中考数学模拟试卷一含解析3

中考数学模拟试卷一含解析3

‎2016年福建省莆田市仙游县溪尾中学中考数学模拟试卷（一）‎ 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．﹣3的倒数是（　　）‎ A．3 B．﹣3 C． D．‎ ‎2．下列计算正确的是（　　）‎ A．x2+x3=x5 B．x2•x3=x6 C．（x2）3=x5 D．x5÷x3=x2‎ ‎3．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）‎ A．45° B．35° C．25° D．20°‎ ‎5．一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（　　）‎ A．平均数是9 B．中位数是9 C．众数是5 D．方差是12‎ ‎6．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知关于x的方程2x+a﹣9=0的解是x=2，则a的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎8．某校幵展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（　　）‎ A．50 B．64 C．68 D．72‎ ‎10．如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5爬行，那么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．据报道，2011年重庆主城区私家车拥有量近380000辆．将数380000用科学记数法表示为　　　　　　．‎ ‎12．分解因式：a3﹣ab2=　　　　　　．‎ ‎13．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为　　　　　　（结果保留π）‎ ‎14．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为　　　　　　km．‎ ‎15．如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1，2）．将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（x＞0）上，则k=　　　　　　．‎ ‎16．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题，共86分）‎ ‎17．计算： +（π﹣）0﹣（）﹣1+|﹣2|‎ ‎18．先化简，再求值：（+）÷，其中a=+1．‎ ‎19．解不等式组：．‎ ‎20．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF=DC．‎ ‎21．随着人们法制意识的加强，“开车不喝酒，喝酒不开车”的观念逐步深入人心．某记者随机选取了我县几个停车场对开车司机进行了相关调查，这次调查结果有四种情况：‎ A．醉酒后仍开车；‎ B．喝酒后不开车或请专业代驾；‎ C．不开车的时候会喝酒，喝酒的时候不开车；‎ D．从不喝酒．将这次调查情况绘制了如下尚不完整的统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）该记者本次一共调查了　　　　　　名司机；‎ ‎（Ⅱ）图1中情况D所在扇形的圆心角为　　　　　　°；‎ ‎（Ⅲ）补全图2；‎ ‎（Ⅳ）若我县约有司机20万人，其中30岁以下占30%，则30岁以下的司机朋友中不违反“酒驾”禁令的人数为多少万人？‎ ‎22．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．‎ ‎（1）试确定这两个函数的表达式；‎ ‎（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△AOB的面积．‎ ‎　‎ ‎（23和24题任意选做一题）‎ ‎23．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若BC=6，tan∠CDA=，求CD的长．‎ ‎24．如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，BF⊥AB交AD的延长线于点F，‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长．‎ ‎25．某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此太阳光线与地面成30°夹角．（1.4， 1.7）‎ ‎（1）求出树高AB；‎ ‎（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线于地面夹角保持不变（用图（2）解答）‎ ‎①求树与地面成45°角时的影长；‎ ‎②求树的最大影长．‎ ‎26．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎27．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．‎ ‎（1）求MP的值；‎ ‎（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？‎ ‎（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）‎ ‎　‎ ‎2016年福建省莆田市仙游县溪尾中学中考数学模拟试卷（一）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．﹣3的倒数是（　　）‎ A．3 B．﹣3 C． D．‎ ‎【考点】倒数．‎ ‎【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）=1，‎ ‎∴﹣3的倒数是﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．下列计算正确的是（　　）‎ A．x2+x3=x5 B．x2•x3=x6 C．（x2）3=x5 D．x5÷x3=x2‎ ‎【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，分别进行计算，即可选出答案．‎ ‎【解答】解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；‎ B、x2•x3=x2+3=x5，故此选项错误；‎ C、（x2）3=x6，故此选项错误；‎ D、x5÷x3=x2，故此选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】轴对称图形．