中考数学常考易错点41角相交线与平行线

中考数学常考易错点41角相交线与平行线

角、相交线与平行线 易错清单 ‎1. 平行线的性质.‎ ‎【例1】　(2014·湖北襄阳)如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=55°,则∠1等于(　　).‎ A. 35° B. 45°‎ C. 55° D. 65°‎ ‎【解析】　利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质求得∠A=35°,然后利用平行线的性质得到∠1=∠A=35°.‎ ‎【答案】　∵　BC⊥AE,‎ ‎∴　∠ACB=90°.‎ ‎∴　∠A+∠B=90°. ‎ 又∵　∠B=55°,‎ ‎∴　∠A=35°.‎ 又　CD∥AB,‎ ‎∴　∠1=∠A=35°.‎ ‎【误区纠错】　本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质.此题也可以利用垂直的定义、邻补角的性质以及平行线的性质来求∠1的度数.‎ ‎【例2】　(2014·广东梅州)如图,把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°,那么∠2的度数是(　　).‎ A. 15° B. 20°‎ C. 25° D. 30°‎ ‎【解析】　根据两直线平行,内错角相等求出∠3, 再求解即可.‎ ‎【答案】　∵　直尺的两边平行,∠1=20°,‎ ‎∴　∠3=∠1=20°.‎ ‎∴　∠2=45°-20°=25°.‎ ‎【误区纠错】　误认为∠1与∠2是内错角来解题.‎ ‎【例3】　(2014·湖北孝感)如图,直线l1∥l2,l3⊥l4,∠1=44°,那么∠2的度数(　　).‎ A. 46° B. 44°‎ C. 36° D. 22°‎ ‎【解析】　根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1, 再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.‎ ‎【答案】　∵　l1∥l2,‎ ‎∴　∠3=∠1=44°.‎ ‎∵　l3⊥l4,‎ ‎∴　∠2=90°-∠3=90°-44°=46°.‎ 故选A.‎ ‎【误区纠错】　本题考查了平行线的性质,垂线的定义,要熟记性质并准确识图.例外识别∠3与∠1是同位角很重要.‎ ‎2. 平行线的判定.‎ ‎【例4】　(2014·湖南湘潭)如图,直线a,b被直线c所截,若满足　　　　,则a,b平行. ‎ ‎【解析】　根据同位角相等两直线平行可得∠1=∠2时,a∥b.其他合理答案亦可.‎ ‎【答案】　∵　∠1=∠2,‎ ‎∴　a∥b(同位角相等两直线平行).‎ 故可填∠1=∠2.‎ ‎【误区纠错】　分不清三线八角,以及平行线的判定方法是解题的误区,本题属条件开放性题.‎ 名师点拨 ‎　　1. 能记住点、线、面的概念.‎ ‎2. 能利用角的概念判断角的大小及角的表示方法;会进行角的换算;能正确区分角的大小;会进行角的和、差运算.‎ ‎3. 能区分补角、余角的概念,记住补角、余角的性质.‎ ‎4. 掌握角平分线定理和线段垂直平分线定理并能正确使用.‎ ‎5. 会画直线的垂线;能区分垂线、垂线段的联系与区别.‎ ‎6. 掌握平行的概念,会进行平行线的判断.‎ ‎7. 能利用直尺画直线的平行线;会作两平行线间的距离;能确定并准确度量两平行线间的距离.‎ 提分策略 ‎1. 直线平行与垂直的判定及简单应用.‎ 计算角度问题时,要注意挖掘图形中的隐含条件(三角形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直)及角平分线知识的应用.‎ ‎【例1】　如图,△ABC中,∠A=90°,点D在边AC上,DE∥BC.若∠1=155°,则∠B的度数为　　　　. ‎ ‎【解析】　由∠1=155°,可求得∠BCD=∠CDE=25°,最后求∠B=65°.‎ ‎【答案】　65°‎ ‎2. 平行线的性质和判定的应用.‎ 主要理解和掌握:(1)平行线的性质;(2)平行线的判定.‎ ‎【例2】　如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB,∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以证明.‎ ‎【解析】　①∠APC=∠PAB+∠PCD;‎ ‎②∠APC=360°-(∠PAB+∠PCD);‎ ‎③∠APC=∠PAB-∠PCD;‎ ‎④∠APC=∠PCD-∠PAB.‎ 如证明① ∠APC=∠PAB+∠PCD.‎ 证明:过点P作PE∥AB,所以∠A=∠APE.