2020届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第十一单元 解直角三角形 第35课时 解直角三角形

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2020届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第十一单元 解直角三角形 第35课时 解直角三角形

第35课时 解直角三角形 ‎(60分)‎ 图35-1‎ 一、选择题(每题6分,共24分)‎ ‎1.[2016·长沙]如图35-1,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端‎30 m的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为 (C)‎ A. m B.30sinα m C.30tanα m D.30cosα m 图35-2‎ ‎2.[2016·南充]如图35-2,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向,距离灯塔为2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,海轮航行的距离AB长是 (C)‎ A.2海里 B.2sin55°海里 C.2cos55°海里 D.2tan55°海里 ‎【解析】 根据余弦函数定义“cosA=”得AB=PA×cosA=2cos55°.故选C.‎ 图35-3‎ ‎3.[2016·济宁]如图35-3,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2,AC=‎3 m,坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连,若AB=‎10 m,则旗杆BC的高度为 (A)‎ A.‎5 m B.‎6 m C.‎8 m D.(3+)m ‎【解析】 设CD=x,则AD=2x,‎ 由勾股定理可得,AC=x,∵AC=‎3 m,∴x=3,‎ ‎∴x=‎3 m,∴CD=‎3 m,∴AD=2×3=‎6 m,‎ 在Rt△ABD中,BD=‎8 m,∴BC=8-3=‎5 m.‎ 图35-4‎ ‎4.[2016·衡阳]如图35-4,为了测得电视塔的高度AB,在D处用高为‎1 m的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30°,‎ 6‎ 再向电视塔方向前进‎100 m到达F处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°,则这个电视塔的高度AB(单位:m)为 (C)‎ A.50 B.51‎ C.50+1 D.101‎ ‎【解析】 由矩形CDFE,得DF=CE=‎100 m,由矩形EFBG,得CD=GB=‎1 m,因为∠ACE=30°,∠AEG=60°,所以∠CAE=30°,所以CE=AE=‎100 m.在Rt△AEG中,AG=sin60°·AE=×100=‎50 m,所以AB=50+1.故选C.‎ 二、填空题(每题6分,共18分)‎ 图35-51‎ ‎5.[2016·邵阳]如图35-5,某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B,如果AB=2 ‎000 m,则他实际上升了__1__000__m.‎ 第5题答图 ‎【解析】 图35-5过点B作BC⊥水平面于点C,‎ 在Rt△ABC中,‎ ‎∵AB=2 ‎000 m,∠A=30°,‎ ‎∴BC=AB·sin30°=2 000×=1 000(m).‎ 图35-6‎ ‎6.[2016·宁波]如图35-6,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°,测得旗杆顶端A的仰角为30°,若旗杆与教学楼的距离为‎9 m,则旗杆AB的高度是__9+3__m.(结果保留根号)‎ ‎【解析】 在Rt△ACD中,‎ ‎∵tan∠ACD=,‎ ‎∴tan30°=,‎ ‎∴AD=‎3 m,‎ 在Rt△BCD中,∵∠BCD=45°,∴BD=CD=‎9 m,‎ ‎∴AB=AD+BD=3+9(m).‎ 图35-7‎ ‎7.[2016·潍坊]观光塔是潍坊市区的标志性建筑,为测量其高度,如图35-7,一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°,然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D 6‎ 处的俯角是30°.已知楼房高AB约是‎45 m,根据以上观测数据可求观光塔的高CD是__135__m.‎ ‎【解析】 ∵爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°,‎ ‎∴∠ADB=30°,‎ 在Rt△ABD中,tan30°=,‎ ‎∴=,∴AD=45,‎ ‎∵在楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°,‎ ‎∴在Rt△ACD中,‎ CD=AD·tan60°=45×=135(m).