黄冈市2015年中考数学卷

黄冈市2015年中考数学卷

黄冈市2015年初中毕业生学业水平考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题共21 分）‎ 一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3 分，共21 分）‎ ‎1.（3 分）（2015•黄冈）9 的平方根是( )‎ ‎ A.±3 B.± C.3 D.-3‎ 考点：平方根． ‎ 分析：根据平方根的含义和求法，可得9 的平方根是： ± =±3 ，据此解答即可． ‎ 解答：解：9 的平方根是： ‎ ‎ ± =±3 ． ‎ ‎ 故选：A． ‎ 点评：此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个 ‎ ‎ 正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． ‎ ‎2.（3 分）（2015•黄冈）下列运算结果正确的是( )‎ ‎ A.x6÷x2=x3 B.(-x)-1= C. (2x3)2=4x6 D.-2a2·a3=-2a6‎ 考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；负整数指数幂． ‎ 分析：根据同底数幂的除法、幂的乘方、单项式的乘法计算即可． ‎ 解答：解：A、x6÷x2=x4 ，错误； ‎ ‎ B、(-x)-1=﹣ ，错误； ‎ ‎ C、(2x3)2=4x6 ，正确； ‎ ‎ D 、-2a2·a3=-2a5，错误； ‎ ‎ 故选C ‎ 点评：此题考查同底数幂的除法、幂的乘方、单项式的乘法，关键是根据法则进行计算． ‎ ‎3.（3 分）（2015•黄冈）如图所示，该几何体的俯视图是( )‎ 考点：简单组合体的三视图． ‎ 分析：根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案． ‎ 解答：解：从上面看是一个正方形，在正方形的左下角有一个小正方形． ‎ ‎ 故选：B． ‎ 点评：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图． ‎ ‎4.（3 分）（2015•黄冈）下列结论正确的是( )‎ ‎ A.3a2b-a2b=2‎ ‎ B.单项式-x2的系数是-1‎ ‎ C.使式子有意义的x 的取值范围是x>-2‎ ‎ D.若分式的值等于0,则a=±1‎ 考点：二次根式有意义的条件；合并同类项；单项式；分式的值为零的条件．‎ 分析：根据合并同类项，可判断A；根据单项式的系数是数字因数，可判断B；根据二次根 ‎ 式的被开方数是非负数，可判断C；根据分式的分子为零分母不为零，可判断D ． ‎ 解答：解：A、合并同类项系数相加字母部分不变，故A 错误； ‎ ‎ B、单项式-x2的系数是﹣1，故B 正确； ‎ ‎ C、式子有意义的x 的取值范围是x ＞﹣2 ，故C 错误； ‎ ‎ D 、分式 的值等于0，则a=1，故D 错误； ‎ ‎ 故选：B． ‎ 点评：本题考查了二次根是有意义的条件，二次根式有意义的条件是分式的分子为零分母不 ‎ 为零，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． ‎ ‎5.（3 分）（2015•黄冈）如图，a∥b,∠1=∠2,∠3=40°,则∠4 等于( )‎ A.40° B.50° C.60° D.70°‎ 考点：平行线的性质． ‎ 分析：先根据平行线的性质求出∠1+∠2 的度数，再由∠1=∠2 得出∠2 的度数，进而 ‎ ‎ 可得 出结论． ‎ 解答：解：∵a ∥b ，∠3=40°， ‎ ‎ ∴∠1+∠2=180°﹣40°=140°，∠2= ∠4 ． ‎ ‎ ∵∠1=∠2 ， ‎ ‎ ∴∠2= ×140°=70°， ‎ ‎ ∴∠4= ∠2=70°． ‎ ‎ 故选D ． ‎ 点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． ‎ ‎6.（3 分）（2015•黄冈）如图，在△ABC 中，∠C=Rt∠，∠B=30°，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E，交BC 于点D，CD=3，则BC 的长为( )‎ A.6 B. C.9 D. ‎ 考点：含30 度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质． ‎ 分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD ，可得∠DAE=30°，易 ‎ ‎ 得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD 为∠BAC 的角平分线，由角平分线的性质得 ‎ ‎ DE=CD=3 ，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得 ‎ ‎ 结果． ‎ 解答：解：∵DE 是AB 的垂直平分线， ‎ ‎ ∴AD=BD ， ‎ ‎ ∴∠DAE= ∠B=30°， ‎ ‎ ∴∠ADC=60°， ‎ ‎ ∴∠CAD=30°， ‎ ‎ ∴AD 为∠BAC 的角平分线， ‎ ‎ ∵∠C=90°，DE ⊥AB， ‎ ‎ ∴DE=CD=3 ， ‎ ‎ ∵∠B=30°， ‎ ‎ ∴BD=2DE=6 ， ‎ ‎ ∴BC=9 ， ‎ ‎ 故选C． ‎ 点评：本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直 ‎ ‎ 角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． ‎ ‎7.