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文档介绍
中考数学总复习图形相似含解析
《图形相似》提升训练. 一.选择题(共14小题) 1.如图,将矩形ABCD沿AE折叠,点D的对应点落在BC上点F处,过点F作FG∥CD,连接EF,DG,下列结论中正确的有( ) ①∠ADG=∠AFG;②四边形DEFG是菱形;③DG2=AE•EG;④若AB=4,AD=5,则CE=1. A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.①② 2.如图,在△ABC中,D为AB边上一点,E为CD中点,AC=,∠ABC=30°,∠A=∠BED=45°,则BD的长为( ) A. B. +1﹣ C.﹣ D.﹣1 3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,AC=10,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E,过点E作EF∥BC交AC于点F,那么EF的长为( ) A. B. C. D. 4.(易错题)已知:如图,∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中相似三角形共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 5.如图,平面直角坐标系中O是原点,平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别(8,0)、(3,4),点D,E把线段OB三等分,延长CD、CE分别交OA、AB于点F,G,连接FG.则下列结论: ①F是OA的中点;②△OFD与△BEG相似;③四边形DEGF的面积是;④OD=.正确的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6.如图,点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点,过点P分别作PE⊥BC于点E,PF⊥DC于点F,连接AP并延长,交射线BC于点H,交射线DC于点M,连接EF交AH于点G,当点P在BD上运动时(不包括B、D两点),以下结论中:①MF=MC;②AH⊥EF;③AP2=PM•PH;④EF的最小值是.其中正确结论是( ) A.①③ B.②③ C.②③④ D.②④ 7.如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,M是BC边上的动点(点M不与B,C重合),CN⊥DM,CN与AB交于点N,连接OM,ON,MN.下列五个结论:①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN∽△OAD;④AN2+CM2=MN2;⑤若AB=2,则S△OMN的最小值是,其中正确结论的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8.如图,△ABC中,D、E是BC边上的点,BD:DE:EC=3:2:1,M在AC边上,CM:MA=1:2,BM交AD,AE于H,G,则BH:HG:GM等于( ) A.3:2:1 B.5:3:1 C.25:12:5 D.51:24:10 9.如图,矩形纸片ABCD中,G、F分别为AD、BC的中点,将纸片折叠,使D点落在GF上,得到△HAE,再过H点折叠纸片,使B点落在直线AB上,折痕为PQ.连接AF、EF,已知HE=HF,下列结论:①△MEH为等边三角形;②AE⊥EF;③△PHE∽△HAE;④=,其中正确的结论是( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,P是BC边上不同于B,C的一动点,过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,连接AP.若AC=3,BC=4,则△AQP的面积的最大值是( ) A. B. C. D. 11.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,如果S△ACD:S△ABC=1:2,那么S△AOD:S△BOC是( ) A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:6 12.在△ABC与△A′B′C′中,有下列条件:(1),( 2);(3)∠A=∠A′;(4)∠C=∠C′,如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有( ) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 13.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论中结论正确的有( ) ①EG=DF; ②∠AEH+∠ADH=180°; ③△EHF≌△DHC; ④若=,则S△EDH=13S△CFH. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC 分别交于点G,F,H为CG的中点,连结DE、EH、DH、FH.下列结论:①EG=DF;②△EHF≌△DHC;③∠AEH+∠ADH=180°;④若=,则=.其中结论正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二.填空题(共5小题) 15.大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”,如图,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为10cm,那么PB的长度为 cm. 16.