泸州市中考数学试卷及答案解析版

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泸州市中考数学试卷及答案解析版

‎2014年四川省泸州市中考数学试题 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每题3分,共36分. 只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1. 5的倒数为( A )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ ‎5‎ C.‎ D.‎ ‎﹣5‎ ‎2.计算x2•x3的结果为( B )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2x2‎ B.‎ x5‎ C.‎ ‎2x3‎ D.‎ x6‎ ‎3.如图的几何图形的俯视图为( C )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎4.某校八年级(2)班5名女同学的体重(单位:kg)分别为35,36,40,42,42,则这组数据的中位数是( C )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎38‎ B.‎ ‎39‎ C.‎ ‎40‎ D.‎ ‎42‎ ‎5.如图,等边△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则∠DEC的度数为( C )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎30°‎ B.‎ ‎60°‎ C.‎ ‎120°‎ D.‎ ‎150°‎ ‎6.已知实数x、y满足+|y+3|=0,则x+y的值为( A )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣2‎ B.‎ ‎2‎ C.‎ ‎4‎ D.‎ ‎﹣4‎ ‎7.一个圆锥的底面半径是‎6cm,其侧面展开图为半圆,则圆锥的母线长为( B )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎9cm B.‎ ‎12cm C.‎ ‎15cm D.‎ ‎18cm ‎8.已知抛物线y=x2﹣2x+m+1与x轴有两个不同的交点,则函数y=的大致图象是( A )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎9. “五一节”期间,王老师一家自驾游去了离家170千米的某地,下面是他们家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象,当他们离目的地还有20千米时,汽车一共行驶的时间是( C )‎ ‎10.如图,⊙O1,⊙O2的圆心O1,O2都在直线l上,且半径分别为‎2cm,‎3cm,O1O2=‎8cm.若⊙O1以‎1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动(⊙O2保持静止),则在7s时刻⊙O1与⊙O2的位置关系是( D )‎ ‎ ‎ A.‎ 外切 B.‎ 相交 C.‎ 内含 D.‎ 内切 ‎11.如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E,F,则的值是( C )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解答:‎ 解:作FG⊥AB于点G,‎ ‎∵∠DAB=90°,∴AE∥FG,∴=,‎ ‎∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,又∵BE是∠ABC的平分线,∴FG=FC,‎ 在RT△BGF和RT△BCF中,‎ ‎ ∴RT△BGF≌RT△BCF(HL),∴CB=GB,‎ ‎∵AC=BC,∴∠CBA=45°,∴AB=BC,‎ ‎∴====+1.‎ 故选:C.‎ ‎12.如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为,则a的值是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎4‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解答:‎ 解:作PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连结PB,如图,‎ ‎∵⊙P的圆心坐标是(3,a),∴OC=3,PC=a,‎ 把x=3代入y=x得y=3,∴D点坐标为(3,3),∴CD=3,∴△OCD为等腰直角三角形,‎ ‎∴△PED也为等腰直角三角形,‎ ‎∵PE⊥AB,∴AE=BE=AB=×4=2,‎ 在Rt△PBE中,PB=3,∴PE=,∴PD=PE=,∴a=3+.