（3 分）（2015•黄冈）货车和小汽车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,小汽车到达乙地后,立即以相同的速度沿原路返回甲地.已知甲、乙两地相距180 千米，货车的速度为60 千米/小时,小汽车的速度为90 千米/小时,则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y(千米)与各自行驶时间t(小时)之间的函数图象是( )‎ 考点：函数的图象． ‎ 分析：根据出发前都距离乙地 180 千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两 ‎ ‎ 小时小汽车又返回甲地距离又为180 千米；经过三小时，货车到达乙地距离变为零， ‎ ‎ 而答案． ‎ 解答：解：由题意得 ‎ ‎ 出发前都距离乙地180 千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时 ‎ ‎ 小汽车又返回甲地距离又为180 千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C ‎ ‎ 符合题意， ‎ ‎ 故选：C． ‎ 点评：本题考查了函数图象，理解题意并正确判断辆车与乙地的距离是解题关键． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题共99 分）‎ 二、填空题（共7 小题，每小题3 分,共21 分）‎ ‎8.（3 分）（2015•黄冈）计算：=_______‎ 考点：二次根式的加减法．菁优网版权所有 ‎ 分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． ‎ 解答：解： ‎ ‎ =3‎ ‎ =2 ． ‎ ‎ 故答案为：2 ． ‎ 点评：本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键． ‎ ‎9.（3 分）（2015•黄冈）分解因式：x3-2x2+x=________‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用． ‎ 分析：首先提取公因式x ，进而利用完全平方公式分解因式即可． ‎ 解答： 解：x3-2x2+x=x（x2 ﹣2x+1 ）=x（x ﹣1）2 ． ‎ ‎ 故答案为：x（x ﹣1）2 ． ‎ 点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关 ‎ ‎ 键． ‎ ‎10.（3 分）（2015•黄冈）若方程x2-2x-1=0 的两根分别为x1，x2，则x1+x2-x1x2 的 值为_________.‎ 考点：根与系数的关系． ‎ 专题：计算题． ‎ 分析：先根据根与系数的关系得到x1 +x2 =2 ，x1 x2 = ﹣1，然后利用整体代入的方法计算． ‎ 解答：解：根据题意得x1 +x2 =2 ，x1 x2 = ﹣1， ‎ ‎ 所以x1+x2-x1x2 =2 ﹣（﹣1）=3 ． ‎ ‎ 故答案为3 ． ‎ 点评：本题考查了根与系数的关系：若x1 ，x2 是一元二次方程ax2 + bx + c=0 （a≠0 ）的两根时， ‎ ‎ x1 +x2 = ，x1 x2 = ‎ ‎11.（3 分）（2015•黄冈）计算的结果是_________.‎ 考点：分式的混合运算． ‎ 专题：计算题． ‎ 分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约 ‎ ‎ 分即可得到结果． ‎ 解答： 解：原式= ‎ ‎ 故答案为： ． ‎ 点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ‎ ‎12.（3 分）（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点,BF 与AC 交于点E,若∠CBF=20°，则∠AED 等于_________度.