如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论:①△DFP~△BPH;②==;③PD2=PH•CD;④=,其中正确的是 (写出所有正确结论的序号). 17.如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F,BE与DF交于点O.若△ADE的面积为4,则四边形BOGC的面积= . 18.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,BC=6,E为BC中点,F是AB上一点,G为AD上一点,且BF=2,∠FEG=60°,EG交AC于点H,下列结论正确的是 .(填序号即可) ①△BEF∽△CHE ②AG=1 ③EH= ④S△BEF=3S△AGH 19.已知菱形A1B1C1D1的边长为2,∠A1B1C1=60°,对角线A1C1、B1D1相交于点O,以点O为坐标原点,分别以OB1,OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系,以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2,再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2,…,按此规律继续作下去,在y轴的正半轴上得到点A1,A2,A3,…,An,则点A2019的坐标为 三.解答题(共7小题) 20.如图,在△ABC中,点D在边BC上,联结AD,∠ADB=∠CDE,DE交边AC于点E,DE交BA延长线于点F,且AD2=DE•DF. (1)求证:△BFD∽△CAD; (2)求证:BF•DE=AB•AD. 21.已知四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC平分∠DAB,过点C作CE⊥AB于点E,点F为AB上一点,且EF=EB,连结DF. (1)求证:CD=CF; (2)连结DF,交AC于点G,求证:△DGC∽△ADC; (3)若点H为线段DG上一点,连结AH,若∠ADC=2∠HAG,AD=3,DC=2,求的值. 22.如图①,OP为一墙面,它与地面OQ垂直,有一根木棒AB如图放置,点C是它的中点,现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动,点B由O点向OQ方向滑动,直到AB横放在地面为止. (1)在AB滑动过程中,点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述( ) (2)若木棒长度为2m,如图②射线OM与地面夹角∠MOQ=60°,当AB滑动过程中,与OM并于点D,分别求出当AD=、AD=1、AD=时,OD的值. (3)如图③,是一个城市下水道,下水道入口宽40cm,下水道水平段高度为40cm,现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作,那么这根木棒最长可以是 (cm)(直接写出结果,结果四舍五入取整数). 23.如图,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°,点P为线段BE延长线上一点,连接CP,以CP为直角边向下作等腰直角△CPD,线段BE与CD相交于点F. (1)求证: =; (2)连接BD,请你判断AC与BD有什么位置关系?并说明理由. 24.如图(1),P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点. (1)如果点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°. ①求证:△ABP∽△BCP; ②若PA=3,PC=4,则PB= . (2)已知锐角△ABC,分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD 相交于P点.如图(2)[来源:学,科,网] ①求∠CPD的度数; ②求证:P点为△ABC的费马点. 25.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣1,2),B(﹣3,4),C(﹣2,6). (1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1; (2)以原点O为位似中心,在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2,并写出A2、B2、C2的坐标. 26.在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,点F为对角线BD上的一点,且EF⊥AB. (1)若四边形ABCD为正方形. ①如图1,请直接写出AE与DF的数量关系 ; ②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置,连接AE,DF,猜想AE与DF的数量关系并说明理由. (2)若四边形ABCD为矩形,BC=mAB,其他条件都不变. ①如图3,猜想AE与DF的数量关系并说明理由; ②将△EBF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E′BF′,连接AE′,DF′,请在图4中画出草图,并直接写出AE′和DF′的数量关系. 参考答案与试题解析 一.选择题(共14小题) 1.