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，故A错误；‎ B、是轴对称图形，故B正确；‎ C、不是轴对称图形，故C错误；‎ D、不是轴对称图形，故D错误．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）‎ A．45° B．35° C．25° D．20°‎ ‎【考点】圆周角定理．‎ ‎【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵OA⊥OB，‎ ‎∴∠AOB=90°，‎ ‎∴∠ACB=∠AOB=45°．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（　　）‎ A．平均数是9 B．中位数是9 C．众数是5 D．方差是12‎ ‎【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．‎ ‎【分析】根据众数、中位数的概念和算术平均数、方差的计算解答即可．‎ ‎【解答】解：（12+5+9+5+14）=9，A正确；‎ ‎5，5，9，12，14，中位数是9，B正确；‎ 出现次数最多的数是5，所以众数是5，C正确；‎ S2= [（12﹣9）2+（5﹣9）2+（9﹣9）2+（5﹣9）2+（14﹣9）2]=，D不正确，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．‎ ‎【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．已知关于x的方程2x+a﹣9=0的解是x=2，则a的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】一元一次方程的解．‎ ‎【分析】根据方程的解的定义，把x=2代入方程，解关于a的一元一次方程即可．‎ ‎【解答】解；∵方程2x+a﹣9=0的解是x=2，‎ ‎∴2×2+a﹣9=0，‎ 解得a=5．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．某校幵展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中两名男学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：画树状图得：‎ ‎∵共有6种等可能的结果，恰好选中两名男学生的有2种情况，‎ ‎∴恰好选中两名男学生的概率是： =．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（　　）‎ A．50 B．64 C．68 D．72‎ ‎【考点】规律型：图形的变化类．‎ ‎【分析】先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑥个图形中五角星的个数．‎ ‎【解答】解：第①个图形一共有2个五角星，‎ 第②个图形一共有：2+（3×2）=8个五角星，‎ 第③个图形一共有8+（5×2）=18个五角星，‎ ‎…‎ 第n个图形一共有：‎ ‎1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n﹣1）‎ ‎=2[1+3+5+…+（2n﹣1）]，‎ ‎=[1+（2n﹣1）]×n ‎=2n2，‎ 则第（6）个图形一共有：‎ ‎2×62=72个五角星；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5爬行，那么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】从A1到A2蚂蚁是匀速前进，随着时间的增多，爬行的高度也将由0匀速上升，从A2到A3随着时间的增多，高度将不再变化，由此即可求出答案．‎ ‎【解答】解：因为蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5爬行，从A1⇒A2的过程中，高度随时间匀速上升，从A2⇒A3的过程，高度不变，从A3⇒A4的过程，高度随时间匀速上升，从A4⇒A5的过程中，高度不变，‎ 所以蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象是B．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．据报道，2011年重庆主城区私家车拥有量近380000辆．将数380000用科学记数法表示为　3.8×105　．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于380000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．‎ ‎【解答】解：380 000=3.8×105．‎ 故答案为：3.8×105．‎ ‎　‎ ‎12．分解因式：a3﹣ab2=　a（a+b）（a﹣b）　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．‎ ‎【解答】解：a3﹣ab2‎ ‎=a（a2﹣b2）‎ ‎=a（a+b）（a﹣b）．‎ 故答案为：a（a+b）（a﹣b）．‎ ‎　‎ ‎13．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为　3π　（结果保留π）‎ ‎【考点】扇形面积的计算．‎ ‎【分析】根据扇形公式S扇形=，代入数据运算即可得出答案．‎ ‎【解答】解：由题意得，n=120°，R=3，‎ 故S扇形===3π．‎ 故答案为：3π．‎ ‎　‎ ‎14．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为　1.2　km．‎ ‎【考点】直角三角形斜边上的中线．‎ ‎【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=AM=BM解答即可．‎ ‎【解答】解：∵M是公路AB的中点，‎ ‎∴AM=BM，‎ ‎∵AC⊥BC，‎ ‎∴CM=AM=BM，‎ ‎∵AM的长为1.2km，‎ ‎∴M，C两点间的距离为1.2km．‎ 故答案为：1.2km．‎ ‎　‎ ‎15．如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1，2）．