中考总复习 圆

中考总复习 圆

北京市西城区重点中学2016年3月初三数学中考复习 ‎《圆》复习建议讲义及练习 一、2016年中考说明 考试内容 考试要求 A B C 图形与几何 图 形 的 性 质 圆的有关概念 理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念 能利用圆的有关概念解决有关简单问题 圆的有关性质 了解弧、弦、圆心角的关系，理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系 能利用垂径定理解决有关简单问题；能利用圆周角定理及其推论解决有关简单问题 运用圆的性质的有关内容解决有关问题 点和圆的位置关系 了解点与圆的位置关系 尺规作图（利用基本作图完成）：过不在同一直线上的三点作圆；能利用点和圆的位置关系解决有关简单问题 直线与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；会判断直线和圆的位置关系；理解切线与过切点的半径之间的关系；会用三角尺过圆上一点画圆的切线 掌握切线的概念；能利用切线的判定和性质解决有关简单问题；能利用直线与圆的位置关系解决简单问题；能利用切线长定理解决有关简单问题 运用圆的切线的有关内容解决有关问题 多边形和圆 了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；了解三角形外心的概念；知道三角形的内切圆；了解三角形的内心；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系 能利用圆内接四边形的对角互补解决有关简单问题；能利用正多边形解决有关简单问题；尺规作图（利用基本作图完成）：作三角形外接圆、内切圆，作圆的内接正方形和正六边形 弧长、扇形面积和圆锥 会计算圆的弧长和扇形面积；‎ 会求圆锥的侧面积和全面积 能利用圆的弧长和扇形的面积解决一些简单的实际问题 二、复习建议 ‎1．依据考试说明的要求进行复习，重点知识重点复习、知识系统复习全面、非重点的A级知识点适当安排、不漏过，不随意拔高难度；B级的知识要落实到位；C级知识要达到灵活运用；‎ ‎2．培养学生的识图能力，从复杂的几何图形中拆分出常见的基本图形; ‎ ‎3．通过习题培养学生分析问题解决问题的能力。去模式化，重视能力的培养，重视数学思想方法的渗透；‎ ‎4. 重视学生思路的收集，关注学生的学习过程，给予有效的学习方法指导.‎ 三、课时安排 建议安排4-5课时左右 四、具体内容 基本概念复习 一、弧、弦、圆周角、圆心角 ‎1．圆的定义：‎ ‎（1）描述性定义：在平面内,线段OA绕它固定的一个端点O________，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其中,固定的端点O叫做______,线段OA叫做______，以O为圆心的圆，记作“_____”,读作“_____”.‎ ‎（2）集合性定义: 平面上到_________的距离等于定长r的_________是以O为______、以r为________的圆.‎ ‎（3）性质：同圆或________中,________________ ‎ ‎2．与圆有关的概念：‎ ‎（1）弦：连接圆上任意两点的__________叫做弦；__________的弦叫做直径.‎ ‎（2）弧：圆上_________________叫做圆弧，简称“弧”，用符号____表示，以A、B为端点的弧记作 __________,读作“__________‎ ‎ 弧的分类：‎ 半圆：圆的任意一条________的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆.‎ 优弧：______半圆的弧叫做优弧劣弧；_________半圆的弧叫做劣弧 ‎（3）等圆：能够__________的两个圆叫做等圆. ‎ 即：半径相等的圆是等圆；同圆或等圆的半径相等.‎ ‎（4）等弧：在_________________中，能够__________的弧叫做等弧．‎ ‎（5）同心圆：__________相同，__________不相等的圆叫做同心圆. ‎ ‎3．垂径定理_______________________________________________‎ 垂径定理的推论 “平分弦（_____________）的直径_____于弦，并且_________________ ‎ ‎4．弦、弦心距、弧、圆心角之间的关系 在____、____、_______中，一组量相等，可推出其余各组也相等。‎ ‎5．圆周角 ‎（1）概念：顶点在_______，两边都与圆_________的角叫做圆周角 ‎（2）_______________，同弧或_______所对的圆周角都等于_____________________。‎ ‎（3）_______________，同弧或_______所对的圆周角都__________。‎ ‎（4）直径所对的圆周角是________‎ ‎（5）圆内接四边形的性质①_________________;②外角等于__________________‎ 二、直线与圆的位置关系（切线的判定定理、性质定理、切线长定理）‎ ‎1．设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，则 ‎（1）直线L和⊙O相交________，如图（a）所示；‎ ‎（2）直线L和⊙O相切________，如图（b）所示；‎ ‎（3）直线L和⊙O相离________，如图（c）所示．‎ ‎2．切线的判定定理：经过________________且________________的直线是圆的切线.‎ ‎3．切线的性质定理：圆的切线________________________________.‎ ‎4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的________________，它们的____________相等，这一点和圆心的连线________________________.‎ ‎5．内切圆：________________________的圆叫做三角形的内切圆.‎ 内心：内切圆的圆心是________________________交点，叫做三角形的内心.‎ 常用基本图形：‎ 三、点与圆的位置关系 ‎ ‎1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，‎ 点P在圆外__________；点P在圆上__________；点P在圆内__________‎ ‎2．