新人教版中考数学复习
2016 年中考数学复习教案
第一章 实数与中考
中考要求及命题趋势
1.正确理解实数的有关概念；
2.借助数轴工具，理解相反数、绝对值、算术平方根等概念和性质；
3.掌握科学计数法表示一个数，熟悉按精确度处理近似值。
4.掌握实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算
5.会用多种方法进行实数的大小比较。
中考将继续考查实数的有关概念，值得一提的是，用实际生活的题材为背
景，结合当今的社会热点问题考查近似值、有效数字、科学计数法依然是中考命题的一
个热点。实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算，实数的大小的比较往往结合
数轴进行，并会出现探究类有规律的计算问题。
应试对策
牢固掌握本节所有基本概念，特别是绝对值的意义，真正掌握数形结合的思想，
理解数轴上的点与实数间的一一对应关系，还要注意本节知识点与其他知识点的结合，
以及在日常生活中的运用。
第一讲 实数的有关概念
【回顾与思考】
知识点：
有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值
课标要求：
1． 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念．
2． 了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，
了解数的绝对值的几何意义。
3． 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小
4． 画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数
轴比较大小。
考查重点：
1． 有理数、无理数、实数、非负数概念；
2．相反数、倒数、数的绝对值概念；
3．在已知中，以非负数 a2、|a|、 a(a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。
实数的有关概念
(1)实数的组成
(2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规
定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大
于这个点左边的点对应的数，
(3)相反数
实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是
零)．
从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．
(4)绝对值
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离
(5)倒数
实数 a(a≠0)的倒数是 (乘积为 1 的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数．
【例题经典】
理解实数的有关概念
例 1 ①a 的相反数是- ,则 a 的倒数是_______．
②实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图所示:
则化简│b-a│+ =______．
③（2006 年泉州市）去年泉州市林业用地面积约为 10200000 亩,用科学记数法表示为约
______________________．
【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解．
例 2.(-2)3 与-23( )．
(A)相等 (B)互为相反数 (C)互为倒数 (D)它们的和为 16
分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。答案：A
例 3.- 的绝对值是 ；-3 的倒数是 ； 的平方根是 ．
分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。
答案： ，-2/7，±2/3
例 4.下列各组数中，互为相反数的是 ( )D
0 ab
{
}
正 整 数
整 数 零
负 整 数有 理 数 有 尽 小 数 或 无 尽 循 环 小 数
正 分 数实 数 分 数 负 分 数
正 无 理 数无 理 数 无 尽 不 循 环 小 数 负 无 理 数
<−
=
>
=
)0(
)0(0
)0(
||
aa
a
aa
a
a
1
1
5
2( )a b−
3 2
1
9
4
3
A．-3 与 B．｜-3｜与一 C．｜-3｜与 D．-3 与
分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念
掌握实数的分类
例 1 下列实数 、sin60°、 、（ ）0、3.14159、- 、（- ）-2、 中无
理数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．
第二讲 实数的运算
【回顾与思考】
知识点：
有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、近似数与有效
数字、计算器功能鍵及应用。
教学目标:
1． 了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理
数运算法则、运算委和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单
的混合运算。
2． 了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的
运算法则，灵活运用运算律简化运算能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。
3． 了解近似数和准确数的概念，会根据指定的正确度或有效数字的个数，用四
舍五入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似
值），会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。
4 了解电子计算器使用基本过程。会用电子计算器进行四则运算。
考查重点：
1． 考查近似数、有效数字、科学计算法；
2． 考查实数的运算；
3． 计算器的使用。
实数的运算
(1)加法
同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；
异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
任何数与零相加等于原数。
(2)减法 a-b=a+(-b)
(3)乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即
3 3
1
3
1 2(-3)
22
7 3
π
2 9 7 8
⋅−
⋅
=
)(0
),(||||
),(||||
为零或
异号
同号
ba
baba
baba
ab
(4)除法
(5)乘方
(6)开方 如果 x2＝a 且 x≥0，那么 ＝x； 如果 x3=a，那么
在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里
面．
3．实数的运算律
(1)加法交换律 a+b＝b+a
(2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
(3)乘法交换律 ab＝ba．
(4)乘法结合律 (ab)c=a(bc)
(5)分配律 a(b+c)=ab+ac
其中 a、b、c 表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．
【例题经典】
例 1、（宝应 ）若家用电冰箱冷藏室的温度是 4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度
低 22℃，则冷冻室的温度（℃）可列式计算为
A． 4―22 ＝－18 Ｂ．22－4＝18
Ｃ． 22―（―4）＝26 Ｄ．―4―22＝－26
点评：本题涉及对正负数的理解、简单的有理数运算，试题以应用的方式呈现，同时
也强调“列式”，即过程。选（A）
例 2．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了 14 周，飞行轨道近似看作圆，
其半径约为 6．71×103 千米，总航程约为(π 取 3．14，保留 3 个有效数字) ( )
A．5．90 ×105 千米 B．5．90 ×106 千米
C．5．89 ×105 千米 D．5．89×106 千米
分析：本题考查科学记数法 答案：A
例 3.化简 的结果是( )．
(A) -2 (B) +2 (C)3( -2) (D)3( +2)
分析：考查实数的运算。答案：B
例 4.实数 a、b、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有
( )．
①b+c>0②a+b>a+c③bc>ac④ab>ac
(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个
分析：考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小。答案：C
例 5 （2006 年成都市）计算：- +（-2）2×（-1）0-│- │．
例 6.校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午餐时浪费现象十分严重，于是决定写
一张标语贴在食堂门口，告诫大家不要浪费粮食．请你帮他把标语中的有关数据填上．(已
知 1 克大米约 52 粒)
)0(1 ≠⋅= bbab
a
个n
n aaaa =
a xa =3
27
3
−
7 7 7 7
11
3
−
12
如果每人每天浪费 1 粒大米，全国 13 亿人口，每天就要大约浪费 吨大
米
分析：本题考查实数的运算。答案：25
例 7.阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发
现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增加时，楼梯的上法数依次为：1，2，
3，5，8，13，21，．．．…(这就是著名的斐波那契数列)．请你仔细观察这列数中的规律
后回答：上 10 级台阶共有 种上法．
分析：归纳探索规律：后一位数是它前两位数之和
答案：89
例 8.观察下列等式(式子中的“!”是一种数学运算符号)
1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，
计算： = ．
分析：阅读各算式，探究规律，发现 100！=100*99*98！答案：9900
第二章 代数式与中考
中考要求及命题趋势
1、掌握整式的有关知识，包括代数式，同类项、单项式、多项式等；
2、熟练地进行整式的四则运算，幂的运算性质以及乘法公式要熟练掌握，灵活运用；
3、熟练运用提公因式法及公式法进行分解因式 ；
4、了解分式的有关概念式的基本性质；
5、熟练进行分式的加、减、乘、除、乘方的运算和应用。
中考整式的有关知识及 整式的四则运算仍然会 以填空 、选择和解答题的形式出现，
乘法公式、因式分解正逐步渗透到综合题 中去进行考查 数与似的应用题 将是今后中考
的一个热点。分式 的概念及 性质，运算仍是考查 的重点。特别注意 分式的应用题 ，
即要 熟悉背景 材料，又要从实际问题中抽象出数学模型。
应试对策
掌握整式 的有关概念及 运算法则，在运算过程中注意 运算顺序，掌握运算规律，
掌握乘法 公式并能灵活运用，在实际问题中，抽象的代数式以及代数式的应用题值得重
视。要掌握并灵活运用分式的基本性质，在通分和约分 时 都要注意分解因式知识的应
用。化解 求殖题，一要注意 整体思想，二要注意解题技巧，对于分式的应用题，要能
从实际问题中抽象出数学模型。
第一讲 整 式
【回顾与思考】
!98
!100
知识点
代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幂的运
算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正整数指数幂、零指数幂、负整数
指数幂。
教学目标:
1、 了解代数式的概念，会列简单的代数式。理解代数式的值的概念，能正确地
求出代数式的值；
2、 理解整式、单项式、多项式的概念，会把多项式按字母的降幂（或升幂）排
列，理解同类项的概念，会合并同类项；
3、 掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进
行数字指数幂的运算；
4、 能 熟 练 地 运 用 乘 法 公 式 （ 平 方 差 公 式 ， 完 全 平 方 公 式 及 （ x+a ）
(x+b)=x2+(a+b)x+ab）进行运算；
5、 掌握整式的加减乘除乘方运算，会进行整式的加减乘除乘方的简单混合运算。
考查重点
1．代数式的有关概念．
(1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字
母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
(2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果 p 叫做代数式的
值．
求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求
值．
(3)代数式的分类
2．整式的有关概念
(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．
对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。
(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式
对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来
分析
(3)多项式的降幂排列与升幂排列
把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂
排列
把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，叫做把这个多项式技这个字母升幂
排列，
给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列．
(4)同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．
要 会 判 断 给 出 的 项 是 否 同 类 项 ， 知 道 同 类 项 可 以 合 并 ． 即
其中的 X 可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。
3．整式的运算
(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连
接．整式加减的一般步骤是：
(i)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的
“+”号去掉。括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号
去掉．括号里各项都改变符号．
(ii)合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不
变．
(2)整式的乘除：单项式相乘(除)，把它们的系数、相同字母分别相乘(除)，对于只
在一个单项式(被除式)里含有的字母，则连同它的指数作为积(商)的一个因式相同字母
相乘(除)要用到同底数幂的运算性质：
多项式乘(除)以单项式，先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单项式，再把所得的
积(商)相加．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把
所得的积相加．
遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：
(3)整式的乘方
单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字母的指数分别相
乘所得的幂作为结果的因式。
单项式的乘方要用到幂的乘方性质与积的乘方性质：
多项式的乘方只涉及
xbabxax )( +=+
),,0(
),(
是整数
是整数
nmaaaa
nmaaa
nmnm
nmnm
≠=÷
=⋅
−
+
.))((
,2)(
,))((
,)())((
3322
22
22
2
babababa
bababa
bababa
abxbaxbxax
±=+±
+±=±
−=−+
+++=++
)()(
),,()(
是整数
是整数
nbaab
nmaa
nnn
mnnm
=
=
.222)(
,2)(
2222
222
cabcabcbacba
bababa
+++++=++
+±=±
【例题经典】
代数式的有关概念
例 1、(日照市)已知－1＜b＜0， 0＜a＜1，那么在代数式 a－b、a+b、a+b2、a2+b
中，对任意的 a、b，对应的代数式的值最大的是（ ）
(A) a+b (B) a－b (C) a+b2 (D) a2+b
评析：本题一改将数值代人求值的面貌，要求学生有良好的数感。选（B）
同类项的概念
例 1 若单项式 2am+2nbn-2m+2 与 a5b7 是同类项，求 nm 的值．
【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得 解出即可
例 2（05 宝应）一套住房的平面图如右图所示，其中卫生间、厨房的面积和是（ ）
A．4xy Ｂ． 3xy Ｃ．2xy Ｄ．xy
评析：本题是一道数形结合题，考查了平面图形的面积的 计算、
合并同类项等知识，同时又隐含着对代数式的理解。选 （B）
幂的运算性质
例 1（1）am·an=_______（m，n 都是正整数）；
（2）am÷an=________（a≠0，m，n 都是正整数，且 m>n），特别地： a0=1 （ a
≠0），a-p= （a≠0，p 是正整数）；
（3）（am）n=______（m，n 都是正整数）；（4）（ab）n=________ （n 是正
整数）
（5）平方差公式：（a+b）（a-b）=_________．（6）完全平方公 式：（a
±b）2=__________．
【点评】能够熟练掌握公式进行运算.
例 3.下列各式计算正确的是( )．
(A)(a5)2=a7 (B)2x-2= (c)4a3·2a2=8a6 (D)a8÷a2=a6
分析：考查学生对幂的运算性质及同类项法则的掌握情况。答案：D
例 3.下列各式中，运算正确的是 ( )
A．a2a3=a6 B．(-a+2b)2=(a-2b)2
c． (a+b≠O) D．
分析：考查学生对幂的运算性质 答案：B
例 4、(泰州市)下列运算正确的是
A． ; B．(－2x)3=－2x3 ;
C．(a－b)(－a＋b)=－a2－2ab－b2 ;
D．
评析：本题意在考查学生幂的运算法则、整式的乘法、二次根式的运算等的掌握情况。
选 （D）
整式的化简与运算
2 5,
2 2 7
m n
n m
+ =
− + =
1
pa
x2
1
baba
ba
+=+
+ 1
22 31)31( 2 −=−
532 aaa =+
2 8 3 2+ =
例 5 计算：9xy·(- x2y)= ；
（2006 年江苏省）先化简，再求值：
[（x-y）2+（x+y）（x-y）]÷2x 其中 x=3，y=-1．5．
【点评】本例题主要考查整式的综合运算，学生认真分析题目中的代数式结构，灵活运
用公式，才能使运算简便准确．
第二讲 因式分解与分式
【回顾与思考】
因式分解
知识点：
因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字
相乘法、求根）、因式分解一般步骤。
教学目标：
理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌
握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。
考查重点与常见题型：
考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取
公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选
择题和解答题。
因式分解知识点
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一
个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：
(1)提公因式法
如多项式
其中 m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
(2)运用公式法，即用
写出结果．
(3)十字相乘法
3
1
),( cbamcmbmam ++=++
))((
,)(2
),)((
2233
222
22
babababa
bababa
bababa
+±=±
±=+±
−+=−
对于二次项系数为 l 的二次三项式 寻找满足 ab=q，a+b=p 的 a，b，如
有，则 对于一般的二次三项式 寻找满足
a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b 的 a1，a2，c1，c2，如有，则
(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间
进行．
分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前
面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.
(5)求根公式法：如果 有两个根 X1，X2，那么
【例题经典】
掌握因式分解的概念及方法
例 1、分解因式：
①x3-x2=_______________________;
②（2006 年绵阳市）x2-81=______________________;
③（2005 年泉州市）x2+2x+1=___________________;
④a2-a+ =_________________;
⑤（2006 年湖州市）a3-2a2+a=_____________________.