如图,将矩形ABCD沿AE折叠,点D的对应点落在BC上点F处,过点F作FG∥CD,连接EF,DG,下列结论中正确的有( ) ①∠ADG=∠AFG;②四边形DEFG是菱形;③DG2=AE•EG;④若AB=4,AD=5,则CE=1. A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.①② 【解答】解:①由折叠可得,AD=AF,DG=FG, 在△ADG和△AFG中, ∴△ADG≌△AFG(SSS), ∴∠ADG=∠AFG,故①正确; ②∵GF∥DC, ∴∠EGF=∠DEG, 由翻折的性质可知:GD=GF,DE=EF,∠DGE=∠EGF, ∴∠DGE=∠DEG, ∴GD=DE, ∴DG=GF=DE=EF, ∴四边形DEFG为菱形,故②正确; ③如图所示,连接DF交AE于O, ∵四边形DEFG为菱形, ∴GE⊥DF,OG=OE=GE, ∵∠DOE=∠ADE=90°,∠OED=∠DEA, ∴△DOE∽△ADE, ∴=,即DE2=EO•AE, ∵EO=GE,DE=DG, ∴DG2=AE•EG,故③正确; ④由折叠可得,AF=AD=5, ∴Rt△ABF中,BF==3, ∴CF=5﹣3=2, 设CE=x,则DE=EF=4﹣x, ∵Rt△CEF中,CE2+CF2=EF2, ∴x2+22=(4﹣x)2, 解得x=, ∴CE=,故④错误; 故选:B. 2.如图,在△ABC中,D为AB边上一点,E为CD中点,AC=,∠ABC=30°,∠A=∠BED=45°,则BD的长为( ) A. B. +1﹣ C.﹣ D.﹣1[来源:Z。xx。k.Com] 【解答】解:如图,过C作CF⊥AB于F,过点B作BG⊥CD于G,在Rt△BEG中,∠BED=45°,则GE=GB. 在Rt△AFC中,∠A=45°,AC=,则AF=CF==1, 在Rt△BFC中,∠ABC=30°,CF=1,则BC=2CF=2,BF=CF=, 设DF=x,CE=DE=y,则BD=﹣x, ∴△CDF∽△BDG, ∴DG=,BG=, ∵GE=GB, ∴y+=, ∴2y2+x(﹣x)=﹣x, 在Rt△CDF中,∵CF2+DF2=CD2, ∴1+x2=4y2, ∴+x(﹣x)=﹣x, 整理得:x2﹣(2+2)x+2﹣1=0, 解得x=1+﹣或1+﹣(舍弃), ∴BD=﹣x=﹣1. 故选:D. 3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,AC=10,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E,过点E作EF∥BC交AC于点F,那么EF的长为( ) A. B. C. D. 【解答】解:如图,延长FE交AB于点D,作EG⊥BC于点G,作EH⊥AC于点H, ∵EF∥BC、∠ABC=90°, ∴FD⊥AB, ∵EG⊥BC, ∴四边形BDEG是矩形, ∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB, ∴ED=EH=EG,∠DAE=∠HAE, ∴四边形BDEG是正方形, 在△DAE和△HAE中, ∴△DAE≌△HAE(SAS), ∴AD=AH, 同理△CGE≌△CHE, ∴CG=CH, ∵BC===8, 设BD=BG=x,则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x, ∴6﹣x+8﹣x=10, 解得:x=2, ∴BD=DE=2,AD=4, ∵DF∥BC, ∴△ADF∽△ABC, ∴=,即=, 解得:DF=, 则EF=DF﹣DE=﹣2=. 故选:C. 4.(易错题)已知:如图,∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中相似三角形共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【解答】解:∵∠ADE=∠ACD=∠ABC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC, ∵DE∥BC[来源:学|科|网] ∴∠EDC=∠DCB, ∵∠ACD=∠ABC, ∴△EDC∽△DCB, 同理:∠ACD=∠ABC,∠A=∠A, ∴△ABC∽△ACD, ∵△ADE∽△ABC,△ABC∽△ACD, ∴△ADE∽△ACD ∴共4对 故选:D. 5.如图,平面直角坐标系中O是原点,平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别(8,0)、(3,4),点D,E把线段OB三等分,延长CD、CE分别交OA、AB于点F,G,连接FG.则下列结论: ①F是OA的中点;②△OFD与△BEG相似;③四边形DEGF的面积是;④OD=.正确的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【解答】解:①∵四边形OABC是平行四边形, ∴BC∥OA,BC=OA, ∴△CDB∽△FDO, ∵D、E为OB的三等分点, ∴==2, ∴=2, ∴BC=2OF, ∴OA=2OF, ∴F是OA的中点; 所以①结论正确; ②如图2,延长BC交y轴于H, 由C(3,4)知:OH=4,CH=3, ∴OC=5, ∴AB=OC=5, ∵A(8,0), ∴OA=8, ∴OA≠AB, ∴∠AOB≠∠EBG, ∴△OFD∽△BEG不成立, 所以②结论不正确; ③由①知:F为OA的中点, 同理得;G是AB的中点, ∴FG是△OAB的中位线, ∴FG=OB,FG∥OB, ∵OB=3DE, ∴FG=DE, 过C作CQ⊥AB于Q,如图3. S▱OABC=OA•OH=AB•CQ, ∴4×8=5CQ, ∴CQ=, S△OCF=OF•OH=×4×4=8, S△CGB=BG•CQ=××=8, S△AFG=×4×2=4, ∴S△CFG=S▱OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG=8×4﹣8﹣8﹣4=12, ∵DE∥FG, ∴△CDE∽△CFG, ∴=()2=, ∴S四边形DEGF=S△CFG=; 所以③结论正确; ④在Rt△OHB中,由勾股定理得:OB2=BH2+OH2, ∴OB==, ∴OD=, 所以④结论不正确; 本题结论正确的有:①③. 