‎ 又因为AB∥CD,所以PE∥CD.‎ 所以∠C=∠CPE.‎ 所以∠A+∠C=∠APE+∠CPE.‎ 所以∠APC=∠PAB+∠PCD.‎ 同理可证明其他的结论.‎ 专项训练 一、 选择题 ‎1. (2014·四川峨眉山二模)如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠CPB.若∠BOD=70°,则∠COE的度数是(　　).‎ A. 45° B. 70°‎ C. 55° D. 110°‎ ‎(第1题)‎ ‎(第2题)‎ ‎2. (2014·北京平谷区模拟)如图,AB∥CD,O为CD上一点,且∠AOB=90°.若∠B=33°,则∠AOC的度数是(　　).‎ A. 33° B. 60°‎ C. 67° D. 57°‎ ‎3. (2014·山东日照模拟)将一副三角板按图中的方式叠放,则∠α等于(　　).‎ A. 75° B. 60°‎ C. 45° D. 30°‎ ‎(第3题)‎ ‎(第4题)‎ ‎4. (2013·广东广州海珠区毕业班综合调研)如图,∠1与∠2是同位角,若∠2=65°,则∠1的大小是(　　).‎ A. 25° B. 65°‎ C. 115° D. 不能确定 ‎5. (2013·浙江温州一模)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,AB=6,DE=3,则BC的长为(　　).‎ A. 9 B. 6‎ C. 4 D. 3‎ ‎(第5题)‎ ‎(第6题)‎ ‎6. (2012·湖北荆门东宝区模拟)如图,已知直线a∥b,∠1=40°,∠2=60°.则∠3等于(　　).‎ A. 100° B. 60°‎ C. 40° D. 20°‎ 二、 填空题 ‎7. (2014·广东模拟)将三角板ABC按下图放置,使其三个顶点分别落在三条平行直线上,其中∠CAB=90°,且 CF恰好平分∠ACB.若∠CBA=40°,则∠DAC的度数是　　　　. ‎ ‎(第7题)‎ ‎(第8题)‎ ‎8. (2014·河南鹿邑一模)如图,∠1=∠2,∠3=40°.则∠4=　　　　. ‎ ‎9. (2014·湖北鄂州二模)如图AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°,则∠3=　　　　. ‎ ‎(第9题)‎ ‎(第10题)‎ ‎10. (2013·湖北孝感模拟)如图, 直线AB,CD相交于点E,EF⊥AB于点E,若∠CEF=59°,则∠AED的度数为　　　　. ‎ 三、 解答题 ‎11. (2014·河南安阳模拟)已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:‎ ‎(1)如图(1),当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60°,则CD=　　　　; ‎ ‎(2)如图(2),当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90°,则CD=　　　　; ‎ ‎(3)如图(3),当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.‎ ‎(第11题)‎ 参考答案与解析 ‎1. C　[解析] ‎ ‎2. D　[解析] ∠AOC=90°-33°=57°.‎ ‎3. A　[解析] ∠α=45°+(90°-60°)=75°.‎ ‎4. D　[解析]两直线平行同位角相等,如果不能确定两直线是平行线则不能确定同位角之间的关系.‎ ‎5. A　[解析]首先利用平行线判定两三角形相似,然后利用相似三角形对应边的比等于相似比求得线段BC的长即可.‎ ‎6. A　[解析]∠3=∠1+∠2=100°.‎ ‎8. 140°　[解析] ∠4=180°-∠3=140°.‎ ‎9. 60°　[解析] ∠3=180°-(∠1+180°-∠2)=60°.‎ ‎10. 149°　[解析]∵　EF⊥AB于点E,∠CEF=59°,‎ ‎∴　∠AEC=90°-∠CEF=90°-59°=31°.‎ ‎∴　∠AED=180°-∠AEC=180°-31°=149°.‎ ‎11. ‎ ‎(3)以点D为中心,将△DBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE.‎ ‎∴　CD=ED,∠CDE=60°,AE=CB=a.‎ ‎∴　△CDE为等边三角形.‎ ‎∴　CE=CD.‎ 如图(1),当点E,A,C不在一条直线上时,‎ 有CD=CE

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