2017数学中考专题 6 线段最值问题

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2017数学中考专题 6 线段最值问题

几何中的最值问题 几何中最值问题包括:“面积最值”及“线段(和、差)最值”.‎ ‎ 求面积的最值,需要将面积表达成函数,借助函数性质结合取值范围求解;‎ ‎ 求线段及线段和、差的最值,需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.‎ 常用定理:‎ ‎1、两点之间,线段最短(已知两个定点时)‎ ‎2、垂线段最短(已知一个定点、一条定直线时)‎ ‎3、三角形三边关系(已知两边长固定或其和、差固定时)‎ ‎ ‎ PA+PB最小,需转化,使点在线异侧 |PA-PB|最大,需转化,使点在线同侧 4、 圆外一点P与圆心的连线所成的直线与圆的两个交点,离P最近的点即为P到圆的最近距离,离P最远的点即为P到圆的最远距离 类型一 线段和最小值 1. 如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm.‎ ‎ ‎ ‎ 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2. 如图,点P是∠AOB内一定点,点M、N分别在边OA、OB上运动,若∠AOB=45°,OP=3,则△PMN周长的最小值为 . ‎ 3. 如图,正方形ABCD的边长是4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P,Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值为 .‎ 4. 如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为 .‎ 5. 如图,当四边形PABN的周长最小时,a = .‎ 1. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点. 若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,则点F的坐标为 .‎ ‎ ‎ ‎ 第5题图 第6题图 第7题图 变式加深:‎ ‎7、如图,正方形ABCD边长为2,当点A在x轴上运动时,点D随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为()‎ A. B. C. D. ‎ 第8题图 第9题图 第10题图 ‎8、如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为 ‎ ‎9、如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG与点H。若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 ‎ ‎10、如图,点P在第一象限,△ABP是边长为2的等边三角形,当点A在x轴的正半轴上运动时,点B随之在y轴的正半轴上运动,运动过程中,点P到原点的最大距离是________.若将△ABP中边PA的长度改为,另两边长度不变,则点P到原点的最大距离变为_________.‎ 类型二 线段差最大值 ‎1、如图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN上运动,则的最大值等于 . ‎ ‎ ‎ 第1题图 第2题图 第3题图 ‎ 2、点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标系如图所 示.若P是x轴上使得的值最大的点,Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点,则= .‎ ‎3、如图所示,已知A(1/2,y1),B(2,y2)为反比例函数y=1/x图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是 . ‎ ‎4、如下图,一次函数y1=kx-2与反比例函数y2=m/x(m < 0)的图象交于A,B两点,其中点A的坐标为(-6,2)‎ ‎(1)求m,k的值;‎ ‎(2)点P为y轴上的一个动点,当点P在什么位置时|PA-PB|‎ 的值最大?并求出最大值.‎ 核心:画曲为直 ‎5、已知如图,圆锥的底面圆的半径为1,母线长OA为2,C为母线OB的中点.在圆锥的侧面上,一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短线路长为 .‎ ‎6、如图,圆柱底面半径为,高为,点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A、B在同一母线上,用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B,求棉线最短为 。‎ ‎7、在锐角三角形ABC中,BC=,∠ABC=45°,BD平分∠ABC,M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是 ‎ O C B A ‎ ‎ 第5题图 第6题图 第7题图 ‎ 类型三 线段最值 ‎1、已知⊙O是以原点为圆心,为半径的圆,点P是直线上的一点,过点P作⊙‎ O的一条切线PQ,Q为切点,则切线长PQ的最小值为________ ‎ ‎2、在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx-3k+4与圆O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为______________.‎ 第3题图 第4题图 第5题图 ‎3、如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为_________.‎ ‎4、如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD,则CD长度的最小值为 .‎ ‎5、如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4,M、N两点分别是边AB、AC上的动点,将△AMN沿MN翻折,A点的对应点为A′,连接BA′,则BA′的最小值是_________.‎ 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 ‎6、如图,一副三角板拼在一起,O为AD的中点,AB=a.将△ABO沿BO对折于△A′BO,点M为BC上一动点,则A′M的最小值为 ‎ ‎7、如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,P、Q两点分别是边AC、BC上的动点,将△PCQ沿PQ翻折,C点的对应点为,连接A,则A的最小值是_________‎ ‎8、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是 .‎ ‎9、如图,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P为边AB上一动点,且PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,则线段EF长度的最小值是_____‎ ‎10、如图,正方形ABCD边长为2,当点A在x轴上运动时,点D随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为_______‎ 第10题图 第11题图 第11题备用图 ‎11、如图,直角梯形纸片ABCD,AD⊥AB,AB=8,AD=CD=4,点E、F分别在线段AB、AD上,将△AEF沿EF翻折,点A的落点记为P.‎ ‎(1)当P落在线段CD上时,PD的取值范围为 ; (2)当P落在直角梯形ABCD内部时,PD的最小值等于 . ‎ 类型四 圆外点和圆的最值 ‎1、动手操作:在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则点A′在BC边上可移动的最大距离为 .‎ 第1题图 第2题图 ‎2、如图,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点,则PE+PF的最小值是 .‎ ‎3、在平面直角坐标系中,对于任意两点与的“非常距离”,给出如下定义:‎ 若,则点与点的“非常距离”为;‎ 若,则点与点的“非常距离”为.‎ 例如:点,点,因为,所以点与点的“非常距离”为,也就是图1中线段与线段长度的较大值(点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点).‎ ‎1)已知点,为轴上的一个动点,‎ ‎①若点与点的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点的坐标;‎ ‎②直接写出点与点的“非常距离”的最小值;‎ ‎(2)已知是直线上的一个动点,‎ ‎①如图2,点的坐标是(0,1),求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标;‎ ‎②如图3,是以原点为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点和点的坐标 ‎4、在平面直角坐标系中,已知抛物线(为常数)的顶点为,等腰直角三角形的定点的坐标为,的坐标为,直角顶点在第四象限.‎ ‎(1)如图,若该抛物线过 ,两点,求该抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)平移(1)中的抛物线,使顶点在直线上滑动,且与交于另一点.‎ i)若点在直线下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点的坐标;‎ ii)取的中点,连接.试探究是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由.‎
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