经过三角形的__________可以做一个圆,并且_______画一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．‎ 外接圆的圆心是三角形_________________的交点，叫做这个三角形的_______．‎ 三角形的外心就是三角形_________________的交点，它到________________的距离相等.‎ 四、正多边形和圆 ‎1、多边形的中心：一个正多边形的_________的圆心．‎ ‎2、正多边形的半径：_________的半径．‎ ‎3、正多边形的中心角：正多边形_________的圆心角．‎ ‎4、正多边形的边心距：中心到_________的距离．‎ 常用基本图形：‎ 五、弧长与扇形面积、圆锥的侧面展开图 ‎1.圆周长：C＝_________‎ ‎2.弧长：‎ ‎3.扇形面积：＝。‎ ‎4.圆锥的侧面积 ‎5.圆锥的全面积 弧、弦、圆心角、圆周角 例1．‎ ‎（1）.如图，AB为圆O的直径，弦CD^AB，垂足为点E，连结OC，‎ 若 OC=5，CD=8，则AE= .‎ ‎（2）. 如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，‎ OC=4，CD的长为（　　）‎ A. 2 B‎.4 C. 4 D.8‎ ‎（3）.如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（　　）‎ A. 25° B. 50° C. 60° D. 80°‎ ‎（4）.如图，的半径为1，是的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形为矩形，这个矩形的面积是_______________. ‎ ‎（5）已知⊙O的直径CD=‎10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=‎8cm，则AC的长为（ ）‎ ‎（6）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a 的值是（　 　）‎ A. 4 B. C. D. ‎ 例2.（西城总复习 P82例1）如图，在⊙O中，弦AB的中点为C，‎ 过点C的半径为OD.‎ ‎ （1）若AB=，OC=1，求CD的长；‎ ‎ （2）若半径OD=R，∠AOB=120°，求CD的长.‎ 例3.（西城总复习 P82例2）已知：如图，⊙O中，半径OA=4，‎ 弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC=60°，求弦BC的长.‎ 例4.如图，在坐标平面内，以点M（0，）为圆心，以2为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E点.‎ ‎ （1）求出CP所在直线的解析式；‎ ‎ （2）连接AC，求△ACP的面积. ‎ 例5．已知：P为等边△ABC外接圆弧BC上一点，‎ 求证：PA=PB+PC.‎ 练习：‎ 1. 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD=130°，‎ BC∥OD交⊙O于C，则∠A= ．‎ C H O F G E A B ‎2.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ．‎ ‎3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C.‎ ‎（1）求证：CB∥PD；‎ ‎（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．‎ 直线和圆的位置关系 例1.已知Rt△ABC的斜边AB＝‎8cm，AC＝‎4cm．‎ ‎ （1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？ ‎ ‎ （2）以点C为圆心，分别以‎2cm和‎4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？‎ 例2.（西城总复习 P82例3）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，‎ AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.‎ ‎ （1）求证：AC平分∠DAB；‎ ‎ （2）若∠B=60°，CD=2，求AE的长.‎ 例3.（西城总复习 P83例4）已知：如图，AB是⊙O的直径，‎ ‎∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于 点N，交BC延长线于E，直线CF交EN于F，且∠ECF=∠E. ‎ ‎ （1）求证：CF是⊙O的切线；‎ ‎ （2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.‎ 例4.（西城总复习 P84例5）如图，AB是⊙O的弦，D为半径 OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，‎ O 且CE=CB.‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数.‎ 例5.（西城总复习P84例6）已知：如图，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连结AC. ∠CPA的平分线PM交AC于点M. ‎ ‎ （1）若∠CAP=30°，求CP的长及∠CMP的度数；‎ ‎（2）若点P在AB的延长线上运动， 你认为∠CMP 的大小会是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，‎ 请求出∠CMP的值；‎ ‎（3）若点P在直径BA延长线上运动，PC切⊙O于点C，‎ 那么∠CMP的大小会是否发生变化？请直接写出你的结论.‎ 练习 ‎1. (11北京)如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．‎ ‎（1）求证：直线BF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．