‎ 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎ 分析：根据正方形的性质得出∠BAE= ∠DAE，再利用SAS 证明△ ABE 与△ ADE 全等，再 ‎ ‎ 利用三角形的内角和解答即可． ‎ 解答：解：∵正方形ABCD ， ‎ ‎ ∴AB=AD ，∠BAE= ∠DAE， ‎ ‎ 在△ABE 与△ADE 中， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ∴△ABE≌△ADE （SAS ）， ‎ ‎ ∴∠AEB= ∠AED ，∠ABE= ∠ADE， ‎ ‎ ∵∠CBF=20°， ‎ ‎ ∴∠ABE=70°， ‎ ‎ ∴∠AED= ∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°， ‎ ‎ 故答案为：65° ‎ 点评：此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE= ∠DAE，再利用全等 ‎ ‎ 三角形的判定和性质解答． ‎ ‎13. （3 分）（2015•黄冈）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图, 若∠AOB=120° , 弧AB 的长为12πcm, 则该圆锥的侧面积为_______cm2.‎ 考点：圆锥的计算． ‎ 分析：首先求得扇形的母线长，然后求得扇形的面积即可． ‎ 解答：解：设AO=B0=R ， ‎ ‎ ∵∠AOB=120°，弧AB 的长为12πcm ， ‎ ‎ ∴ =12π， ‎ ‎ 解得：R=18 ， ‎ ‎ ∴圆锥的侧面积为 lR= ×12π×18=108π， ‎ ‎ 故答案为：108π． ‎ 点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大． ‎ ‎14. （3 分）（2015•黄冈）在△ ABC 中,AB=13cm,AC=20cm,BC 边上的高为12cm,则△ABC 的面积为__________cm2.‎ 考点：勾股定理．菁优网版权所有 ‎ 分析：此题分两种情况：∠B 为锐角或∠B 为钝角已知AB、AC 的值，利用勾股定理即可求 ‎ ‎ 出BC 的长，利用三角形的面积公式得结果． ‎ 解答：解：当∠B 为锐角时（如图 1）， ‎ ‎ 在Rt△ABD 中， ‎ ‎ BD= =5cm ， ‎ ‎ 在Rt△ADC 中， ‎ ‎ CD= =16cm ， ‎ ‎ ∴BC=21 ， ‎ ‎ ∴S△ ABC= = ×21×12=126cm ； ‎ ‎ 当∠B 为钝角时（如图2 ）， ‎ ‎ 在Rt△ABD 中， ‎ ‎ BD==5cm ， ‎ ‎ 在Rt△ADC 中， ‎ ‎ CD= =16cm ， ‎ ‎ ∴BC=CD ﹣BD=16 ﹣5=11cm， ‎ ‎ ∴S△ ABC= = ×11×12=66cm ， ‎ ‎ 故答案为：126 或66 ． ‎ 点评：本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关 ‎ ‎ 键． ‎ 三、解答题（本大题共10 小题，满分共78 分）‎ ‎15.（5分）（2015•黄冈）解不等式组：‎ 考点：解一元一次不等式组． ‎ 分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． ‎ 解答：解：由①得，x ＜2 ，由②得，x≥ ﹣2 ， ‎ ‎ 故不等式组的解集为：﹣2≤x ＜2 ． ‎ 点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找； ‎ ‎ 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． ‎ ‎16.（6分）（2015•黄冈）已知A,B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130 元，问A,B 两件服装的成本各是多少元？‎ 考点：二元一次方程组的应用． ‎ 分析：设A 服装成本为x 元，B 服装成本y 元，由题意得等量关系：①成本共500 元；② ‎ ‎ 共获利 130 元，根据等量关系列出方程组，再解即可． ‎ 解答：解：设A 服装成本为x 元，B 服装成本y 元，由题意得： ‎ ‎ ， ‎ ‎ 解得： ， ‎ ‎ 答：A 服装成本为300 元，B 服装成本200 元． ‎ 点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关 ‎ ‎ 系，列出方程组． ‎ ‎17.（6 分）（2015•黄冈）已知:如图，在四边形ABCD 中，AB ∥ CD,E,F 为对角线 AC 上两点，且AE=CF，DF∥BE.‎ 求证：四边形ABCD 为平行四边形.‎ 考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质． ‎ 专题：证明题． ‎ 分析：首先证明△AEB≌△CFD 可得AB=CD ，再由条件AB∥CD 可利用一组对边平行且相 ‎ ‎ 等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD 为平行四边形． ‎ 解答：证明：∵AB∥CD， ‎ ‎ ∴∠DCA= ∠BAC， ‎ ‎ ∵DF ∥BE， ‎ ‎ ∴∠DFA= ∠BEC， ‎ ‎ ∴∠AEB= ∠DFC， ‎ ‎ 在△AEB 和△ CFD 中， ‎ ‎ ∴△AEB≌△CFD （ASA）， ‎ ‎ ∴AB=CD ， ‎ ‎ ∵AB∥CD， ‎ ‎ ∴四边形ABCD 为平行四边形． ‎ 点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行 ‎ ‎ 四边形． ‎ ‎18.