中考数学总复习图形相似含解析

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中考数学总复习图形相似含解析

‎《图形相似》提升训练. ‎ 一.选择题(共14小题)‎ ‎1.如图,将矩形ABCD沿AE折叠,点D的对应点落在BC上点F处,过点F作FG∥CD,连接EF,DG,下列结论中正确的有(  )‎ ‎①∠ADG=∠AFG;②四边形DEFG是菱形;③DG2=AE•EG;④若AB=4,AD=5,则CE=1.‎ A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.①②‎ ‎2.如图,在△ABC中,D为AB边上一点,E为CD中点,AC=,∠ABC=30°,∠A=∠BED=45°,则BD的长为(  )‎ A. B. +1﹣ C.﹣ D.﹣1‎ ‎3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,AC=10,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E,过点E作EF∥BC交AC于点F,那么EF的长为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(易错题)已知:如图,∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中相似三角形共有(  )‎ A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 ‎5.如图,平面直角坐标系中O是原点,平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别(8,0)、(3,4),点D,E把线段OB三等分,延长CD、CE分别交OA、AB于点F,G,连接FG.则下列结论:‎ ‎①F是OA的中点;②△OFD与△BEG相似;③四边形DEGF的面积是;④OD=.正确的个数是(  )‎ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ‎6.如图,点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点,过点P分别作PE⊥BC于点E,PF⊥DC于点F,连接AP并延长,交射线BC于点H,交射线DC于点M,连接EF交AH于点G,当点P在BD上运动时(不包括B、D两点),以下结论中:①MF=MC;②AH⊥EF;③AP2=PM•PH;④EF的最小值是.其中正确结论是(  )‎ A.①③ B.②③ C.②③④ D.②④‎ ‎7.如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,M是BC边上的动点(点M不与B,C重合),CN⊥DM,CN与AB交于点N,连接OM,ON,MN.下列五个结论:①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN∽△OAD;④AN2+CM2=MN2;⑤若AB=2,则S△OMN的最小值是,其中正确结论的个数是(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎8.如图,△ABC中,D、E是BC边上的点,BD:DE:EC=3:2:1,M在AC边上,CM:MA=1:2,BM交AD,AE于H,G,则BH:HG:GM等于(  )‎ A.3:2:1 B.5:3:1 C.25:12:5 D.51:24:10‎ ‎9.如图,矩形纸片ABCD中,G、F分别为AD、BC的中点,将纸片折叠,使D点落在GF上,得到△HAE,再过H点折叠纸片,使B点落在直线AB上,折痕为PQ.连接AF、EF,已知HE=HF,下列结论:①△MEH为等边三角形;②AE⊥EF;③△PHE∽△HAE;④=,其中正确的结论是(  )‎ A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④‎ ‎10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,P是BC边上不同于B,C的一动点,过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,连接AP.若AC=3,BC=4,则△AQP的面积的最大值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,如果S△ACD:S△ABC=1:2,那么S△AOD:S△BOC是(  )‎ A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:6‎ ‎12.在△ABC与△A′B′C′中,有下列条件:(1),( 2);(3)∠A=∠A′;(4)∠C=∠C′,如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(  )‎ A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 ‎13.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论中结论正确的有(  )‎ ‎①EG=DF;‎ ‎②∠AEH+∠ADH=180°;‎ ‎③△EHF≌△DHC;‎ ‎④若=,则S△EDH=13S△CFH.‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎14.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC 分别交于点G,F,H为CG的中点,连结DE、EH、DH、FH.下列结论:①EG=DF;②△EHF≌△DHC;③∠AEH+∠ADH=180°;④若=,则=.其中结论正确的有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二.填空题(共5小题)‎ ‎15.大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”,如图,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为10cm,那么PB的长度为   cm.