‎ 故选B.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分. 请将最后答案直接填在题中横线上.)‎ ‎13.分解因式:‎3a2+‎6a+3= 3(a+1)2 .‎ ‎14.使函数y=+有意义的自变量x的取值范围是 x>﹣2,且x≠1 .‎ ‎15.一个平行四边形的一条边长为3,两条对角线的长分别为4和,则它的面积为 4 .‎ ‎16.如图,矩形AOBC的顶点坐标分别为A(0,3),O(0,0),B(4,0),C(4,3),动点F在边BC上(不与B、C重合),过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E,直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G.给出下列命题:‎ ‎①若k=4,则△OEF的面积为;‎ ‎②若,则点C关于直线EF的对称点在x轴上;‎ ‎③满足题设的k的取值范围是0<k≤12;‎ ‎④若DE•EG=,则k=1.‎ 其中正确的命题的序号是 ②④ (写出所有正确命题的序号).‎ 解答:‎ 解:命题①错误.理由如下:‎ ‎∵k=4,∴E(,3),F(4,1),∴CE=4﹣=,CF=3﹣1=2.‎ ‎∴S△OEF=S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△CEF ‎=S矩形AOBC﹣OA•AE﹣OB•BF﹣CE•CF ‎=4×3﹣×3×﹣×4×1﹣××2=12﹣2﹣2﹣=,‎ ‎∴S△OEF≠,故命题①错误;‎ 命题②正确.理由如下:‎ ‎∵k=,∴E(,3),F(4,),∴CE=4﹣=,CF=3﹣=.‎ 如答图,过点E作EM⊥x轴于点M,则EM=3,OM=;‎ 在线段BM上取一点N,使得EN=CE=,连接NF.‎ 在Rt△EMN中,由勾股定理得:MN===,‎ ‎∴BN=OB﹣OM﹣MN=4﹣﹣=.‎ 在Rt△BFN中,由勾股定理得:NF===.‎ ‎∴NF=CF,‎ 又∵EN=CE,∴直线EF为线段CN的垂直平分线,即点N与点C关于直线EF对称,‎ 故命题②正确;‎ 命题③错误.理由如下:‎ 由题意,点F与点C(4,3)不重合,所以k≠4×3=12,故命题③错误;‎ 命题④正确.理由如下:‎ 为简化计算,不妨设k=‎12m,则E(‎4m,3),F(4,‎3m).‎ 设直线EF的解析式为y=ax+b,则有 ‎,解得,∴y=x+‎3m+3.‎ 令x=0,得y=‎3m+3,∴D(0,‎3m+3);令y=0,得x=‎4m+4,∴G(‎4m+4,0).‎ 如答图,过点E作EM⊥x轴于点M,则OM=AE=‎4m,EM=3.‎ 在Rt△ADE中,AD=AD=OD﹣OA=‎3m,AE=‎4m,由勾股定理得:DE=‎5m;‎ 在Rt△MEG中,MG=OG﹣OM=(‎4m+4)﹣‎4m=4,EM=3,由勾股定理得:EG=5.‎ ‎∴DE•EG=‎5m×5=‎25m=,解得m=,∴k=‎12m=1,故命题④正确.‎ 综上所述,正确的命题是:②④,故答案为:②④.‎ 三、(本大题共3小题,每题6分,共18分)‎ ‎17.计算:﹣4sin60°+(π+2)0+()﹣2.‎ 解答:‎ 解:原式=2﹣4×+1+4=5.‎ ‎18.计算:(﹣)÷.‎ 解答:‎ 解:原式=(﹣)• =(﹣)•(﹣)‎ ‎=﹣• =﹣.‎ ‎19.如图,正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD上的点,且AE⊥BF,垂足为点G.‎ 求证:AE=BF.‎ 解答:‎ 证明:∵正方形ABCD,‎ ‎∴∠ABC=∠C,AB=BC.‎ ‎∵AE⊥BF,‎ ‎∴∠AGB=90°∠ABG+∠CBF=90°,‎ ‎∵∠ABG+∠FNC=90°,‎ ‎∴∠BAG=∠CBF.‎ 在△ABE和△BCF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△BCF(ASA),‎ ‎∴AE=BF.‎ 四、(本大题共2小题,每小题7分,共14分)‎ ‎20.