呼和浩特市中考数学试卷及答案

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呼和浩特市中考数学试卷及答案

‎2014年 呼 和 浩 特 市 中 考 试 卷 数 学 注意事项:‎ ‎1.考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题纸的规定位置。‎ ‎2.考生要将答案写在答题纸上,在试卷上答题一律无效。考试结束后,本试卷和答题纸一并交回。‎ ‎3.本试卷满分120分。考试时间120分钟。‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.下列实数是无理数的是 A.–1 B.0‎ C.π D. ‎2.以下问题,不适合用全面调查的是 ‎ A.旅客上飞机前的安检 B.学校招聘教师,对应聘人员的面试 ‎ C.了解全校学生的课外读书时间 D.了解一批灯泡的使用寿命 ‎3.已知线段CD是由线段AB平移得到的,点A(–1,4)的对应点为C(4,7),则点B(–4,–1)的对应点D的坐标为 ‎ A.(1,2) B.(2,9)‎ ‎ C.(5,3) D.(–9,–4)‎ ‎4.右图是某几何体的三视图,根据图中数据,求得该几何体的体积为 ‎ A.60π B.70π ‎ C.90π D.160π ‎5.某商品先按批发价a元提高10%零售,后又按零售价降低10%出售,则最后的单价是 A.a元 B.0.99a元 C.1.21a元 D.0.81a元 ‎6.已知⊙O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为 ‎ A. B. C. D. ‎7.实数a,b,c在数轴上对应的点如下图所示,则下列式子中正确的是 a b 0 c x ‎ A.ac > bc B.|a–b| = a–b ‎ C.–a <–b < c D.–a–c >–b–c ‎8.下列运算正确的是 ‎ A. B.=a3‎ ‎ C. D.(–a)9÷a3 =(–a)6‎ ‎9.已知矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线AC,BD相交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交两边AD,BC于E,F(不与顶点重合),则以下关于CDE与ABF判断完全正确的一项为 ‎ A.CDE与ABF的周长都等于10cm,但面积不一定相等 ‎ ‎ B.CDE与ABF全等,且周长都为10cm ‎ C.CDE与ABF全等,且周长都为5cm ‎ ‎ D.CDE与ABF全等,但它们的周长和面积都不能确定 ‎10.已知函数y = 的图象在第一象限的一支曲线上有一点A(a,c),点B(b,c+1)在该函数图象的另外一支上,则关于一元二次方程ax2+bx+c = 0的两根x1,x2判断正确的是 ‎ A.x1 + x2 >1,x1·x2 > 0 B.x1 + x2 < 0,x1·x2 > 0‎ ‎ C.0 < x1 + x2 < 1,x1·x2 > 0 D.x1 + x2与x1·x2 的符号都不确定 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上,不需要解答过程)‎ ‎11.一个底面直径是80cm,母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ‎ ‎________.‎ ‎12.某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下:10,10,12,x,8. 已知这组数据的平均数是10,那么这组数据的方差是_________.‎ ‎13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36,则该等腰三角形的底角的度数为___ __________.‎ ‎14.把多项式6xy2–9x2y–y3因式分解,最后结果为_________.‎ ‎15.已知m,n是方程x2+2x–5 = 0的两个实数根,则m2–mn+3m+n=_________.‎ ‎16.以下四个命题:‎ ‎①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形.‎ ‎②当m > 0时, y =–mx+1与y = 两个函数都是y随着x的增大而减小.‎ ‎③已知正方形的对称中心在坐标原点,顶点A,B,C,D按逆时针依次排列,若A点坐标为(1,则D点坐标为(1, ‎④在一个不透明的袋子中装有标号为1,2,3,4的四个完全相同的小球,从袋中随机摸取一个然后放回,再从袋中随机地摸取一个,则两次取到的小球标号的和等于4的概率为 .‎ 其中正确的命题有_________(只需填正确命题的序号)‎ 三、解答题(本大题共9小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)计算 ‎(1)(5分)计算: 2cos 30°+(–2)–1 + ‎ ‎(2)(5分)解方程: –= 0‎ ‎18.