故选:C. 6.如图,点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点,过点P分别作PE⊥BC于点E,PF⊥DC于点F,连接AP并延长,交射线BC于点H,交射线DC于点M,连接EF交AH于点G,当点P在BD上运动时(不包括B、D两点),以下结论中:①MF=MC;②AH⊥EF;③AP2=PM•PH;④EF的最小值是.其中正确结论是( ) A.①③ B.②③ C.②③④ D.②④ 【解答】解:①错误.因为当点P与BD中点重合时,CM=0,显然FM≠CM; ②正确.连接PC交EF于O.根据对称性可知∠DAP=∠DCP, ∵四边形PECF是矩形, ∴OF=OC, ∴∠OCF=∠OFC, ∴∠OFC=∠DAP, ∵∠DAP+∠AMD=90°, ∴∠GFM+∠AMD=90°, ∴∠FGM=90°, ∴AH⊥EF. ③正确.∵AD∥BH, ∴∠DAP=∠H, ∵∠DAP=∠PCM, ∴∠PCM=∠H, ∵∠CPM=∠HPC, ∴△CPM∽△HPC, ∴PC2=PM•PH, 根据对称性可知:PA=PC, ∴PA2=PM•PH. ④正错误.∵四边形PECF是矩形, ∴EF=PC, ∴当CP⊥BD时,PC的值最小,此时A、P、C共线, ∵AC=2, ∴PC的最小值为1, ∴EF的最小值为1; 故选:B. 7.如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,M是BC边上的动点(点M不与B,C重合),CN⊥DM,CN与AB交于点N,连接OM,ON,MN.下列五个结论:①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN∽△OAD;④AN2+CM2=MN2;⑤若AB=2,则S△OMN的最小值是,其中正确结论的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解答】解:∵正方形ABCD中,CD=BC,∠BCD=90°, ∴∠BCN+∠DCN=90°, 又∵CN⊥DM, ∴∠CDM+∠DCN=90°, ∴∠BCN=∠CDM, 又∵∠CBN=∠DCM=90°, ∴△CNB≌△DMC(ASA),故①正确; 根据△CNB≌△DMC,可得CM=BN, 又∵∠OCM=∠OBN=45°,OC=OB, ∴△OCM≌△OBN(SAS), ∴OM=ON,∠COM=∠BON, ∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN,即∠DOM=∠CON, 又∵DO=CO, ∴△CON≌△DOM(SAS),故②正确; ∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°, ∴∠MON=90°,即△MON是等腰直角三角形, 又∵△AOD是等腰直角三角形, ∴△OMN∽△OAD,故③正确; ∵AB=BC,CM=BN, ∴BM=AN, 又∵Rt△BMN中,BM2+BN2=MN2, ∴AN2+CM2=MN2,故④正确; ∵△OCM≌△OBN, ∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1,即四边形BMON的面积是定值1, ∴当△MNB的面积最大时,△MNO的面积最小, 设BN=x=CM,则BM=2﹣x, ∴△MNB的面积=x(2﹣x)=﹣x2+x, ∴当x=1时,△MNB的面积有最大值, 此时S△OMN的最小值是1﹣=,故⑤正确; 综上所述,正确结论的个数是5个, 故选:D. 8.如图,△ABC中,D、E是BC边上的点,BD:DE:EC=3:2:1,M在AC边上,CM:MA=1:2,BM交AD,AE于H,G,则BH:HG:GM等于( ) A.3:2:1 B.5:3:1 C.25:12:5 D.51:24:10 【解答】解:连接EM, CE:CD=CM:CA=1:3 ∴EM平行于AD ∴△BHD∽△BME,△CEM∽△CDA ∴HD:ME=BD:BE=3:5,ME:AD=CM:AC=1:3 ∴AH=(3﹣)ME, ∴AH:ME=12:5 ∴HG:GM=AH:EM=12:5 设GM=5k,GH=12k, ∵BH:HM=3:2=BH:17k ∴BH=K, ∴BH:HG:GM=k:12k:5k=51:24:10 故选:D. 9.如图,矩形纸片ABCD中,G、F分别为AD、BC的中点,将纸片折叠,使D点落在GF上,得到△HAE,再过H点折叠纸片,使B点落在直线AB上,折痕为PQ.