北京中考专题新定义Y

北京中考专题新定义Y

‎2016年北京专题---新定义 东城29. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线.‎ ‎（1）当⊙O的半径为1时，‎ 分别判断在点D（，），E（0，-），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有__________；‎ ‎ 请从中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程.‎ ‎ 点P在直线上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；‎ ‎（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．‎ ‎ ‎ 东城29.解：（1）①D,E. …………2分 ②连接OD，过D作OD的垂线交⊙O于A，B两点. …………4分 （2） ‎∵⊙O的半径为1，所以点P到⊙O的距离小于等于3，且不等于1时时，符合题意. ‎ ‎ ∵ 点P在直线上，∴. …………6分 ‎（3）. …………8分 房山29.在平面直角坐标系xoy中，对于任意三点A，B，C给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点A，B，C的外延正方形，在点A，B，C所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A，B，C的最佳外延正方形.例如，图1中的正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2 ，A3B3CD3都是点A，B，C的外延正方形，正方形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延正方形.‎ ‎（1）如图1，点A（-1，0），B（2，4），C（0，t）（t为整数）.‎ ① 如果t=3，则点A，B，C的最佳外延正方形的面积是 ；‎ ② 如果点A，B，C的最佳外延正方形的面积是25，且使点C在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的t值 ；‎ 图一 图二 ‎（图3 ） （图4） ‎ ‎（2）如图3，已知点M（3，0），N（0，4），P（x，y）是抛物线y=x2-2x-3上一点，求点M，N，P的最佳外延正方形的面积以及点P的横坐标x的取值范围；‎ ‎（3）如图4，已知点E（m，n）在函数（x>0）的图象上，且点D的坐标为（1，1），设点O，D，E的最佳外延正方形的边长为，请直接写出的取值范围. ‎ 房山29.解：（1）① 16 ；-----------2分 ② 5或-1 ； ---------3分 （2） 以ON为一边在第一象限作正方形OKIN，如图3①‎ ‎ ‎ ‎ 点M在正方形OKIN的边界上，抛物线一部分在正方形OKIN内，P是抛物线上一点，‎ ‎ ∴正方形OKIN是点M，N，P的一个面积最小的最佳外延正方形 ‎ ∴点M，N，P的最佳外延正方形的面积的最小值是16； ‎ ‎∴点M，N，P的最佳外延正方形的面积S的取值范围是：S16 -------------5分 满足条件的点P的横坐标的取值范围是3 ------------6分 ‎（3） -----------------8分 丰台29. 如图，点P( x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点. 当a ≤ x ≤ b时，有-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，则称这两个函数在a ≤ x ≤ b上是“相邻函数”，否则称它们在a ≤ x ≤ b上是“非相邻函数”. 例如，点P(x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数y = 3x+1与y = 2x - 1图象上的任一点，当-3 ≤ x ≤ -1时，y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通过构造函数y = x + 2并研究它在-3 ≤ x ≤ -1上的性质，得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1，所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”.‎ ‎（1）判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在－2 ≤ x≤ 0上是否为“相邻函数”，并说明理由；‎ ‎（2）若函数y = x2 - x与y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，求a的取值范围；‎ ‎（3）若函数y =与y =－2x + 4在1 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值.‎ 丰台29．解：（1）是“相邻函数”. ------- 1分 ‎ 理由如下： ，构造函数.‎ ‎∵在上随着的增大而增大，‎ ‎∴当时，函数有最大值1，当时，函数有最小值-1，即.∴.--- 3分 即函数与在上是“相邻函数”.‎ ‎（2），构造函数.‎ ‎∵,∴顶点坐标为.‎ 又∵抛物线的开口向上，‎ ‎∴当时，函数有最小值，当或时，函数有最大值，即，‎ ‎∵函数与在上是 “相邻函数”，‎ ‎∴，即∴. --- 6分 ‎（3）的最大值是2，的最小值1. -------- 8分 ‎ 海淀29．在平面直角坐标系中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若为直线PC与⊙C的一个交点，满足，则称为点P关于⊙C的限距点，右图为点P及其关于⊙C的限距点的示意图．‎ （1） 当⊙O的半径为1时．‎ ‎ ①分别判断点M ，N，T 关于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标；‎ ‎②点D的坐标为（2,0），DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的边上.