(6分)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可)‎ ‎19.(5分)已知实数a是不等于3的常数,解不等式组 ‎ ,并依据a的取值情况写出其解集.‎ ‎20.(9分)学校为了了解初三年级学生体育跳绳的训练情况,从初三年级各班随机抽取了50名学生进行了60秒跳绳的测试,并将这50名学生的测试成绩(即60秒跳绳的个数)从低到高分成六段记为第一到六组,最后整理成下面的频数分布直方图:请根据直方图中样本数据提供的信息解答下列问题.‎ ‎(1)跳绳次数的中位数落在哪一组?由样本数据的中位数你能推断出学校初三年级学生关于60秒跳绳成绩的一个什么结论?‎ ‎(2)若用各组数据的组中值(各小组的两个端点的数的平均数)代表各组的实际数据,求这50名学生的60‎ 秒跳绳的平均成绩(结果保留整数);‎ ‎(3)若从成绩落在第一和第六组的学生中随机抽取2名学生,用列举法求抽取的2名学生恰好在同一组的概率.‎ ‎21.(7分)如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿AC折叠,点B落在点E处,AE与DC的交点为O, 连接DE.‎ ‎(1)求证:∆ADE≌∆CED;‎ ‎(2)求证: DE∥AC.‎ ‎22.(7分)为鼓励居民节约用电,我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价,即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费,第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分,执行基本价格;第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分,实行提高电价;第三档为用电量超出450千瓦时的部分,执行市场调节价格. 我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时,电费为213元,3月份用电240千瓦时,电费为150元.已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和 410千瓦时,请你依据该同学家的缴费情况,计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元? ‎ ‎23.(8分)如图,已知反比例函数y = (x > 0,k是常数)的图象经过点A(1,4),点B(m , n),其中m>1, AM⊥x轴,垂足为M,BN⊥y轴,垂足为N,AM与BN的交点为C.‎ ‎(1)写出反比例函数解析式;‎ ‎(2)求证:∆ACB∽∆NOM;‎ ‎(3)若∆ACB与∆NOM的相似比为2,求出B点的坐标及AB所在直线的解析式.‎ ‎24.(8分)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线CM.‎ ‎(1)求证:∠ACM=∠ABC;‎ ‎(2)延长BC到D,使BC = CD,连接AD与CM交于点E,若⊙O的半径为3,ED = 2, 求∆ACE的外接圆的半径.‎ ‎25.(12分)如图,已知直线l的解析式为y = x–1,抛物线y = ax2+bx+2经过点A(m,0),B(2,0),D 三点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式及A点的坐标,并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象;‎ ‎(2)已知点 P(x,y)为抛物线在第二象限部分上的一个动点,过点P作PE垂直x轴于点E, 延长PE与直线l交于点F,请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数, 并求出S的最大值及S最大时点P的坐标;‎ ‎(3)将(2)中S最大时的点P与点B相连,求证:直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上.‎ ‎2014年 呼 和 浩 特 市 中 考 试 卷 数学参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1.C 2.D 3.A 4.B 5.B ‎ ‎6.C 7.D 8.C 9.B 10.C 二、填空题 ‎11.160° 12.1.6 13.63°或27° ‎ ‎14.–y(3x–y)2 15.8 16.①‎ 三、计算题 ‎17.(1)解:原式=2 × + + 3分 ‎= –(+2) + 4分 ‎= – 5分 ‎(2)解:去分母得 ‎ 3x2–6x–x2–2x = 0 1分 ‎ 2x2 –8x = 0 2分 ‎ ∴ x = 0或x = 4 3分 经检验:x = 0是增根 ‎ ∴ x = 4是原方程的解 5分 ‎18.