连接AF、EF,已知HE=HF,下列结论:①△MEH为等边三角形;②AE⊥EF;③△PHE∽△HAE;④=,其中正确的结论是( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【解答】解:∵矩形纸片ABCD中,G、F分别为AD、BC的中点, ∴GF⊥AD, 由折叠可得,AH=AD=2AG,∠AHE=∠D=90°, ∴∠AHG=30°,∠EHM=90°﹣30°=60°, ∴∠HAG=60°=∠AED=∠MEH, ∴△EHM中,∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH, ∴△MEH为等边三角形,故①正确; ∵∠EHM=60°,HE=HF, ∴∠HEF=30°, ∴∠FEM=60°+30°=90°,即AE⊥EF,故②正确; ∵∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA,∠EPH=∠EHA=90°, ∴△PHE∽△HAE,故③正确; 设AD=2=AH,则AG=1, ∴Rt△AGH中,GH=AG=, Rt△AEH中,EH===HF, ∴GF==AB, ∴==,故④正确, 综上所述,正确的结论是①②③④, 故选:D. 10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,P是BC边上不同于B,C的一动点,过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,连接AP.若AC=3,BC=4,则△AQP的面积的最大值是( ) A. B. C. D. 【解答】解:设BP=x(0<x<4),由勾股定理得 AB=5, ∵∠PQB=∠C=90°,∠B=∠B, ∴△PBQ∽△ABC, ∴==,即 == ∴PQ=x,QB=x S△APQ=PQ×AQ=+x= ∴当x=时,△APQ的面积最大,最大值是. 故选:C. 11.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,如果S△ACD:S△ABC=1:2,那么S△AOD:S△BOC是( ) A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:6 【解答】解:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,而且S△ACD:S△ABC=1:2, ∴AD:BC=1:2; ∵AD∥BC, ∴△AOD~△BOC, ∵AD:BC=1:2, ∴S△AOD:S△BOC=1:4. 故选:B. 12.在△ABC与△A′B′C′中,有下列条件:(1),(2);(3)∠A=∠A′;(4)∠C=∠C′,如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有( ) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【解答】解:共有3组,其组合分别是(1)和(2)三边对应成比例的两个三角形相似; (2)和(4)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似; (3)和(4)两角对应相等的两个三角形相似. 故选:C. 13.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论中结论正确的有( ) ①EG=DF; ②∠AEH+∠ADH=180°; ③△EHF≌△DHC; ④若=,则S△EDH=13S△CFH. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解答】解:①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD, ∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°, ∴△CFG为等腰直角三角形, ∴GF=FC, ∵EG=EF﹣GF,DF=CD﹣FC, ∴EG=DF, 故①正确; ②∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点, ∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD, 在△EHF和△DHC中, ∴△EHF≌△DHC(SAS), ∴∠HEF=∠HDC, ∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°, 故②正确; ③由②知:△EHF≌△DHC, 故③正确; ∴AE=2BE, ∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点, ∴FH=GH,∠FHG=90°, ∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD, 在△EGH和△DFH中, ∴△EGH≌△DFH(SAS), ∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°, ∴△EHD为等腰直角三角形, 过H点作HM垂直于CD于M点,如图所示: 设HM=x,则CF=2x, ∴DF=2FC=4x, ∴DM=5x,DH=x,CD=6x, 则S△CFH=×HM×CF=•x•2x=x2,S△EDH=×DH2=×=13x2, ∴则S△EDH=13S△CFH,故④正确; 其中结论正确的有:①②③④,4个; 故选:D. 14.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC 分别交于点G,F,H为CG的中点,连结DE、EH、DH、FH.下列结论:①EG=DF;②△EHF≌△DHC;③∠AEH+∠ADH=180°;④若=,则 =.