‎ 某中学积极组织学生开展课外阅读活动,为了解本校学生每周课外阅读的时间量t(单位:小时),采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查,调查结果按0≤t<2,2≤t<3,3≤t<4,t≥4分为四个等级,并分别用A、B、C、D表示,根据调查结果统计数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,由图中给出的信息解答下列问题:‎ ‎(1)求出x的值,并将不完整的条形统计图补充完整;‎ ‎(2)若该校共有学生2500人,试估计每周课外阅读时间量满足2≤t<4的人数;‎ ‎(3)若本次调查活动中,九年级(1)班的两个学习小组分别有3人和2人每周阅读时间量都在4小时以上,现从这5人中任选2人参加学校组织的知识抢答赛,求选出的2人来自不同小组的概率.‎ 解答:‎ 解:(1)∵x%+15%+10%+45%=1,∴x=30;‎ ‎∵调查的总人数=90÷45%=200(人),‎ ‎∴B等级人数=200×30%=60(人);C等级人数=200×10%=20(人),‎ 如图:‎ ‎(2)2500×(10%+30%)=1000(人),‎ 所以估计每周课外阅读时间量满足2≤t<4的人数为1000人;‎ ‎(3)3人学习组的3个人用甲表示,2人学习组的2个人用乙 表示,画树状图为:‎ ‎,‎ 共有20种等可能的结果数,其中选出的2人来自不同小组占12种,‎ 所以选出的2人来自不同小组的概率==.‎ ‎21.某工厂现有甲种原料280千克,乙种原料290千克,计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件.已知生产一件A产品需要甲种原料‎9千克,乙种原料‎3千克,可获利700元;生产一件B产品需要甲种原料‎4千克,乙种原料10千克,可获利1200元.设生产A、B两种产品总利润为y元,其中A种产品生产件数是x.‎ ‎(1)写出y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)如何安排A、B两种产品的生产件数,使总利润y有最大值,并求出y的最大值.‎ 解答:‎ 解:(1)y=700x+1200(50﹣x),即y=﹣500x+60000;‎ ‎(2)由题意得,解得16≤x≤30‎ y=﹣500x+60000,y随x的增大而减小,当x=16时,y最大=58000,‎ 生产B种产品34件,A种产品16件,总利润y有最大值,y最大=58000元.‎ 五、(本大题共2小题,每小题8分,共16分)‎ ‎22.海中两个灯塔A、B,其中B位于A的正东方向上,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点C处测得灯塔A在西北方向上,灯塔B在北偏东30°方向上,渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D,这是测得灯塔A在北偏西60°方向上,求灯塔A、B间的距离.(计算结果用根号表示,不取近似值)‎ 解答:‎ 解:如图所示:‎ 由题意可得出:∠FCA=∠ACN=45°,∠NCB=30°,∠ADE=60°,‎ 过点A作AF⊥FD,垂足为F,‎ 则∠FAD=60°,∠FAC=∠FCA=45°,∠ADF=30°,∴AF=FC=AN=NC,‎ 设AF=FC=x,∴tan30°===,‎ 解得:x=15(+1),‎ ‎∵tan30°=,∴=,‎ 解得:BN=15+5,‎ ‎∴AB=AN+BN=15(+1)+15+5=30+20,‎ 答:灯塔A、B间的距离为(30+20)海里.‎ ‎23.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣2(m+1)x+m2+5=0的两实数根.‎ ‎(1)若(x1﹣1)(x2﹣1)=28,求m的值;‎ ‎(2)已知等腰△ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.‎ 解答:‎ 解:(1)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣2(m+1)x+m2+5=0的两实数根,‎ ‎∴x1+x2=2(m+1),x1•x2=m2+5,‎ ‎∴(x1﹣1)(x2﹣1)=x1•x2﹣(x1+x2)+1=m2+5﹣2(m+1)+1=28,‎ 解得:m=﹣4或m=6;‎ 当m=﹣4时原方程无解,∴m=6;‎ ‎(2)当7为底边时,此时方程x2﹣2(m+1)x+m2+5=0有两个相等的实数根,‎ ‎∴△=4(m+1)2﹣4(m2+5)=0,解得:m=2,‎ ‎∴方程变为x2﹣6x+9=0,解得:x1=x2=3,‎ ‎∵3+3<7,∴不能构成三角形;‎ 当7为腰时,设x1=7,代入方程得:49﹣14(m+1)+m2+5=0,‎ 解得:m=10或4,‎ 当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0,‎ 解得:x=7或15‎ ‎∵7+7<15,不能组成三角形;‎ 当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0,‎ 解得:x=3或7,‎ 此时三角形的周长为7+7+3=17.