（7分）（2015•黄冈）在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“ 通过”(用√表示)或“ 淘汰”(用×表示)的评定结果.节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级.‎ ‎(1)请用树形图列举出选手A 获得三位评委评定的各种可能的结果；‎ ‎(2)求选手A 晋级的概率.‎ 考点：列表法与树状图法． ‎ 分析：（1）利用树状图列举出所有可能即可，注意不重不漏的表示出所有结果； ‎ ‎ （2 ）列举出所有情况，让至少有两位评委给出“通过”的结论的情况数除以总情况数 ‎ ‎ 即为所求的概率． ‎ 解答：解：（1）画出树状图来说明评委给出A 选手的所有可能结果： ‎ ‎ ； ‎ ‎ （2 ）∵由上可知评委给出A 选手所有可能的结果有8 种．并且它们是等可能的，对 ‎ ‎ 于A 选手，晋级的可能有4 种情况， ‎ ‎ ∴对于A 选手，晋级的概率是： ． ‎ 点评：本题主要考查了树状图法求概率．树状图法可以不重不漏地列举出所有可能发生的情 ‎ ‎ 况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情 ‎ ‎ 况数之比． ‎ ‎19.（7 分）（2015•黄冈）“ 六一”儿童节前夕，蕲黄县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对浠泉镇浠泉小学的留守儿童人数进行抽样统计,发现各班留守儿童人数分别为6 名,7 名,8 名,10 名,12 名这五种情形,并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图. ‎ 请根据上述统计图,解答下列问题：‎ ‎(1)该校有多少个班级?并补全条形统计图;‎ ‎(2)该校平均每班有多少名留守儿童?留守儿童人数的众数是多少？‎ ‎(3)若该镇所有小学共有60 个教学班,请根据样本数据,估计该镇小学生中,共有多少名留守儿童.‎ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数． ‎ 分析：（1）根据有7 名留守儿童班级有2 个，所占的百分比是 12.5%，即可求得班级的总 ‎ ‎ 个数； ‎ ‎ （2 ）利用平均数的计算公式求得每班的留守儿童数，然后根据众数的定义，就是出 ‎ ‎ 现次数最多的数确定留守儿童的众数； ‎ ‎ （3 ）利用班级数60 乘以（2 ）中求得的平均数即可． ‎ 解答：解：（1）该校的班级数是：2÷ 12.5%=16 （个）． ‎ ‎ 则人数是8 名的班级数是：16 ﹣1 ﹣2 ﹣6 ﹣2=5 （个）． ‎ ‎ ； ‎ ‎ （2 ）每班的留守儿童的平均数是： （1×6+2×7+5×8+6×10+12×2 ）=9 （人），众数是 ‎ ‎ 10 名； ‎ ‎ （3 ）该镇小学生中，共有留守儿童60×9=540 （人）． ‎ ‎ 答：该镇小学生中共有留守儿童540 人． ‎ 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中 ‎ ‎ 得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇 ‎ ‎ 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． ‎ ‎20.(7 分)（2015•黄冈）如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退,红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截.红方行驶1000 米到达C 处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D 处成功拦截蓝方.求拦截点D 处到公路的距离(结果不取近似值). ‎ 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． ‎ 分析：过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E；‎ ‎ 过C 作AB 的垂线，过D ‎ ‎ 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E= ∠F=90°，拦截点D 处到公路的距离 ‎ ‎ DA=BE+CF ．