其中结论正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解答】解:①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD, ∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°, ∴△CFG为等腰直角三角形, ∴GF=FC, ∵EG=EF﹣GF,DF=CD﹣FC, ∴EG=DF,故①正确; ②∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点, ∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD, 在△EHF和△DHC中, ∴△EHF≌△DHC(SAS),故②正确; ③∵△EHF≌△DHC(已证), ∴∠HEF=∠HDC, ∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°,故③正确; ∴AE=2BE, ∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点, ∴FH=GH,∠FHG=90°, ∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD, 在△EGH和△DFH中, ∴△EGH≌△DFH(SAS), ∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°, ∴△EHD为等腰直角三角形, 如图,过H点作HM⊥CD于M,[来源:学&科&网] 设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x, 则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2, ∴3S△EDH=13S△DHC,故④正确; 故选:D. 二.填空题(共5小题) 15.大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”,如图,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为10cm,那么PB的长度为 (15﹣5) cm. 【解答】解:∵P为AB的黄金分割点(AP>PB), ∴AP=AB=×10=5﹣5, ∴PB=AB﹣PA=10﹣(5﹣5)=(15﹣5)cm. 故答案为(15﹣5). 16.如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论:①△DFP~△BPH;②==;③PD2=PH•CD;④=,其中正确的是 ①②③ (写出所有正确结论的序号). 【解答】解:∵PC=CD,∠PCD=30°, ∴∠PDC=75°, ∴∠FDP=15°, ∵∠DBA=45°, ∴∠PBD=15°, ∴∠FDP=∠PBD, ∵∠DFP=∠BPC=60°, ∴△DFP∽△BPH,故①正确; ∵∠DCF=90°﹣60°=30°, ∴tan∠DCF==, ∵△DFP∽△BPH, ∵BP=CP=CD, ∴==,故②正确; ∵PC=DC,∠DCP=30°, ∴∠CDP=75°, 又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°, ∴∠DHP=∠CDP,而∠DPH=∠CPD, ∴△DPH∽△CPD, ∴,即PD2=PH•CP, 又∵CP=CD, ∴PD2=PH•CD,故③正确; 如图,过P作PM⊥CD,PN⊥BC, 设正方形ABCD的边长是4,△BPC为正三角形,则正方形ABCD的面积为16, ∴∠PBC=∠PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4, ∴∠PCD=30° ∴PN=PB•sin60°=4×=2,PM=PC•sin30°=2, ∵S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD =×4×2+×2×4﹣×4×4 =4+4﹣8 =4﹣4, ∴=,故④错误; 故答案为:①②③. 17.如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F,BE与DF交于点O.若△ADE的面积为4,则四边形BOGC的面积= 7 . 【解答】解:∵点D、E分别是边AB、AC的中点, ∴DE∥BC,DE=BC, ∴△ADE∽△ABC, ∵△ADE的面积为4, ∴S△ABC=16, ∵DE∥BC, ∴△ODE∽△OFB,∠EDG=∠F,∠DEG=∠GCF, 又EG=CG, ∴△DEG≌△FCG(AAS), ∴DE=CF, ∴BF=3DE, ∵DE∥BC, ∴△ODE∽△OFB, ∵AD=BD, ∴S△BDE=S△ADE=4, ∵AE=CE=2EG, ∴S△DEG=S△ADE=×4=2, ∴S△ODE=S△BDE=×4=1, ∴S△OEG=S△DEG﹣S△ODE=×4=1, ∵S四边形DBCE=S△ABC﹣S△ADE=3×4=12, ∴S四边形OBCG=S四边形DBCE﹣S△BDE﹣S△OEG=7. 故答案为:7. 18.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,BC=6,E为BC中点,F是AB上一点,G为AD上一点,且BF=2,∠FEG=60°,EG交AC于点H,下列结论正确的是 ①②③ .(填序号即可) ①△BEF∽△CHE ②AG=1 ③EH= ④S△BEF=3S△AGH 【解答】解:∵菱形ABCD中,∠B=60°,∠FEG=60°, ∴∠B=∠ECH=60°,∠BEF=CHE=120°﹣∠CEH, ∴△BEF∽△CHE,故①正确; 又∵BC=6,E为BC中点,BF=2, ∴,即CH=4.5, 又∵AC=BC=6, ∴AH=1.5, ∵AG∥CE, ∴△AGH∽△CEH, ∴AG=CE=1,故②正确; 如图,过F作FP⊥BC于P,则∠BFP=30°,[来源:学&科&网Z&X&X&K] ∴BP=BF=1,PE=3﹣1=2,PF=, ∴Rt△EFP中,EF==, 又∵, ∴EH=EF=,故③正确; ∵AG=CE,BF=CE,△△BEF∽△CHE,△AGH∽△CEH, ∴S△CEH=9S△AGH,S△CEH=S△BEF, ∴9S△AGH=S△BEF, ∴S△BEF=4S△AGH,故④错误; 故答案为:①②③. 19.