‎ 六、(本大题共2小题,每小题12分,共24分)‎ ‎24.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE•CA.‎ ‎(1)求证:BC=CD;‎ ‎(2)分别延长AB,DC交于点P,过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F,若PB=OB,CD=,求DF的长.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:∵DC2=CE•CA,∴=,‎ ‎∴△CDE∽△CAD,∴∠CDB=∠DBC,‎ ‎∵四边形ABCD内接于⊙O,∴BC=CD;‎ ‎(2)解:如图,连接OC,‎ ‎∵BC=CD,∴∠DAC=∠CAB,‎ 又∵AO=CO,∴∠CAB=∠ACO,∴∠DAC=∠ACO,‎ ‎∴AD∥OC,∴=,‎ ‎∵PB=OB,CD=,∴=, ∴PC=4‎ 又∵PC•PD=PB•PA,∴PA=4也就是半径OB=4,‎ 在RT△ACB中,AC===2,‎ ‎∵AB是直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,∴∠FDA+∠BDC=90°,∠CBA+∠CAB=90°‎ ‎∵∠BDC=∠CAB,∴∠FDA=∠CBA 又∵∠AFD=∠ACB=90°,∴△AFD∽△ACB,∴‎ 在Rt△AFP中,设FD=x,则AF=,‎ ‎∴在RT△APF中有,,‎ 求得DF=.‎ ‎25.如图,已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B(0,1)和点C,且图象C′过点A(2﹣,0).‎ ‎(1)求二次函数的最大值;‎ ‎(2)设使y2>y1成立的x取值的所有整数和为s,若s是关于x的方程=0的根,求a的值;‎ ‎(3)若点F、G在图象C′上,长度为的线段DE在线段BC上移动,EF与DG始终平行于y轴,当四边形DEFG的面积最大时,在x轴上求点P,使PD+PE最小,求出点P的坐标.‎ 解答:‎ 解:(1)∵二次函数y2=﹣x2+mx+b经过点B(0,1)与A(2﹣,0),‎ ‎∴,解得 ‎∴l:y1=x+1;‎ C′:y2=﹣x2+4x+1.‎ y2=﹣x2+4x+1=﹣(x﹣2)2+5,‎ ‎∴ymax=5;‎ ‎(2)联立y1与y2得:x+1=﹣x2+4x+1,解得x=0或x=,‎ 当x=时,y1=×+1=,‎ ‎∴C(,).‎ 使y2>y1成立的x的取值范围为0<x<,‎ ‎∴s=1+2+3=6.‎ 代入方程得 解得a=;‎ ‎(3)∵点D、E在直线l:y1=x+1上,‎ ‎∴设D(p,p+1),E(q,q+1),其中q>p>0.‎ 如答图1,过点E作EH⊥DG于点H,则EH=q﹣p,DH=(q﹣p).‎ 在Rt△DEH中,由勾股定理得:DE2+DH2=DE2,即(q﹣p)2+[(q﹣p)]2=()2,‎ 解得q﹣p=2,即q=p+2.‎ ‎∴EH=2,E(p+2,p+2).‎ 当x=p时,y2=﹣p2+4p+1,‎ ‎∴G(p,﹣p2+4p+1),‎ ‎∴DG=(﹣p2+4p+1)﹣(p+1)=﹣p2+p;‎ 当x=p+2时,y2=﹣(p+2)2+4(p+2)+1=﹣p2+5,‎ ‎∴F(p+2,﹣p2+5)‎ ‎∴EF=(﹣p2+5)﹣(p+2)=﹣p2﹣p+3.‎ S四边形DEFG=(DG+EF)•EH=[(﹣p2+p)+(﹣p2﹣p+3)]×2=﹣2p2+3p+3‎ ‎∴当p=时,四边形DEFG的面积取得最大值,‎ ‎∴D(,)、E(,).‎ 如答图2所示,过点D关于x轴的对称点D′,则D′(,﹣);‎ 连接D′E,交x轴于点P,PD+PE=PD′+PE=D′E,‎ 由两点之间线段最短可知,此时PD+PE最小.‎ 设直线D′E的解析式为:y=kx+b,‎ 则有,‎ 解得 ‎∴直线D′E的解析式为:y=x﹣.‎ 令y=0,得x=,‎ ‎∴P(,0).‎
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