【点评】运用提公因式法，公式法及两种方法的综合来解答即可。
例 2.把式子 x2-y2-x—y 分解因式的结果是 ．．
分析：考查运用提公因式法进行分解因式。答案：(x+y)(x-y-1)
例 3.分解因式：a2—4a+4=
分析：考查运用公式法分解因式。答案：(a-2)2
分 式
知识点:
分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负整数，整数，整数指数
幂的运算
教学目标：
了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。掌握分式的基本性
质，会约分，通分。会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。掌握指数指数幂的运算。
考查重点与常见题型:
1．考查整数指数幂的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中，如：下列运算正确
的是（ ）
（A）-40 =1 (B) (-2)-1= 1
2 (C) (-3m-n)2=9m-n (D)(a+b)-1=a-1+b-1
2.考查分式的化简求值。在中考题中，经常出现分式的计算就或化简求值，有关习题多
,2 qpxx ++
);)((2 bxaxqpxx ++=++ ),0(2 ≠++ acbxax
).)(( 2211
2 cxacxacbxax ++=++
),0(02 ≠=++ acbxax
).)(( 21
2 xxxxacbxax −−=++
1
4
为中档的解答题。注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值，化简要认
真仔细，如：
化简并求值：
x
(x - y)2. x3 - y3
x2 + xy + y2+(2x + 2
x - y –2),其中 x=cos30°,y=sin90°
知识要点
1．分式的有关概念
设 A、B 表示两个整式．如果 B 中含有字母，式子 就叫做分式．注意分母 B 的值不
能为零，否则分式没有意义
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分
化简
2、分式的基本性质
（M 为不等于零的整式）
3．分式的运算
(分式的运算法则与分数的运算法则类似)．
(异分母相加，先通分)；
4．零指数
5．负整数指数
注意正整数幂的运算性质
可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的 m、 n 可以是 O 或负整数．
熟练掌握分式的概念：性质及运算
例 4 （1）若分式 的值是零，则 x=______．
【点评】分式值为 0 的条件是：有意义且分子为 0．
（2）同时使分式 有意义，又使分式 无意义的 x 的取值范围是（ ）
A．x≠-4 且 x≠-2 B．x=-4 或 x=2
C．x=-4 D．x=2
（3）如果把分式 中的 x 和 y 都扩大 10 倍，那么分式的值（ ）
A．扩大 10 倍 B．缩小 10 倍 C．不变 D．扩大 2 倍
例 5：化简( )÷ 的结果是 ．
分析：考查分式的混合运算，根据分式的性质和运算法则。答案：-
B
A
,MB
MA
B
A
×
×=
MB
MA
B
A
÷
÷=
bd
bcad
d
c
b
a ±=±
;
;
bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a
bd
ac
d
c
b
a
=⋅=÷
=⋅
.)( n
n
n
b
a
b
a =
)0(10 ≠= aa
).,0(1 为正整数paaa p
p ≠=−
nnn
mnnm
nmnm
nmnm
baab
aa
aaaa
aaa
=
=
≠=÷
=⋅
−
+
)(
,)(
),0(
,
2 3
3
x
x
−
+
2
5
6 8
x
x x
−
+ +
2
2
3
( 1) 9
x x
x
+
+ −
2x y
x
+
22 +−− x
x
x
x
x
x
−2
4
2
1
+x
例 6.已知 a= ，求 的值．
分析：考查分式的四则运算，根据分式的性质和运算法则，分解因式进行化简。
答案：a=2- <1，原式=a-1+=3．
例 7.已知|a-4|+ =0，计算 的值
答案：由条件，得 a-4=0 且 b-9=0 ∴a=4 b=9
原式=a2/b2
当 a=4，6=9 时，原式=16/81
例 8.计算(x—y+ )(x+y- )的正确结果是( )
A y2-x2 B.x2-y2 c．x2-4y2 D．4x2-y2
分析：考查分式的通分及四则运算。答案：B
因式分解与分式化简综合应用
例 1、（2006 年常德市）先化简代数式： ，然后选取一个使原
式有意义的 x 的值代入求值．
【点评】注意代入的数值不能使原分式分母为零，否则无意义．
例 2、（05 河南）有一道题“先化简，再求值： ，其中
。”小玲做题时把“ ”错抄成了“ ”，但她的计算结果也是正确
的，请你解释这是怎么回事？
点评：化简可发现结果是 ，因此无论 还是 其计算结果都是 7。 可
见现在的考试特别重视应用和理解。
第三讲 数的开方与二次根式
【回顾与思考】
〖知识点〗
平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、
32
1
+ aa
aa
a
aa
−
+−−−
+−
2
22 12
1
21
3
9-b 22
2
2
2
ba
aba
b
aba
−
−•+
yx
xy
−
4
yx
xy
+
4
2 2
1 2 1
1 1 1
x x
x x x
− + ÷ + − −
4
1)4
4
2
2( 22 −÷−++
−
xx
x
x
x
3−=x 3−=x 3=x
42 +x 3−=x 3−=x
同类二次根式、二次根式运算、分母有理化
〖教学目标〗
1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和
算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；
2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同
类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范
围将二次根式化简；
3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的
分母有理化。
内容分析
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式
式子 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或 O．
(2)最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，
叫做最简二次根式．
(3)同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质
3．二次根式的运算
(1)二次根式的加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合
并．
(2)三次根式的乘法
二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即
二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次
根式互为有理化因式．
(3)二次根式的除法
二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，
把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．
〖考查重点与常见题型〗
1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，
习题类型多为选择题或填空题。
2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。
3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选
)0( ≥aa
).0;0(
);0;0(
);0(
),0(||
);0()(
2
2
>≥=
≥≥⋅=
<−
≥==
≥=
ba
b
a
b
a
babaab
aa
aaaa
aaa
).0,0( ≥≥=⋅ baabba
择题和中档解答题中出现的较多。
【例题经典】
理解二次根式的概念和性质
例 1 （1）（2006 年南通市）式子 有意义的 x 取值范围是
________．
【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非
负．
（2）已知 a 为实数，化简 ．
【点评】要注意挖掘其隐含条件：a<0．
掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法
例 2（2006 年海淀区）下列根式中能与 合并的二次根式为（ ）
A．
【点评】抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解
决问题．
掌握二次根式化简求值的方法要领
例 3 （2006 年长沙市）先化简，再求值:
若 a=4+ ，b=4- ，求 ．
【点评】注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整
体代入．
第三章 方程（组）
中考要求及命题趋势
一元 一次方程与一元 一次方程组是初中有关方程的基础，在各地中考题 中，多数
以填空 、选择和解答题的形式出现，大多考查 一元一次方程及一次方程组的概念和解
法，一般占 5%左右。方程和方程组的应用题是中考的必考题，考查学生建模能力和分析
问题和解决问题的能力，以贴进生活的题目为主。占 10%左右。
中考将继续考查概念和解法这些基础知识，类型仍以选择、填空为主，也可能出现
解答题，有时也会 与一次函数、一次不等式相结合出题。一元二次方程是二次函数的一
种特殊 形式，两者有着密切的关系，实验区各地中考题主要以填充、选择、解答题、综
合题的形式考查一元二次方程的概念、解法，一般占 5%左右。2012 年中考将继续以考
查概念和解法为主，形式基本相同。新课标中分式方程以简化，只考查了化为一元一次
方程的分式方程。大多以填空、解答题出现，以考查解法为主，一般占 3%左右。2012
年中考将以考查解法为主，题型仍不会变。方程和方程组的应用题是中考的必考题，近
几年主要考查学生建模能力和分析问题、解决问题的能力，以贴近生活的题目为主。一
般占 10%左右。2012 年中考仍将以生活应用题为出题方向，或者与函数综合出题。
应试对策
2
x
x−
3 1a a a
− − −
3
324 . 12 . . 182B C D
3 3 a b
a ab a b
−
− +
要弄清一元一次方程及二元一次方程组的定义，方程（组）的解（整数解）等概念。
要熟练掌握一元一次方程，二元一次方程组的解法。
要弄清一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系。
要弄清一元二次方程的定义，ax +bx+c=0(a 0),a,b,c 均为常数，尤其 a 不为零要切记。
要弄清一元二次方程的解的概念。
要熟练掌握一元二次方程的几种解法，如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次
方程为一元一次方程的转化思想。
要加强 一元二次方程与二次函数之间的综合的训练。
让学生理解化分式方程为整式方程的思想。
熟练掌握解分式方程的方法。
让学生学会行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析。
让学生掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。
知识点：
等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、一元二次方程、简
单的高次方程
课程程标准：
理解方程和一元一次方程、一元二次方程概念；
理解等式的基本性质，能利用等式的基本性质进行方程的变形，掌握解一元一次方
程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程；
会推导一元二次方程的求根公式，理解公式法与用直接开平方法、配方法解一元二
次方程的关系，会选用适当的方法熟练地解一元二次方程；
了解高次方程的概念，会用因式分解法或换元法解可化为一元一次方程和一元二次
方程的简单的高次方程；
体验“未知”与“已知”的对立统一关系。
内容分析：
1．方程的有关概念
含有未知数的等式叫做方程．使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的
解(只含有—个未知数的方程的解，也叫做根)．
2．一次方程(组)的解法和应用
只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不为零的方程，叫做一元一次
方程．
解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成 1．
3.一元二次方程的解法
(!)直接开平方法
形如(mx+n)2=r(r≥o)的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，
这种方法叫做直接开平方法．
(2)把一元二次方程通过配方化成
(mx+n)2=r(r≥o)
的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法．
(3)公式法
通过配方法可以求得一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
的求根公式：
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
(4)因式分解法
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的左边可以分解为两个一次因式的积，那
么根据两个因式的积等于 O，这两个因式至少有一个为 O，原方程可转化为两个一元一
次方程来解，这种方法叫做因式分解法．
〖考查重点与常见题型〗
考查一元一次方程、一元二次方程及高次方程的解法，有关习题常出现在填空题和
选择题中。
第一讲 一次方程（组）及应用
【回顾与思考】
【例题经典】
掌握一元一次方程的解法步骤
例 1 解方程：x-
【点评】按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，五步进行
掌握二元一次方程组的解法
例 2 （2006 年枣庄市）已知方程组 的解为 ，求 2a-3b 的值．
【点评】将 代入原方程组后利用加减法解关于 a，b 的方程组．
例 3、（安徽）某电视台在黄金时段的 2min 广告时间内，计划插播长度为 15s 和 30s
的两种广告，15s 广告每播 1 次收费 0.6 万元，30s 广告每播 1 次收费 1 万元。若要求每
种广告播放不少于 2 次。问：
⑴两种广告的播放次数有几中安排方式？
⑵电视台选择哪种方式播放收益较大？
点评：本题只能列出一个二元一次方程，因此需要学生对二元一次方程的解有深刻
a
acbbx 2
42 −±−=
1 222 3
x x− += −
2,
4
ax by
ax by
+ =
− =
2,
1.
x
y
=
=
2,
1.
x
y
=
=
的理解。体现了“从知识立意向能力立意转变”的新命题理念。
解：（1）设 15s 广告播放 x 次，30s 广告播放 y 次。
15x+30y=120 而 x,y 均为不小于 2 的正整数，
∴ 或
（2）方案 1 4.4 万元；方案 2 4.2 万元。
一次方程的应用
例 1．下图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长 29 cm 的木
条上钻有 6 个圆孔，每个圆孔的直径均为 2．5 cm．两端与圆孔边缘及任何
相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为 X cm，则 x 为 ( )
A．2 B．2．15 C．2．33 D．2．36
分析：考查列一元一次方程并解方程
答案：A
例 2（2006 年吉林省）据某统计数据显示，在我国的 664 座城市中，按水资源情况
可分为三类：暂不缺水城市，一般缺水城市和严重缺水城市，其中，暂不缺水城市数比
严重缺水城市数的 4 倍少 50 座，一般缺水城市是严重缺水城市数的 2 倍，求严重缺水城
市有多少座？
【点评】一元一次方程或二元一次方程组都可解答此题．
例 3.小红家春天粉刷房间，雇用了 5 个工人，干了 10 天完成；用了某种涂料 150 升，
费用为 4800 元；粉刷的面积是 150m2．最后结算工钱时，有以下几种方案：
方案一：按工算，每个工 30 元； (1 个工人干 1 天是一个工)；
方案二：按涂料费用算，涂料费用的 30％作为工钱；
方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱 12 元．
请你帮小红家出主意，选择方案 付钱最合算(最省)．
分 析 ： 考 查 方 程 和 方 程 的 应 用 ， 方 案 一 ： 5*10*30+4800=6300 元 方 案 二 ：
4800*30%=1440 元，方案三：12*150=1800 元
答案：方案二
第二讲 一元二次方程及应用
【回顾与思考】
【例题经典】
1、掌握一元二次方程的解法
=
=
2
4
y
x
=
=
3
2
y
x
例 1 解方程：
（1）3x2+8x-3=0；（2）9x2+6x+1=0；（3）x-2=x（x-2）；（4）x2-2 x+2=0
例 2.用换元法解方程(x- )2-3x+ +2=0 时，如果设 x- =y，那么原方程可转化
为( )D (A)y2+3y+2=O (B)y2—3y-2=0 (C)y2+3y-2=0 (D)y2-3y+2=0
分析：考查用换元法解方程 答案：D
例 3.若关于 x 的方程 x2+px+1=0 的一个实数根的倒数恰是它本身，则 p 的值是 ．
分析：一个实数的倒数是它的本身，这个实数是±1
答案：±2
例 4.关于 x 的一元二次方程 的两根为 ， ，则 分解因
式的结果为_________________________；
分析：考查一元二次方程和分解因式的综合。将 x1、x2 的值代入方程求出 b、c
答案：(x-1)(x-2)
2、会判断一元二次方程根的情况
例 1 不解方程判别方程 2x2+3x-4=0 的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根； B．有两个不相等的实数根；
C．只有一个实数根； D．没有实数根
【点评】根据 b2-4ac 与 0 的大小关系来判断
例 2 已知一元二次方程 x2-4x+k=0 有两个不相等的实数根
(1) 求 k 的取值范围;
(2) 如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 x2-4x+k=0 与 x2+mx-1=0 有一个相
同的根，求此时 m 的值. 点评：本题考查了解一元二次方程的解法、根的判别式、不
等式的整数解等知识点。
3、一元二次方程的应用
例 3 （2006 年包头市）某印刷厂 1月份印刷了书籍 60万册，第一季度共印刷了
200 万册，问 2、3 月份平均每月的增长率是多少？
【点评】设 2、3 月份平均每月的增长率为 x，即 60+60（1+x）+60（1+x）2=200
第三讲 分式方程及应用
【回顾与思考】
5
x
1
x
3
x
1
02 =++ cbxx 11 =x 22 =x cbxx ++2
〖知识点〗
分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根
〖课标要求〗工资
了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化
为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。
内容分析
1．分式方程的解法
(1)去分母法
用去分母法解分式方程的一般步骤是：
（i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
(ii)解这个整式方程；
(iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的
根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去.
在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母.
(2)换元法
用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知
数．（选学）
2．二次根式方程的解法
(1)两边平方法
用两边平方法解无理方程的—般步骤是：
(i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程；
(ii)解这个有理方程；
(iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增
根，必须舍去．
在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行．
(2)换元法
用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数
后再求原来的未知数．
〖考查重点与常见题型〗
考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现 在
选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中。
【例题经典】
理解分式方程的有关概念
例 1 指出下列方程中，分式方程有（ ）
① =5 ② =5 ③ x2-5x=0 ④ +3=0
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．
掌握分式方程的解法步骤
例 2 解方程：
2
1 1
2 3x x
−
2
2 3
x x− 2 5 2
52
x x
−
（1）（2006 年成都市） ；
（2）（2006 年绍兴市） 。
【点评】注意分式方程最后要验根。
例 3.解方程：
分析：考查解分式方程 答案： x1=3，x2=4/3 都是原方程的根
例 4（1）、用换元法解分式方程 3x
x2－1＋x2－1
3x ＝3 时，设 3x
x2－1＝y，原方程变形为（ ）
（A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝0
（2）、用换元法解方程 x2＋8x＋ x2＋8x－11＝23，若设 y＝ x2＋8x－11，则原方程可
化为（ ）
（A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=0
分式方程的应用
例 5（2006 年长春市）某服装厂装备加工 300 套演出服，在加工 60 套后，采用了新技术，
使每天的工作效率是原来的 2 倍，结果共用 9 天完成任务，求该厂原来每天加工多少
套演出服．
【点评】要用到关系式：工作效率＝ 。
例 6 某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标
资料上显示：若由两队合做，6 天可以完成，共需工程费用 10 200 元；若单独完成此项
工程，甲队比乙队少用 5 天．但甲队每天的工程费用比乙队多 300 元，工程指挥部决定
从这两个队中选一个队单独完成此项工程，若从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工
程队?为什么?
解：设甲队每天费用为 a 元，乙队每天费用为 b 元，则
(a+b)×6=10200 a-b=300 解：设甲队独做需 x 天完成，则乙队独做(x+5)天完成．
由题意，列方程．
整理得 x2-7x-30=O．解之得 x1=10，x2=-3．
经检验 x1'x2 都是原方程的根，但 x2=-3 不合题意舍去．
∴甲队独做需 10 天完成，
乙队独做需 15 天完成． 解之得 a=1000 b=700
所以甲队独做的费用为 1000×10=10 000(元)，
乙队独做的费用为 700×15=10 500(元)．
∵10 500>10 000．
．若从节省资金的角度考虑，应选择甲工程队．
例 7 为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲、乙、丙三个水厂，这三个水厂
的日供水量共计 11．8 万立方米，其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的 3 倍，丙
水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多 1 万立方米．
(1)求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米?
(2)在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走 600 吨土石，运输公司派出 A 型、B 型两
种载重汽车，A 型汽车 6 辆、B 型汽车 4 辆，分别运 5 次，可把土石运完；或者 A 型汽车
3 辆、B 型汽车 6 辆，分别运 5 次，也可把土石运完．那么每辆 A 型汽车、每辆 B 型汽车
每次运土石各多少吨?(每辆汽车运土石都以标准载重量满载)
1 1 2
6 2 2 1 3x x
= −− −
3 5
1 1x x
=− +
062)2( 2 =−−+− x
x
x
x
工作量
工作时间
6
1
5x
1
x
1 =++
解：(1)设甲水厂的日供水量是 x 万立方米，则乙水厂的日供水量是 3x 万立方米，丙水
厂的日供水量是(x/2+1)万立方米．
由题意得：x+3x+x/4+1=11．8 解得：x=2．4
答：甲水厂日供水量是 2．4 万立方米，乙水厂日供水量是 7．2 万立方米，丙水厂日
供水量是 2．2 万立方米．
(2)每辆 A 型汽车每次运土石 lO 吨、每辆 B 型汽车每次运土石 15 吨．
第四讲 列出方程(组)解应用题
〖知识点〗
列方程（组）解应用题的一般步骤、列方程（组）解应用题的核心、应用问题的主要
类型
〖课标要求〗能够列方程（组）解应用题
内容分析
列出方程(组)解应用题的一般步骤是：
(i)弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个(或几个)未知数;
(ii)找出能够表示应用题全部含义的一个(或几个)相等关系;
(iii)根据找出的相等关系列出需要的代数式，从而列出方程(或方程组);
(iv)解这个方程(或方程组)，求出未知数的值;
(v)写出答案(包括单位名称)．
〖考查重点与常见题型〗
考查列方程（组）解应用题的能力，其中重点是列一元二次方程或列分式方程解应
用题，习题以工程问题、行程问题为主，近几年出现了一些经济问题，应引起注意
一、填空题
1.某商品标价为 165 元，若降价以九折出售（即优惠 10％），仍可获利 10％（相对于进
货价），则该商品的进货价是
2.甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲与乙
投资额的比例为 3：4，首年的利润为 38500 元，则甲、乙二人可获得利润分别为
元和 元
3.某公司 1996 年出口创收 135 万美元，1997 年、1998 年每年都比上一年增加 a％，那么，
1998 年这个公司出口创汇 万美元
4.某城市现有 42 万人口，计划一年后城镇人口增加 0.8％，农村人口增加 1.1％，这样
全市人口将增加 1％，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城镇现有人口数
为 x 万，农村现有人口 y 万，则所列方程组为
5.在农业生产上，需要用含盐 16％的盐水来选种，现有含盐 24％的盐水 200 千克，需要
加水多少千克？
解：设需要加水 x 千克根据题意，列方程为 ，解这个方程，得
答： .
6.某电视机厂 1994 年向国家上缴利税 400 万元，1996 年增加到 484 万元，则该厂两年上
缴的利税平均每年增长的百分率
7.某种商品的进货价每件为 x 元，零售价为每件 900 元，为了适应市场竞争，商店按零
售价的九折降价并让利 40 元销售，仍可获利 10％（相对于进价），则 x＝ 元
8．一个批发与零售兼营的文具店规定，凡是一次购买铅笔 301 支以上（包括 301 支），
可以按批发价付款；购买 300 支以下（包括 300 支）只能按零售价付款，现有学生小王
来购买铅笔，如果给学校初三年级学生每人买 1 支，则只能按零售价付款，需用(m2－1)
元（m 为正整数，且 m2－1>100）；如果多买 60 支，则可以按批发价付款，同样需用(m2－1)
元.
(1)设这个学校初三年级共有 x 名学生，则(a)x 的取值范围应为
(b)铅笔的零售价每支应为 元，批发价每支应为 元
（用含 x，m 的代数式表示）
(2)若按批发价每购 15 支比按零售价每购 15 少付款 1 元，试求这个学校初三年级共有多
少名学生，并确定 m 的值。
二．列方程解应用题
1．某商店运进 120 台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出 4 台，
结果提前 5 天完成销售任务，原计划每天销售多少台？
2．我省 1995 年初中毕业会考（中考）六科成绩合格的人数为 8 万人，1997 年上升到 9
万人，求则两年平均增长的百分率（取 2=1.41）
3．甲、乙两队完成某项工作，甲单独完成比乙单独完成快 15 天，如果甲单独先工作 10
天，再由乙单独工作 15 天，就可完成这项工作的2
3，求甲、乙两人单独完成这项工作各
需多少天？
4．某校校长暑期将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买
全票一张，则其余学生可享受半价优待”，乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的
6 折优惠（即按全票价的 60％收费），若全票为 240 元
(1)设学生数为 x，甲旅行社收费为 y 甲，乙旅行社收费为 y 乙，分别计算两家旅行社的收
费（建立表达式）
(2)当学生数为多少时，两家旅行社的收费一样？
(3)就学生数 x 讨论哪家旅行社更优惠？
5．现有含盐 15％的盐水内 400 克，张老师要求将盐水质量分数变为 12％。某同学由于
计算失误，加进了 110 克的水，请你通过列方程计算说明这位同学加多了，并指出多加
了多少克的水？
6．甲步行上午 6 时从 A 地出发于下午 5 时到达 B 地，乙骑自行车上午 10 时从 A 地出发，
于下午 3 时到达 B 地，问乙在什么时间追上甲的？
7．中华中学为迎接香港回归，从 1994 年到 1997 年内师生共植树 1997 棵，已知该校 1994
年植树 342 棵，1995 年植树 500 棵，如果 1996 年和 1997 年植树棵数的年增长率相同，
那么该校 1997 年植树多少棵？
8．要建一个面积为 150m2 的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条
墙，墙长为 am，另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为 35m，（1）求鸡场的长与
宽各为多少？（2）题中墙的长度 a 对题目的解起 着 怎
样的作用？
9．永盛电子有限公司向工商银行申请了甲乙两种 款，共
计 68 万元，每年需付出利息 8.42 万元，甲种贷款每 年 的
利率是 12％，乙种贷款每年的利率是 13％，求这 两 种
贷款的数额各是多少？
10．小明将勤工俭学挣得的 100 元钱按一年期存入少儿银行，到期后取出 50 元用来购买
学习用品，剩下的 50 元和应得的利息又全部按一年期存入。若存款的年利率保持不变，
这样到期后可得本金和利息共 66 元，求这种存款的年利率。
11.某公司向银行贷款 40 万元，用来生产某种新产品，已知该贷款的年利率为 15％（不
计复利，即还贷前每年息不重复计息），每个新产品的成本是 2.3 元，售价是 4 元，应纳
税款为销售额的 10％。如果每年生产该种产品 20 万个，并把所得利润（利润＝销售额－
成本－应纳税款）用来归还贷款，问需几年后能一次还清？
A B
C
D E
F
12.某车间在规定时间内加工 130 个零件，加工了 40 个零件后，由于改进操作技术，每
天比原来计划多加工 10 个零件，结果总共用 5 天完成任务。求原计划每天加工多少个零
件?