‎ ‎16.如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论:①△DFP~△BPH;②==;③PD2=PH•CD;④=,其中正确的是   (写出所有正确结论的序号).‎ ‎17.如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F,BE与DF交于点O.若△ADE的面积为4,则四边形BOGC的面积=   .‎ ‎18.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,BC=6,E为BC中点,F是AB上一点,G为AD上一点,且BF=2,∠FEG=60°,EG交AC于点H,下列结论正确的是   .(填序号即可)‎ ‎①△BEF∽△CHE ‎②AG=1‎ ‎③EH=‎ ‎④S△BEF=3S△AGH ‎19.已知菱形A1B1C1D1的边长为2,∠A1B1C1=60°,对角线A1C1、B1D1相交于点O,以点O为坐标原点,分别以OB1,OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系,以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2,再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2,…,按此规律继续作下去,在y轴的正半轴上得到点A1,A2,A3,…,An,则点A2019的坐标为   ‎ 三.解答题(共7小题)‎ ‎20.如图,在△ABC中,点D在边BC上,联结AD,∠ADB=∠CDE,DE交边AC于点E,DE交BA延长线于点F,且AD2=DE•DF.‎ ‎(1)求证:△BFD∽△CAD;‎ ‎(2)求证:BF•DE=AB•AD.‎ ‎21.已知四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC平分∠DAB,过点C作CE⊥AB于点E,点F为AB上一点,且EF=EB,连结DF.‎ ‎(1)求证:CD=CF;‎ ‎(2)连结DF,交AC于点G,求证:△DGC∽△ADC;‎ ‎(3)若点H为线段DG上一点,连结AH,若∠ADC=2∠HAG,AD=3,DC=2,求的值.‎ ‎22.如图①,OP为一墙面,它与地面OQ垂直,有一根木棒AB如图放置,点C是它的中点,现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动,点B由O点向OQ方向滑动,直到AB横放在地面为止.‎ ‎(1)在AB滑动过程中,点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述(  )‎ ‎(2)若木棒长度为2m,如图②射线OM与地面夹角∠MOQ=60°,当AB滑动过程中,与OM并于点D,分别求出当AD=、AD=1、AD=时,OD的值.‎ ‎(3)如图③,是一个城市下水道,下水道入口宽40cm,下水道水平段高度为40cm,现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作,那么这根木棒最长可以是   (cm)(直接写出结果,结果四舍五入取整数).‎ ‎23.如图,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°,点P为线段BE延长线上一点,连接CP,以CP为直角边向下作等腰直角△CPD,线段BE与CD相交于点F.‎ ‎(1)求证: =;‎ ‎(2)连接BD,请你判断AC与BD有什么位置关系?并说明理由.‎ ‎24.如图(1),P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.‎ ‎(1)如果点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°.‎ ‎①求证:△ABP∽△BCP;‎ ‎②若PA=3,PC=4,则PB=   .‎ ‎(2)已知锐角△ABC,分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD 相交于P点.如图(2)[来源:学,科,网]‎ ‎①求∠CPD的度数;‎ ‎②求证:P点为△ABC的费马点.‎ ‎25.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣1,2),B(﹣3,4),C(﹣2,6).‎ ‎(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1;‎ ‎(2)以原点O为位似中心,在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2,并写出A2、B2、C2的坐标.‎ ‎26.在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,点F为对角线BD上的一点,且EF⊥AB.‎ ‎(1)若四边形ABCD为正方形.‎ ‎①如图1,请直接写出AE与DF的数量关系   ;‎ ‎②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置,连接AE,DF,猜想AE与DF的数量关系并说明理由.‎ ‎(2)若四边形ABCD为矩形,BC=mAB,其他条件都不变.‎ ‎①如图3,猜想AE与DF的数量关系并说明理由;‎ ‎②将△EBF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E′BF′,连接AE′,DF′,请在图4中画出草图,并直接写出AE′和DF′的数量关系.‎ 参考答案与试题解析 一.选择题(共14小题)‎ ‎1.如图,将矩形ABCD沿AE折叠,点D的对应点落在BC上点F处,过点F作FG∥CD,连接EF,DG,下列结论中正确的有(  )‎ ‎①∠ADG=∠AFG;②四边形DEFG是菱形;③DG2=AE•EG;④若AB=4,AD=5,则CE=1.‎ A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.