将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（x＞0）上，则k=　3　．‎ ‎【考点】反比例函数综合题．‎ ‎【分析】由A（1，2）可知B0=1，AB=2，由旋转的性质可知AD=AB=2，CD=BO=1，△OAB旋转90°，可知AD∥x轴，CD⊥x轴，根据线段的长度求C点坐标，再求k的值．‎ ‎【解答】解：∵点A的坐标为（1，2）．Rt△AOB绕点A逆时针旋转90°，‎ ‎∴OB+AD=3，AB﹣CD=1，故C（3，1），‎ 将C（3，1）代入y=中，得k=3×1=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎16．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为　32　．‎ ‎【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，‎ ‎∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，‎ ‎∴∠2=120°，‎ ‎∵∠MON=30°，‎ ‎∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，‎ 又∵∠3=60°，‎ ‎∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，‎ ‎∵∠MON=∠1=30°，‎ ‎∴OA1=A1B1=1，‎ ‎∴A2B1=1，‎ ‎∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，‎ ‎∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，‎ ‎∵∠4=∠12=60°，‎ ‎∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，‎ ‎∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，‎ ‎∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，‎ ‎∴A3B3=4B1A2=4，‎ A4B4=8B1A2=8，‎ A5B5=16B1A2=16，‎ 以此类推：A6B6=32B1A2=32．‎ 故答案是：32．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题，共86分）‎ ‎17．计算： +（π﹣）0﹣（）﹣1+|﹣2|‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．‎ ‎【分析】此题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根的求法，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．‎ ‎【解答】解： +（π﹣）0﹣（）﹣1+|﹣2|‎ ‎=4+1﹣3+2‎ ‎=4‎ ‎　‎ ‎18．先化简，再求值：（+）÷，其中a=+1．‎ ‎【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值．‎ ‎【分析】利用通分、平方差公式等将原式化简为，代入a的值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：原式=（+）÷，‎ ‎=•，‎ ‎=•，‎ ‎=．‎ 当a=+1时，原式==．‎ ‎　‎ ‎19．解不等式组：．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】首先把两个不等式化简，再解出解集，然后根据小小取小可得不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：由①得3（1+x）﹣2（x﹣1）≤6，‎ 化简得x≤1．‎ 由②得3x﹣3＜2x+1，‎ 化简得x＜4．‎ 则原不等式组的解是x≤1．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF=DC．‎ ‎【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】求出∠AED=∠EDC，∠DFE=∠C，证△DFE≌△DCE，即可得出答案．‎ ‎【解答】证明：∵DF⊥AE于F，‎ ‎∴∠DFE=90°‎ 在矩形ABCD中，∠C=90°，‎ ‎∴∠DFE=∠C，‎ 在矩形ABCD中，AD∥BC ‎∴∠ADE=∠DEC，‎ ‎∵AE=AD，‎ ‎∴∠ADE=∠AED，‎ ‎∴∠AED=∠DEC，∠DFE=∠C=90°，‎ 又∵DE是公共边，‎ ‎∴△DFE≌△DCE（AAS），‎ ‎∴DF=DC．‎ ‎　‎ ‎21．随着人们法制意识的加强，“开车不喝酒，喝酒不开车”的观念逐步深入人心．某记者随机选取了我县几个停车场对开车司机进行了相关调查，这次调查结果有四种情况：‎ A．醉酒后仍开车；‎ B．喝酒后不开车或请专业代驾；‎ C．不开车的时候会喝酒，喝酒的时候不开车；‎ D．从不喝酒．将这次调查情况绘制了如下尚不完整的统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）该记者本次一共调查了　200　名司机；‎ ‎（Ⅱ）图1中情况D所在扇形的圆心角为　162　°；‎ ‎（Ⅲ）补全图2；‎ ‎（Ⅳ）若我县约有司机20万人，其中30岁以下占30%，则30岁以下的司机朋友中不违反“酒驾”禁令的人数为多少万人？‎ ‎【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用A组的人数除以对应的百分比即可求解；‎ ‎（Ⅱ）利用360°乘以对应的百分比即可求解；‎ ‎（III）利用百分比的意义求得B类的人数，然后利用总人数减去其它组的人数即可求得C组的人数；‎ ‎（Ⅳ）利用总人数20万乘以30%，然后乘以不违反“酒驾”禁令的人数所占的比例即可求解．‎ ‎【解答】解：（I）调查的总人数是：10÷5%=200（人），‎ 故答案是200；‎ ‎（II）情况D所在扇形的圆心角是：360×=162°；‎ ‎（III）补全图2；‎ ‎（IV）30岁以下的司机朋友中不违反“酒驾”禁令的人数为：20×30%×=5.7万人．‎ ‎　‎ ‎22．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．‎ ‎（1）试确定这两个函数的表达式；‎ ‎（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△AOB的面积．