13.东西两车站相距 600 千米，甲车从西站、乙车从东站同时同速相向而行，相遇后，甲
车以原速，乙车以每小时比原速快 10 千米的速度继续行驶，结果，当乙车到达西站 1 小
时后，甲车也到达东站，求甲、乙两车相遇后的速度？
14.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用 10 小时。
如果单独开放甲管 10 小时后，加入乙管，需要 6 小时可把水池注满。问单独开放一个水
管，各需多少小时才能把水池注满？
15.某商店 1995 年实现利税 40 万元（利税＝销售金额－成本），1996 年由于在销售管理
上进行了一系列改革，销售金额增加到 154 万元，成本却下降到 90 万元，（1）这个商店
利税 1996 年比 1995 年增长百分之几？
（2）若这个商店 1996 年比 1995 年销售金额增长的百分数和成本下降的百分数相同，求
这个商店销售金额 1996 年比 1995 年增长百分之几？
16.甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发，经 C 地去 B 地，已知 C 地离 B 地 180 千米，出发时
甲车每小时比乙车多行驶 5 千米。因此，乙车经过 C 地比甲车晚半小时，为赶上甲车，
乙车从 C 地起将车速每小时增加 10 千米，结果两从同时到达 B 地，求（1）甲、乙两从
出发时的速度；（2）A、B 两地间的距离.
17.某项工程，甲、乙两人合作，8 天可以完成，需费用 3520 元；若甲单独做 6 天后，剩
下的工程由乙独做，乙还需 12 天才能完成，这样需要费用 3480 元，问：（1）甲、乙两
人单独完成此项工程，各需多少天？
（2）甲、乙两人单独完成此项工程，各需费用多少元？
18．某河的水流速度为每小时 2 千米，A、B 两地相距 36 千米，一动力橡皮船从 A 地出发，
逆流而上去 B 地，出航后 1 小时，机器发生故障，橡皮船随水向下漂移，30 分钟后机器
修复，继续向 B 地开去，但船速比修复前每小时慢了 1 千米，到达 B 地比预定时间迟了 54
分钟，求橡皮船在静水中起初的速度.
第四章 不等式与不等式组与中考
中考要求及命题趋势
1.不等式，一元 一次不等式（组） 及其解集的概念。
2.不等式的基本性质，一元 一次不等式（组）解法以及解集的数轴表示。
3.解决不等式（组）的应用题，要求学生会将应用题里关于‘已 知 量 ’‘未知 量 ’
之间的关系用明确的不等式关系表示出来，并注意 应用题中字母 所表示的实际意义。
2012 年的中考将会以填空和选择的方式考查不等式的基本性质和解集概念，解答题
是解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来。不等式的应用题还是热点考查内容，
考查可能与日常生活相联系，也可能与其他章节内容，如方程、函数及几何内容相结合。
应试对策
解不等式（组）是本节的重点，而不等式的性质是解不等式的基础，在复习本节
时 ，首先要强化三条性质的应用顺练，切忌不等式两边同乘 （除）含 字母的代数式（即
正负不明的代数式）；其次注意 数 形 结合的方法，即充分利用数轴，关于不等式（组）
的应用题，要通过建模训练，学会找出实际问题中的不等关系，并能在不等式的解集中
找出符合题意的答案，还要注意与其他类型的应用题结合起来训练。
第一讲 一元一次不等式（组）及应用
【回顾与思考】
〖知识点〗
不等式概念，不等式基本性质，不等式的解集，解不等式，不等式组，不等式组的解集，
解不等式组，一元一次不等式，一元一次不等式组。
课标要求
1.理解不等式，不等式的解等概念，会在数轴上表示不等式的解；
2.理解不等式的基本性质，会应用不等式的基本性质进行简单的不等式变形，会解
一元一次不等式；
3.理解一元一次不等式组和它的解的概念，会解一元一次不等式组；
4.能应用一元一次不等式（组）的知识分析和解决简单的数学问题和实际问题。
内容分析
一元一次不等式、一元一次不等式组的解法
(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不为零的不等式，叫做一元一次不等式．
解一元一次不等式的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成 1．要特别注意，
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，要改变不等号的方向．
(2)解一元一次不等式组的一般步骤是：
(i)先求出这个不等式组中各个一元一次不等式的解集；
(ii)再利用数轴确定各个解集的公共部分，即求出了这个一元一次不等式组的解集．
考查重点与常见题型
考查解一元一次不等式（组）的能力，有关试题多为解答题，也出现在选择题，填
空题中。
【例题经典】
不等式的性质及运用
例 1 下列四个命题中，正确的有（ ）
①若 a>b，则 a+1>b+1；②若 a>b，则 a-1>b-1；
③若 a>b，则-2a<-2b；④若 a>b，则 2a<2b．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】注意观察前后两个式子的变化，想一想与不等式的性质是否相符．
会解一次不等式，并理解解集用数轴表示的意义
例 2 （2006 年嘉兴市）解不等式 x> x-2，并将其解集表示在数轴上．
【点评】步骤类似于解一元一次方程，但要注意不等号方向的变化．
例 3、关于 x 的不等式 的解集如图所示，则 a 的取值是（ ）
考查内容：不等式的解集与数轴上所表示的数集之间的对应。 解为-1
1
3
12 −≤− ax
·
0·· —1—2 ○
例 4. 不等式 2x+1≥5 的解集在数轴上表示正确的是 ( )
分析：考查不等式求解和用数轴表示其解集。注意取实心点的条件，不等式的解为
x≥2 答案：D
例 5．如图，数轴上表示的一个不等式组的解集，这个不等式组的整数解是__________。
分析：考查不等式求解和用数轴表示其解集。注意取实心点的条件
答案：-1，0
例 6.函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是( )
A．x≠2 B．x≥2 C.x≤2D．x>2
分析：通过不等式的形式 2 算术平方根中被开方数的非负性。答 案：B
例 7.如果最简二次根式 与 是同类根式，那么使 有意义的 x 的
取值范围是 ( )
A．x≤10 B．x≥10 C．x<1O D．x>10
分析：考查同类根式的意义及二次根式有意义的条件。答案：A
借助数轴，解一元一次不等式组
例 8 （2006 年淄博市）解不等式组，并在数轴上表示解集.
【点评】先求每个不等式的解集，再借助数轴求不等式组的解集．
例 9．不等式组 的最小整数解是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．－1
分析：整数包括正整数、负整数和 0 答案：A
例 10.不等式组 的整数是（ ）
（A） -1，0，1 （B） -1，1 （C） -1，0 （D） 0，1 答案：C
会列不等式（组）解应用题
例 11（2006 年广东省）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分 5 个苹果，则还
剩 12 个苹果；若每位小朋友分 8 个苹果，则有一个小朋友分不到 8 个苹果．求这一箱
苹果的个数与小朋友的人数．
【点评】从题意寻求两个不等关系，列出不等式组，求出解集，并取正整数解．
例 10、（05 广东茂名市）今年 6 月份，我市某果农收获荔枝 30 吨，香蕉 13 吨，现计划
租用甲、乙两种货车共 10 辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝 4 吨和香
蕉 1 吨，乙种货车可装荔枝香蕉各 2 吨；
⑴该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来
⑵若甲种货车每辆要付运输费 2000 元，乙种货车每辆要付运输费 1300 元，则该果
2−x
83 −a a217 − xa 24 −
3 3 8,2
1 3( 1) 8 .
x
x x
− + ≥
− − < −
−≤−
>+
xx
x
284
133
<+
≥+
32
01
x
x
农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？
考查内容：根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式组解决实际问题。
解：设安排 x 辆甲种货车，（10-x）辆乙种货车
得 ，方案 1：甲车 5 辆，乙车 5 辆，费用 16500 元；
方案 2：甲车 6 辆，乙车 4 辆，费用 16200 元；方案 3：甲车 7 辆，乙车 3 辆，费用 17900
元；
例 12.我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，
甲厂的优惠条件是：按每份定价 1．5 元的八折收费，另收 900 元制版费；乙厂的优惠条
件是：每份定价 1．5 元的价格不变，而制版费 900 元则六折优惠．且甲乙两厂都规定：
一次印刷数量至少是 500 份．
(1)分别求两个印刷厂收费 y(元)与印刷数量 x(份)的函数关系，并指出自变量 x 的取
值范围．
(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案?如果这个中学要印制 2000 份录取通知书。
那么应当选择哪一个厂?需要多少费用?
分析：本题主要考查一次函数、不等式等知识，考查运算能力及分析和解决实际问题
的能力．
解：(1)y 甲=1．2x+900(元)x≥500(份)，且 x 是整数
y 乙=1．5x+540(元) x≥500(份)，且 x 是整数
(2)
若 y 甲>y 乙，即 1．2x+900>1．5x+540∴x<1200
若 y 甲=y 乙，即 1．2x+900=1．5x+540∴x=1200
若 y 甲
1200
当 x=2000 时，y 甲=3300
答：当 500≤x<1200 份时，选择乙厂比较合算；
当 x=1200 份时，两个厂的收费相同；
当 x>1200 份时，选择甲厂比较合算；
所以要印 2000 份录取通知书，应选择甲厂，费用是 3300 元．
第二讲 不等式（组）与方程（组）的应用
【例题经典】
例 1 （2006年内江市）内江市对城区沿江两岸的部分路段进行亮化工程建设，整个工程
拟由甲、乙两个安装公司共同完成．从两个公司的业务资料看到：若两个公司合做，
则恰好用 12 天完成；若甲、乙合做 9 天后，由甲再单独做 5 天也恰好完成．如果每天
需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为 1.2 万元和 0.7 万元．
（1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？
（2）要使整个工程费用不超过 22.5 万元，则乙公司最少应施工多少天？
【点评】（1）利用方程组解决;（2）利用不等式解决，结合实际取值.
例 2 （2005 年潍坊市）为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了
“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交
≥−+
≥−+
13)10(2
30)10(24
xx
xx
75 ≤≤ x
通秩序．若每一个路口安排 4 人，那么还剩下 78 人；若每个路口安排 8 人，那么最后
一个路口不足 8 人，但不少于 4 人．求这个中学共选派值勤学生多少人？共在多少个交
通路口安排值勤？
【分析】本题与学生生活实际联系紧密，是一道很好的列不等式组应用题，解决本
题应注意路口人数与总人数之间的关系．
例 3 华溪学校科技夏令营的学生在 3 名老师的带领下，准备赴北京大学参观，体验大学
生活．现有两个旅行社前来承包，报价均为每人 2000 元，他们都表示优惠；希望社表示
带队老师免费，学生按 8 折收费；青春社表示师生一律按 7 折收费．经核算，参加两家
旅行社费用正好相等．
（1）该校参加科技夏令营的学生共有多少人？
（2）如果又增加了部分学生，学校应选择哪家旅行社？
【点评】方程与不等式的综合应用，注意取值与实际生活要相符
第五章函数与中考
中考要求及 命题趋势
函数是数形结合的重要体现，是每年中考 的必考 内容，函数的概念主要用选择、填
空 的形式考查 自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，
一般占 2%左右。一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选
择、解答题及综合题的形式考查，占 5%左右。反比例函数的图像和性质的考查常以客观
题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3——6 分；二次函
数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中。要求：
能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点
法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开
口方向和对称轴，并能解决实际问题。会求一元二次方程的近似值。
2012 年依然主要考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像为主。一
次函数的图像和性质；在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解。将继续考
查二次函数，重点关注它与代数、几何知识的综合应用，加强二次函数的实际应用。
应试对策
1、 理解函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点。
2、 要进行自变量与因变量之间的变化图像识别的训练，真正理解图像与变量的关
系。
3、 掌握一次函数的一般形式和图像
4、 掌握一次函数的增减性、分布象限，会作图
5、 明确反比例函数的特征图像，提高实际应用能力。
6、 牢固掌握二次函数的概念和性质，注重在实际情景中理解二次函数的意义，关
注与二次函数相关的综合题，弄清知识之间的联系。
第一讲 变量之间的关系与平面直角坐标系
【回顾与思考】
〖知识点〗
平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法
〖课标要求〗
1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位
置，由点的位置确定点的坐标；
2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数；
3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图像。
内容分析
1．平面直角坐标系的初步知识
在平面内画两条互相垂直的数轴，就组成平面直角坐标系，水平的数轴叫做 x 轴或横轴 (正方向
向右)，铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴(正方向向上)，两轴交点 O 是原点．这个平面叫做坐标平面．
x 轴和 y 把坐标平面分成四个象限(每个象限都不包括坐标轴上的点)，要注意象限的编号顺序及
各象限内点的坐标的符号：
由坐标平面内一点向 x 轴作垂线，垂足在 x 轴上的坐标叫做这个点的横坐标，由这个点向 y 轴作
垂线，垂足在 y 轴上的坐标叫做这个点的纵坐标，这个点的横坐标、纵坐标合在一起叫做这个点的坐
标（横坐标在前，纵坐标在后)．一个点的坐标是一对有序实数，对于坐标平面内任意一点，都有唯
一一对有序实数和它对应，对于任意一对有序实数，在坐标平面都有一点和它对应，也就是说，坐标
平面内的点与有序实数对是一一对应的．
2．函数
设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那
么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数．
用数学式子表示函数的方法叫做解析法．在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值范围必须
使解析式有意义．遇到实际问题，还必须使实际问题有意义．
当自变量在取值范围内取一个值时，函数的对应值叫做自变量取这个值时的函数值．
3．函数的图象
把自变量的一个值和自变量取这个值时的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在坐标平面
内描出一个点，所有这些点组成的图形，就是这个函数的图象．也就是说函数图象上的点的坐标都满
足函数的解析式，以满足函数解析式的自变量值和与它对应的函数值为坐标的点都在函数图象上．
知道函数的解析式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图象：
(i)列表．在自变量的取值范围内取一些值，算出对应的函数值，列成表．
(ii)描点．把表中自变量的值和与它相应的函数值分别作为横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出
相应的点．
(iii)连线．按照自变量由小到大的顺序、用平滑的曲线把所描各点连结起来．
【例题经典】
了解平面直角坐标系的意义，会判断点的位置或求点的坐标
例 1、在平面直角坐标系中，点(－1，－2)所在的象限是 ( )
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
分析：考查已知的点的坐标，确定它的象限 答案：D
例 2 .如果代数式 有意义．那么直角坐标系中点 A(a、b)的位置在( )．(A)
第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
分析：要使根式有意义，a 和 b 都要大于 0 答案： A
例 3（1）（2006 年益阳市）在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别为 A（-2，1），
B（-3，-1），C（1，-1）．若四边形 ABCD 为平行四边形，那么点 D 的坐标是________．
（2）（2006 年德州市）将点 A（3，1）绕原点 O 顺时针旋转 90°到点 B，则点 B的坐标
是__________．
【解析】利用数形结合的方法，直观求解．
会根据图象获取信息，进行判断
例 4、函数 中，自变量 x 的取值范围是___________________；
答案：x≥l
例 5、下列四个图象中，不表示某一函数图象的是( )．
分析：D 图不能用函数式表示出来。
答案：D
例 6（2006 年怀化市）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一
段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了 28 千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：
“我来考考，图（1）、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加
工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了________千克．”
ab
a 1+
1−= xy
(1) (2)
【解析】结合已知条件和图象，先求出小明休息前的工作时间和小丽的工作效率，
是解决问题的关键．
例 7、（05 枣庄）水池有 2 个进水口，1 个出水口，每个进水口进水量与时间的关
系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天 0 点到 6 点，该水池的蓄
水量与时间的关系如图丙所示．
下列论断：①0 点到 1 点，打开两个进水口，关闭出水口；②1 点到 3 点，同时关闭两
个进水口和—个出水口；③3 点到 4 点，关门两个进水口，打开出水口；④5 点到 6 点．同
时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
选（D）
了解函数的表示方法，理解函数图象的意义
例 8（2006 年贵阳市）小明根据邻居家的故事写了一道小诗：“儿子学成今日返，老父
早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中
离家的距离，用横轴 x 表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合
的是（ ）
【评析】本例主要考查识图能力，对于函数图象信息题，要充分挖掘图象所含信息，
通过读图、想图、析图找出解题的突破口．另外，函数图象信息通常是以其他学科为背
景，因此熟悉相关学科的有关知识对解题很有帮助．
例 9.某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：
砝码的质量 x(克) 0 50 100 150 200 250 300 400 500
指针位置 y(厘米) 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5
则 y 关于 x 的函数图象是( )．
分析：当砝码的质量大于或等于 275 克时，指针位置 7.5(厘米)不变
答案：D
第二讲 正比例、反比例、一次函数
〖知识点〗
正比例函数及其图像、一次函数及其图像、反比例函数及其图像
〖课标要求〗
1．理解正比例函数、一次函数、反比例函数的概念；
2．理解正比例函数、一次函数、反比例函数的性质；
3．会画出它们的图像；
4．会用待定系数法求正比例、反比例函数、一次函数的解析式
内容分析
1、一次函数
（1）一次函数及其图象
如果 y=kx+b（K，b 是常数，K≠0），那么，Y 叫做 X 的一次函数。
特别地，如果 y=kx（k 是常数，K≠0），那么，y 叫做 x 的正比例函数
一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线
（2）一次函数的性质
当 k>0 时 y 随 x 的增大而增大，当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小。
2、反比例函数
(1) 反比例函数及其图象
如果 ,那么，y 是 x 的反比例函数。
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象
（2）反比例函数的性质
当 K>0 时，图象的两个分支分别在一、二、三象限内，在每个象限内， y 随 x 的增大而减小；
当 K<0 时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。
3.待定系数法
先设出式子中的未知数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法可