解:过点P作PD⊥AB于D 1分 由题意知∠DPB = 45°‎ 在RtΔPBD中,sin 45° = ‎∴ PB=PD 2分 ‎∵ 点A在P的北偏东65°方向上 ‎∴ ∠APD = 25°‎ 在RtΔPAD中 cos 25° = ‎∴ PD = PA cos 25° = 80 cos 25° 5分 ‎∴ PB = 80cos 25° 6分 ‎19.解: 解①得:x≤3 1分 解②得:x < a 2分 ‎∵ a是不等于3的常数 ‎∴ 当a > 3时,不等式组的解集为x≤3 4分 ‎ 当a < 3时,不等式组的解集为x < a 5分 ‎20.解:(1)中位数落在第四组 1分 由此可以估计初三学生60秒跳绳在120个以上的人数达到一半以上 3分 ‎(2)= ≈121 6分 ‎(3)记第一组的两名学生为A、B,第六组的三名学生为1、2、3 7分 ‎ 则从这5名学生中抽取两名学生有以下10种情况:‎ ‎ AB,A1,A2,A3,B1,B2,B3,12,13,23‎ ‎∴ P = = 9分 ‎21.证明:(1)∵ 四边形ABCD是矩形 ‎∴ AD=BC AB=CD 又∵ AC是折痕 ‎∴ BC = CE = AD 1分 ‎ AB = AE = CD 2分 又DE = ED ‎∴ ΔADE ≌ΔCED 3分 ‎(2)∵ ΔADE ≌ΔCED ‎∴ ∠EDC =∠DEA 又ΔACE与ΔACB关于AC所在直线对称 ‎∴ ∠OAC =∠CAB 而∠OCA =∠CAB ‎∴ ∠OAC =∠OCA 5分 ‎∴ 2∠OAC = 2∠DEA 6分 ‎∴ ∠OAC =∠DEA ‎∴ DE∥AC 7分 ‎22.解:设基本电价为x元/千瓦时,提高电价为y元/千瓦时 1分 由题意得:‎ 3分 解之得: 4分 ‎∴ 4月份的电费为:160×0.6=96元 ‎ 5月份的电费为:180×0.6+230×0.7 = 108+161 = 269元 答:这位居民4、5月份的电费分别为96元和269元. 7分 ‎23.解:(1)∵ y = 过(1,4)点 ‎∴ k = 4,反比例函数解析式为y = 1分 ‎(2)∵ B(m,n) A(1,4)‎ ‎∴ AC = 4–n,BC = m–1,ON = n,OM = 1 2分 ‎∴ = = –1‎ 而B(m,n)在y = 上 ‎∴ = m ‎∴ = m–1‎ 而 = ‎∴ = 4分 又∵ ∠ACB =∠NOM = 90°‎ ‎∴ ΔACB∽ΔNOM 5分 ‎(3)∵ ΔACB与ΔNOM的相似比为2‎ ‎∴ m–1 = 2‎ ‎∴ m = 3‎ ‎∴ B点坐标为(3,) 6分 设AB所在直线的解析式为y = kx+b ‎∴ ‎∴ k = – b = ‎∴ 解析式为y = –x+ 8分 ‎24.证明:(1)连接OC 1分 ‎∵ AB为⊙O的直径 ‎∴ ∠ACB = 90°‎ ‎∴ ∠ABC +∠BAC = 90°‎ 又∵ CM是⊙O的切线 ‎∴ OC⊥CM ‎∴ ∠ACM +∠ACO = 90° 2分 ‎∵ CO = AO ‎∴ ∠BAC =∠ACO ‎∴ ∠ACM =∠ABC 3分 ‎(2)∵ BC = CD ‎∴ OC∥AD 又∵ OC⊥CE ‎∴ AD⊥CE ‎∴ ΔAEC是直角三角形 ‎∴ ΔAEC的外接圆的直径为AC 4分 又∵ ∠ABC +∠BAC = 90°‎ ‎∠ACM +∠ECD = 90°‎ 而∠ABC =∠ACM ‎∴ ∠BAC =∠ECD 又∠CED =∠ACB = 90°‎ ‎∴ ΔABC∽ΔCDE ‎∴ = 而⊙O的半径为3‎ ‎∴ AB = 6‎ ‎∴ = ‎∴ BC2 = 12‎ ‎∴ BC = 2 6分 在RtΔABC中 ‎∴ AC = = 2 7分 ‎∴ ΔAEC的外接圆的半径为 8分 ‎25.解:(1)∵ y = ax2+bx+2经过点B、D ‎ ∴ 解之得:a =–,b =– ‎∴ y =–x2 – x+2 2分 ‎∵ A(m,0)在抛物线上 ‎∴ 0 =– m2 – m+2‎ 解得:m =–4‎ ‎∴ A(–4,0) 3分 图像(略) 4分 ‎(2)由题设知直线l的解析式为y = x–1‎ ‎∴ S = AB·PF ‎ = ×6·PF ‎ = 3(– x2 – x+2+1– x) 5分 ‎ = – x2 –3x+9‎ ‎ = –(x+2)2 +12 6分 其中–4 < x < 0 7分 ‎∴ S最大= 12,此时点P的坐标为(–2,2) 9分 ‎(3)∵ 直线PB过点P(–2,2)和点B(2,0)‎ ‎∴ PB所在直线的解析式为y =– x+1 10分 设Q(a, a–1)是y = x–1上的任一点 则Q点关于x轴的对称点为(a,1– a)‎ 将(a,1– a)代入y =– x+1显然成立 11分 ‎∴ 直线l上任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在的直线上 12‎
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