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】（1）首先把点A坐标代入反比例函数的解析式中求出k的值，然后再把A点坐标代入一次函数解析式中求出b的值；‎ ‎（2）两个解析式联立列出方程组，求得点B坐标即可，在求出点C坐标，把△A0B的面积转化成△A0C的面积+△C0B的面积即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4），‎ ‎∴﹣k+4=k，‎ 解得k=2，‎ 故反比例函数的解析式为y=，‎ 又知A（1，2）在一次函数y=x+b的图象上，‎ 故2=1+b，‎ 解得b=1，‎ 故一次函数的解析式为y=x+1；‎ ‎（2）由题意得：，‎ 解得x=﹣2或1，‎ ‎∴B（﹣2，﹣1），‎ 令y=0，得x+1=0，解得x=﹣1，‎ ‎∴C（﹣1，0），‎ ‎∴S△A0B=S△A0C+S△C0B ‎=×1×2+×1×1‎ ‎=1+‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎（23和24题任意选做一题）‎ ‎23．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若BC=6，tan∠CDA=，求CD的长．‎ ‎【考点】切线的判定．‎ ‎【分析】（1）连接OD，如图，先证明∠CDA=∠ODB，再根据圆周角定理得∠ADO+∠ODB=90°，则∠ADO+∠CDA=90°，即∠CDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到结论；‎ ‎（2）由于∠CDA=∠ODB，则tan∠CDA=tan∠ABD=，根据正切的定义得到tan∠ABD==，接着证明△CAD∽△CDB，由相似的性质得，然后根据比例的性质可计算出CD的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，如图，‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴∠OBD=∠BDO，‎ ‎∵∠CDA=∠CBD，‎ ‎∴∠CDA=∠ODB，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，‎ ‎∴∠ADO+∠CDA=90°，‎ 即∠CDO=90°，‎ ‎∴OD⊥CD，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵∠CDA=∠ODB，‎ ‎∴tan∠CDA=tan∠ABD=，‎ 在Rt△ABD中，tan∠ABD==，‎ ‎∵∠DAC=∠BDC，∠CDA=∠CBD，‎ ‎∴△CAD∽△CDB，‎ ‎∴，‎ ‎∴CD=×6=4．‎ ‎　‎ ‎24．如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，BF⊥AB交AD的延长线于点F，‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长．‎ ‎【考点】切线的判定．‎ ‎【分析】（1）由AD平分∠BAC，得到∠1=∠2，而OD=OA，∠2=∠3，所以∠1=∠3，则有OD∥AE，而DE⊥AC，所以OD⊥DE；‎ ‎（2）过D作DP⊥AB，P为垂足，则DP=DE=3，由⊙O的半径为5，在Rt△OPD中，OD=5，DP=3，得OP=4，则AP=9，再由BF⊥AB，得DP∥FB，有=，即可求出BF．‎ ‎【解答】（1）证明：连OD，如图，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠1=∠2（等弦对等角），‎ 又∵OD=OA，得∠2=∠3（等角对等边），‎ ‎∴∠1=∠3（等量代换），‎ 而DE⊥AC，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∴DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）过D作DP⊥AB，P为垂足，‎ ‎∵AD为∠BAC的平分线，DE=3，‎ ‎∴DP=DE=3，又⊙O的半径为5，‎ 在Rt△OPD中，OD=5，DP=3，得OP=4，则AP=9，‎ ‎∵BF⊥AB，‎ ‎∴DP∥FB，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴BF=．‎ ‎　‎ ‎25．某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此太阳光线与地面成30°夹角．（1.4， 1.7）‎ ‎（1）求出树高AB；‎ ‎（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线于地面夹角保持不变（用图（2）解答）‎ ‎①求树与地面成45°角时的影长；‎ ‎②求树的最大影长．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用．‎ ‎【分析】（1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函数即可求得AB的长；‎ ‎（2）①在△AB1C1中，已知AB1的长，即AB的长，∠B1AC1=45°，∠B1C1A=30°．过B1作AC1的垂线，在直角△AB1N中根据三角函数求得AN，BN；再在直角△B1NC1中，根据三角函数求得NC1的长．即可求解；‎ ‎②当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）AB=ACtan30°=12×=4≈6.8（米）．‎ 答：树高约为6.8米．‎ ‎（2）作B1N⊥AC1于N．‎ ‎①如图（2），B1N=AN=AB1sin45°=（米）．‎ NC1=NB1tan60°=2×≈8.5（米）．‎ AC1=AN+NC1=5+8.5=13.5（米）．‎ 答：树与地面成45°角时的影长约为13.5米．‎ ‎②如图（2），当树与地面成60°角时影长最大AC2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）‎ AC2=2AB2≈14．‎ 答：树的最大影长约为14米．‎ ‎　‎ ‎26．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】方法一：‎ ‎（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．‎ ‎（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．