‎ 三、解答题(共20分)‎ ‎8.(10分)[2016·台州]如图35-8,这是一把可调节座椅的侧面示意图,已知枕头上的点A到调节器点O处的距离为‎80 cm,AO与地面垂直.现调节靠背,把OA绕点O旋转35°到OA′处.求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米?(结果取整数)‎ ‎(参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70)‎ 图35-8‎ ‎   ‎ 第8题答图 解:如答图,过点A′作A′B⊥AO,交AO于B点,在Rt△A′BO中 cos35°=,OB=OA′·cos35°=80×0.82=65.6≈66,‎ ‎∴AB=80-66=‎14 cm,‎ 答:降低了‎14 cm.‎ ‎9.(10分)[2016·遂宁]如图35-9,一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高,在河岸边选择一点C,从C处测得树梢A的仰角为45°,沿BC方向后退‎10 m到点D,再次测得点A的仰角为30°,求树高.(结果精确到‎0.1 m.参考数据:≈‎ 6‎ ‎1.414,≈1.732)‎ 图35-9‎ 解:由题意,∠B=90°,∠D=30°,∠ACB=45°,DC=‎10 m,‎ 设CB=x,则AB=x,DB=x,‎ ‎∵DC=‎10 m,‎ ‎∴x=x+10,‎ ‎∴(-1)x=10,‎ 解得x==5+5≈5×1.732+5≈13.7.‎ 答:树高为‎13.7 m.‎ ‎(24分)‎ ‎10.(12分)[2016·成都]如图35-10,登山缆车从点A出发,途经点B后到达终点C,其中AB段与BC段的运行路程均为‎200 m,且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°,BC段的运行路线与水平面的夹角为42°,求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离.(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)‎ 图35-10‎ 解:在直角△ADB中,‎ ‎∵∠ADB=90°,∠BAD=30°,AB=‎200 m,‎ ‎∴BD=AB=‎100 m,‎ 在直角△CEB中,‎ ‎∵∠CEB=90°,∠CBE=42°,CB=‎200 m,‎ ‎∴CE=BC·sin42°≈200×0.67=‎134 m,‎ ‎∴BD+CE≈100+134=‎234 m.‎ 6‎ 答:缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为‎234 m.‎ ‎11.(12分)[2016·泰州]如图35-11,某仓储中心有一斜坡AB,其坡度为i=1∶2,顶部A处的高AC为‎4 m,B,C在同一水平地面上.‎ ‎(1)求斜坡AB的水平宽度BC;‎ ‎(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图,其中DE=‎2.5 m,EF=‎2 m,将该货柜沿斜坡向上运送,当BF=‎3.5 m时,求点D离地面的高.(参考数据:≈2.236,结果精确到‎0.1 m)‎ 图35-11‎ ‎   ‎ 第11题答图 解:(1)∵坡度为i=1∶2,AC=‎4 m,‎ ‎∴BC=4×2=‎8 m;‎ ‎(2)作DS⊥BC,垂足为S,且与AB相交于H.‎ ‎∵∠DGH=∠BSH,∠DHG=∠BHS,‎ ‎∴∠GDH=∠SBH,‎ ‎∴=,‎ ‎∵DG=EF=‎2 m,∴GH=‎1 m,‎ ‎∴DH= m,BH=BF+FH=3.5+(2.5-1)=‎5 m,‎ 设HS=x m,则BS=2x m,‎ ‎∴x2+(2x)2=52,∴x= m,‎ ‎∴DS=+=2≈‎4.5 m.‎ ‎∴点D离地面的高为‎4.5 m.‎ ‎(14分)‎ 图35-12‎ ‎12.(14分)[2017·泸州]如图35-12,海中有两个灯塔A,B,其中B位于A的正东方向上,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点C 6‎ 处测得灯塔A在西北方向上,灯塔B在北偏东30°方向上,渔船不改变航向继 续向东航行‎30海里到达点D,这时测得灯塔A在北偏西60°方向上,求灯塔A,B间的距离.(计算结果用根号表示,不取近似值)‎ 第12题答图 解:如答图,作CE⊥AB于点E,AF⊥CD于点F,‎ ‎∴∠AFC=∠AEC=90°.‎ ‎∵∠FCE=90°,∠ACE=45°,‎ ‎∴四边形AFCE是正方形.‎ 设AF=FC=CE=AE=x,则FD=x+30,‎ ‎∵tanD=,∠AFD=90°,∠D=30°,‎ ‎∴=,解得x=15+15,‎ ‎∴AE=CE=15+15.‎ ‎∵tan∠BCE=,∠CEB=90°,∠BCE=30°,‎ ‎∴=,解得BE=15+5.‎ ‎∴AB=AE+BE=15+15+15+5=20+30.‎ ‎∴A,B间的距离为(20+30)海里.‎ 6‎
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