①②‎ ‎【解答】解:①由折叠可得,AD=AF,DG=FG,‎ 在△ADG和△AFG中,‎ ‎∴△ADG≌△AFG(SSS),‎ ‎∴∠ADG=∠AFG,故①正确;‎ ‎②∵GF∥DC,‎ ‎∴∠EGF=∠DEG,‎ 由翻折的性质可知:GD=GF,DE=EF,∠DGE=∠EGF,‎ ‎∴∠DGE=∠DEG,‎ ‎∴GD=DE,‎ ‎∴DG=GF=DE=EF,‎ ‎∴四边形DEFG为菱形,故②正确;‎ ‎③如图所示,连接DF交AE于O,‎ ‎∵四边形DEFG为菱形,‎ ‎∴GE⊥DF,OG=OE=GE,‎ ‎∵∠DOE=∠ADE=90°,∠OED=∠DEA,‎ ‎∴△DOE∽△ADE,‎ ‎∴=,即DE2=EO•AE,‎ ‎∵EO=GE,DE=DG,‎ ‎∴DG2=AE•EG,故③正确;‎ ‎④由折叠可得,AF=AD=5,‎ ‎∴Rt△ABF中,BF==3,‎ ‎∴CF=5﹣3=2,‎ 设CE=x,则DE=EF=4﹣x,‎ ‎∵Rt△CEF中,CE2+CF2=EF2,‎ ‎∴x2+22=(4﹣x)2,‎ 解得x=,‎ ‎∴CE=,故④错误;‎ 故选:B.‎ ‎2.如图,在△ABC中,D为AB边上一点,E为CD中点,AC=,∠ABC=30°,∠A=∠BED=45°,则BD的长为(  )‎ A. B. +1﹣ C.﹣ D.﹣1[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎【解答】解:如图,过C作CF⊥AB于F,过点B作BG⊥CD于G,在Rt△BEG中,∠BED=45°,则GE=GB.‎ 在Rt△AFC中,∠A=45°,AC=,则AF=CF==1,‎ 在Rt△BFC中,∠ABC=30°,CF=1,则BC=2CF=2,BF=CF=,‎ 设DF=x,CE=DE=y,则BD=﹣x,‎ ‎∴△CDF∽△BDG,‎ ‎∴DG=,BG=,‎ ‎∵GE=GB,‎ ‎∴y+=,‎ ‎∴2y2+x(﹣x)=﹣x,‎ 在Rt△CDF中,∵CF2+DF2=CD2,‎ ‎∴1+x2=4y2,‎ ‎∴+x(﹣x)=﹣x,‎ 整理得:x2﹣(2+2)x+2﹣1=0,‎ 解得x=1+﹣或1+﹣(舍弃),‎ ‎∴BD=﹣x=﹣1.‎ 故选:D.‎ ‎3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,AC=10,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E,过点E作EF∥BC交AC于点F,那么EF的长为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:如图,延长FE交AB于点D,作EG⊥BC于点G,作EH⊥AC于点H,‎ ‎∵EF∥BC、∠ABC=90°,‎ ‎∴FD⊥AB,‎ ‎∵EG⊥BC,‎ ‎∴四边形BDEG是矩形,‎ ‎∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB,‎ ‎∴ED=EH=EG,∠DAE=∠HAE,‎ ‎∴四边形BDEG是正方形,‎ 在△DAE和△HAE中,‎ ‎∴△DAE≌△HAE(SAS),‎ ‎∴AD=AH,‎ 同理△CGE≌△CHE,‎ ‎∴CG=CH,‎ ‎∵BC===8,‎ 设BD=BG=x,则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x,‎ ‎∴6﹣x+8﹣x=10,‎ 解得:x=2,‎ ‎∴BD=DE=2,AD=4,‎ ‎∵DF∥BC,‎ ‎∴△ADF∽△ABC,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得:DF=,‎ 则EF=DF﹣DE=﹣2=.‎ 故选:C.‎ ‎4.(易错题)已知:如图,∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中相似三角形共有(  )‎ A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 ‎【解答】解:∵∠ADE=∠ACD=∠ABC ‎∴DE∥BC ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∵DE∥BC[来源:学|科|网]‎ ‎∴∠EDC=∠DCB,‎ ‎∵∠ACD=∠ABC,‎ ‎∴△EDC∽△DCB,‎ 同理:∠ACD=∠ABC,∠A=∠A,‎ ‎∴△ABC∽△ACD,‎ ‎∵△ADE∽△ABC,△ABC∽△ACD,‎ ‎∴△ADE∽△ACD ‎∴共4对 故选:D.‎ ‎5.如图,平面直角坐标系中O是原点,平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别(8,0)、(3,4),点D,E把线段OB三等分,延长CD、CE分别交OA、AB于点F,G,连接FG.则下列结论:‎ ‎①F是OA的中点;②△OFD与△BEG相似;③四边形DEGF的面积是;④OD=.正确的个数是(  )‎ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ‎【解答】解:①∵四边形OABC是平行四边形,‎ ‎∴BC∥OA,BC=OA,‎ ‎∴△CDB∽△FDO,‎ ‎∵D、E为OB的三等分点,‎ ‎∴==2,‎ ‎∴=2,‎ ‎∴BC=2OF,‎ ‎∴OA=2OF,‎ ‎∴F是OA的中点;‎ 所以①结论正确;‎ ‎②如图2,延长BC交y轴于H,‎ 由C(3,4)知:OH=4,CH=3,‎ ‎∴OC=5,‎ ‎∴AB=OC=5,‎ ‎∵A(8,0),‎ ‎∴OA=8,‎ ‎∴OA≠AB,‎ ‎∴∠AOB≠∠EBG,‎ ‎∴△OFD∽△BEG不成立,‎ 所以②结论不正确;‎ ‎③由①知:F为OA的中点,‎ 同理得;G是AB的中点,‎ ‎∴FG是△OAB的中位线,‎ ‎∴FG=OB,FG∥OB,‎ ‎∵OB=3DE,‎ ‎∴FG=DE,‎ 过C作CQ⊥AB于Q,如图3.