解Rt△ BCE，求出BE=BC=×1000=500 米；解Rt△ CDF ，求出 ‎ ‎ CF=CD=500 米，则DA=BE+CF=（500+500）米． ‎ 解答：解：如图，过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E；过C 作AB 的 ‎ ‎ 垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E= ∠F=90°，拦截点D 处到公路的 ‎ ‎ 距离DA=BE+CF ． ‎ ‎ 在Rt△ BCE 中，∵∠E=90°，∠CBE=60°， ‎ ‎ ∴∠BCE=30°， ‎ ‎ ∴BE=BC=×1000=500 米； ‎ ‎ 在Rt△ CDF 中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=AB=1000 米， ‎ ‎ ∴CF= CD=500 米， ‎ ‎ ∴DA=BE+CF= （500+500）米， ‎ ‎ 故拦截点D 处到公路的距离是（500+500 ）米． ‎ 点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向 ‎ ‎ 角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． ‎ ‎21.（ 8分）（2015•黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O 交AB 于点M，交BC 于点N，连接AN,过点C 的切线交AB 的延长线于点P.‎ ‎（1）求证：∠BCP=∠BAN;‎ ‎（2）求证：‎ 考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质． ‎ 专题：证明题． ‎ 分析：（1）由AC 为⊙O 直径，得到∠NAC+ ∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN= ∠CAN， ‎ ‎ 根据PC 是⊙O 的切线，得到∠ACN+ ∠PCB=90°，于是得到结论． ‎ ‎ （2 ）由等腰三角形的性质得到∠ABC= ∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到 ‎ ‎ ∠PBC= ∠AMN ，证出△ BPC∽△MNA，即可得到结论． ‎ 解答：（1）证明：∵AC 为⊙O 直径， ‎ ‎ ∴∠ANC=90°， ‎ ‎ ∴∠NAC+ ∠ACN=90°， ‎ ‎ ∵AB=AC， ‎ ‎ ∴∠BAN= ∠CAN， ‎ ‎ ∵PC 是⊙O 的切线， ‎ ‎ ∴∠ACP=90°， ‎ ‎ ∴∠ACN+ ∠PCB=90°， ‎ ‎ ∴∠BCP= ∠CAN， ‎ ‎ ∴∠BCP= ∠BAN ； ‎ ‎ （2 ）∵AB=AC， ‎ ‎ ∴∠ABC= ∠ACB， ‎ ‎ ∵∠PBC+ ∠ABC= ∠AMN+ ∠ACN=180°， ‎ ‎ ∴∠PBC= ∠AMN ， ‎ ‎ 由（1）知∠BCP= ∠BAN ， ‎ ‎ ∴△BPC∽△MNA， ‎ ‎ ∴ ． ‎ 点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质， ‎ ‎ 圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理． ‎ ‎22.（8 分）（2015•黄冈）如图，反比例函数y=的图象经过点A（-1,4),直线y=-x + b(b≠0) 与双曲线y=在第二、四象限分别相交于P，Q 两点，与x 轴、y 轴分别相交于C,D 两点.‎ ‎(1)求k 的值;‎ ‎(2)当b=-2 时，求△OCD 的面积；‎ ‎(3)连接OQ，是否存在实数b,使得S△ODQ=S△OCD？ 若存在，请求出b 的值；若不存在，请说明理由. ‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． ‎ 专题：计算题． ‎ 分析：（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k= ﹣4 ； ‎ ‎ （2 ）当b= ﹣2 时，直线解析式为y= ﹣x ﹣2 ，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C ‎ ‎ （﹣2 ，0 ），D （0，﹣2 ），然后根据三角形面积公式求解； ‎ ‎ （3 ）先表示出C （b ，0 ），根据三角形面积公式，由于S△ ODQ=S△ OCD ，所以点 ‎ Q 和 点C 到OD 的距离相等，则Q 的横坐标为（﹣b ，0 ），利用直线解析式可得到Q （﹣ ‎ ‎ b ，2b ），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b •2b= ﹣4 ，然后解方程即可 ‎ ‎ 得到满足条件的b 的值． ‎ 解答： 解：（1）∵反比例函数y= 的图象经过点A （﹣1，4 ）， ‎ ‎ ∴k= ﹣1×4= ﹣4 ； ‎ ‎ （2 ）当b= ﹣2 时，直线解析式为y= ﹣x ﹣2 ， ‎ ‎ ∵y=0 时，﹣x ﹣2=0 ，解得x= ﹣2 ， ‎ ‎ ∴C （﹣2 ，0 ）， ‎ ‎ ∵当x=0 时，y= ﹣x ﹣2= ﹣2 ， ‎ ‎ ∴D （0，﹣2 ）， ‎ ‎ ∴S△ OCD=×2×2=2 ； ‎ ‎ （3 ）存在． ‎ ‎ 当y=0 时，﹣x+b=0 ，解得x=b ，则C （b ，0 ）， ‎ ‎ ∵S△ ODQ=S△ OCD， ‎ ‎ ∴点Q 和点C 到OD 的距离相等， ‎ ‎ 而Q 点在第四象限， ‎ ‎ ∴Q 的横坐标为﹣b ， ‎ ‎ 当x= ﹣b 时，y= ﹣x+b=2b ，则Q （﹣b ，2b ）， ‎ ‎ ∵点Q 在反比例函数y= ﹣ 的图象上， ‎ ‎ ∴﹣b •2b= ﹣4 ，解得b= ﹣ 或b=（舍去）， ‎ ‎ ∴b 的值为﹣ ． ‎ 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把 ‎ ‎ 两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两 ‎ ‎ 者无交点．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式． ‎ ‎23.（10 分）（2015•黄冈）我市某风景区门票价格如图所示黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅行团队,计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120 人，乙团队人数不超过50 人.设甲团队人数为x 人,如果甲、乙两团队分别购买门票,两团队门票款之和为W 元.‎ ‎(1)求W 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；‎ ‎(2)若甲团队人数不超过100 人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱；‎ ‎(3“) 五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50 人时，门票价格不变；人数超过50 人但不超过100 人时，每张门票降价a 元;人数超过100 人时，每张门票降价2a 元.在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，最多可节约3400 元，求a 的值.‎ 考点：一次函数的应用；一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用． ‎ 分析：（1）根据甲团队人数为x 人，乙团队人数不超过50 人，得到x≥70，分两种情况： ‎ ‎ ①当70≤x≤100 时，W=70x+80 （120 ﹣x ）= ﹣10x+9600，②当100＜x ＜120 时， ‎ ‎ W=60x+80 （120 ﹣x ）= ﹣20x+9600 ，即可解答； ‎ ‎ （2 ）根据甲团队人数不超过100 人，所以x≤100，由W= ﹣10x+9600，根据70≤x≤100， ‎ ‎ 利用一次函数的性质，当x=70 时，W 最大=8900 （元），两团联合购票需120×60=7200 ‎ ‎ （元），即可解答； ‎ ‎ （3 ）根据每张门票降价a 元，可得W= （70 ﹣a ）x+80 （120 ﹣x ）= ﹣（a+10 ）x+9600 ， ‎ ‎ 利用一次函数的性质，x=70 时，W 最大= ﹣70a+8900 （元），而两团联合购票需120 ‎ ‎ （60 ﹣2a ）=7200 ﹣240a （元），所以﹣70a+8900 ﹣（7200 ﹣240a ）=3400，即可解答． ‎ 解答：解：（1）∵甲团队人数为x 人，乙团队人数不超过50 人， ‎ ‎ ∴120 ﹣x≤50， ‎ ‎ ∴x≥70， ‎ ‎ ①当70≤x≤100 时，W=70x+80 （120 ﹣x ）= ﹣10x+9600， ‎ ‎ ②当100＜x ＜120 时，W=60x+80 （120 ﹣x ）= ﹣20x+9600 ， ‎ ‎ 综上所述，W= ‎ ‎ （2 ）∵甲团队人数不超过100 人， ‎ ‎ ∴x≤100， ‎ ‎ ∴W= ﹣10x+9600， ‎ ‎ ∵70≤x≤100， ‎ ‎ ∴x=70 时，W 最大=8900 （元）， ‎ ‎ 两团联合购票需 120×60=7200 （元）， ‎ ‎ ∴最多可节约8900 ﹣7200=1700 （元）． ‎ ‎ （3 ）∵x≤100， ‎ ‎ ∴W= （70 ﹣a ）x+80 （120 ﹣x ）= ﹣（a+10 ）x+9600 ， ‎ ‎ ∴x=70 时，W 最大= ﹣70a+8900 （元）， ‎ ‎ 两团联合购票需 120 （60 ﹣2a ）=7200 ﹣240a （元）， ‎ ‎ ∵﹣70a+8900 ﹣（7200 ﹣240a ）=3400 ， ‎ ‎ 解得：a=10 ． ‎ 点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解析式，利用一 ‎ ‎ 次函数的性质求得最大值．