若点P关于⊙O的限距点存在，求点的横坐标的取值范围；‎ ‎（2）保持（1）中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为（1,0），半径为r.请从下面两个问题中任选一个作答.‎ 温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.‎ 问题1‎ 问题2‎ 若点P关于⊙C的限距点存在，且随点P的运动所形成的路径长为，则r的最小值为__________．‎ 若点P关于⊙C的限距点不存在，则r的取值范围为________.‎ 海淀29．解：（1）①点M，点T关于⊙的限距点不存在；点N关于⊙的限距点存在，坐标为（1，0）．‎ ‎②∵点的坐标为(2，0)，⊙半径为1，，分别切⊙于点，点，‎ ‎∴切点坐标为，…3分 如图所示，不妨设点的坐标为，点的坐标为，EO，FO的延长线分别交⊙于点，，则，．‎ 设点关于⊙的限距点的横坐标为．‎ Ⅰ.当点在线段上时，直线与的交点满足，故点关于⊙的限距点存在，其横坐标满足.‎ Ⅱ.当点在线段，（不包括端点）上时，直线PO与⊙O的交点满足或，故点P关于⊙的限距点不存在． ‎ Ⅲ.当点与点重合时，直线PO与⊙O的交点满足，故点P关于⊙的限距点存在，其横坐标=1． ‎ 综上所述，点关于⊙的限距点的横坐标的范围为或=1． ……………………6分 （1） 问题1： ． 问题2：0 < r < ． ‎ 怀柔29．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值时，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的“近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值时，就称该最大值为两个图形G1和G2之间的“远距离” ．‎ 请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：‎ 在平面直角坐标系xOy中，点A（-4， 3），B（-4，-3），C（4，-3），D（4， 3）．‎ ‎(1)请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，直接写出线段AB和线段CD的“近距离”和“远距离”．‎ ‎(2)设直线（b>0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“近距离”是1，求它们的“远距离” ；‎ ‎(3)在平面直角坐标系xOy中，有一个矩形GHMN，若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内.将四边形ABCD绕着点O旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形GHMN的“远距离”的最大值是 ；“近距离”的最小值是 ．‎ 怀柔29.解：（1）画图. ………………………………1分 ‎ ‎ “近距离”是 8 . …………………2分 “远距离”是 10 . ……………………3分 ‎（2）①当EF在矩形ABCD内部时,∵“近距离”=1,∴F（0,2）.‎ 把F（0,2）代入中,∴b=2.∴直线EF的表达式为.∴E（，0）.‎ ‎∵EC=,　FC=，∴FC >EC．∴“远距离”为 ． …………5分 ‎②当EF在矩形ABCD外部时,‎ 由题意可知:E（，0）， F（0,10），‎ ‎∴EC=, FC=．∴FC >EC．∴远距离”为 ． ……………6分 综上所述,“远距离”为或 ．‎ （1） 最大值是 7 　．………7分 最小值是 1 　．……………8分 门头沟29．如图1，P为∠MON平分线OC上一点，以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA·OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．‎ ‎ 图1 图2 图3 图4‎ ‎（1）如图2，P为∠MON平分线OC上一点，过P作PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，那么∠APB ∠MON的关联角（填“是”或“不是”）．‎ ‎（2）① 如图3，如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；‎ ‎ ② 如果∠MON=α°（0°＜α°＜90°），OP=m，∠APB是∠MON的关联角，直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积．‎ ‎（3）如图4，点C是函数（x＞0）图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出∠AOB的关联角∠APB的顶点P的坐标． ‎ 门头沟29．（本小题满分8分）‎ 解：（1）是．………………………………………………1分 ‎（2）① 如图，过点A作AH⊥OB于点H．‎ ‎∵∠APB是∠MON的关联角，OP=2，∴OA·OB=OP2=4．‎ 在Rt△AOH中，∠AOH=90°，∴，∴．‎ ‎∴S△AOB， ‎ ‎．…………………………3分 ‎∵∠APB是∠MON的关联角，∴OA·OB=OP2，即．‎ ‎∵点P为∠MON的平分线上一点，∴ ∠AOP=∠BOP=．‎ ‎∴△AOP∽△POB．∴∠OAP=∠OPB．∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°－30°=150°．‎ ‎② S△AOB．…………6分 （3）P点的坐标为，．…………8分 平谷29．对于两个已知图形G1，G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小长度为G1，G2的“密距”，用字母d表示；当线段PQ的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形G1，G2的“疏距”，用字母f表示．例如，当，时，点O与线段MN的“密距”为，点O与线段MN的“疏距”为．‎ ‎（1）已知，在平面直角坐标系xOy中，，，，，‎ ‎①点O与线段AB的“密距”为，“疏距”为；②线段AB与△COD的“密距”为，“疏距”为；‎ ‎（2）直线与x轴，y轴分别交于点E，F，以为圆心，1为半径作圆，当⊙C与线段EF的“密距”0

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