‎ S▱OABC=OA•OH=AB•CQ,‎ ‎∴4×8=5CQ,‎ ‎∴CQ=,‎ S△OCF=OF•OH=×4×4=8,‎ S△CGB=BG•CQ=××=8,‎ S△AFG=×4×2=4,‎ ‎∴S△CFG=S▱OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG=8×4﹣8﹣8﹣4=12,‎ ‎∵DE∥FG,‎ ‎∴△CDE∽△CFG,‎ ‎∴=()2=,‎ ‎∴S四边形DEGF=S△CFG=;‎ 所以③结论正确;‎ ‎④在Rt△OHB中,由勾股定理得:OB2=BH2+OH2,‎ ‎∴OB==,‎ ‎∴OD=,‎ 所以④结论不正确;‎ 本题结论正确的有:①③.‎ 故选:C.‎ ‎6.如图,点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点,过点P分别作PE⊥BC于点E,PF⊥DC于点F,连接AP并延长,交射线BC于点H,交射线DC于点M,连接EF交AH于点G,当点P在BD上运动时(不包括B、D两点),以下结论中:①MF=MC;②AH⊥EF;③AP2=PM•PH;④EF的最小值是.其中正确结论是(  )‎ A.①③ B.②③ C.②③④ D.②④‎ ‎【解答】解:①错误.因为当点P与BD中点重合时,CM=0,显然FM≠CM;‎ ‎②正确.连接PC交EF于O.根据对称性可知∠DAP=∠DCP,‎ ‎∵四边形PECF是矩形,‎ ‎∴OF=OC,‎ ‎∴∠OCF=∠OFC,‎ ‎∴∠OFC=∠DAP,‎ ‎∵∠DAP+∠AMD=90°,‎ ‎∴∠GFM+∠AMD=90°,‎ ‎∴∠FGM=90°,‎ ‎∴AH⊥EF.‎ ‎③正确.∵AD∥BH,‎ ‎∴∠DAP=∠H,‎ ‎∵∠DAP=∠PCM,‎ ‎∴∠PCM=∠H,‎ ‎∵∠CPM=∠HPC,‎ ‎∴△CPM∽△HPC,‎ ‎∴PC2=PM•PH,‎ 根据对称性可知:PA=PC,‎ ‎∴PA2=PM•PH.‎ ‎④正错误.∵四边形PECF是矩形,‎ ‎∴EF=PC,‎ ‎∴当CP⊥BD时,PC的值最小,此时A、P、C共线,‎ ‎∵AC=2,‎ ‎∴PC的最小值为1,‎ ‎∴EF的最小值为1;‎ 故选:B.‎ ‎7.如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,M是BC边上的动点(点M不与B,C重合),CN⊥DM,CN与AB交于点N,连接OM,ON,MN.下列五个结论:①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN∽△OAD;④AN2+CM2=MN2;⑤若AB=2,则S△OMN的最小值是,其中正确结论的个数是(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【解答】解:∵正方形ABCD中,CD=BC,∠BCD=90°,‎ ‎∴∠BCN+∠DCN=90°,‎ 又∵CN⊥DM,‎ ‎∴∠CDM+∠DCN=90°,‎ ‎∴∠BCN=∠CDM,‎ 又∵∠CBN=∠DCM=90°,‎ ‎∴△CNB≌△DMC(ASA),故①正确;‎ 根据△CNB≌△DMC,可得CM=BN,‎ 又∵∠OCM=∠OBN=45°,OC=OB,‎ ‎∴△OCM≌△OBN(SAS),‎ ‎∴OM=ON,∠COM=∠BON,‎ ‎∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN,即∠DOM=∠CON,‎ 又∵DO=CO,‎ ‎∴△CON≌△DOM(SAS),故②正确;‎ ‎∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°,‎ ‎∴∠MON=90°,即△MON是等腰直角三角形,‎ 又∵△AOD是等腰直角三角形,‎ ‎∴△OMN∽△OAD,故③正确;‎ ‎∵AB=BC,CM=BN,‎ ‎∴BM=AN,‎ 又∵Rt△BMN中,BM2+BN2=MN2,‎ ‎∴AN2+CM2=MN2,故④正确;‎ ‎∵△OCM≌△OBN,‎ ‎∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1,即四边形BMON的面积是定值1,‎ ‎∴当△MNB的面积最大时,△MNO的面积最小,‎ 设BN=x=CM,则BM=2﹣x,‎ ‎∴△MNB的面积=x(2﹣x)=﹣x2+x,‎ ‎∴当x=1时,△MNB的面积有最大值,‎ 此时S△OMN的最小值是1﹣=,故⑤正确;‎ 综上所述,正确结论的个数是5个,‎ 故选:D.‎ ‎8.如图,△ABC中,D、E是BC边上的点,BD:DE:EC=3:2:1,M在AC边上,CM:MA=1:2,BM交AD,AE于H,G,则BH:HG:GM等于(  )‎ A.3:2:1 B.5:3:1 C.25:12:5 D.51:24:10‎ ‎【解答】解:连接EM,‎ CE:CD=CM:CA=1:3‎ ‎∴EM平行于AD ‎∴△BHD∽△BME,△CEM∽△CDA ‎∴HD:ME=BD:BE=3:5,ME:AD=CM:AC=1:3‎ ‎∴AH=(3﹣)ME,‎ ‎∴AH:ME=12:5‎ ‎∴HG:GM=AH:EM=12:5‎ 设GM=5k,GH=12k,‎ ‎∵BH:HM=3:2=BH:17k ‎∴BH=K,‎ ‎∴BH:HG:GM=k:12k:5k=51:24:10‎ 故选:D.‎ ‎9.如图,矩形纸片ABCD中,G、F分别为AD、BC的中点,将纸片折叠,使D点落在GF上,得到△HAE,再过H点折叠纸片,使B点落在直线AB上,折痕为PQ.连接AF、EF,已知HE=HF,下列结论:①△MEH为等边三角形;②AE⊥EF;③△PHE∽△HAE;④=,其中正确的结论是(  )‎ A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④‎ ‎【解答】解:∵矩形纸片ABCD中,G、F分别为AD、BC的中点,‎ ‎∴GF⊥AD,‎ 由折叠可得,AH=AD=2AG,∠AHE=∠D=90°,‎ ‎∴∠AHG=30°,∠EHM=90°﹣30°=60°,‎ ‎∴∠HAG=60°=∠AED=∠MEH,‎ ‎∴△EHM中,∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH,‎ ‎∴△MEH为等边三角形,故①正确;‎ ‎∵∠EHM=60°,HE=HF,‎ ‎∴∠HEF=30°,‎ ‎∴∠FEM=60°+30°=90°,即AE⊥EF,故②正确;‎ ‎∵∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA,∠EPH=∠EHA=90°,‎ ‎∴△PHE∽△HAE,故③正确;‎ 设AD=2=AH,则AG=1,‎ ‎∴Rt△AGH中,GH=AG=,‎ Rt△AEH中,EH===HF,‎ ‎∴GF==AB,‎ ‎∴==,故④正确,‎ 综上所述,正确的结论是①②③④,‎ 故选:D.