已知菱形A1B1C1D1的边长为2,∠A1B1C1=60°,对角线A1C1、B1D1相交于点O,以点O为坐标原点,分别以OB1,OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系,以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2,再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2,…,按此规律继续作下去,在y轴的正半轴上得到点A1,A2,A3,…,An,则点A2019的坐标为 (0,32019) 【解答】解:∵菱形A1B1C1D1的边长为2,∠A1B1C1=60°, ∴OA1=A1B1•sin30°=2×=1,OB1=A1B1•cos30°=2×=, ∴A1(0,1). ∵1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1, ∴OA2===3, ∴A2(0,3). 同理可得A3(0,9)… ∴A2019(0,32019). 故答案为:(0,32019). 三.解答题(共7小题) 20.如图,在△ABC中,点D在边BC上,联结AD,∠ADB=∠CDE,DE交边AC于点E,DE交BA延长线于点F,且AD2=DE•DF. (1)求证:△BFD∽△CAD; (2)求证:BF•DE=AB•AD. 【解答】证明:(1)∵AD2=DE•DF, ∵∠ADF=∠EDA, ∴△ADF∽△EDA, ∴∠F=∠DAE, 又∵∠ADB=∠CDE, ∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF, 即∠BDF=∠CDA, ∴△BFD∽△CAD; (2)∵△BFD∽△CAD, ∵△BFD∽△CAD, ∴∠B=∠C, ∴AB=AC, ∴BF•DE=AB•AD. 21.已知四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC平分∠DAB,过点C作CE⊥AB于点E,点F为AB上一点,且EF=EB,连结DF. (1)求证:CD=CF; (2)连结DF,交AC于点G,求证:△DGC∽△ADC; (3)若点H为线段DG上一点,连结AH,若∠ADC=2∠HAG,AD=3,DC=2,求的值. 【解答】(1)证明:∵AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠BAC, 在△ADC和△ABC中 ∴△ADC≌△ABC, ∴CD=CB, ∵CE⊥AB,EF=EB, ∴CF=CB, ∴CD=CF; (2)解:∵△ADC≌△ABC, ∴∠ADC=∠B, ∵CF=CB, ∴∠CFB=∠B, ∴∠ADC=∠CFB, ∴∠ADC+∠AFC=180°, ∵四边形AFCD的内角和等于360°, ∴∠DCF+∠DAF=180°, ∵CD=CF, ∴∠CDG=∠CFD, ∵∠DCF+∠CDF+∠CFD=180°, ∴∠DAF=∠CDF+∠CFD=2∠CDG, ∵∠DAB=2∠DAC, ∴∠CDG=∠DAC, ∵∠DCG=∠ACD, ∴△DGC∽△ADC; (3)解:∵△DGC∽△ADC, ∴∠DGC=∠ADC, =, ∵∠ADC=2∠HAG,AD=3,DC=2, ∴∠HAG=∠DGC, =, ∴∠HAG=∠AHG, =, ∴HG=AG, ∵∠GDC=∠DAC=∠FAG,∠DGC=∠AGF, ∴△DGC∞△AGF, 22.如图①,OP为一墙面,它与地面OQ垂直,有一根木棒AB如图放置,点C是它的中点,现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动,点B由O点向OQ方向滑动,直到AB横放在地面为止. (1)在AB滑动过程中,点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述( ) (2)若木棒长度为2m,如图②射线OM与地面夹角∠MOQ=60°,当AB滑动过程中,与OM并于点D,分别求出当AD=、AD=1、AD=时,OD的值. (3)如图③,是一个城市下水道,下水道入口宽40cm,下水道水平段高度为40cm,现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作,那么这根木棒最长可以是 113 (cm)(直接写出结果,结果四舍五入取整数). 【解答】解:(1)∵点C是AB的中点, ∴OC=AB, ∴点C的运动轨迹是以O为圆心, AB长为半径的圆弧,经过的路程的圆周. 故选甲. (2)过D作DH⊥OP于H,设DH=a,在Rt△OHD中, ∵∠AOD=90°﹣600=300, ∴OD=2a,OH=a, ∵DH⊥OA,OQ⊥OA, ∴DH∥QO, 当AD=时,BD=, ∴AH=a, 在Rt△AHD中, ∵AH2+DH2=AD2, ∴a2+a2=, 解得a=,OD=, 当AD=1时,BD=1, ∴AH=a, 在Rt△AHD中,∵AH2+DH2=AD2, ∴3a2+a2=1, 解得a=,OD=1, 当AD=时,BD=, ∴AH=2a, 在Rt△AHD中,∵AH2+DH2=AD2, ∴12a2+a2=, 解得a=,OD=. (3)由题意当等腰直角三角形的直角边为80cm时,斜边为≈113cm, 所以这根木棒最长可以是113cm. 故答案为113cm. 23.