边长和对角线长为半径的圆弧和网格的边围成．，图中阴影部分的面积为 ；‎ ‎⑵.图②中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成.图②中阴影部分的面积是 ；‎ ‎⑶.图③中在AB的上方，分别以△ABC的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分的面积之和为 .‎ ‎3.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的 交点上，若灰色三角形面积为 ，则方格纸的面积为 ．‎ 附专题总结：求含圆图形中不规则阴影部分面积的几个技巧 一.旋转、翻折为特殊图形：‎ 图①的第一个图是直角扇形OAB和直角扇形OCD搭建的，其中OA=9，OB=4，要求阴影部分的面积，可以将△ODB旋转至△OAC来求扇环BDCA的面积更简便（见图①的第二个图）.‎ 图②的第一个图中是直角扇形OAB和正方形OFED以及矩形OACD，其中OF=1，要求阴影部分的面积，可以将半弓形ODB沿正方形对角线翻折至EFA来求矩形ACEF的面积更简便（见图②的第二个图）‎ 二.平移到特殊位置：‎ 图①的第一个图大圆⊙O的弦AB长为32cm，并与小圆⊙O′相切，要求阴影部分的面积可以将小圆⊙O′向右平移至大圆⊙O使圆心重合（见图①的第二个图），这样来求圆环的面积更容易；图②虽然是半圆也可以采用相同的方法求阴影部分半圆环的面积.‎ 三.补转化为一个整体：‎ 如图第一个图是以等腰Rt△AOB的直角顶点O为圆心画出的直角扇形OAB和以OA、OB为直径画出的两个半圆组成的图形，要求第一个图形阴影，可以按如图所示路径割补成一个弓形（见第二个图中的标示）更容易求出阴影图形的面积；如果OA=10，求出第一个图形阴影部分的面积？‎ 略解：‎ 阴影 = ‎ 点评：割补就是要就是要涉及求问的分散的、不规则的图形转化到一个“规则”的整体图形来解决. 割补法在很多涉及到几何图形的题中都有运用.‎ 四.差法求叠合图中形的阴影 例1.图①是教材114页的第3题，可以用四个半圆的面积之和减去正方形 的面积得到阴影部分的面积；‎ 例2.图②（自贡市中考题）△ABC中，AB=BC=6，AC=10，分别以AB，BC为直 径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．‎ 略解：△ABC的底边AC的高为：， ‎ 图中阴影部分的面积为.‎ 点评：本题的图形结构可以看成是三个图形叠合在一起（两个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合），具有这种图形结构题其实并不是我们想象那么抽象艰深.比如：本题的阴影部分恰好是两个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合后，两个半圆覆盖等腰三角形后多出来的部分；那么下面的这个题就的计算也就不那么复杂了.举一反三，“难题”不难！‎ 师生互动练习：：见上学期《圆》单元训练和专题复习的相应部分.‎ 迎考精炼：‎ ‎1.如图,是⊙的直径，弦,则阴影 = （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 如图，⊙、⊙ 、⊙ 两两不相交，且半径均为0.5，则 图中的三个阴影部分的面积之和为 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.如图，⊙的外切正六边形 的边长为2，则图中的 阴影部分的面积为 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.如图，在△中， ,分别以 为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积之和为 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 如图，四边形是正方形， 垂直于于,且,‎ 则阴影部分的面积是 （ ）‎ A.16 B.18 C.19 D.21‎ ‎6. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转30°到正方形 ‎， 图中的阴影部分的面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.如图，将边长为的正方形沿对角线平移，使点至的中点处，得到正方形，新的正方形与原正方形的重叠部分（图中的阴影部分）的面积是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点风别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠部分的面积的和为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 两张宽均为的纸带相交成角，则这两张带重叠部分（图中阴影）的面积为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 如图，△是等边三角形，被一平行于的矩形所截，线段被截成相等的三部分，则图中的阴影部分的面积是△面积的 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.是⊙的直径，以为一边作等边△，交⊙于点，连结,若,则图中的阴影部分的面积为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.如图。三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积 ‎ ‎ （结果保留）‎ ‎13. 如图①，等边△和等边△的边长均为1，将 ‎△沿方向平移得到△的置，得到图 形②，则阴影部分的周长为 . ‎ ‎14.如图，△的边,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值为 . ‎ ‎15.若图中正方形以上的正方形均是以直角三角形向外作的正方形：‎ ‎①.若正方形的边长分别是，则正方形的面积如何用含的式子表示出来为 ；‎ ‎②.如果正方形的边长，那么正方形的面积之和是 .‎ ‎16.如图，边长为3的正方形绕点按顺时针方向旋转30°后得到的正方形交于点,四边形= .‎ ‎17.如图， 已知分别是、、的中线，若，则阴影部分的面积为 . ‎ ‎18.如图，在正方形内有一折线，其中,并且,，‎ 则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 .‎ ‎19.如图把⊙O1向右平移8个单位长度得到⊙O2，两圆相交于 A、B，且O1 A、O2 A分别与⊙O2、⊙O1相切，切点均为A点，‎ 则图中阴影部分的面积为 .‎ ‎20.如图，矩形中，,以为直径的半圆与相切于点,则图中的阴影部分的面积是 （结果保留）‎ ‎21.在△中，,以为直径作圆交于点,则图中阴影部分的面积是 . ‎ ‎22.如图，在△中，，将△绕顶点按顺时针方向旋转45°至△的位置，则线段扫过的区域（图中阴影部分）的面积为 .‎ ‎23.如图，半圆和半圆均与轴相切于,其直径和轴垂直，以为顶点的两条抛物线分别经过和点，则图中的阴影部分的面积是 .‎ ‎24.如图，抛物线向右平移1个单位得到抛物线，则抛物线的顶点坐标为 ；阴影部分的面积= . ‎ ‎25.如图在边长为2的菱形中，, 为边上的 高，将△沿AE在直线翻折得△,求△与四边形 重叠(阴影)部分的面积. ‎ ‎26.如图，矩形按如右图所示放置在平面直角坐标系中（坐标 原点为)，连结(点的坐标见图示)交于点；求阴影 部分的四边形的面积？‎ ‎27.如图，在△中，， 是边上的一点，以为圆 心的半圆分别与边相切于点,连接,已知.‎ 求：⑴..‎ ‎ ⑵.求图中的阴影部分的面积之和.‎ ‎28.如图，⊙的直径为1,弦为,的平分线 交⊙于点.‎ ‎⑴.求弦CD的长；‎ ‎⑵.求阴影部分的面积。‎ ‎29.如图, 在平面直角坐标系中，以为圆心的⊙与轴 相切于原点，过点的直线于⊙相切于点.‎ ‎⑴.求的长；‎ ‎⑵.求与围成的阴影部分面积（不取近似值）；‎ ‎⑶.求直线上是否存在点,使的值最小？‎ 如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