用待定系数法求一次函数、二次函数和反比例函数的解析式
〖考查重点与常见题型〗
1．考查正比例函数、反比例函数、一次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择
题中
2．综合考查正比例、反比例、一次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内
考查两个函数的图像，试题类型为选择题
3．考查用待定系数法求正比例、反比例、一次函数的解析式，有关习题出现的频率
很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题
4．利用函数解决实际问题，并求最值，这是近三年中考应用题的新特点。
)0,( ≠= kkx
ky 是常数
第一节 一次函数
【回顾与思考】
一次函数
【例题经典】
理解一次函数的概念和性质
例 1、下列函数中，正比例函数是( )
A．y==—8x B．y==—8x+1 C．y=8x2+1 D．y=-
分析：A 是正比例函数，B 是一次函数，C 是二次函数，D 是反比例函数
答案：A
例 2、大连市内与庄河两地之间的距离是 160 千米，若汽车以平均每小时 80 千米的速度
从大连市内开往庄河，则汽车距庄河的路程 y (千米)与行驶的时间 x (小时)之间的函数
关系式为_________________________；
答案：y=-80x+160
例 3、如图 2，直线 与 轴交于点(－4 , 0)，则 > 0 时， 的
取值范围是 ( )
A、 >－4 B、 >0 C、 <－4 D、 <0
分析：考查一次函数图像
答案：A
例 4、 若一次函数 y=2x +m-2 的图象经过第一、第二、三象限，求 m 的值．
【分析】这是一道一次函数概念和性质的综合题．一次函数的一般式为 y=kx+b（k≠
0）．首先要考虑 m2-2m-2=1．函数图象经过第一、二、三象限的条件是 k>0,b>0，而 k=2，
只需考虑 m-2>0．由 便可求出 m 的值．
用待定系数法确定一次函数表达式及其应用
例 5（2006 年济宁市）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几
组“鞋码”与鞋长的对应数值：
鞋长 16 19 24 27
鞋码 22 28 38 44
（1）分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？
（2）设鞋长为 x，“鞋码”为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；
（3）如果你需要的鞋长为 26cm，那么应该买多大码的鞋？
0,
0,
y y x
k y x
≠
≠
> <
一般式y=kx+b( k 0)概念
正比例函数y=kx( k 0)
随 的增大而增大性质 随 的增大而减小
b图象: 经过( 0, b) , ( - , 0) 的直线k
x
8
bkxy += x y x
x x x x
2 2 2m m− −
2 2 2 1
2 0
m m
m
− − =
− >
【评析】本题是以生活实际为背景的考题．题目提供了一个与现实生活密切联系的
问题情境，以考查学生对有关知识的理解和应用所学知识解决问题的能力，同时为学生
构思留下了空间．
建立函数模型解决实际问题
例 6（2006 年南京市）某块试验田里的农作物每天的需水量 y（千克）与生长时间 x
（天）之间的关系如折线图所示．这些农作物在第 10天、第 30天的需水量分别为
2000 千克、3000 千克，在第 40 天后每天的需水量比前一天增加 100 千克．
（1）分别求出 x≤40 和 x≥40 时 y 与 x 之间的
关系式；
（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于
4000 千克时，需要进行人工灌溉，那么应从
第几天开始进行人工灌溉？
【评析】本题提供了一个与生产实践密切联系的问题
情境，要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息，判断函数类型．建立
函数关系．为学生解决实际问题留下了思维空间．
第二节 反比例函数
【回顾与思考】
反比例函数
【例题经典】
一、理解反比例函数的意义
例1 若函数 y=（m2-1）x 为反比例函数，则 m=________．
【解析】在反比例函数 y= 中，其解析式也可以写为 y=k·x-1，故需满足两点，一
是 m2-1≠0，二是 3m2+m-5=-1
【点评】函数 y= 为反比例函数，需满足 k≠0，且 x 的指数是-1，两者缺一不
可．
二、 会灵活运用反比例函数图象和性质解题
例 2、若 M 、N 、P 三点都在函数 （ｋ＜0）的图象上，则
的大小关系为（ ）
A、 ＞ ＞ B、 ＞ ＞
C、 ＞ ＞ D、 ＞ ＞
点评：本题旨在考查学生对反比例函数性质的掌握情况，画出图象便一目了然，渗透了
数形结合的数学思想。
例 3 （2006 年常德市）已知 P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是反比例函数 y=
概念
图像与性质
应用
23 5m m+ −
k
x
k
x
− 1,2
1 y
− 2,4
1 y
3,2
1 y x
ky =
321 yyy 、、
2y 3y 1y 2y 1y 3y
3y 1y 2y 3y 2y 1y
的图象上的三点，且 x10知双曲线两个分支分别位于第
一、三象限内，且在每一个象限内，y 的值随着 x 值的增大而减小，点 P1，P2，P3的横
坐标均为负数，故点 P1，P2 均在第三象限内，而 P3 的第一象限．故 y>0．此题也可以将
P，P，P 三点的横坐标取特殊值分别代入 y= 中，求出 y1，y2，y3 的值，再比较大小．
例 4．某蓄电池的电压为定值，右图表示的是该蓄电池电流 I(A) 与 电
阻 R(Ω) 之 间 的 函 数 关 系 图 像 ． 请 你 写 出 它 的 函 数 解 析 式 是
．
答案：I=36/R
例 5.已知直线 y=kx+b 与双曲线 y= 交于 A(x1，y1)，，B(x2，y2) 两点，
则 x1·x2 的值( )
A.与 k 有关、与 b 无关 B.与 k 无关、与 b 有关
C．与 k、b 都有关 D.与 k、b 都无关
答案：D
例 6（2006 年烟台市）如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 图象交于 A（-2，
1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的
值的 x 的取值范围．
【解析】（1）求反比例函数解析式需要求出 m 的值．
把 A（-2，1）代入 y= 中便可求出 m=-2．把 B（1，n）代入 y= 中得 n=-2．由待定系
数法不难求出一次函数解析式．（2）认真观察图象，结合图象性质，便可求出 x 的取值
范围．
例 7、如图，Rt△ABO 的顶点 A 是双曲线 y= 与直线 y=-x+(k+1)在第四象限的交点，
AB⊥x 轴于 B，且 S△ABO= ．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求直线与双曲线的两个交点 A，C 的坐标和△AOC
的面积．
解：(1)设 A 点坐标为(x，y)，S△ABO=3/2
k=±3，∵点 A 在第四象限内，∴k=-3，．反比例函数的 解析式为
y=-3/x，一次函数的解析式为 y=-x-2； (2) 解两个解析式的方程组得 x1=-3 y1=1 x2=1
y2=-3．A 点坐标为(1，-3)，C 点坐标为(-3，1)，设直线 AC 与 y 轴交于点 D，则 D 点坐
标为(O，-2)，S△AOC=S△AOD+S△COD=4(平方单位)．
第三节 二次函数
【回顾与思考】
2
x
2
x
x
k
m
x
m
x
2
x
−
x
k
2
3
〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向
〖课标要求〗
1．理解二次函数的概念；
2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，
会用描点法画二次函数的图象；
3．会平移二次函数 y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数 y＝a(ax＋m)2＋k 的图象，了
解特殊与一般相互联系和转化的思想；
4．会用待定系数法求二次函数的解析式；
5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与 x 轴的交
点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的
联系。
内容
（1）二次函数及其图象
如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0),那么，y 叫做 x 的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。
（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向
抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是 ，对称轴是 ，当 a>0 时，抛物线
开口向上，当 a<0 时，抛物线开口向下。
抛物线 y=a（x+h）2+k(a≠0)的顶点是（-h，k），对称轴是 x=-h.
〖考查重点与常见题型〗
1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以 x 为自变量的二次函数 y＝(m－2)x2＋m2－m－2 额图像经过原点，
则 m 的值是
2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直
角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数 y＝kx＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数
)4
4,2(
2
a
bac
a
b −−
a
bx 2
−=
y＝kx2＋bx－1 的图像大致是（ ）
y y y y
1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D
3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有
中档解答题和选拔性的综合题，如：
已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 x＝5
3，求这条抛物线的解析式。
4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答
题，如：
已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与 x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与 y 轴交点的
纵坐标是－3
2（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴
和顶点坐标.
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例 1 （1）二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图 1，则点 M（b， ）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）（2005 年武汉市）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图 2 所示，则
下列结论：①a、b 同号；②当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；③4a+b=0；④当 y=-2 时，
x 的值只能取 0.其中正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键．
例 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且 1O；③4a+cO，其中正确结论的个数为( )
A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D．4 个
答案：D
会用待定系数法求二次函数解析式
例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数
y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)
答案：C
例 4、（2006 年烟台市）如图（单位：m）， 等 腰
c
a
三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD 重合．设 x 秒
时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2．
（1）写出 y 与 x 的关系式；
（2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点
坐标、对称轴.
例 5、（2005 年天津市）已知抛物线 y= x2+x- ．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数
与一元二次方程的关系．
例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于 A(x1，O)，
B(x2，O)两点(x1∠ACO?若
存在，请你求出 M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．
(1)解：如图∵抛物线交 x 轴于点 A(x1，0)，B(x2，O)，
则 x1·x2=3<0，又∵x1O，x1∠ACO．
例 7、（04·青海湟中县实验区卷）“已知函数 的图象经过点 A（c，－2），
求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水
污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请
写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补
充完整。
点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，
就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点
A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中
的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是
第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考
虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标
等。
[解答] （1）根据 的图象经过点 A （c，－2），图
1
2
5
2
cbxxy ++= 2
2
1
cbxxy ++= 2
2
1
象的对称轴是 x=3，得
解得
所以所求二次函数解析式为 图象如图所示。
（2）在解析式中令 y=0，得 ，解得
所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+ ”或“抛物线与 x 轴的一
个交点的坐标是
令 x=3 代入解析式，得
所以抛物线 的顶点坐标为
所以也可以填抛物线的顶点坐标为 等等。
函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现
实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思
想；关注函数与相关知识的联系。
第四节 二次函数的应用
【回顾与思考】
二次函数应用
【例题经典】
用二次函数解决最值问题
例 1 （2006 年旅顺口区）已知边长为 4 的正方形截去一 个角后
成为五边形 ABCDE（如图），其中 AF=2，BF=1．试在 AB 上求一
点 P，使矩形 PNDM 有最大面积．
【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与 二次函
数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解
题思路留下了思维空间．
例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y
（件）之间的关系如下表：
x（元） 15 20 30 …
=
⋅
−
−=++
,3
2
12
,22
1 2
b
cbcc
=
−=
.2
,3
c
b
.232
1 2 +−= xxy
0232
1 2 =+− xx .53,53 21 −=+= xx
)0,5
).0,53( −
,2
5−=y
232
1 2 +−= xxy ),2
5,3( −
)2
5,3( −
刹车距离
何时获得最大利润
最大面积是多少
y（件） 25 20 10 …
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数．
（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售
利润是多少元？
【解析】（1）设此一次函数表达式为 y=kx+b．则 解得 k=-1，b=40，
即一次函数表达式为 y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元
w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．
产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元．
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：
（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”
要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解
方程．
例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图
所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别
站在距甲拿绳的手水平距离 1m、2．5m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已
知学生丙的身高是 1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)
( )
A．1．5 m B．1．625 m
C．1．66 m D．1．67 m
分析：本题考查二次函数的应用
答案：B
第五节 用函数的观点看方程 （
组）或不等式
【回顾与思考】
【例题经典】
15 25,
2 20
k b
k b
+ =
+ =
利用一次函数图象求方程（组）的解
例1 （1）（2006 年陕西省）直线 y=kx+b（k≠0）的图象如图 1，则方程 kx+b=0的解为
x=_______，不等式 kx+b<0 的解集为 x_______．
（1） (2) (3)
【点评】抓住直线与 x 的交点就可迎刃而解．
（2）（2006 年重庆市）如图 2,已知函数 y=ax+b和 y=kx的图象，则方程组
的解为_______．
【点评】两直线的交点坐标即为方程组的解．
利用二次函数的图象求二元二次方程的根或函数值的取值范围
例 2 （2006 年吉林省）已知二次函数 y1=ax2+bx+c（a≠0）和直线 y2=kx+b（k≠0）
的图象如图 3，则当 x=______时，y 1=0；当 x______时，y 1<0；当 x______时，
y1>y2．
【点评】抓住抛物线与 x 轴的交点和直线与抛物线交点来观察分析．
利用函数与方程、不等式关系解决综合问题
例 3 某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服
用，那么服药后 2 小时时血液中含药量最高，达每毫升 6 微克（1 微克=10-3 毫克），
接着逐步衰减，10 小时时血液中含药量为 每 毫
升 3 微克，每毫升血液中含药量 y（微克） 随 时
间 x（小时）的变化如图所示．当成人按规 定 剂
量服药后:
（1）分别求出 x≤2 和 x≥2 时 x 与 y 之间的函数关系式； （2）如果每毫升血液中含
药量为 4 微克或 4 微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？
【点评】从图中提供有效信息建立函数关系，并转化为不等式为解决．
第六节 函数的综合应用
y ax b
y kx
= +
=
【回顾与思考】
函数应用
【例题经典】
一次函数与反比例函数的综合应用
例 1 （2006 年南充市）已知点 A（0，-6），B（-3，0），C（m，2）三点在同一直线上，
试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式 并 画 出
其图象．（要求标出必要的点，可不写画法）．
【点评】本题是一道一次函数和反比例函数图象和性 质 的 小
综合题，题目设计新颖、巧妙、难度不大，但能很好 地 考 查
学生的基本功．
一次函数与二次函数的综合应用
例 2 （2005 年海门市）某校八年级（1）班共有学生 50 人，据统计原来每人每年用于
购买饮料的平均支出是 a 元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装
纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费
用 780 元，其中，纯净水的销售价（元/桶）与 年购买
总量 y（桶）之间满足如图所示关系．
（1）求 y 与 x 的函数关系式；
（2）若该班每年需要纯净水 380 桶，且 a 为 120 时，请
你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改 饮桶装
纯净水与个人买材料，哪一种花钱更少？
（3）当 a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你
有何感想（不超过 30 字）？
【点评】这是一道与学生生活实际紧密联系的试题，由图象可知，一次函数图象经过点
（4，400）、（5，320）可确定 y 与 x 关系式，同时这也是一道确定最优方案题，可利用
函数知识分别比较学生个人购买饮料与改饮桶装纯净水的费用，分析优劣．
1. :
2. :
3. :
4.
