上海市中考数学模拟试题压轴题分析长宁

上海市中考数学模拟试题压轴题分析长宁

例 2011年上海市长宁区中考模拟第25题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－2x2＋4x＋6与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于C点，顶点为D．过点C、D的直线与x轴交于E点，以OE为直径画⊙O1，交直线CD于P、E两点．‎ ‎(1)求E点的坐标；‎ ‎(2)联结PO1、PA．求证：△BCD∽△PO1A；‎ ‎(3) ①以点O2 (0，m)为圆心画⊙O2，使得⊙O2与⊙O1相切，当⊙O2经过点C时，求实数m的值；②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O3，以O3为圆心画⊙O3，使得⊙O3与⊙O1、⊙O2同时相切.直接写出满足条件的点O3的坐标(不需写出计算过程)．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11长宁25”，拖动圆心O2在y轴上运动，可以改变⊙O1与⊙O2的位置关系．双击按钮“⊙O1与⊙O2外切”和“⊙O1与⊙O2内切”可以准确显示⊙O3与⊙O1、⊙O2同时相切时的位置．双击按钮“第（2）题”和“第（3）题”可以切换．‎ 请打开超级画板文件名“11长宁25”，‎ 思路点拨 ‎1．这是一道超级难题，放弃可惜，努力又不会有圆满的结果，先拿回第（1）题．‎ ‎2．第（2）题如果没有规范、准确的图形，很难判断∠BCD＝∠PO1A．事实上，△CBE与△O1PE是有公共底角的两个等腰三角形，顶角的邻补角相等，即∠BCD＝∠PO1A．‎ ‎3．第（3）题有几个符合条件的⊙O3呢？画两个坐标系，准确画出C、E两点和⊙O1，一个画出⊙O1与⊙O2外切，另一个画出⊙O1与⊙O2内切，然后仔细端详、思考，能想出几个⊙O3就算出几个．好不容易想到了，如果因为计算错误，那是白劳！‎ 满分解答 ‎（1）由y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x－1)2＋8＝－2(x＋1) (x－3)，‎ 得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，6)，D(1，8)．‎ 直线CD的解析式为y＝2x＋6，点E的坐标为(－3，0)．‎ ‎（2）已知B(3，0)，C(0，6)，D(1，8)，由两点间的距离公式，可得、．‎ 如图2，⊙O1的直径OE＝3，OA＝1，所以PO1＝，O1A＝．‎ 因此．‎ 因为B(3，0)、E(－3，0)关于y轴对称，所以∠B＝∠E．所以∠BCD＝2∠E．‎ 因为O1E＝O1P，所以∠O1PE＝∠E．所以∠PO1A＝2∠E．‎ 于是证得∠BCD＝∠PO1A．‎ 根据两边对应成比例且夹角相等，得到△BCD∽△PO1A．‎ ‎（3）①对于⊙O1，r1＝；对于⊙O2，r2＝6－m；圆心距O1O2＝．‎ 如图3，当两圆外切时，r1＋r2＝O1O2．解方程，得．‎ 如图4，当两圆内切时，| r1＋r2 |＝O1O2．解方程，得．‎ 图2 图3 图4‎ ‎②符合条件的点O3有7个，坐标为 ，，，，，，．‎ 考点伸展 第（3）②题的⊙O3的示意图如下：图5中，当⊙O1与⊙O2（阴影两圆）外切时，与两圆同时外切的⊙O3有两个，同时内切的⊙O3有两个．‎ 图5中，当⊙O1与⊙O2（无阴影两圆）内切时，与两圆同时内切的⊙O3有四个（阴影四个圆），其中圆心O3在x轴、y轴各有两个．图5与图6中，重合的圆有一个．‎ 图5 图6‎