‎ ‎10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,P是BC边上不同于B,C的一动点,过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,连接AP.若AC=3,BC=4,则△AQP的面积的最大值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:设BP=x(0<x<4),由勾股定理得 AB=5,‎ ‎∵∠PQB=∠C=90°,∠B=∠B,‎ ‎∴△PBQ∽△ABC,‎ ‎∴==,即 ==‎ ‎∴PQ=x,QB=x S△APQ=PQ×AQ=+x=‎ ‎∴当x=时,△APQ的面积最大,最大值是.‎ 故选:C.‎ ‎11.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,如果S△ACD:S△ABC=1:2,那么S△AOD:S△BOC是(  )‎ A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:6‎ ‎【解答】解:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,而且S△ACD:S△ABC=1:2,‎ ‎∴AD:BC=1:2;‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴△AOD~△BOC,‎ ‎∵AD:BC=1:2,‎ ‎∴S△AOD:S△BOC=1:4.‎ 故选:B.‎ ‎12.在△ABC与△A′B′C′中,有下列条件:(1),(2);(3)∠A=∠A′;(4)∠C=∠C′,如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(  )‎ A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 ‎【解答】解:共有3组,其组合分别是(1)和(2)三边对应成比例的两个三角形相似;‎ ‎(2)和(4)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;‎ ‎(3)和(4)两角对应相等的两个三角形相似.‎ 故选:C.‎ ‎13.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论中结论正确的有(  )‎ ‎①EG=DF;‎ ‎②∠AEH+∠ADH=180°;‎ ‎③△EHF≌△DHC;‎ ‎④若=,则S△EDH=13S△CFH.‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【解答】解:①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD,‎ ‎∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°,‎ ‎∴△CFG为等腰直角三角形,‎ ‎∴GF=FC,‎ ‎∵EG=EF﹣GF,DF=CD﹣FC,‎ ‎∴EG=DF,‎ 故①正确;‎ ‎②∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,‎ ‎∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD,‎ 在△EHF和△DHC中,‎ ‎∴△EHF≌△DHC(SAS),‎ ‎∴∠HEF=∠HDC,‎ ‎∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°,‎ 故②正确;‎ ‎③由②知:△EHF≌△DHC,‎ 故③正确;‎ ‎∴AE=2BE,‎ ‎∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,‎ ‎∴FH=GH,∠FHG=90°,‎ ‎∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD,‎ 在△EGH和△DFH中,‎ ‎∴△EGH≌△DFH(SAS),‎ ‎∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,‎ ‎∴△EHD为等腰直角三角形,‎ 过H点作HM垂直于CD于M点,如图所示:‎ 设HM=x,则CF=2x,‎ ‎∴DF=2FC=4x,‎ ‎∴DM=5x,DH=x,CD=6x,‎ 则S△CFH=×HM×CF=•x•2x=x2,S△EDH=×DH2=×=13x2,‎ ‎∴则S△EDH=13S△CFH,故④正确;‎ 其中结论正确的有:①②③④,4个;‎ 故选:D.‎ ‎14.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC 分别交于点G,F,H为CG的中点,连结DE、EH、DH、FH.下列结论:①EG=DF;②△EHF≌△DHC;③∠AEH+∠ADH=180°;④若=,则 ‎=.