一次函数 图像及性质
二次函数 图像及性质
反比例函数 图像及性质
综合应用
二次函数与图象信息类有关的实际应用问题
例 3 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从 5 月 1日起的 50
天内，它的市场售价 y1 与上市时间 x 的关系可用图（a）的一条线段表示；它的种植
成本 y2 与上市时间 x 的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示．
（1）求出图（a）中表示的市场售价 y1 与上市时间 x 的函数关系式．
（2）求出图（b）中表示的种植成本 y2 与上市时间 x 的函数关系式．
（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也
不赚钱？
（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）
【点评】本题是一道函数与图象信息有关的综合题．学生通过读题、读图．从题目
已知和图象中获取有价值的信息，是问题求解的关键．
第六章三角形与中考
中考要求及命题趋势
1、、线段的和与差及线段的中点；
2、角的概念、分类及计算；
3、对顶角、余角、补角的性质及计算；度、分、秒的换算；
4、垂线、垂线段、线段的垂直平分线的定义及性质；
5、直线平行的条件的应用；
6、平行线的特征的应用。
7、三角形三边的关系；三角形的分类
8、三角形内角和定理；
9、全等三角形的性质
10、三角形全等的条件
11、三角形中位线的定义及性质
12、等腰三角形的性质 与条件；
13、直角三角形的性质与判别条件
2012 年中考，将继续考查线段的中点的概念及应用，对顶角、余角、补角的性质及
应用。继续考查垂线、线段的垂直平分线的性质的应用，平行线性质与判定方法的应用。
三角形全等的性质和判别条件，等腰三角形、直角三角形的性质和判别条件。
应试对策
1、认真掌握好线段中点的定义及相关表示方法，对顶角 、邻补角、余角的性质。
2、认真掌握垂线，线段 垂直平分线的性质与判别；平行线的性质与判定方法
3、熟练掌握与三角形有关的基本知识和基本技能；三角形全等的性质和判别条件，等腰
三角形、直角三角形的性质与判别条件，并需注意将有关知识应用到综合题的解题过程
中去，如把某些问题化为三角形的问题求解；能从复杂的图形中寻求全等的三角形等。
第一讲 几何初步及平行线、相交线
【回顾与思考】
〖知识点〗
两点确定一条直线、相交线、线段、射线、线段的大小比较、线段的和与差、线段
的中点、角、角的度量、角的平分线、锐角、直角、钝角、平角、周角、对顶角、邻角、
余角、补角、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角、平行线、平行线的性质及
判定、命题、定义、公理、定理
〖课标要求〗
1．了解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交直线确定一个交点，
解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概
念，掌握两点确定一条直线的性质，角平分线的概念，度、分、秒的换算，几何图形的
符号表示法，会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形；
2．了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，了解垂线
段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的
性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，会
识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角
相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内
角互补判定两条直线平行
〖考查重点与常见题型〗
1．求线段的长、角的度数等，多以选择题、填空题出现，如：
已知∠а＝112°，则∠а的补角的度数是
2．利用平行线的判定与性质证明或计算，常作为主要定理或公理使用，如：
如图，AB∥CD，∠CFE＝112°，ED 平分∠BEF， A E B
交 CD 于 D，则∠EDF＝
【例题经典】
角的计算
例 1．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_________．
解析：这类题是近几年中考的常见题型，主要考查学 生 对 问
题的转化思想及分析、解决问题的能力．通过观察图形， 可 作 出
一条辅助线，从而把问题化难为易．
点评：适当添加辅助线是解决几何问题的重要手段，有时方法不唯一，可引导学生
多方面、多角度去思考．
例 2、如图，已知方格纸中的每个小方格都是相 同的正
方形，∠AOB 画在方格纸上，请在小方格的顶点 上标出
一个点 P，使点 P 落在∠AOB 的平分线上。
考查内容：多角度、深层次理解角平分线概念， 以及与
角平分线概念相联系的其它概念和原理。
【平行线的应用】
例 1、(05 浙江)如图所示，直线 a∥b，则∠A= 度．a
b
A
B
C
28°
50°
例 2．如图所示，下列条件中，不能判断 L1∥L2 的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3
C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°
分析：根据平行线的判定或性质，不难得到：∠2=∠3 不 能 判 断
L1∥L2．
点评：这类问题可由选项出发找结论，也可由结论出发找选项．
例 3.如图，已知 AB∥CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，EG 平分∠BEF，若
∠1=5O°，则∠2 的度数为( )．
(A)50° (B)6 O° (C)6 5° (D)7 O°
答案：C
例 4.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第…次拐的角∠A 是 120°，
第二次拐的角∠B 是 150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的
道路平行，则∠C 是( )．
(A)120° (B)130° (C)140° (D)150°
答案：D
根据条件求线段长度或长度比
例 5．（1）数轴上有两点 A、B 分别表示实数 a、b，则线段 AB 的长度是（ ）
A．a-b B．a+b C．│a-b│ D．│a+b│
（2）已知线段 AB，在 BA 的延长线上取一点 C，使 CA=3AB，则线段 CA 与线段 CB 之
比为（ ）
A．3：4 B．2：3 C．3：5 D．1：2
分析：本类题目做时注意线段长度是非负数，若有字母注意使用绝对值．
点评：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，这样做起来简捷．根据条件
求线段长度或长度比可引导学生从不同的途径分析解答．
第二讲 三角形的概念和全等三角形
【回顾与思考】
三角形
知识点:
三角形，三角形的角平分线，中线，高线，三角形三边间的不等关系，三角形的内角
和，三角形的分类，全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定
课标要求
1． 了解全等形，全等三角形的概念和性质，逆命题和逆定理的概念，理解三角形，三角
形的顶点，边，内角，外角，角平分线，中线和高线，线段中垂线等概念。
2． 理解三角形的任意两边之和大于第三边的性质，掌握三角形的内角和定理，三角形的
外角等于不相邻的两内角的和；三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角的性质；
3． 理解全等三角形的概念和性质。掌握全等三角形的判定公理及其推论，并能应用他们
进行简单的证明和计算。
4． 学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握寓丁几何证明中的分
析，综合，转化等数学思想。
考查重点与常见题型
1.三角形三边关系，三角形内外角性质，多为选择题，填空题；
2.论证三角形全等，线段的倍分，常见的多为解答题
【例题经典】
三角形内角和定理的证明
例 1．如图所示，把图（1）中的∠1 撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到
什么结论？请你证明你所得到的结论．
点证：此题是让学生动手拼接，把∠1 移至∠2，已知 a∥b，根据两直线平行，同
三角形的概念及表示
三角形的基本要素及基本性质 三边的关系, 三内角的关系
三角形的高, 中线, 角平分线
三角形全等的表示及特征
三角形的全等 探索三角形全等的条件
三角形全等的应用
旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于 180°”的结论，由于此题剪拼的方法很多，
证明的方法也很多，注意对学生的引导．
探索三角形全等的条件
例 2 ． 如 图 所 示 ， ∠ E= ∠ F=90 ° ， ∠ B= ∠ C ， AE=AF ，
给出下列结论：
①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④ CD=DN．
其中正确的结论是_________．
解析：由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF
可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC．
∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．
依此类推得①、②、③
点评：注意已知条件与隐含条件相结合．
全等三角形的应用
例 3．（2006 年重庆市）如图所示，A、D、F、B 在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且 AE∥
BC．
求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．
【解析】（1）因为 AE∥BC，所以∠A=∠B．又因 AD=BF，所以 AF=AD+DF=BF+FD=BD，又
因 AE=BC，所以△AEF≌△BCD．
（2）因为△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以 EF∥CD．
【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行．
例 6.如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着 AB、AC 边翻折
180°形成的．若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α 的度数 为
．
答案：80°
第三节 等腰三角形
【回顾与思考】
等腰三角形
〖知识点〗
等腰三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形、等边三角形的性质
和判定、轴对称、轴对称图形
〖课标要求〗
1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的两底角相等、等腰三角形三线合一等
性质，掌握两个角相等的三角形是等腰三角形等判定定理，并能运用它们进行简
单的证明和计算；
2．理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的各角都是 60°等性质，掌握三个角都
相等的三角形或一个角是 60°的等腰三角形都是等边三角形等判定，能运用它们
进行简单的证明和计算；
3．了解轴对称及轴对称图形的概念，会判断轴对称图形。
〖考查重点与常见题型〗
等腰三角形和等边三角形的性质和判定的应用，证明线段、角相等，求线
段的长度、角的度数，中考题中多以选择题、填空题为主，有时也考中档
解答题，如：
（1）如果，等腰三角形的一个外角是 125°，则底角为 度；
（2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 45°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【例题经典】
根据等腰三角形的性质寻求规律
例 1．在△ABC 中，AB=AC，∠1= ∠ABC，∠2= ∠ ACB，BD 与 CE 相交于点
O，如图，∠BOC 的大小与∠A 的大小有什么关系？
若∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？
60
°
等边对等角性质 三线合一
腰与底边不等的等腰三角形
等角对等边判定
定义
三边相等性质 三角都相等
有一个角等于 的等腰等边三角形
三角形判定
三边都相等( 或三角都相等) 的
三角形
1
2
1
2
1
3
1
3
若∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？
【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，
根据等腰三角形的性质，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE，
即可得到∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB 时，∠BOC=90°+ ∠A；
∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB 时，∠BOC=120°+ ∠A；
∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB 时，∠BOC= ·180°+∠A．
【点评】在例 1 图中，若 AE= AB，AD= AC．类似上题方法同样可证得 BD=CE．上述规
律仍然存在．
会用等腰三角形的判定和性质计算与证明
例 2．如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，一腰上的中线BD 将 这 个
等腰三角形周长分成 15 和 6 两部分，求这个三角形的 腰 长 及
底边长．
【 分 析 】 要 分 AB+AD=15 ， CD+BC=6 和 AB+AD=6 ，
CD+BC=15 两种情况讨论．
利用等腰三角形的性质证线段相等
例 3．（2006 年常德市）如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC，以 BP
为边作∠PBQ=60°，且 BQ=BP，连结 CQ．
（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ，试判断△ PQC 的
形状，并说明理由．
【分析】（1）把△ABP 绕点 B 顺时针旋转 60°即可 得 到 △
CBQ．利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到 AP=CQ ．
（2）连接 PQ，则△PBQ 是等边三角形．PQ=PB，AP=CQ 故 CQ：
PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，∴△PQC 是直角三角形．
【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完
成此题的证明．
例 4.如图，A、B 是平面上两个定点，在平面上找一点 C，使△ABC 构成等腰直角三角形，
且 C 为直角顶点，请问这样的点有几个?并在图中作出所有符合条件的点．(要求：用尺
1
n
1
n
1
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
n
1
n
1n
n
−
1
n
1
n
规作图，保留作图痕迹，不写作法)
答案：有 2 个 作图}连结 AB 作 AB 的垂直平分线
以 AB 为直径作圆 圆与 AB 的中垂线的交点就是所求作的点
第四节 直角三角形
【回顾与思考】
直角三角形
〖知识点〗
直角三角形的性质和判定、逆命题和逆定理、勾股定理及逆定理、角平分线的性质、
线段的中垂线及其性质
〖课标要求〗
了解逆命题和逆定理的概念；掌握直角三角形中两锐角互余、斜边上的中线等于斜
边的一半及 30°角所对的直角边等于斜边的一半等性质，掌握勾股定理及其逆定理，并
能运用它们进行简单的论证和计算；掌握角平分线的性质定理及其逆定理，线段中垂线
性质定理及其逆定理。
〖考查重点与常见题型〗
直角三角形性质及其判定的应用，角平分线性质定理及其逆定理，线段中垂线的性
质定理及其逆定理的应用，逆命题的概念，中考题中多为选择题或填空题，有时也考查
中档的解答题，如：
（1）在直角三角形中，已知一条直角边的长为 6，斜边上的中线长为 5，则另一条
直角边的长为
（2）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是
（3）在△ABC 中，如果∠A－∠B＝90°，那么△ABC 是（ ）
(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)锐角三角形或钝角三角形
三边关系- - 勾股定理- - 应用
直角三角形的性质 - - - 应用
直角三角形的判别
【例题经典】
直角三角形两锐角互余
例 1．如图，有两个长度相同的滑梯（即 BC=EF），左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方
向的长度 DF 相等，则∠ABC+∠DFE=______．
【分析】∠ABC 与∠DFE 分布在两个直角三角形中，若说明这两个直角三角形全等
则问题便会迎刃而解．
【解答】在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，BC=EF，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，
∴∠ABC+∠DFE=90°，因此填 90°．
【点评】此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全
等，并运用与它相关的性质进行解题．
例 2、（05 梅州）如图 2，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点 O，则∠AOB+
∠DOC= 。
特殊直角三角形的性质、勾股定理的应用
例 3.若直角三角形的三边长分别为 2，4，x，则 x 的可能值有( )．
(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个
答案：B
例 4.如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，AC=3，将 BC 向 BA 方
向折过去，使点 C 落在 BA 上的 C’点，折痕为 BE，则 C'E 的长
是 ．答案：
例 5．（2006 年包头市）《中华人民共和国道路交通 管理条例》规定：“小
汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70 千米/ 时”．一辆小汽车在一条城
市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边 25 米处有“车速检测仪 O”，测得该车
从北偏西 60°的 A 点行驶到北偏西 30°的 B 点，所用时间为 1．5 秒．
2
)13(3 −
图 2
A
O B
CD
（1）试求该车从 A 点到 B 的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速．
【解析】（1）要求该车从 A 点到 B 点的速度．只需求出 AB 的距离，
在△OAC中，OC=25 米．∵∠OAC=90°-60°=30°，∴OA=2CO=50 米
由勾股定理得 CA= =25 （米）
在△OBC 中,∠BOC=30°
∴BC= OB.
∴（2BC）2=BC2+252
∴BC= （米）
∴AB=AC-BC=25 - = （米）
∴从 A 到 B 的速度为 ÷1.5= （米/秒）
（2） 米/秒≈69.3 千米/时
∵69.3 千米/时<70 千米/时
∴该车没有超过限速．
【点评】此题应用了直角三角形中 30°角对的直角边是斜边的一半及勾股定理，也
是几何与代数的综合应用．
勾股定理的逆定理的应用
例 3．如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：①在正方形网
格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；②连结三个
格点，使之构成直角三角形，小华在下面的正方形网格中作出了 Rt△ABC．请你按照
同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的
直角三角形互不全等．
2 2 2 250 25OA OC− = − 3
1
2
25
3 3
3 25
3 3 50
3 3
50
3 3 100
9 3
100
9 3
简析：此题的答案可以有很多种，关键是抓住有一直角这一特征，可以根据勾股定
理的逆定理“有两边的平方和等于第三边的平方，则三角形为直角三角形”构造出直角
三角形，答案如下图．
第七章 四边形
中考要求及命题趋势
1、多边形的内角和，外角和定理；2、平面图形密铺的条件。
3、平行四边形的性质。4、平行四边形的判别 条件。
5、矩形、菱形、正方形的概念及性质 的应用。
6、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系。
7、平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件的应用。8、梯形、直角梯形的定义及应用。
9、等腰梯形的定义性质及判别方法的应用
2012 年中考将继续考查多边形的内、外角和公式的应用，平行四边形的性质和判别
方法的应用，考查特殊平行四边形的性质与判别方法，其中菱形、矩形、正方形的性质
与判别将是考查的重点，关注特殊四边形与函数类问题结合的题型。将继续考查梯形有
关的计算与证明，其中等腰梯形的性质与判别方法的应用是考查的重点。
应试对策
1、熟记多边形的内角和公式、外角和公式，会利用公式求多边形的边数理解平行四边形
的面积、周长、对称性，掌握平行四边形的性质。
2、掌握矩形、菱形、正方形的相关性质和判别方法，进行证明和计算，要注意培养数形
结合的能力，灵活运用知识解决综合性问题的能力。
3、理解梯形、直角梯形的有关概念，会进行有关计算，掌握等腰梯形的性质与判别方法
的应用，熟练其辅助线的添法 ，体会转化的思想。
〖知识点〗四边形、四边形的内角和与外角和、多边形、多边形的内角和与外角和、平
行四边形、平行四边形的性质和判定、两条平行线间的距离、矩形、菱形、正方形的性
质和判定。
〖课标要求〗
1．理解多边形，多边形的顶点、边、内角、外角及对角线等概念，理解多边形的理
解
和定理，掌握四边形的理解和和外角和都是 360°的性质；
2．了解两点间的距离。点到直线的距离与两条平行线之间的距离及三者之间的联系，
了解平行四边形不稳定性的应用，理解两条平行线间的距离概念；
3．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形等概念，掌握平行四边形、矩形、菱形、
正
方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论
出发，寻找论证思路分析法和综合法，进一步提高分析问题，解决问题的能力。
〖考查重点与常见题型〗
1．考查特殊四边形的判定、性质及从属关系，此类问题在中考中常以填空题或选择
题出现，也常以证明题的形式出现。如：
下列命题正确的是（ ）
（A） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
（B） 对角线相等的四边形一定是矩形
（C） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
（D） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
2．求菱形、矩形等的面积，线段的长，线段的比及面积的比等，此类问题以不同种
题型常以如选择题,填空题出现，也常以论证题型和求解题型出现。如：
若菱形的周长为 16cm，两相邻角的度数之比是 1：2，则菱形的面积是（ ）
（A） 4 3cm （B）8 3cm （C）16 3cm （D）20 3cm
3．三角形和四边形与代数中的函数综合在一起
4．求多边形的边数、内角和、外角和及正多边形的角、边长及半径、边心距，以正
五边形、正六边形为常见，多见于填空题和选择题，如：
(1)正五边形的每一个内角都等于 度
(2)若正多边形的边心距与边长的比是 1：2，则这个正多边形的边数是
(3)已知正六边形的边长是 2 3，那么它的边心距是
第一节 多边形与平行四边形
【回顾与思考】
【例题经典】
利用平行四边形的性质求面积
例 1．（2006 年河南省）如图，在 ABCD 中，E 为 CD 的中点，连结 AE 并延长交 BC 的延
长线于点 F，求证：S△ABF=S ABCD．
【解析】∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC．
∵E 是 DC 的中点，∴DE=CE．
∴△AED≌△FEC．
∴S△AED =S△FEC．
∴S△ABF =S 四边形 ABCE+S△CEF =S 四边形 ABCE+S△AED =S ABCD
会根据条件选择适当方法判定平行四边形
例 2．（2005 年山东省）如图，在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F是对角线
AC 上的两点，当 E、F 满足下列哪个条件时，四边形 DEBF 不一定是平行四边形（ ）
A．OE=OF B．DE=BF C．∠ADE=∠CBF D．∠ABE=∠CDF
【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角 线 ” 三 个
角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当方法 应 是 “ 对
角线互相平分的四边形为平行四边形”．
能利用平行四边形的性质进行计算
例 3．（2005 年西宁市）如图，在 ABCD 中，已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△AOB的
周长为 15，AB=6，那么对角线 AC+BD=_______．
【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平 分 ， 先
求出 AO+BO=9，再求得 AC+BD=18．
第二节 矩形、菱形、正方形
【回顾与思考】
【例题经典】
会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形
例 1．（2005 年黄冈市）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90 ° ， ∠
BAC=60°，DE垂直平分 BC，垂足为 D，交 AB 于点 E，又 点 F 在
DE 的延长线上，且 AF=CE．求证：四边形 ACEF 为菱形．
【分析】欲证四边形 ACEF 为菱形，可先证四边形 ACEF 为
平行四边形，然后再证 ACEF 为菱形，当然，也可证四 条 边 相
等，直接证四边形为菱形．
例 2.如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、
F．
(1)求证：DE=DF．
(2)只添加一个条件，使四边形 EDFA 是正方形．请你至少写出两种不同的添加方法．(不
另外添加辅助线，无需证明)
解：(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC∵．∠DEB=∠DFC=90°
∵AB=AC，∴∠B=∠C．又 DB=DC，
△DEB≌△DFC(AAS) ∴DE=DF．
． (2)∠A=90°；四边形 AFDE 是平行四边形等
(方法很多，如∠B=45°或 BC= AB 或 DE⊥DF 或 F 为 AC 中点或 DF∥AB 等
矩形、菱形的综合应用
例 2．（2006 年青岛市）如图，在 ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角
线，AG∥DB 交 CB 的延长线于 G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【解析】（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD．
∵点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，
∴AE= AB，CF= CD．
∴AE=CF．
∴△ADE≌△CBF．
（2）当四边形 BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵AG∥BD，
∴四边形 AGBD 是平行四边形．
∵四边形 BEDF 是菱形，
∴DE=BE．
∵AE=BE，
∴AE=BE=DE．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
2
1
2
1
2
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°．
∴∠2+∠3=90°．
即∠ADB=90°，
∴四边形 AGBD 是矩形．
例 3.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是 ( )
A．等腰梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 答案：C
例 4.矩形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，且 MA⊥MD，若矩形的周长为 48cm，则矩形 ABCD 的
面积为 cm2． 答案：128
会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题
例 5．（2005 年吉林省）如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB=3 ，
BC=6，沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边上的点 P 处 ， 点
D 落在点 Q 处，AD 与 PQ 相交于点 H，∠BPE=30 °．
（1）求 BE、QF 的长．（2）求四边形 PEFH 的面积．
【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，
抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解．
例 6.如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，
向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，…，依此
类推，若正方形①的边长为 64cm，则正方形⑦的边长为 cm．
答案：8
第三节 梯形
【回顾与思考】
3
知识点：梯形、等腰梯形、直角梯形、等腰梯形的性质和判定、四边形的分类
课标要求：
1．掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，等腰梯形的性质和判定；
2．四边形的分类和从属关系。
考查重点与常见梯形
1．考查梯形的判定、性质及从属关系，在中考题中常以选择题或填空题出现，也常以证
明题的形式出现。如：
（A） 圆内接平行四边形是矩形；
（B） 一组对边平行另一组对边不平行的四边形一定是梯形；
（C） 顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是菱形；
（D） 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。
2．求梯形的面积、线段的长，线段的比及面积的比等，在中考题中常以选择题或填空题
出现，也常以证明题的形式出现。 如：如图梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC、BD 交于 O 点，
S⊿AOD：S⊿COB＝1：9，则 S⊿DOC：S⊿BOC＝
3．梯形与代数中的方程、函数综合在一起， 如在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AD，
AB＝10 3，AD、BC 的长是 x2-20x+75=0 方程的两根，那么以点 D 为圆心、AD 长为半
径的圆与以 C 圆心，BC 为半径的圆的位置关系是 。
【例题经典】
与梯形有关的计算
例 1．（2005 年海南省）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=60°，AD=10，AB=18，
求 BC 的长．
【分析】在梯形中常通过作腰的平行线，构造平行四边 形 、
三角形，从而把分散的条件集中到三角形中去，从而为 解 题
创造必要的条件．
例 4.如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AC 将梯形分成两个三角形，其中△ACD
是周长为 18 cm 的等边三角形，则该梯形的中位线的长是( )．
(A)9 cm (B)12cm (c) cm (D)18 cm 答案：C
等腰梯形的判定
例 2．（2005 年南通市）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对
角线 AC⊥BD 于 F，过点 F 作 EF∥AB，交 AD 于点 E，CF=4cm．
（1）求证：四边形 ABFE 为等腰梯形；
（2）求 AE 的长．
【分析】采用“阶梯”方法解决（1），先说明四边形 ABFE 为梯形，
再说明 AE=BF，作 DG⊥AB 于 G，利用 CD= AB 解决 AE=BF．（2）问要利用 Rt△BCF∽Rt
△ABF，求出 AF 长，再用 BF2=CF·AF，即可求出 BF 长，进而得到 AE 长．
例 3．如图，矩形 ABCD 中，AC，BD 交于 O 点，BE⊥AC 于 E，CF
⊥BD 于 F，且∠CDF＝60°，CF＝ 3cm。(1)求证四边形 BCFE
是等腰梯形；(2)求这个梯形的中位线长。
梯形性质的综合应用
例 4．（2006 年河南省）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=AD=DC，E 为底边 BC 的中点，
且 DE∥AB，试判断△ADE 的形状，并给出证明．
【解析】△ADE 是等边三角形．
理由如下：∵AB=CD，∴梯形 ABCD 为等腰梯形，
∵∠B=∠C．
∴E 为 BC 的中点，
∵BE=CE．
在△ABE 和△DCE 中，
∵
∴△ABE≌△DCE．
∵AE=DE．
,
,
AB DC
B C
BE CE
=
∠ = ∠
=
2
9
1
2
∴AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形 ABCD 为平行四边形．
∴AB=DE
∵AB=AD，
∴AD=AE=DE．
∴△ADE 为等边三角形．
第 24 课 中位线与面积
〖知识点〗
平行线等分线段、三角形、梯形的中位线、三角形、平行四边形、矩形、矩形、正方形、
梯形的面积、等积变形、几何变换（平移、旋转、翻折）
〖考查要求〗
1．掌握平行线等分线段定理，三角形、梯形中位线定理，三角形一边中点 且平行
另一边的直线平分第三边，过梯形一腰的中点且平行底的直线平分另一腰的定理；
2．使学生了解面积的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形
的面积公式，等底等高的三角形面积相等的性质，会用面积公式解决一些几何中
的简单问题；
3．使学生掌握几何证题中的平移、旋转、翻折三种变换。
〖考查重点与常见题型〗
1．考查中位线、等分线段的性质，常见的以选择题或填空题形式，也作为基础知识
应用，如：
一个等腰梯形的周长是 100cm，已知它的中位线与腰长相等，则这个题型的中位线是
2．考查几何图形面积的计算能力，多种题型出现，如：
三角形三条中位线的长分别为 5 厘米，12 厘米，13 厘米，则原三角形的面积是 厘米 2
3．考查形式几何变换能力，多以 中档解答题形式出现
第八章图形的变换与中考
中考要求及命题趋势
1 理解轴对称及轴对称图形的联系和区别；
2 掌握轴对称的性质；根据要求正确地作出轴对称图形。
3 理解图形的平移性质；
4 会 按要求画出平移图形；
5 会利用平移进行图案设计。
6 理解图形旋转的有关性质；
7 掌握基本中心对称图形；
8 会运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计
2007 年将继续考查图形的轴对称，图形的平移，要求画出平移后图形，设计图案是
考查的重点。图形的旋转的性质及应用是考试的重点。
应试对策
1 要掌握轴对称问题的特征及其规律，熟练掌握基本图形的轴对称性，能结合实际图形予
以辨认轴对称图形，并能按要求作图。
2 要理解图形平移的性质，掌握平移图形图案设计，对实际中平移图形要后会灵活运用。
3 要理解图形旋转的性质，掌握基本图形旋转形成过程，能运用轴对称、平移和旋转的有
关知识进行图案设计。
【回顾与思考】
例题精讲
例 1．4 根火柴棒形成如图所示的象形“□”字，平移火柴棒后，原图形能变成的象形
汉字是( )．”
答案：B
8．在综合实践活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形座垫，座垫的
图案如右图所示，应该选下图中的哪一块布料才能使其与右图拼接符合原来的图案模
式． ( )
答案：C
例 2.如图，“回”字形的道路宽为 1 米，整个“回”字形的长为 8
米，宽为 7 米，…个人从入口点 A 沿着道路中央走到终点 B，他共走了
( )．
(A)5 5 米 (B)5 5．5 米 (C)5 6 米 (D)5 6．5 米
答案：C
例 3 下面 4 张扑克牌中，属于中心对称的是 ( )
答案：D
例 4.一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个
分别为正三边形、正四边形、正六边形.那么另外一个为( )
A.正三边形 B.正四边形 C.正五边形 D．正六边形
答案：B
例 5.将一个底面半径为 2cm 高为 4cm 的圆柱形纸筒沿一条母线剪开，所得到的侧面展开
图的面积为__________________cm2；
答案：16a
例 6.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=2cm，把这个三角形在平 面
内绕点 C 顺时针旋转 90°，那么点 A 移动所走过的路线长是 cm
．(不取近似值)
答案：π
例 7.将如图所示图案绕点 O 按顺时针方向旋转 900，得到的图案是………………( )
