中考专题图形折叠型题

中考专题图形折叠型题

专题三 图形折叠型题 Ⅰ、专题精讲:‎ 折叠的规律是：关注“两点一线”在翻折过程中，我们应关注“两点”，即对称点，思考自问“哪两个点是对称点?” ；‎ 还应关注“一线”，即折线，也就是对称轴。这是解决问题的基础.‎ 折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等.折 叠图形中有相似三角形，常用勾股定理.‎ Ⅱ、典型例题剖析：‎ 一．折叠后求度数 例1. 如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ 　）‎ A．50° B．55°　　　C．60° D．65°‎ ‎ ‎ 例2. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EM，MF为折痕（如图所示），则∠EMF的度数为 ‎ 变式：已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合）‎ ‎（1）如图①，现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一点F，将△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；‎ G B C E D F A P H 图②‎ A B D P C C’‎ F E G H 图③‎ G F B A C D P E 图①‎ ‎（2）在（1）中，如图②，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH和线段EH的大小关系，并说明你的理由；‎ ‎（3）如图③，分别在AD、BC上取点F、C’，使得∠APF=∠BPC’，与（1）中的操作相类似，即将△PAF沿PF翻折得到△PFG，并将△沿翻折得到△，连接，取的中点H，连接GH、EH，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由．‎ 6‎ C D E B A 例3. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝　　度.‎ 图 （1）‎ 图 （2）‎ 例4.（1）观察与发现： 小明将三角形纸片ABC（AB >AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．‎ ‎（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．‎ A C D B 图①‎ A C D B 图②‎ F E E DD C F B A 图③‎ E D C A B F G A D E C B F G 图④‎ 图⑤‎ 二、折叠后求面积 例5. 如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ 例5图 例6图 例6. 如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）‎ A．2 B．4 C．8 D．10‎ 6‎ 例7. 如图，ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该沿对角线BD，求图中阴影部分的面积.‎ 变式：如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠点A落在A＇的位置上.若OB＝，BC/OC＝0.5，求点A＇的坐标为?‎ 三．折叠后求长度 例8. 已知矩形纸片ABCD，AB＝2，AD＝1将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.‎ ‎（1）如果折痕FG分别与AD，AB交于点F，G（如图（1），）AF＝.求DE的长.‎ ‎（2）如果折痕FG分别与CD，AB，AE交于点F，G，O（如图（2），），O到BC的距离等于OE，求折痕FG的长.‎ A B C D E F G A B C D E F G 例9. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是（ ）‎ A. 10－15 B. 10－5 F C. 5－5 D. 20－10 6‎ 四．折叠后得图形 例10.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）‎ A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形 例11. 在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：‎ 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；‎ 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．‎ 请解答以下问题：‎ ‎（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；‎ ‎（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？‎ ‎（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系．设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值．此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点），为什么？‎ 图1 图2 图3‎ 例12. 如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）‎ 例13. 如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ 五．折叠后得结论 ‎ 例14. 一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图），则矩形的长与宽的比为 .‎ 6‎ 六．折叠和剪切的应用 例15.在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？‎ A D E H F B C G ‎（方案一）‎ A D E F B C ‎（方案二）‎ 七．以折叠为背景的存在性问题 例16. 已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建 立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将△POC沿PC翻折 得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得 直线PE、PF重合．‎ ‎（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP＝x，AD＝y，当x为何值时，y取得最大值？‎ C y E B F D A P x O 图①‎ A B D F E C O P x y 图②‎ ‎（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标 6‎ 八．以折叠为背景的探索题 例17.已知：矩形纸片ABCD中，AB＝26cm，BC＝18.5cm，点E在AD上，且AE＝6cm，点P是AB边上一动点，按如下操作：‎ 步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图（1）所示）；‎ 步骤二，过点P作PT⊥AB交MN所在的直线于点Q，连结QE（如图（2）所示）；‎ ‎（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE（填“＞”、“=”、“＜”号 ）‎ ‎（2）如图（3）所示，将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：‎ ‎①当点P在A点时，PT与MN交于点Q1， Q1点的坐标是（ ， ）；‎ ‎②当PA＝6cm时，PT与MN交于点Q2，Q2点的坐标是（ ， ）；‎ ‎③当PA＝12cm时，在图（3）中画出MN，PT（不要求写画法）并求出MN与PT的交点Q3的坐标；‎ ‎（3）点P在在运动过程中，PT与MN形成一系列的交点Q1，Q2，Q3…观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式.‎ A B C D P E M N B C ‎（P）‎ A B C D P E M N T Q ‎（A）‎ B C D E N O ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎24‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ 6‎