如图,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°,点P为线段BE延长线上一点,连接CP,以CP为直角边向下作等腰直角△CPD,线段BE与CD相交于点F. (1)求证: =; (2)连接BD,请你判断AC与BD有什么位置关系?并说明理由. 【解答】(1)证明:∵,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°, ∴∠ECB=∠PCD=45°,∠CEB=∠CPD=90°, ∴△BCE∽△DCP, (2)AC∥BD, 理由:∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°, ∴∠PCE=∠BCD, ∴△PCE∽△DCB, ∴∠CBD=∠CEP=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠CBD, ∴AC∥BD. 24.如图(1),P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点. (1)如果点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°. ①求证:△ABP∽△BCP; ②若PA=3,PC=4,则PB= 2 . (2)已知锐角△ABC,分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD 相交于P点.如图(2) ①求∠CPD的度数; ②求证:P点为△ABC的费马点. 【解答】(1)证明:①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°,∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°, ∴∠PAB=∠PBC, 又∵∠APB=∠BPC=120°, ∴△ABP∽△BCP, ②解:∵△ABP∽△BCP, ∴PB2=PA•PC=12, ∴PB=2; 故答案为:2; (2)解:①∵△ABE与△ACD都为等边三角形, ∴∠BAE=∠CAD=60°,AE=AB,AC=AD, ∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD, 在△ACE和△ABD中, ∴△ACE≌△ABD(SAS), ∴∠1=∠2, ∵∠3=∠4, ∴∠CPD=∠6=∠5=60°; ②证明:∵△ADF∽△CFP, ∴AF•PF=DF•CF, ∵∠AFP=∠CFD, ∴△AFP∽△CDF. ∴∠APF=∠ACD=60°, ∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°, ∴∠BPC=120°, ∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°, ∴P点为△ABC的费马点. 25.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣1,2),B(﹣3,4),C(﹣2,6). (1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1; (2)以原点O为位似中心,在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2,并写出A2、B2、C2的坐标. 【解答】解:(1)如图,△A1B1C1为所求; (2)如图,△A2B2C2为所作,点A2、B2、C2的坐标分别为(﹣2,4),B(2,8),C(6,6). 26.在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,点F为对角线BD上的一点,且EF⊥AB. (1)若四边形ABCD为正方形. ①如图1,请直接写出AE与DF的数量关系 DF=AE ; ②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置,连接AE,DF,猜想AE与DF的数量关系并说明理由. (2)若四边形ABCD为矩形,BC=mAB,其他条件都不变. ①如图3,猜想AE与DF的数量关系并说明理由; ②将△EBF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E′BF′,连接AE′,DF′,请在图4中画出草图,并直接写出AE′和DF′的数量关系. 【解答】解:(1)①∵四边形ABCD为正方形, ∴△ABD为等腰直角三角形, ∴BD=AB, ∵EF⊥AB, ∴△BEF为等腰直角三角形, BF=BE, ∴BD﹣BF=AB﹣BE, 即DF=AE, 故答案为:DF=AE; ②DF=AE.理由如下: ∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置, ∴∠ABE=∠DBF, ∴△ABE∽△DBF, 即AE与DF的数量关系是:DF=AE; (2)①AE与DF的数量关系是:DF=AE; 理由:在图3中,作FM⊥AD,垂足为M. ∵∠A=∠AEF=∠AMF=90°, ∴四边形AEFM是矩形, ∴FM=AE, ∵AD=BC=mAB, ∴Rt△ABD中,BD==AB, ∵MF∥AB, ∴△DMF∽△ABD, ∴DF=MF=AE; ②AE′和DF′的数量关系:DF'=AE'. 如图3,∵四边形ABCD为矩形, ∴AD=BC=mAB, ∴BD==AB, ∵EF⊥AB, ∴EF∥AD, ∴△BEF∽△BAD, 如图4,∵△EBF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E'BF', ∴∠ABE′=∠DBF′,BE′=BE,BF′=BF, ∴△ABE′∽△DBF′, 即DF′=AE′.查看更多