A. B. C. D.
第 5
题.
例 8.小明的运动衣号在镜子中的像是 ，则小明的运动衣号码是( )
A. B. C. D.
例 9.△ABC 平移到△DEF 的位置，（即点 A 与点 D，点 B 与点 E，点 C 与点 F，是对应
点）有下列说法：①AB=DE;②AD=BE;③BE=CF;④BC=EF 其中说法正确个数有……
( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
例 10.下列现象中，不属于旋转变换的是( )
A. 钟摆的运动 B.大风车传动
C. 方向盘的转动 D. 电梯的升降运动
【例题经典】
例 1 如图，四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（ ）
【评析】本题所考查的是对称轴的概念．应对给出的图形认真分析．从题目中所给
的四个图形来看，图 A 有 2 条对称轴；图 B 有 4 条对称轴；图 C 不是轴对称图形，它
没有对称轴；图 D 只有一条对称轴，所以图 B 的对称轴条数最多．
旋转、平移作图、设计图案
例 2 如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在
坐标系上将该图形绕原点顺时针依次旋转 90°、180°、270°，并画出它在各象限内的
图形，你会得到一个美丽的平面图形，你来试一试吧！但是涂阴影时要注意利用旋转变
换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果．
【分析】先确定每个三角形的顶点绕原点顺时针依次旋转 90°、180°、270°后的
位置，然后连线，涂上相应的阴影即可．
【解析】所画的图形如图所示．
与平面镶嵌有关的问题
例 3 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地
砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，
既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的
内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角
（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据图，填写下表中的空格：
正多边形边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个
内角的度数
60° 90° 108° 120°
（2）如果限定用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再从其他正多边形中选一种，
请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形；并探究这两种正多边形共能
镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
【解析】（1） ．（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．（3）
如：正方形和正八边形如图．设在一个顶点周围有 n 个正方形的角，n 个正八边形的角，
则 m、n应是方程 m·90°+n·135°=360°的正整数解．即 2m+3n=8 的正整数解，
这个方程的正整数解只有 一组，又如正三角形和正十二边形，同样可求出利用一
个正三角形，两个正十二边形也可以镶嵌成平面图形，所以符合条件的图形有 2 种．
（第 1 题）
第九章 视图与投影
( 2) 180n
n
− °
1
2
m
n
=
=
中考要求及命题趋势
1、掌握基本几何图与其三视图、展开图之间的关系。
2、理解中心投影和平行投影的性质；
3、理解是的视点、视角及盲区在简单的平面图和立体图中表示。
2012 年中考视图与投影仍将是考查的重点内容，尤其视图与投影与实际生活有关系
的应用问题。
应试对策
要正确判断简单几何体三视图，正确画出基本几何体的三视图。根据实例掌握中心
投影与平行投影的有关性质，根据实际问题画出视线、盲区。
【回顾与思考】
【例题经典】
展开与折叠
例 1 （2006 年泉州市）小林同学在一个正方体盒子的每个
面都写有一个字，分别是：我、喜、欢、数、学、课，
其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和
“我”相对的面所写的字是“_______”．
【解析】如图是一个正方体的展开图．与“我”相对的面
不可能相邻．排出“喜、欢”二字，而“喜”与“数”相对．“欢”与“课”相对，因此，
“我”与“学”相对．故“我”相对的面所写的字是“学”．
平行投影
例 2 如图，画出在阳光下同一时刻旗杆 的 影
子．
分析：在阳光下的投影是平行投影，由树高及影长确定了光线的方向，由此就可画
出旗杆在同一时刻的影子．
中心投影的应用
例 3 （2006 年深圳市）如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子 CD
的长为 1 米，继续往前走 3 米到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的
身高是 1.5 米，那么路灯 A 的距离 AB 等于（ ）
A．4.5 米 B．6 米 C．7.2 米 D．8 米
【解析】如图，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB．
∴△GCD∽△ABD，∴
设 BC=x，则 = ．同理，得 = ．
∴ = ，∴x=3，∴ = ，∴AB=6．
【答案】B
【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用
到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“ ”．
例题精讲
例 1．平行投影中的光线是 （ ）
A 平行的 B 聚成一点的 C 不平行的 D 向四面八方发散的
答案：A
例 2．在同一时刻，两根长度不等的柑子置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这两
根竿子的相对位置是 （ ）
A 两根都垂直于地面 B 两根平行斜插在地上 C 两根竿子不平行 D 一根到在
地上 答案：C
例 3．有一实物如图，那么它的主视图 （ ）
A B C D
DC GC
DB AB
=
1
1x +
1.5
AB
2
5x +
1.5
AB
1
1x +
2
5x +
1
3 1+
1.5
AB
1.5
AB
答案：A
例 4、将一圆形纸片对折后再对折，得到如图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，
其中一部分展开后的平面图形是 ( )
答案：C
例 5.一电动玩具的正面是由半径为 1Ocm 的小圆盘和半径为 20 cm 的大圆盘依右图方式
连接而成的．小圆盘在大圆盘的圆周上外切滚动一周且不发生滑动(大圆盘不动)，回到
原来的位置，在这一过程中，判断虚线所示位置的三个圆内，所画的头发、眼睛、嘴巴
位置正确的是(不妨动手试一试!) ( )
答案：B
例 6．为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两幢楼房间的距离至少为 40 米，中午
12 时不能挡光.如图，某旧楼的一楼窗台高 1 米，要在此楼正南方 40 米处再建一幢新楼.
已知该地区冬天中午 12 时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为 30°，在
不违反规定的情况下，请问新建楼房最高多少米？（结果精确到 1 米. ，
）
解：过点 C 作 CE⊥BD 于 E，（作辅助线 1 分）
∵AB = 米
∴CE = 米
∵阳光入射角为
∴∠DCE =
在 Rt⊿DCE 中
732.13 ≈
414.12 ≈
40
40
°30
°30
CE
DEDCE =∠tan
水平线
A B
C
D 30°
新
楼
1 米
40 米
旧
楼
£¨26£©Ìâ
∴
∴ ，而 AC = BE = 1 米
∴DB = BE + ED = 米
答：新建楼房最高约 米。
第十章 圆
中考要求及命题趋势
1、理解圆的基本概念与性质。
2、求线段与角和弧的度数。
3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。
4、直线和圆的位置关系。
5、圆的切线的性质和判定 。
6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。
7、圆和圆的五种位置关系。
8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性
质。
9、掌握弧长、扇形面积计算公式。
10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。
11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。
2012 年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。三角函数的小
综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、
探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、扇形面积计算以及圆柱、
圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。
应试对策
圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。一般圆主要和前面的相似三角形，
和前面大的知识点接触。就是说几何所有的东西都是通的，你学后面的就自然牵扯到前
面的，前面的忘掉了，简单的东西忘掉了，后面要用就不会用了，所以几何前面学到的
3
3
40
=DE
233
340 ≈×=DE
24231 =+
24
知识、常用知识，后面随时都在用。直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、
圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，对于扇形面积
公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记住了就可以了。圆这一章，特别是有关圆的性质这
两个单元，重要的概念、定理先掌握了，你首先要掌握这些，题目就是定理的简单应用，
所以概念和定理没有掌握就谈不到应用，所以你首先应该掌握。掌握之后，再掌握一些
这两章的解题思路和解题方法就可以了。你说你已经把一些这个单元的基本定理都掌握
了，那么我可以在这里面介绍一些掌握的解题思路，这样你把这些都掌握了，解决一些
中等难题。都是哪些思路呢？我暂认为你基本知识掌握了，那么，在圆的有关性质这一
章，你需要掌握哪些解题思路、解题方法呢？第一，这两章有三条常用辅助线，一章是
圆心距，第二章是直径圆周角，第三条是切线径，就是连接圆心和切点的，或者是连接
圆周角的距离，这是一条常用的辅助线。有几个分析题目的思路，在圆中有一个非常重
要，就是弧、常与圆周角互相转换，那么怎么去应用，就根据题目条件而定。
第一讲 圆的有关性质
【回顾与思考】
〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、
三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、
圆内接四边形的性质
〖课标要求〗
1． 正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；
2． 熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。
一个
圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，
三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；
3． 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直
径是半径的 2 倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称
轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆
心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；
4． 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）
弧上的圆周角的 2 倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90
°的圆周角所对的弦是直径；
5． 掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解
决有关问题；
6． 注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一
条弦”
③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对
的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要
对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的 10 条
定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关
系等的重要依据；（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆
周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则
是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有 4 组相等的同弧所对的圆
周角，要想到应用圆内接四边形的性质。
〖考查重点与常见题型〗
1． 判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式
考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：下列语句中，正确的有（ ）
(A)相等的圆心角所对的弧相等 (B)平分弦的直径垂直于弦
(C)长度相等的两条弧是等弧 (D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
2． 论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的
证明重点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的
性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。
【例题经典】
有关弦、半径、圆心到弦的距离之间的计算
例 1 （2005 年重庆市）如图，在半径为 5cm 的⊙O 中，圆 心 O 到
弦 AB 的距离为 3cm，则弦 AB 的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】在一个圆中，若知圆的半径为 R，弦长为 a，圆心到 此弦的距
离为 d，根据垂径定理，有 R2=d2+（ ）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．
圆心角、弧、弦和垂径定理的应用
例 2（2006 年广东省）如图所示，AB 是⊙O 的弦，半径 OC、 OD 分
别交 AB 于点 E、F，且 AE=BF，请你找出 与 的 数 量 关
系，并给予证明．
【点评】该题是一道变式题，主要考查圆心角、弧和垂 径 定 理
的综合应用.