‎ ‎（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．‎ 方法二：‎ ‎（3）用参数表示点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式便可求解．‎ ‎（4）列出点M的参数坐标，利用MO=MB求解．此问也可通过求出OB的垂直平分线与y轴的交点得出M点．‎ ‎【解答】解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，‎ ‎∵∠AOB=120°，‎ ‎∴∠BOC=60°，‎ 又∵OA=OB=4，‎ ‎∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，‎ ‎∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；‎ ‎（2）∵抛物线过原点O和点A、B，‎ ‎∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，‎ 将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得：‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x；‎ ‎（3）存在；‎ 如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），‎ ‎①若OB=OP，‎ 则22+|y|2=42，‎ 解得y=±2，‎ 当y=2时，在Rt△P′OD中，∠P′DO=90°，sin∠P′OD==，‎ ‎∴∠P′OD=60°，‎ ‎∴∠P′OB=∠P′OD+∠AOB=60°+120°=180°，‎ 即P′、O、B三点在同一直线上，‎ ‎∴y=2不符合题意，舍去，‎ ‎∴点P的坐标为（2，﹣2）‎ ‎②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，‎ 解得y=﹣2，‎ 故点P的坐标为（2，﹣2），‎ ‎③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，‎ 解得y=﹣2，‎ 故点P的坐标为（2，﹣2），‎ 综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2）．‎ 方法二：‎ ‎（3）设P（2，t），O（0，0），B（﹣2，﹣2），‎ ‎∵△POB为等腰三角形，‎ ‎∴PO=PB，PO=OB，PB=OB，‎ ‎（2﹣0）2+（t﹣0）2=（2+2）2+（t+2）2，∴t=﹣2，‎ ‎（2﹣0）2+（t﹣0）2=（0+2）2+（0+2）2，∴t=2或﹣2，‎ 当t=2时，P（2，2），O（0，0）B（﹣2，﹣2）三点共线故舍去，‎ ‎（2+2）2+（t+2）2=（0+2）2+（0+2）2，∴t=﹣2，‎ ‎∴符合条件的点P只有一个，∴P（2，﹣2）．‎ ‎（4）∵点B，点P关于y轴对称，‎ ‎∴点M在y轴上，设M（0，m），‎ ‎∵⊙M为△OBF的外接圆，‎ ‎∴MO=MB，‎ ‎∴（0﹣0）2+（m﹣0）2=（0+2）2+（m+2）2，‎ ‎∴m=﹣，M（0，﹣）．‎ ‎　‎ ‎27．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．‎ ‎（1）求MP的值；‎ ‎（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？‎ ‎（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）‎ ‎【考点】几何变换综合题．‎ ‎【分析】（1）根据折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，然后利用勾股定理可计算出MP=5；‎ ‎（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，利用两点之间线段最短可得点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，则AM=AD﹣MP﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再证明ME=MP=5，接着利用勾股定理计算出MN=3，所以NM′=11，然后证明△AFM′∽△NEM′，则可利用相似比计算出AF；‎ ‎（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小，于是四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，利用勾股定理计算出M′R=5，易得四边形MEQG的最小周长值是7+5．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴CD=AB=4，∠D=90°，‎ ‎∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，‎ ‎∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，‎ ‎∴MP==5；‎ ‎（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，‎ ‎∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，‎ ‎∴AM=AM′=4，‎ ‎∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，‎ ‎∴∠CEP=∠MEP，‎ 而∠CEP=∠MPE，‎ ‎∴∠MEP=∠MPE，‎ ‎∴ME=MP=5，‎ 在Rt△ENM中，MN===3，‎ ‎∴NM′=11，‎ ‎∵AF∥NE，‎ ‎∴△AFM′∽△NEM′，‎ ‎∴=，即=，解得AF=，‎ 即AF=时，△MEF的周长最小；‎ ‎（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，‎ ‎∵ER=GQ，ER∥GQ，‎ ‎∴四边形ERGQ是平行四边形，‎ ‎∴QE=GR，‎ ‎∵GM=GM′，‎ ‎∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，‎ 在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，‎ M′R==5，‎ ‎∵ME=5，GQ=2，‎ ‎∴四边形MEQG的最小周长值是7+5．‎