其中结论正确的有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【解答】解:①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD,‎ ‎∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°,‎ ‎∴△CFG为等腰直角三角形,‎ ‎∴GF=FC,‎ ‎∵EG=EF﹣GF,DF=CD﹣FC,‎ ‎∴EG=DF,故①正确;‎ ‎②∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,‎ ‎∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD,‎ 在△EHF和△DHC中,‎ ‎∴△EHF≌△DHC(SAS),故②正确;‎ ‎③∵△EHF≌△DHC(已证),‎ ‎∴∠HEF=∠HDC,‎ ‎∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°,故③正确;‎ ‎∴AE=2BE,‎ ‎∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,‎ ‎∴FH=GH,∠FHG=90°,‎ ‎∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD,‎ 在△EGH和△DFH中,‎ ‎∴△EGH≌△DFH(SAS),‎ ‎∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,‎ ‎∴△EHD为等腰直角三角形,‎ 如图,过H点作HM⊥CD于M,[来源:学&科&网]‎ 设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x,‎ 则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2,‎ ‎∴3S△EDH=13S△DHC,故④正确;‎ 故选:D.‎ 二.填空题(共5小题)‎ ‎15.大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”,如图,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为10cm,那么PB的长度为 (15﹣5) cm.‎ ‎【解答】解:∵P为AB的黄金分割点(AP>PB),‎ ‎∴AP=AB=×10=5﹣5,‎ ‎∴PB=AB﹣PA=10﹣(5﹣5)=(15﹣5)cm.‎ 故答案为(15﹣5).‎ ‎16.如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论:①△DFP~△BPH;②==;③PD2=PH•CD;④=,其中正确的是 ①②③ (写出所有正确结论的序号).‎ ‎【解答】解:∵PC=CD,∠PCD=30°,‎ ‎∴∠PDC=75°,‎ ‎∴∠FDP=15°,‎ ‎∵∠DBA=45°,‎ ‎∴∠PBD=15°,‎ ‎∴∠FDP=∠PBD,‎ ‎∵∠DFP=∠BPC=60°,‎ ‎∴△DFP∽△BPH,故①正确;‎ ‎∵∠DCF=90°﹣60°=30°,‎ ‎∴tan∠DCF==,‎ ‎∵△DFP∽△BPH,‎ ‎∵BP=CP=CD,‎ ‎∴==,故②正确;‎ ‎∵PC=DC,∠DCP=30°,‎ ‎∴∠CDP=75°,‎ 又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°,‎ ‎∴∠DHP=∠CDP,而∠DPH=∠CPD,‎ ‎∴△DPH∽△CPD,‎ ‎∴,即PD2=PH•CP,‎ 又∵CP=CD,‎ ‎∴PD2=PH•CD,故③正确;‎ 如图,过P作PM⊥CD,PN⊥BC,‎ 设正方形ABCD的边长是4,△BPC为正三角形,则正方形ABCD的面积为16,‎ ‎∴∠PBC=∠PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,‎ ‎∴∠PCD=30°‎ ‎∴PN=PB•sin60°=4×=2,PM=PC•sin30°=2,‎ ‎∵S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD ‎=×4×2+×2×4﹣×4×4‎ ‎=4+4﹣8‎ ‎=4﹣4,‎ ‎∴=,故④错误;‎ 故答案为:①②③.‎ ‎17.如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F,BE与DF交于点O.若△ADE的面积为4,则四边形BOGC的面积= 7 .‎ ‎【解答】解:∵点D、E分别是边AB、AC的中点,‎ ‎∴DE∥BC,DE=BC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∵△ADE的面积为4,‎ ‎∴S△ABC=16,‎ ‎∵DE∥BC,‎ ‎∴△ODE∽△OFB,∠EDG=∠F,∠DEG=∠GCF,‎ 又EG=CG,‎ ‎∴△DEG≌△FCG(AAS),‎ ‎∴DE=CF,‎ ‎∴BF=3DE,‎ ‎∵DE∥BC,‎ ‎∴△ODE∽△OFB,‎ ‎∵AD=BD,‎ ‎∴S△BDE=S△ADE=4,‎ ‎∵AE=CE=2EG,‎ ‎∴S△DEG=S△ADE=×4=2,‎ ‎∴S△ODE=S△BDE=×4=1,‎ ‎∴S△OEG=S△DEG﹣S△ODE=×4=1,‎ ‎∵S四边形DBCE=S△ABC﹣S△ADE=3×4=12,‎ ‎∴S四边形OBCG=S四边形DBCE﹣S△BDE﹣S△OEG=7.‎ 故答案为:7.‎ ‎18.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,BC=6,E为BC中点,F是AB上一点,G为AD上一点,且BF=2,∠FEG=60°,EG交AC于点H,下列结论正确的是 ①②③ .(填序号即可)‎ ‎①△BEF∽△CHE ‎②AG=1‎ ‎③EH=‎ ‎④S△BEF=3S△AGH ‎【解答】解:∵菱形ABCD中,∠B=60°,∠FEG=60°,‎ ‎∴∠B=∠ECH=60°,∠BEF=CHE=120°﹣∠CEH,‎ ‎∴△BEF∽△CHE,故①正确;‎ 又∵BC=6,E为BC中点,BF=2,‎ ‎∴,即CH=4.5,‎ 又∵AC=BC=6,‎ ‎∴AH=1.5,‎ ‎∵AG∥CE,‎ ‎∴△AGH∽△CEH,‎ ‎∴AG=CE=1,故②正确;‎ 如图,过F作FP⊥BC于P,则∠BFP=30°,[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎∴BP=BF=1,PE=3﹣1=2,PF=,‎ ‎∴Rt△EFP中,EF==,‎ 又∵,‎ ‎∴EH=EF=,故③正确;‎ ‎∵AG=CE,BF=CE,△△BEF∽△CHE,△AGH∽△CEH,‎ ‎∴S△CEH=9S△AGH,S△CEH=S△BEF,‎ ‎∴9S△AGH=S△BEF,‎ ‎∴S△BEF=4S△AGH,故④错误;‎ 故答案为:①②③.