圆周角定理的应用
例 3、如图，A、B、C、D 是⊙O 上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC 的大
小是 ( )
A、60° B、45° C、30° D、15°
答案：A
例 4 已知：如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD⊥BC 于
D，AE 是⊙O 的直径，若 S△ABC=S，⊙O 的半径为 R．
（ 1 ） 求 证 ： AB·AC=AD·AE ； （ 2 ） 求 证 ：
AB·AC·BC=4RS．
【解析】（1）本题要证明的结论是“等积式”，通常的思路 是
把等积式转化成比例式，再找相似三角形．
（2）利用（1）的结论和三角形的面积公式．
第二讲 与圆有关的位置关系
【回顾与思考】
2
a
AC BD
与圆有关的位置关系
直线和圆的位置关系
知识点：
直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆、切线长定理、弦切
角的定理、相交弦、切割线定理
课标要求：
1．掌握直线和圆的位置关系的性质和判定；
2．掌握判定直线和圆相切的三种方法并能应用它们解决有关问题：（1）直线和圆
有唯一公共点；(2)d=R；(3)切线的判定定理 (应用判定定理是满足一是过半径外端，二
是与这半径垂直的二个条件才可判定是圆的切线）
3．掌握圆的切线性质并能综合运用切线判定定理和性质定理解决有关问题：（1）
切线与圆只有一个公共点；（2）圆心到切线距离等于半径；（3)圆的切线垂直于过切点
的半径；(4) 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点且垂直于切线的直线
必过圆心；(6)切线长定理；(7) 弦切角定理及其推论。
4，掌握三角形外切圆及圆外切四边形的性质及应用；
5．注意：(1)当已知圆的切线时，切点的位置一般是确定的，在写条件时应说明直
线和圆相切于哪一点，辅助线是作出过确定的半径；当证明直线是圆的切线时，如果已
知直线过圆上某一点则可作出这一点的半径证明直线垂直于该半径；即为“连半径证垂
直得切线”；若已知条件中未明确给出直线和圆有公共点时，则应过圆心作直线的垂线，
证明圆心到直线的距离等于半径，即为:“作垂直证半径得切线”。(2)见到切线要想到它
垂直于过切点的半径；若过切点有垂线则必过圆心；过切点有弦，则想到弦切角定理，
想到圆心角、圆周角性质，可再联想同圆或等圆弧弦弦心距等的性质应用。（3）任意三
角形有且只有一个内切圆，圆心为这个三角形内角平分线的交点。
考查重点与常用题型：
1．判断基求概念，基本定理等的证误。在中考题中常以选择填空的形式考查形式对
基本概念基求定理的正确理解，如：已知命题：(1)三点确定一个圆；(2)垂直于半径的
直线是圆的切线；(3)对角线垂直且相等的四边形是正万形；(4)正多边形都是中心对称
d r
d r
d r
<
> =
相交
直线与圆的位置关系 相离
相切
圆与圆的位置关系
图形；(5)对角线相等的梯形是等腰梯形，其中错误的命题有 ( )
(A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个
2．证明直线是圆的切线。证明直线是圆的切线在各省市中考题中多见，重点考查切
线的判断定理及其它圆的一些知识。证明直线是圆的切线可通过两种途径证明。
3．论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明
重点考查了金等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质
及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识。
【例题经典】
直线与圆位置关系的判定
例 1 （1）（2005 年河北省）已知⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 L 的距离为 d，
若直线 L 与⊙O 有交点，则下列结论中正确的是（ ）
A．d=r B．d≤r C．d≥r D．d>r
【分析】此题解题关键是明白直线与圆的交点个数同直线与圆位置关系的联系，进
而判断 d 与 r 的关系．
（2）已知 Rt△ABC 的斜边 AB=8cm，AC=4cm，以点 C 为圆心作圆，当半径
R=_____时，AB 与⊙O 相切．
【分析】此题关键是求出圆心 C 到直线 AB 的距离 d．也就是求出 Rt△ABC 斜边上
的高，常用方法是面积相等法．
第三讲 圆的切线的性质和判定
【回顾与思考】
现实情境
【例题经典】
关于三角形内切圆的问题
例 1（2006 年宜昌市）如图，点 O 是△ABC 的 内 切 圆 的
圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ）
圆的切线的性质- - 三角形内切圆
应用: d=r圆的切线的判定
判定定理
圆的切线性质与判定综合应用
A．130° B．100° C．50° D．65°
【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．
圆的切线性质的应用
例 2（2006 年徐州市）已知：如图，AB 是 ⊙O
的 直 径 ， PA 是 ⊙O 的 切 线 ， 过 点 B 作
BC∥OP 交⊙O 于点 C，连结 AC．
（ 1 ） 求 证 ： △ABC∽△POA ； （ 2 ） 若 AB=2 ，
PA= ，求 BC 的长．（结果保留根号）
圆的切线的判定
例 3（2005 年宁夏自治区）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，P 是⊙O 外一点，
PA⊥AB，弦 BC∥OP，请判断 PC 是否为⊙O 的切 线 ，
说明理由．
【点评】本题是一道典型的圆的切线判定的题目．解 决 问
题的关键是一条常用辅助线，即连结 OC．
第四讲 圆与圆的位置关系
知识点：
圆和圆的位置关系、两圆的连心线的性质、两圆的公切线
课标要求：
1．了解两圆公切线的求法，掌握圆和圆的位置关系;
2．了解两圆位置关系与公共点个数、外公切线条数、内公切线条数以及 d、R、r
之间的关系;
3．掌握相交两圆的性质和相切两圆的性质;
4．注意 (1)圆与圆的五种位置关系相交和相切是重点；(2)在解题中把两个圆中有
关问题利用圆的性质和直线圆的位置关系的定理和性质转化为一般圆的问题；(3)涉及相
交两圆的问题常可作出公共弦，利用圆周角定理及其推论或连心线垂直乎分公共弦。公
共弦可沟通两个圆的角之间关系，有了连心线，公共弦不仅可取应用相交两圆的性质定
理且还能沟通两圆半径、公切线等之间的关系；(4)涉及相切两圆问题主要可从以下几个
2
方面考虑；①过切点作两圆的公切线，利用弦切角定理或切线长定理；②作出连心线，
利用连心线过切点的性质；③利用两圆的圆心距等于两圆半径之和或之差；④当两圆外
切时，利用连心线、外公切线及过公切线切点的两条毕径组成的直角梯形，将有关圆的
间题转化为直线形间题，把梯形问题转化为直角三角形问题，通过解直角三角形来解决
有关两圆公切线等问题。
考查重点与常甩题型：
1．判断基本概念、基本定理等的正误。在中考题申常以选择题或填空题的
形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：已知两圆的半径分别为 2、5，
且圆心距等于 3，则两圆位置关系是 ( )
(A)外离 (B)外切 (C)相交 (D) 内切
2．考查两圆位置关系中的相交及相切的性质，可以以各种题型形式出现， 多见于
选择题或填空题，有时在证明、计算及综合题申也常有出现。
【例题经典】
两圆位置关系的识别
例 2 （1）（2006 年浙江省）已知两圆的半径分别为 3 和 4，圆心距为 8，那么这两个
圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外离 D．外切
（2）（2006 年金华市）如果两圆半径分别为 3 和 4，圆心距为 7，那么两圆位置关系
是（ ）
A．相离 B．外切 C．内切 D．相交
（3）（2006 年无锡市）已知⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 2 和 5，圆心距 O1O2=3，则这
两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
（4）（2006 年广安市）若⊙A 和⊙B 相切，它们的半径分别为 8cm 和 2cm，则圆心
距 AB 为（ ）
A．10cm B．6cm C．10cm 或 6cm D．以上答案均不对
【分析】此例中 4 个题所考查的知识点都是：两圆的位置关系的判定．解决问题
的关键是弄清圆心距、两圆半径与两圆位置关系之间的联系．
例 3 （ 2006 年 宿 迁 市 ） 如 图 ， PA ， PB 是 ⊙O 的 切 线 ， A ， B 为 切 点 ，
∠OAB=30°．
（1）求∠APB 的度数；
（2）当 OA=3 时，求 AP 的长．
【点评】本题用到的知识点较多，主要知识点有：①圆的切线的性质；②等腰三角
形的性质；③四边形内角和定理；④垂径定理；⑤锐角三角函数等．
第五讲 圆的有关计算
【回顾与思考】
知识点：正多边形和圆、正多边形的有关计算、等分圆周、圆周长、弧长、圆的面积、
扇形的面积、弓形的面积、面积变换
课标要求：
1．了解用量角器等分圆周的方法，会用直尺和圆规画圆内接正方形和正多边形；
2． 掌握正多边形的定义和有关概念、判定和性质；
3．熟练地将正多边形的边长、半径、边心距和中心角有关计算转变为解直角三角形问
题来解诀；
4．熟练地运用圆周长、弧长公式、圆的扇形弓形面积公式进行有关计算；
5．明确图形构成，灵活运用、转化思想，提高解决综合图形面积的计算能力；
6．注意（1)任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，反
之也成立；(2) 证多边形是轴对称图形，且正 n 边形有 n 条对称轴；(3)正多边形不一
起是中心对称图形，有奇数条边的正多边形没有对称中心，有偶数条边的正多边形有对
称中心就是它的中心；(4)解诀正多边形问题经常需要作出它的外接圆，可转化成解直角
三角形问题。
考查重点与常见题型
求解线段的长及线段的比，角的大小，三角函数的值及阴影部分的面积等。此类问题
问题在近三年的中考题中也是多见，求线段的长及比，角的大小等多数是利用恰当地设
未知数、列方程的思想方法来加以解决。求阴影部分的面积除考查了扇形等图形面积的
求法，还重点考查学生灵活应用知识的能力，求阴影部分的面积多半用两种方法解决:一
种是将所求阴影部分的面积转化为所学过的易求图形的面积的和或差；一种是恰当地引
辅助线，将所求阴影部分的面积转化为所学过的易求图形的面积。
【例题经典】
有关弧长公式的应用
例 1 如图，Rt△ABC 的斜边 AB=35，AC=21，点 O 在 AB 边 上 ，
OB=20，一个以 O 为圆心的圆，分别切两直角边边 BC、 AC 于
D、E 两点，求 的长度．
【分析】求弧长时，只要分别求出圆心角和半径，特别 是 求 半
径时，要综合应用所学知识解题，如此题求半径时，就用到了相似．
有关阴影部分面积的求法
例 2 （2006 年济宁市）如图，以 BC 为直径，在半径为 2 圆 心 角 为
90°的扇形内作半圆，交弦 AB 于点 D，连接 CD，则阴影部 分的面积
是（ ）
A． -1 B． -2 C． -1 D． -2
【分析】有关此类不规则图形的面积问题，一般采用“割补法”化为几个已学过的规则图
形求解．
求曲面上最短距离
例 3 （2006 年南充市）如图，底面半径为 1，母线长为 4 的圆 锥 ，
一只小蚂蚁若从 A 点出发，绕侧面一周又回到 A 点，它爬行 的 最 短
路线长是（ ）
A．2 B．4 C．4 D．5
【分析】在曲面上不好研究最短距离问题，可以通过展开图把曲面问题转化成平面
问题，利用“两点之间，线段最短”来解决问题．
DE
π π 1
2
π 1
2
π
π 2 3
第十一章 相似形
中考要求及命题趋势
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段、黄金分割；
2、通过具体实例认识图形 的相似，理解相似图形的性质，相似多边形的对应角相
等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；
3、了解两个三角形相似的概念，理解两个三角形的相似的条件；
4、了解图形 的位似，灵活运用位似将一个图形放大或缩小；
5、灵活运用图形的相似解决一些实际问题；
6、认识并能画出平面直角坐标系，会根据坐标描出点的位置，由点位置写出它的坐
标；
7、能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；
8、在同一直角坐标系中，感受图形变换后的坐标 的变化；
9、灵活运用不同的方式确定物体的位置。
2007 年中考将继续考查相似三角形的判定和性质，试题更加贴近生活；考查运用不
同的方式确定物体的位置，以及感受在同一坐标系中，图形变换后的坐标的变化。
应试对策
1、要掌握基本知识和基本技能；
2、运用相似形的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为
纯数学知识的问题，要注意培养数学建模的思想；
3、在综合题中，注意相似形的灵活运用，并熟练掌握等线段、等比代换，等代换技
巧的运用，培养综合运用知识的能力；
4、会画直角坐标系，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标，会灵活
运用不同的方式确定物体的位置，由点的位置写出它的坐标，
5.在坐标系描述物体的位置。
6.感受图形变化后的坐标的变化。
第一节 图形的相似与位似
【回顾与思考】
【例题经典】
辨别图形相似与位似
例 1．下列说法中不正确的是（ ）
A．位似图形一定是相似图形; B．相似图形不一定是位似图形;
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比;
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
点评:本题考查了位似图形的性质及相似图形与位似图形的关系，A、B、C正确，因
为一对位似对应点与位似中心共线，所以 D 错误．
会用定义判定相似多边形
例 2．在 AB=20m，AD=30m 的矩形 ABCD 的花坛四周修筑小路．
（1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形 A′B′C
′D′和矩形 ABCD 相似吗？请说明理由．
（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽 x 与 y 的比值为
多少时，能使小路四周所围成的矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 相似？请说明理由．
点评：因为矩形每个角都为 90°，所以判断矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 是否相似
关键在它们的长和宽之比是否相等．灵活应用相似与位似的性质．
例 3．（2006 年河北省）如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为 AB、PQ，并且 AB∥
PQ，建筑物的一端 DE 所在的直线 MN⊥AB 于点 M，交 PQ 于点 N，小亮从胜利街的 A 处，
沿着 AB 方向前进，小明一直站在点 P 的位置等候小亮．
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（
用点 C 标出）；
（2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m．求（1）中的点 C 到胜利街口的距离 CM．
点评：位似形的图形必相似但相似的图形不一定位似，位似对应点与位似中心共
线．
第二节 相似三角形（1）
【回顾与思考】
相似三角形
【例题经典】
会判定两三角形相似
例 1．如图在 4×4 的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶 点 都
在长为 1 的小正方形顶点上．
（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．
（2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？
点评：注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相 等 且
它们两夹角相等来判断．
例 2．如图所示，D、E 两点分别在△ABC 两条边上，且 DE 与 BC
,
定义
两对应边的比相等 夹角相等
判定方法 两条对应角相等
三条对立边的比相等
不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．
点评：结合判定方法补充条件．
例 3 ．（2006 年德州市）如图所示，在△ABC 中，
AB=AC=1，点 D、E 在直线 BC 上运动，设 BD=x， CE=y
．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC 的度数为α，∠DAE 的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）
中 y 与 x之间的函数关系式还成立，试说明理由．
点评：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．
第三节 相似三角形（2）
【回顾与思考】
【例题经典】
相似三角形性质的应用
例 1．（2006 年深圳市）如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处
走到 C 处时，测得影子 CD的长为 1 米，继续往 前走 2 米
到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高度
等于（ ）
A．4.5 米 B．6 米 C．7.2 米 D．8 米
【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用
到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“ ”．
例 2．如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工成
正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点 分 别
在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计 算 问
题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这 一 性
1.5
AB
质来解答．
图形的放大与缩小
例 3．一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规
格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为 2m×2m，
若放映机的光源距胶片 20cm 时，问荧屏应拉在离镜头
多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？
解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以
转化为位似问题解答．
点评：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．
例题精讲
例 1.三角形的两条边长分别为 3cm 和 4cm，第三边的长度量数是奇数，那么这个三角
是形的周长 （ ）B
A、8cm 或 10cm B、10cm 或 12cm
C、12cm 或 14cm D、12cm
答案：B
例 2.如图 8，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE 分别
为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点 F，则图中
的等腰三角形有 （ ）C
A、6 个 B、7 个 C、8 个 D、9 个
答案：C
例 3.已知：如图 9，△ABC 中，P 为 AB 上的一点，在下列四
个条件中： ① ∠ACP=∠B ② ∠APC=∠ACB
③ AC2=AP·AB ④ AB·CP=AP·CB，能满足△APC 和
△ACB 相似的条件是 （ ）D
A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③
答案：D
例 4.如图 7，在正方形网格上有 6 个三角形
① △ABC，② △BCD，③ △BDE，
④ △BFG，⑤ △FGH，⑥ △EFK，其中
②～⑥中与三角形①相似的是 （ ）B
图 9
图 8 A
B
C
DE F
A
B
C
P
A、②③④ B、③④⑤
C、④⑤⑥ D、②③⑥
答案：B
图 7
例 5.如图，在．△ABC 中，AC>AB，点 D 在 AC 边上(点 D 不与 A、C 重合)，若再增加一个
条件就能使△ABD∽△ACB，则这个条件可以是
答案：∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC AD/AB=AB/AC
例 6.如图，正方形 ABCD 边长是 2，BE=CE，MN=1，线段 MN 的两端在 CD、AD
上滑动，当 DM= 时，△ABE 与以 D、M、N 为顶点的三角形相似．
答案： /5 或 2 /5
例 7. 如图 3，在△ABC 中，如果 AB=30cm，BC=24cm，
CA=27cm，AE=EF=FB，EG∥DF∥BC，FM∥EN∥AC，
图中阴影部分的三个三角形周长的和为 cm；
答案：81；
例 8.在△ABC 中 AB=AC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相
交所得的锐角为 50°，则底角 B 的大小为 。
答案：70°或 20°
例 9. 如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 为边向内作等边三角形 ADB，连结 DC，
以 DC 为边作等边三角形 DCE，B、E 在 C、D 的同侧，若 AB= ，求：BE 的值。
A
B
C D E
F H K
G
1
2 3
4
5
6
5 5
2
图 5
A
B C
D
E
. 解：∵∠ADC=60°－∠BDC，∠BDE=60°－∠BDC，
∴∠ADC=∠BDE，
再由 AD=BD，CD=ED，∴△ADC≌△BDE
∴AC=BE，在等腰三角形 ABC 中，AB= ，∴AC=1，即 BE=1
例 10. 如图，△ACB、△ECD 都是等腰直角三角形，且 C 在 AD 上，AE 的延长线与 BD 交
于 F，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。
解：△ACE≌△BCD；证明过程如下：
∵△ACB、△ECD 都是等腰直角三角形
∴AC=BC，∠ACE=∠BCD=90°，CE=CD
∴△ACE≌△BCD
例 11. 如图，已知：AD=AE，DF=EF；求证：△ADC≌△AEB
证明：连结 AF AD=AE DF=EF △ADF≌△AEF
AF=AF
∠ADC = ∠AEB
AD=AE △ADC≌△AEB
∠DAC = ∠EAB
例 12. 如图，F、C 是线段 BE 上的两点，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E，QR∥BE；
求证：△PQR 是等腰三角形
2
F
A
BC
D
E
A
B
D E
F
C
A
B C
D
EF
P
Q R
A
B C
D E
F
证明：∵ BF=CE ∴ BC=EF
又∵ ∠B=∠E，AB=DE ∴ △ABC≌△DEF
∴ ∠ACB=∠DEF
又∵ QR∥BE ∴ ∠ACB=∠Q，∠DFE=∠R
∴ ∠Q=∠R ∴ △PQR 是等腰三角形
例 13. 如图，在△ABC 中，∠A=90°P 为 AC 边的中点，PD⊥BC，D 为垂足；
求证：BD2－CD2 = AB2
证明：连结 BP，在 Rt△BPD 中，BD2= BP2－PD2 ①
在 Rt△CDP 中，CD2= PC2－PD2 ②
由①－② 得： BD2－CD2 = BP2－PC2
∵ AP=PC ∴ BD2－CD2 = BP2－AP2
又∵ ∠A=90° ∴ 在 Rt△ABP 中，AB2= BP2－AP2
∴ BD2－CD2= AB2
例 14. 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，E 为 DC 中点，直线 BE 交 AC 于 F，交 AD 的延长
线于 G；求证：EF·BG=BF·EG
A
B
CP
D
A B
CD E
F
G
A
B C
D
EF
P
Q R
A B
CD E
F
G
A
B
C
D
P
证明：∵ AB∥DC ∴ △EFC∽△BFA，△GDE∽△GAB
∴ EF/BF = EC/AB， EG/BG = DE/AB
又∵ DE = EC ∴ EC/AB = DE/AB
∴ EF/BF = EG/BG 即 EF·BG = BF·EG
第十二章解直角三角形
中考要求及命题趋势
1、理解锐角三角形函数角的三角函数的值；
2、会由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它对应、的锐角 ；
3、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
2012 年将继续考查锐角三角形函数的概念，其中特殊三角函数值为考查的重点。解
直角三角形为命题的热点，特别是与实际问题结合的应用题
应试对策
1 要掌握锐角三角函数的概念，会根据已知条件求一个角的三角函数，会熟练地运用
特殊角的三角函数值，会使用科学计算器进行三角函数的求值；
2 掌握根据已知条件解直角三角形的方法，运用解直角三角形的知识解决实际问题。
具体做到：1）了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念；2）将实际问题转化为
数学问题，建立数学模型；3）涉及解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助线构造直
角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题
第一节 锐角三角函数与解直角三角形
【回顾与思考】
【例题经典】
锐角三角函数的定义和性质
【例 1】在△ABC 中，∠C=90°．
（1）若 cosA= ，则 tanB=______;（2）若 cosA= ，则 tanB=______．
【例 2】（1）已知：cosα= ，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°<α<30° B．45°<α<60°
C．30°<α<45° D．60°<α<90°
（2）（2006 年潜江市）当 45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（ ）
A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ
C．tanθ>sinθ>cosθ D．cotθ>sinθ>cosθ
解直角三角形
【例 3】（1）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC∠的 平 分
线，∠CAB=60°，CD= ，BD=2 ，求 AC，AB 的长．
（2）（2005 年黑龙江省）“曙光中学”有一块三角形状的花园 ABC，有人已经测出∠
A=30°，AC=40 米，BC=25 米，你能求出这块花 园 的 面
积吗？
（3）某片绿地形状如图所示，其中 AB⊥BC，CD⊥AD，∠ A=60°，
AB=200m，CD=100m，求 AD、BC 的长．
【点评】设法补成含 60°的直角三角形再求解
第二节 解直角三角形的应用
【回顾与回顾】
1
2
4
5
2
3
3 3
问题
【例题经典】
关于坡角
【例 1】（2005 年济南市）下图表示一山坡路的横截面，CM 是一段平路，它高出水平地
面 24 米，从 A 到 B，从 B 到 C 是两段不同坡角的山坡路．山坡路 AB 的路面长 100 米，
它的坡角∠BAE=5°，山坡路 BC 的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，政府决定把山
坡路 BC 的坡角降到与 AB 的坡角相同，使得∠DBI=5°．（精确到 0.01 米）
（1）求山坡路 AB 的高度 BE．
（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？
（sin5°=0.0872，cos5°=0.9962，sin12°=0.2079，cos12°=0.9781）
方位角.