注意确定x 的取值范围． ‎ ‎24.（14 分）（2015•黄冈）如图，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点,将△BCD 沿直线CD 折叠,使点B 恰好落在OA边上的点E 处，分别以OC，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系.‎ ‎(1)求OE 的长；‎ ‎(2)求经过O，D，C 三点的抛物线的解析式；‎ ‎(3)一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1 个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动.设运动时间为t 秒，当t为何值时，DP=DQ；‎ ‎(4) 若点N 在(2)中的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上,是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点的坐标;若不存在，请说明理由.‎ 考点：二次函数综合题． ‎ 分析：（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△ COE 中，由勾股定理可求得OE，设AD=m ， ‎ ‎ 在Rt△ADE 中，由勾股定理可求得m 的值，可求得D 点坐标，结合C、O 两点，利 ‎ ‎ 用待定系数法可求得抛物线解析式； ‎ ‎ （2 ）用t 表示出CP 、BP 的长，可证明△ DBP ≌△DEQ ，可得到BP=EQ ，可求得t ‎ ‎ 的值； ‎ ‎ （3 ）可设出N 点坐标，分三种情况①EN 为对角线，②EM 为对角线，③EC 为对 ‎ ‎ 角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M 点的横坐 ‎ ‎ 标，再代入抛物线解析式可求得M 点的坐标． ‎ 解答：解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4， ‎ ‎ ∴在Rt△ COE 中，OE==3 ， ‎ ‎ 设AD=m ，则DE=BD=4 ﹣m ， ‎ ‎ ∵OE=3， ‎ ‎ ∴AE=5 ﹣3=2， ‎ ‎ 在Rt△ADE 中，由勾股定理可得AD2 +AE2 =DE2 ，即m2 +22 = （4 ﹣m ）2 ，‎ ‎ 解得m= ， ‎ ‎ ∴D （﹣，﹣5 ）， ‎ ‎ ∵C （﹣4 ，0 ），O （0，0 ）， ‎ ‎ ∴设过O、D 、C 三点的抛物线为y=ax（x+4 ）， ‎ ‎ ∴﹣5= ﹣ a （﹣+4 ），解得a= ， ‎ ‎ ∴抛物线解析式为y=x （x+4 ）= x2 + x ； ‎ ‎ （2 ）∵CP=2t ， ‎ ‎ ∴BP=5 ﹣2t ， ‎ ‎ 在Rt△ DBP 和Rt△ DEQ 中， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ∴Rt△ DBP ≌Rt△ DEQ （HL ）， ‎ ‎ ∴BP=EQ ， ‎ ‎ ∴5 ﹣2t=t ， ‎ ‎ ∴t= ； ‎ ‎ （3 ）∵抛物线的对称为直线x= ﹣2 ， ‎ ‎ ∴设N（﹣2 ，n ）， ‎ ‎ 又由题意可知C （﹣4 ，0 ），E （0，﹣3 ）， ‎ ‎ 设M （m ，y ）， ‎ ‎ ①当EN 为对角线，即四边形ECNM 是平行四边形时， ‎ ‎ 则线段EN 的中点横坐标为= ﹣1，线段CM 中点横坐标为， ‎ ‎ ∵EN，CM 互相平分， ‎ ‎ ∴ = ﹣1，解得m=2 ， ‎ ‎ 又M 点在抛物线上， ‎ ‎ ∴y=x2 + x=16 ， ‎ ‎ ∴M （2 ，16）； ‎ ‎ ②当EM 为对角线，即四边形ECMN 是平行四边形时， ‎ ‎ 则线段EM 的中点横坐标为，线段CN 中点横坐标为 = ﹣3， ‎ ‎ ∵EN，CM 互相平分， ‎ ‎ ∴ = ﹣3，解得m= ﹣6， ‎ ‎ 又∵M 点在抛物线上， ‎ ‎ ∴y= × （﹣6 ）2 + × （﹣6 ）=16 ， ‎ ‎ ∴M （﹣6，16）； ‎ ‎ ③当CE 为对角线，即四边形EMCN 是平行四边形时， ‎ ‎ 则M 为抛物线的顶点，即M （﹣2 ，﹣ ）． ‎ ‎ 综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2 ，16）或（﹣6，16）或（﹣2 ，﹣ ）． ‎ 点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折 叠的性质、‎ ‎ 平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D 点坐标是解题的关键，在 （2 ）中证得全等，得 ‎ 到关于t 的方程是解题的关键，在（3 ）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综 ‎ 合性较强，难度适中． ‎