‎ ‎19.已知菱形A1B1C1D1的边长为2,∠A1B1C1=60°,对角线A1C1、B1D1相交于点O,以点O为坐标原点,分别以OB1,OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系,以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2,再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2,…,按此规律继续作下去,在y轴的正半轴上得到点A1,A2,A3,…,An,则点A2019的坐标为 (0,32019) ‎ ‎【解答】解:∵菱形A1B1C1D1的边长为2,∠A1B1C1=60°,‎ ‎∴OA1=A1B1•sin30°=2×=1,OB1=A1B1•cos30°=2×=,‎ ‎∴A1(0,1).‎ ‎∵1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,‎ ‎∴OA2===3,‎ ‎∴A2(0,3).‎ 同理可得A3(0,9)…‎ ‎∴A2019(0,32019).‎ 故答案为:(0,32019).‎ 三.解答题(共7小题)‎ ‎20.如图,在△ABC中,点D在边BC上,联结AD,∠ADB=∠CDE,DE交边AC于点E,DE交BA延长线于点F,且AD2=DE•DF.‎ ‎(1)求证:△BFD∽△CAD;‎ ‎(2)求证:BF•DE=AB•AD.‎ ‎【解答】证明:(1)∵AD2=DE•DF,‎ ‎∵∠ADF=∠EDA,‎ ‎∴△ADF∽△EDA,‎ ‎∴∠F=∠DAE,‎ 又∵∠ADB=∠CDE,‎ ‎∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF,‎ 即∠BDF=∠CDA,‎ ‎∴△BFD∽△CAD;‎ ‎(2)∵△BFD∽△CAD,‎ ‎∵△BFD∽△CAD,‎ ‎∴∠B=∠C,‎ ‎∴AB=AC,‎ ‎∴BF•DE=AB•AD.‎ ‎21.已知四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC平分∠DAB,过点C作CE⊥AB于点E,点F为AB上一点,且EF=EB,连结DF.‎ ‎(1)求证:CD=CF;‎ ‎(2)连结DF,交AC于点G,求证:△DGC∽△ADC;‎ ‎(3)若点H为线段DG上一点,连结AH,若∠ADC=2∠HAG,AD=3,DC=2,求的值.‎ ‎【解答】(1)证明:∵AC平分∠DAB,‎ ‎∴∠DAC=∠BAC,‎ 在△ADC和△ABC中 ‎∴△ADC≌△ABC,‎ ‎∴CD=CB,‎ ‎∵CE⊥AB,EF=EB,‎ ‎∴CF=CB,‎ ‎∴CD=CF;‎ ‎(2)解:∵△ADC≌△ABC,‎ ‎∴∠ADC=∠B,‎ ‎∵CF=CB,‎ ‎∴∠CFB=∠B,‎ ‎∴∠ADC=∠CFB,‎ ‎∴∠ADC+∠AFC=180°,‎ ‎∵四边形AFCD的内角和等于360°,‎ ‎∴∠DCF+∠DAF=180°,‎ ‎∵CD=CF,‎ ‎∴∠CDG=∠CFD,‎ ‎∵∠DCF+∠CDF+∠CFD=180°,‎ ‎∴∠DAF=∠CDF+∠CFD=2∠CDG,‎ ‎∵∠DAB=2∠DAC,‎ ‎∴∠CDG=∠DAC,‎ ‎∵∠DCG=∠ACD,‎ ‎∴△DGC∽△ADC;‎ ‎(3)解:∵△DGC∽△ADC,‎ ‎∴∠DGC=∠ADC, =,‎ ‎∵∠ADC=2∠HAG,AD=3,DC=2,‎ ‎∴∠HAG=∠DGC, =,‎ ‎∴∠HAG=∠AHG, =,‎ ‎∴HG=AG,‎ ‎∵∠GDC=∠DAC=∠FAG,∠DGC=∠AGF,‎ ‎∴△DGC∞△AGF,‎ ‎22.如图①,OP为一墙面,它与地面OQ垂直,有一根木棒AB如图放置,点C是它的中点,现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动,点B由O点向OQ方向滑动,直到AB横放在地面为止.‎ ‎(1)在AB滑动过程中,点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述(  )‎ ‎(2)若木棒长度为2m,如图②射线OM与地面夹角∠MOQ=60°,当AB滑动过程中,与OM并于点D,分别求出当AD=、AD=1、AD=时,OD的值.‎ ‎(3)如图③,是一个城市下水道,下水道入口宽40cm,下水道水平段高度为40cm,现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作,那么这根木棒最长可以是 113 (cm)(直接写出结果,结果四舍五入取整数).‎ ‎【解答】解:(1)∵点C是AB的中点,‎ ‎∴OC=AB,‎ ‎∴点C的运动轨迹是以O为圆心, AB长为半径的圆弧,经过的路程的圆周.‎ 故选甲.‎ ‎(2)过D作DH⊥OP于H,设DH=a,在Rt△OHD中,‎ ‎∵∠AOD=90°﹣600=300,‎ ‎∴OD=2a,OH=a,‎ ‎∵DH⊥OA,OQ⊥OA,‎ ‎∴DH∥QO,‎ 当AD=时,BD=,‎ ‎∴AH=a,‎ 在Rt△AHD中,‎ ‎∵AH2+DH2=AD2,‎ ‎∴a2+a2=,‎ 解得a=,OD=,‎ 当AD=1时,BD=1,‎ ‎∴AH=a,‎ 在Rt△AHD中,∵AH2+DH2=AD2,‎ ‎∴3a2+a2=1,‎ 解得a=,OD=1,‎ 当AD=时,BD=,‎ ‎∴AH=2a,‎ 在Rt△AHD中,∵AH2+DH2=AD2,‎ ‎∴12a2+a2=,‎ ‎ 解得a=,OD=.‎ ‎(3)由题意当等腰直角三角形的直角边为80cm时,斜边为≈113cm,‎ 所以这根木棒最长可以是113cm. ‎ 故答案为113cm.‎ ‎23.如图,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°,点P为线段BE延长线上一点,连接CP,以CP为直角边向下作等腰直角△CPD,线段BE与CD相交于点F.‎ ‎(1)求证: =;‎ ‎(2)连接BD,请你判断AC与BD有什么位置关系?并说明理由.