【例 2】（2006 年襄樊市）如图，MN 表示襄樊至武汉 的一段
高速公路设计路线图，在点 M 测得点 N 在它的南 偏 东
30°的方向，测得另一点 A 在它的南偏东 60° 的方向；
取 MN 上另一点 B，在点 B 测得点 A 在它的南偏 东 75
°的方向，以点 A 为圆心，500m为半径的圆形 区域为
某居民区，已知 MB=400m，通过计算回答：如果不 改变方
向，高速公路是否会穿过居民区？
【点评】通过设未知数，利用函数定义建立方程来寻求问题的解决是解直角三角形应用
中一种常用方法．
坡度
【例 3】（2005 年辽宁省）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，
在堤中间挖出深为 1.2 米，下底宽为 2 米，坡度为 1：0.8 的渠道（其横断面为等腰
梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤 高 度 比 原
来增加了 0.6 米（如图所示）求：
（1）渠面宽 EF；
转化- - - 直角三角形
视角
常用术语 坡度
方位角
α
C
B
A
（2）修 200 米长的渠道需挖的土方数．
例题精讲
例 1、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则 sinA 的值是 ( )
A、 B、 C、 D、
答案：B
例 2．在 A ABC 中，已知∠C=90°，sinB= ，则 cosA 的值是 ( )
A． B． c． D．
答案：D
例 3.在 RtΔABC 中,∠C=900,则下列等式中不正确的是( )
（A）a=csinA；（B）a=bcotB；（C）b=csinB；
（D）c= .
答案：D
例 4.为测楼房 BC 的高，在距楼房 30 米的 A 处，测得楼顶 B 的仰角为α,则楼房 BC 的高
为( )B
（A） 米；（B） 米； （C） 米； （D） 米
答案：B
例 5．在 中， ， ，则 为（ ）C
A． B． C． D．
答案：C
例 6.如图，是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角
15
15
4
1
3
1
4
15
5
3
4
3
3
4
5
4
5
3
cos
b
B
30tanα 30
tanα 30sinα 30
sinα
ABC∆ °=∠ 90C 2
3cos =A B∠
°30 °45 °60 °90
∠AMC=30°，在教室地面的影长 MN=2 米．若窗户的下檐到教室地面的距离 BC=1 米，
则窗户的上檐到教室的距离 AC 为( )
A．2 米 B．3 米 c．3．2 米 D． 米
答案：B
例 7.某人沿倾斜角为 β 的斜坡走了 100 米，则他上升的高度是 米
答案：100sinβ
例 8.如图 7，初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高度，在地面的 C 点用测角器
测得旗杆顶 A 点的仰角∠AFE=60°，再沿直线 CB 后退 8 米到 D 点，在 D 点又用测角器测
得旗杆顶 A 点的仰角∠AGE=45°；已知测角器的高度是 1．6 米，求旗杆 AB 的高度．(
的近似值取 1．7，结果保留小数)
解：设 AE 为 x 米，在 Rt△EF 中，∠AFE=60°，
∴EF= x/3
在 Rt△AGE 中，∠AGE=45° AE=GE
8+ x/3=x ∴x=12+4
即 x≈18．8( 的近似值取 1．7，结果保留小数)
∴AB=AE+EB≈20．4 答：旗杆高度约为 20．4 米
例 9.如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为 a 和
b，斜边长为 c．图(2)是以 c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一
个能证明勾股定理的图形。
(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形．
(2)用这个图形证明勾股定理．
(3)假设图(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一
3
3 2
33
3
3
3 3
3
种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图(无需证明)
解：(1)图形规范、正确 写出是直角梯形
(2)S 梯形= (a-b)2
S 梯形==ab- c2
(a-b)2=ab- c2 整理，得 a2+b2=c2
(3)拼出能证明勾股定理的图形．
例 10.下图表示一山坡路的横截面，CM 是一段平路，它高出水平地面 24 米．从 A 到
B、从 B 到 C 是两段不同坡角的山坡路，山坡路 AB 的路面长 100 米，它的坡角∠BAE=5
°，山坡路 BC 的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，政府决定把山坡路 BC 的坡角降到与 AB
的坡角相同，使得∠DBI=5°．(精确到 0．O1 米)
(1)求山坡路 AB 的高度 BE．
(2)降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米?
(sin5°=0．0872，cos5°=0．9962,sin12°=0．2079，cos12°=0．9781) ．
解：(1)在 Rt△ABE 中，BE=8．72(米)
(2)在 Rt△CBH 中，CH=CF-HF=15．28．BC=73．497
在 Rt△DBI 中，DB=175．229
∴DB-BC≈175．229-73．497=101．732≈101．73(米)
2
1
2
1
2
1
2
1
第十三章 统计
中考要求及命题趋势
1、了解总体、个体、样本不同的抽样可能得到不同的结果，频数分布的意义和作用，
2、理解 频数、频率的概念
3、掌握用扇形统计图表示数据，计算加权平均数，根据具体问题可选择合适 的统
计图表示数据 的集中程度；计算极差和方差，并用它们表示数据的离散程度。列频率分
布表，画频数分布直方图和频数折线图，并解决简单的实际问题；样本估计总体的思想，
用样板的平均数、方差估计总体的平均数。方差，根据统计结果作出合理的判断和预测，
比较清晰的表示自己的观点，对日常生活中的某些数据发表自己的看法，认识到统计在
社会生活及科学领域中应用，并能解决一些简单的实际问题。
2012 年中考将继续考查总体、样本及样本容量等概念，以及确定平均数、众数、中
位数、标准差。
应试对策
1 牢固掌握概念，并能掌握概念间的区别和联系，以及在实际问题中应用。
2 统计的特点是与数据打交道解题时计算较繁，所以要有意识培养认真、耐心、细致
的学习态度和学习习惯。
3 要关注统计知识与方程、不等式相结合的综合性试题，会读频率分布直方图，会分
析图表，注重能力的培养、加大训练力度。
第一节 数据的代表
【回顾与思考】
数据的代表
【例题经典】
考查众数和中位数的概念
例1 （2006 年临安市）某青年排球队 12 名队员的年龄情况如下：
算术平均数平均数
加权平均数
中位数
众数
极差
方差- - 标准差
年龄（单位：岁） 18 19 20 21 22
人数 1 4 3 2 2
则这个队队员年龄的众数和中位数是（ ）
A．19，20 B．19，19 C．19，20.5 D．20，19
【点评】关键弄清众数和中位数的概念，明确众数可以是 1 个，多个，也可以没
有；求中位数要把数据从小到大排列．
考查平均数的概念和计算公式
例 2 （2006 年泸州市）江北水厂为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区 10
户家庭的月用水量，结果如下：
月用水量（m）3 10 13 14 17 18
户数 2 2 3 2 1
（1）计算这 10 户家庭该月平均用水量；
（2）如果该小区有 500 户家庭，根据上面的计算结果，估计该小区居民每月共用水
多少立方米？
【点评】关键是能够灵活运用公式求平均数．
考查极差、方差、标准差的概念及生活中的应用
例 3 在暑假开展的社会实践活动中，小丽同学帮助李大爷统计了一周内卖出 A、
B 两种品牌雪糕的数量，记录数据如下表：
品牌 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
A 20 22 26 24 25 28 30
B 15 20 25 29 32 35 40
品牌 平均数 方差
A 25
B 64.57
（1）请你用统计表提供的数据完成上表；
（2）若 A 种雪糕每支利润 0.20 元，B 种雪糕每支利润 0.15 元，请你根据题中提
供的信息，对李大爷购进雪糕提出建议，并简述你的理由．
【点评】极差最简单、用得最少，即最大数与最小数之差，方差与标准差所反映数
据情况准确一些．
第二节 数据的收集与处理
【回顾与思考】
数据的收集与处理
【例题经典】
考查运用统计知识进行说明的能力
例 1 射击集训队在一个月的集训中，对甲、乙两名运动员进行了 10 次测试，成
绩如下：
甲：9，6，6，8，7，6，6，8，8，6；
乙：4，5，7，6，8，7，8，8，8，9．
如果你是教练员，会选择哪位运动员参加比赛？请说明理由．
【点评】答案不唯一，多鼓励学生说明理由即可．
考查统计图的应用
例 2 （2006 年随州市）为了了解某校 1000 名初中生右眼视力情况，随机对 50 名
学生右眼视力进行了检查，绘制了如下统计表和频率分布直方图．
视力 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
人数 1 1 3 2 3 4 2
视力 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
人数 2 4 8 4 2 6
请解答下列问题：
（1）补全统计表和频率分布直方图；
（2）填空：在这个问题中，样本是
________，在这个样本中，视力的中位 数 是
________，视力的众数落在频率分布直方 图 （ 从
扇形统计图
统计图表 条形统计图
折线统计图
样本, 总体
制作统计图
左至右依次是第一、二、三、四、五小组）的________小组内．
（3）如果右眼视力在 0.6 及 0.6 以下的必须矫正，试估计该校右眼视力必须矫正的学生
约有多少人？
【点评】理解样本与总体的关系
考查制作统计图的能力
例 3 （2006 年绍兴市）如图表示某校七年级 360 位同学购买不同品牌计算器人数
的扇形统计图，每位同学购买一只计算器，试回答下列问题：
（1）分别求出购买各品牌计算器的人数；
（2）试画出购买不同品牌计算器人数的频 数 分 布 直
方图．
【点评】要注意扇形统计图与条形统计图 之 间 转 换
时，数据代表的意义．
例题精讲
今年我市初中毕业生人数为 12．8 万人，比去年增加了 9％，预计明年初中毕业生人数将
比今年减少 9％，下列说法：①去年我市初中毕业生人数约为 万人；②按预计，
明年我市初中毕业生人数将与去年持平；③按预计，明年我市初中毕业生人数会比去年
多．其中正确的是( )
A①② B①③ C.②③ D．①
答案：D
在样本方差的计算式 S2= (x1-20)2+(x2-20)2+…+(x10-20)2]中，数字 10 与 20 分别表示
样本的 ( )
A．容量、方差 B．平均数、容量
C．容量、平均数 D．标准差、平均数
答案：C
下表是某校初三(1)班 20 名学生某次数学测验的成绩统计表
%91
8.12
+
10
1
成绩(分) 60 70 80 90 100
人数(人)1 5 x y 2
(1)若这 20 名学生成绩的平均分数为 82 分，求 x 和 y 的值；
(2)在(1)的条件下，设这 20 名学生本次测验成绩的众数为 a，中位数为 b，求 a，b
的值．
解：根据题意，得 1+5+x+y+2=20 60+70×5+80x+90y+100 2=8220 ，解得 x=5 y=7
(2)a=90 b=80
已知一组数据：6，3，4，7，6，3，5，6
(1)求这组数据的平均数、众数、中位数；
(2)求这组数据的方差和标准差．
解：(1)按从小到大的顺序排列数据：3，3，4，5，6，6，6，7．
平均数 5 众数是 6，中位数是 5．5
(2)方差=2 标准差 s=
为了调查不同面额纸币上细菌数量与使用频率之间的关系．某中学研究性学习小组从银
行、商店、农贸币场及医院收费处随机采集了 8 种面额的纸币各 30 张，分别用无菌生理
盐水漂洗这些纸币，对洗出液进行细菌培养，测得数据如下表．
面额 2 角 5 角 1 元 2 元 5 元 10 元 50 元 100 元
细菌总数
(个／30
张)
12615
0
147400 381150 363100 98800 145500 25700 12250
(1)计算出被采集的所有纸币平均每张的细菌个数约为 (结果取整数)．(2)由表
中数据推断出面额为 的纸币的使用频率较高．根据上面的推断和生活常识总结
出：纸币上细菌越多，纸币的使用频率 ．看来，接触钱币以后要注意洗手噢!
答案：(1)5417(2)l 元，越高
小谢家买了一辆小轿车，小谢连续记录了七天每天行驶的路程．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
2
路程(千米) 46 39 36 50 54 91 34
请你用统计初步的知识，解答下列问题：(1)小谢家小轿车每月(每月按 30 天计算)要行
驶多少千米?(2)若每行驶 100 千米需汽油 8 升，汽油每升 3．45 元．请你求出小谢家一
年(一年按 12 个月计算)的汽油费是多少元?
解：(1)由图知这七天中平均每天行驶的路程为 50(千米)．
∴每月行驶的路程为 30×50=l 500(千米)．
答：小谢家小轿车每月要行驶 1500 千米．
(2)小谢一家一年的汽油费用是 4 968 元．
第十四章 概率
中考要求及命题趋势
1 在具体情境中了解的概率含义，运用列举法，计算简单事件发生概率；
2 通过实验，获得事件发生的概率，知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计
值；
3 通过进一步丰富对概率的认识解决一些实际问题。
2012 年将进一步考查在具体情况中求简单事件发生的概率以及运用概率的知识对一
些现象作出合理的解释。
应试对策
1 牢固掌握概率的求法。
2 注重概率在实际问题中的应用。
3 要关注概率与方程相结合的综合性试题，加大训练力度，注重能力培养。
第一节 概率的简单计算
【回顾与思考】
概率
必然事件
某一事件出现可能性的大小 不确定事件
不可能事件
树状图计算方法
列表格
【例题经典】
知道辨别确定事件、不确定事件
例 1 （2006 年泸州市）下列事件中是必然事件的是（ ）
（A）打开电视机，正在播广告
（B）掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后朝上的点数是 6
（C）地球总是绕着太阳转
（D）今年 10 月 1 日，泸州市一定会下雨
【点评】ABD 都属于不确定事件 C 是必然事件
会用树状图求某一事件的概率
例 2 （2006 年浙江省）有四张背面相同的纸牌 A，B，C，D，其正面分别画有
四个不同的几何图形（如图），小华将这 4 张牌背面朝上洗匀后，摸出一张，放回洗匀后
再摸一张．
（1）用树状图表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用 A，B，C，D 表示）；
（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率．
【点评】只有摸出 BC 两种图案才是中心对称图形
会用列表格方法求某一事件的概率
例 3 （2006 年成都市）小明、小芳做一个“配色”的游戏．下图是两个可以自
由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转
动两个转盘，如果转盘 A 转出了红色，转盘 B 转出了蓝色，或者转盘 A转出了蓝色，
转盘 B 转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色．这种情况下小芳获胜；同样，蓝
色和黄色在一起配成紫色，这种情况下小明获胜；在其它情况下，则小明、小芳不分胜
负．
（1）利用列表方法表示此游戏所有可能的结果；
（2）此游戏的规则，对小明、小芳公平吗？试 说 明
理由．
【点评】列表格时要注意横栏与纵栏表示的对象 是 否
与题意相符．
第二节 频率与概率
【回顾与思考】
【例题经典】
能够理解用试验得到的频率当作概率用
例 1 （2006 年成都市）含有 4 种花色的 36 张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一
张记下花色后再原样放回，洗匀牌后再抽．不断重复上述过程，记录抽到红心的频率
为 25%，那么其中扑克牌花色是红心的大约有________张．
【点评】频率为 25%，就作为概率即 36×25%=9（即可）
能够根据实际情况制作模拟试验
例 2 你几月份过生日？和同学交流，看看 6 个同学中是否有 2 个人同月过生日，开
展调查，看看 6 个月中 2 个人同月过生日的概率大约是多少？
【点评】以 12 月份为号码编球或用计算器作模拟试验．
能借助用频率估计理论概念的方法解决问题
例 3 （2006 年临安市）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了 1000 条鱼做
上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合鱼群中以后，再捕捞 200
条，若其中有标记的鱼有 10 条，则估计池塘里有鱼________条．
【点评】这种方法本身就是一种估算，不能说它是一种准确值．
例题精讲
例 1.把 26 个英文字母按规律分成 5 组，现在还有 5 个字母 D、M、Q、X、Z，请你按原
规律补上，其顺序依次为( )．
①F R P J L G □ ②H I O □
③N S □ ④B C K E ⑤V A T Y W U □
(A)Q X Z M D (B)D M Q Z X
(C)Z X M D Q (D)Q X Z D M
答案：D
例 2.在一次向“希望工程”捐款的活动中，已知小刚的捐款数比他所在学习小组中 13
人捐款的平均数多 2 元，则下列判断中，正确的是( )．
(A)小刚在小组中捐款数不可能是最多的
(B)小刚在小组中捐款数可能排在第 12 位
(C)小刚在小组中捐款数不可能比捐款数排在第 7 位的同学的少
(D)小刚在小组中捐款数可能是最少的
答案：B
．某校为了了解学生的身体素质情况，对三年级二班的 50 名学生进行了立定跳远、铅球、
100 米三个项目的测试，每个项目满分为 10 分．如图 2，是将该班学生所得的三项成绩(成
绩均为整数)之和进行整理后，分成 5 组画出的频率分布直方图，已知从左至右前 4 个小
组的频率分别为 0．02，0．1，0．12，0．46．下列说法：
①学生的成绩≥27 分的共有 15 人；②学生成绩的众数在第四小组(22．5～26．5)内；
③学生成绩的中位数在第四小组(22．5～26．5)范围内．其中正确的说法是( )
A.①② B②③ C①③ D．①②③
答案：C
例.现有编号为 a1，a2，…，a2004 的盒子，按编号从小到大的顺序排放．已知 a1 中有 7
个球，a 4 中有 8 个球，且任意相邻四个盒子装球总数为 30 个，那么 a2004 盒中有
个球．
答案：8
例.某中学对本校初中二年级女生身高情况进行抽测后得到部分资料，将其分成 八个小
组(身高单位：cm，测量时精确到 1cm)，列表如下：
分组编
号
分组 频率
1 145.5～148.5 0.02
2 148.5～151.5 0．04
3 151.5～154.5 0.08
4 154.5～157.5 0.12
5 157.5～160.5 0.30
6 160.5～163.5
7 163.5～166.5 0.18
8 166.5～169.5 0.06
已知身高在 151cm(含 151cm)以下的被测女生共 3 人，请回答下列问题：
(1)填上表格中第 6 小组的频率；
(2)求被测女生总人数；
(3)被测女生身高的中位数落在 8 个小组中的哪个小组内?
答案：(1)频率为 0．20
Q)被测女生总人数 50 人
(3)中位数落在第 3 小组内
例.某教育部门为了研究城市独生子女人格发展状况，随机抽取某地区 300 名中学生和
300 名中学生家长进行了调查．下面是收集有关数据汇总后绘制的两个统计图；
观察上面的统计图，回答下面问题：
(1)在被调查的 300 名学生中，有多少人“缺乏生活自理能力”?(结果取整数)
“经常陪着孩子做功课”的家长占被调查盼 300 名家长的百分比是多少?
(2)若该地区独生子女家长有 10 万人，请估计有多少家长“为孩子安排课余学习内容”?
(3)从上面的两个统计图中，你还能发现哪些信息，根据你发现的信息提出一个问题．
答案：(1)“缺乏生活自理能力”的学生数约为 62(人)．
“经常陪着孩子做功课”的家长占被调查的 300 名家长的百分比为 129÷300=43
％．
(2)估计 10 万独生子女家长中“为孩子安排课余学习内容"的家长为=7(万)
(3)只要能根据两个统计图提供的信息，写出一个能解决的问题即可(不解答