‎ ‎2. (12北京)已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交 的延长线于点，连结．‎ ‎（1）求证：与相切；‎ ‎（2）连结并延长交于点，若 ‎ ，求的长．‎ ‎3. (13北京)如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：∠EPD=∠EDO ‎（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长。[中国教育出&版*^#@网]‎ ‎4.（14北京）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线 BD交AC的延长线于点D，E 是OB的中点，CE的延长线交切线BD于 点F，AF交⊙O于点H，连接BH．‎ ‎（1）求证：AC=CD；‎ ‎（2）若OB=2，求BH的长．‎ ‎5.（15北京）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，‎ 弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交 BM于点E．‎ ‎(1）求证：△ACD是等边三角形；‎ ‎(2）连接OE，若DE=2，求OE的长．‎ ‎6.（15西城一模）如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接AD，DE．‎ ‎ （1）依题意补全图形；‎ ‎（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中 ‎ 与∠BED相等的角，并加以证明．‎ ‎7.（15西城二模）如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF 并延长交⊙O于点G，在CD的延长线上取一点P，使PF=PG．‎ ‎ （1）依题意补全图形，判断PG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎ （2）如图2，当E为半径OA的中点，DG∥AB，且时，求PG的长． ‎ 点和圆的位置关系 例1．已知：点P到⊙O最近的距离为3，最远的距离为11，则⊙O的半径为 . ‎ 例2．（西城总复习 P85例9）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点． （1）使∠APB=30°的点P有_____　个； （2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标； （3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．‎ 练习：（西城总复习P89，21，北京2013）‎ 对于平面直角坐标系O中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得 ‎∠APB=60°,则称P为⊙C的关联点.已知点 D（，），E（0，-2），F（，0）‎ ‎（1）当⊙O的半径为1时，‎ ‎①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；‎ ‎②过点F作直线交轴正半轴于点G，使∠GFO=30°‎ ‎，若直线上的点P（，）是⊙O的关联点，求的取值范围；‎ ‎（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围.‎ 圆中计算及作图 例1：完成下列作图 ‎（1）过不共线的三点确定一个圆 （2）过圆上一点作已知圆的切线 ‎ ‎ ‎ ‎（3）过圆外一点作已知圆的切线 （4）已知直线a及直线外一点P，求作：⊙P与直线a相切.‎ ‎ ‎ ‎(5)画△ABC的内切圆，并标出它的内心 (6)画出△DEF的外接圆，并标出它的外心； ‎ ‎（7）作⊙O的内接正方形，内接正六边形 ‎(8)等分圆周（三、六、十二、四、八等分）‎ ‎ ‎ 例2．（1） 正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=_______．‎ ‎（2）已知圆弧的半径为‎50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度为____________，该圆弧所对扇形面积为____________.‎ ‎（3）半径为2的扇形，面积为，则它圆心角的度数为_________，所对弧长为__________.‎ ‎（4）扇形圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为______________.‎ ‎（5）钟表的轴心到分针针端的长为‎5cm，经过40分钟，分针针端转过的弧长为___________.‎ 例3．（西城总复习 P85例7）如图，平地面上有一面积为30πcm2的扇形AOB，半径OA＝‎6cm，在OA与地面垂直并且扇形没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，求点O移动的距离.‎ 例4．（西城总复习P85例8）‎ （1） 如图1，扇形OAB的圆心角为90度，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是（ ）‎ A. P=Q B.P>Q C.PS4>S6 B.S6>S4>S‎3 C.S6>S3>S4 D.S4>S6>S3‎ ‎9. 小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．‎ ‎（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．‎ （1） 若△ABC中AB=‎8米，AC=‎6米，∠BAC=，试求小明家圆形花坛的面积．‎ ‎10. 如图，中，，．‎ ‎（1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点 ‎（保留作图痕迹，不写作法）：‎ ‎（2）综合应用：在你所作的圆中，‎ ‎①求证：；②求点到的距离．‎ ‎11.如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E在AB上，AE=2. 分别以E，B为圆心，以2为半径画圆弧交DC于F，G，交AB于A，H.‎ ‎ （1）求四边形BEFG的面积；‎ ‎ （2）求由弧FA和弧GH两段圆弧及线段AH，FG所围成的阴影部分面积.‎