‎ ‎【解答】(1)证明:∵,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°,‎ ‎∴∠ECB=∠PCD=45°,∠CEB=∠CPD=90°,‎ ‎∴△BCE∽△DCP,‎ ‎(2)AC∥BD,‎ 理由:∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°,‎ ‎∴∠PCE=∠BCD,‎ ‎∴△PCE∽△DCB,‎ ‎∴∠CBD=∠CEP=90°,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠ACB=∠CBD,‎ ‎∴AC∥BD.‎ ‎24.如图(1),P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.‎ ‎(1)如果点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°.‎ ‎①求证:△ABP∽△BCP;‎ ‎②若PA=3,PC=4,则PB= 2 .‎ ‎(2)已知锐角△ABC,分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD 相交于P点.如图(2)‎ ‎①求∠CPD的度数;‎ ‎②求证:P点为△ABC的费马点.‎ ‎【解答】(1)证明:①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°,∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°,‎ ‎∴∠PAB=∠PBC,‎ 又∵∠APB=∠BPC=120°,‎ ‎∴△ABP∽△BCP,‎ ‎②解:∵△ABP∽△BCP,‎ ‎∴PB2=PA•PC=12,‎ ‎∴PB=2; ‎ 故答案为:2;‎ ‎(2)解:①∵△ABE与△ACD都为等边三角形,‎ ‎∴∠BAE=∠CAD=60°,AE=AB,AC=AD,‎ ‎∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,‎ 在△ACE和△ABD中,‎ ‎∴△ACE≌△ABD(SAS),‎ ‎∴∠1=∠2,‎ ‎∵∠3=∠4,‎ ‎∴∠CPD=∠6=∠5=60°;‎ ‎②证明:∵△ADF∽△CFP,‎ ‎∴AF•PF=DF•CF,‎ ‎∵∠AFP=∠CFD,‎ ‎∴△AFP∽△CDF.‎ ‎∴∠APF=∠ACD=60°,‎ ‎∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°,‎ ‎∴∠BPC=120°,‎ ‎∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°,‎ ‎∴P点为△ABC的费马点.‎ ‎25.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣1,2),B(﹣3,4),C(﹣2,6).‎ ‎(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1;‎ ‎(2)以原点O为位似中心,在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2,并写出A2、B2、C2的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)如图,△A1B1C1为所求;‎ ‎(2)如图,△A2B2C2为所作,点A2、B2、C2的坐标分别为(﹣2,4),B(2,8),C(6,6).‎ ‎26.在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,点F为对角线BD上的一点,且EF⊥AB.‎ ‎(1)若四边形ABCD为正方形.‎ ‎①如图1,请直接写出AE与DF的数量关系 DF=AE ;‎ ‎②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置,连接AE,DF,猜想AE与DF的数量关系并说明理由.‎ ‎(2)若四边形ABCD为矩形,BC=mAB,其他条件都不变.‎ ‎①如图3,猜想AE与DF的数量关系并说明理由;‎ ‎②将△EBF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E′BF′,连接AE′,DF′,请在图4中画出草图,并直接写出AE′和DF′的数量关系.‎ ‎【解答】解:(1)①∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴△ABD为等腰直角三角形,‎ ‎∴BD=AB,‎ ‎∵EF⊥AB,‎ ‎∴△BEF为等腰直角三角形,‎ BF=BE,‎ ‎∴BD﹣BF=AB﹣BE,‎ 即DF=AE,‎ 故答案为:DF=AE;‎ ‎②DF=AE.理由如下:‎ ‎∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置,‎ ‎∴∠ABE=∠DBF,‎ ‎∴△ABE∽△DBF,‎ 即AE与DF的数量关系是:DF=AE;‎ ‎(2)①AE与DF的数量关系是:DF=AE;‎ 理由:在图3中,作FM⊥AD,垂足为M.‎ ‎∵∠A=∠AEF=∠AMF=90°,‎ ‎∴四边形AEFM是矩形,‎ ‎∴FM=AE,‎ ‎∵AD=BC=mAB,‎ ‎∴Rt△ABD中,BD==AB,‎ ‎∵MF∥AB,‎ ‎∴△DMF∽△ABD,‎ ‎∴DF=MF=AE;‎ ‎②AE′和DF′的数量关系:DF'=AE'.‎ 如图3,∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴AD=BC=mAB,‎ ‎∴BD==AB,‎ ‎∵EF⊥AB,‎ ‎∴EF∥AD,‎ ‎∴△BEF∽△BAD,‎ 如图4,∵△EBF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E'BF',‎ ‎∴∠ABE′=∠DBF′,BE′=BE,BF′=BF,‎ ‎∴△ABE′∽△DBF′,‎ 即DF′=AE′.‎
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