中考专题复习之切线的判定与性质

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中考专题复习之切线的判定与性质

中考专题复习之切线的判定与性质 知识考点:‎ ‎1、掌握切线的判定及其性质的综合运用,在涉及切线问题时,常连结过切点的半径,切线的判定常用以下两种方法:一是连半径证垂直,二是作垂线证半径。‎ ‎2、掌握切线长定理的灵活运用,掌握三角形和多边形的内切圆,三角形的内心。‎ 精典例题:‎ ‎【例1】如图,AC为⊙O的直径,B是⊙O外一点,AB交⊙O于E点,过E点作⊙O的切线,交BC于D点,DE=DC,作EF⊥AC于F点,交AD于M点。‎ ‎(1)求证:BC是⊙O的切线;‎ ‎(2)EM=FM。‎ 分析:(1)由于AC为直径,可考虑连结EC,构造直角三角形来解题,要证BC是⊙O的切线,证到∠1+∠3=900即可;(2)可证到EF∥BC,考虑用比例线段证线段相等。‎ 证明:(1)连结EC,∵DE=CD,∴∠1=∠2‎ ‎ ∵DE切⊙O于E,∴∠2=∠BAC ‎ ∵AC为直径,∴∠BAC+∠3=900‎ ‎ ∴∠1+∠3=900,故BC是⊙O的切线。‎ ‎(2)∵∠1+∠3=900,∴BC⊥AC ‎ 又∵EF⊥AC,∴EF∥BC ‎ ∴‎ ‎ ∵BD=CD,∴EM=FM ‎ 【例2】如图,△ABC中,AB=AC,O是BC的中点,以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证:AC是⊙O的切线。‎ 分析:由于⊙O与AC有无公共点未知,因此我们从圆心O向AC作垂线段OE,证OE就是⊙O的半径即可。‎ 证明:连结OD、OA,作OE⊥AC于E ‎∵AB=AC,OB=OC,∴AO是∠BAC的平分线 ‎∵AB是⊙O的切线,∴OD⊥AB 又∵OE⊥AC,∴OE=OD ‎ ∴AC是⊙O的切线。‎ ‎【例3】如图,已知AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,OA=。‎ ‎(1)求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)求的值;‎ ‎(3)若AD+OC=,求CD的长。‎ 分析:(1)要证CD是⊙O的切线,由于D在⊙O上,所以只须连结OD,证OD⊥DC即可;(2)求的值,一般是利用相似把转化为其它线段长的乘积,若其它两条线段长的乘积能求出来,则可完成;(3)由,AD+OC=可求出AD、OC,根据勾股定理即可求出CD。‎ 证明:(1)连结OD,证∠ODC=900即可;‎ ‎(2)连结BD ‎ ∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=900‎ ‎ ∵∠OBC=900,∴∠ADB=∠OBC ‎ 又∠A=∠3,∴△ADB∽△OBC ‎ ∴‎ ‎∴‎ ‎(3)由(2)知,又知AD+OC=‎ ‎ ∴AD、OC是关于的方程的两根 ‎ 解此方程得,‎ ‎ ∵OC>,∴OC=‎ ‎ ∴CD=‎ 探索与创新:‎ ‎【问题一】如图,以正方形ABCD的边AB为直径,在正方形内部作半圆,圆心为O,CG切半圆于E,交AD于F,交BA的延长线于G,GA=8。‎ ‎(1)求∠G的余弦值;‎ ‎(2)求AE的长。‎ 略解:(1)设正方形ABCD的边长为,FA=FE=6,在Rt△FCD中,,,解得。‎ ‎∴‎ ‎∵AB∥CD,∴∠G=∠FCD,∴‎ ‎(2)连结BE,∵CG切半圆于E,∴∠AEG=∠GBE ‎∵∠G为公共角,∴△AEG∽△EBG ‎∴‎ 在Rt△AEB中,可求得 ‎【问题二】如图,已知△ABC中,AC=BC,∠CAB=(定值),⊙O的圆心O在AB上,并分别与AC、BC相切于点P、Q。‎ ‎(1)求∠POQ;‎ ‎(2)设D是CA延长线上的一个动点,DE与⊙O相切于点M,点E在CB的延长线上,试判断∠DOE的大小是否保持不变,并说明理由。‎ 分析:(1)连结OC,利用直角三角形的性质易求∠POQ;(2)试将∠DOE用含的式子表示出来,由于为定值,则∠DOE为定值。‎ 解:(1)连结OC ‎ ∵BC切⊙O于P、Q,∴∠1=∠2,OP⊥CA,OQ⊥CB ‎ ∵CA=CB,∴CO⊥AB ‎ ∴∠COP=∠CAB,∠COQ=∠CBA ‎ ∵∠CAB=,∴∠POQ=∠COP+∠COQ=‎ ‎ (2)由CD、DE、CE都与⊙O相切得:‎ ‎ ∠ODE=∠CDE,∠OED=∠CED ‎ ∴∠DOE=1800-(∠ODE+∠OED)‎ ‎ =1800-(∠CDE+∠CED)‎ ‎ =1800-(1800-∠ACB)‎ ‎ =1800-[1800-(1800-)]‎ ‎ =‎ ‎ ∴∠DOE为定值。‎ 跟踪训练:‎ 一、选择题:‎ ‎1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是( )‎ A、经过半径外端点的直线是圆的切线;‎ B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线;‎ C、垂直于半径的直线是圆的切线;‎ D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。‎ ‎2、在Rt△ABC中,∠A=900,点O在BC上,以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、F,若AB=,AC=,则⊙O的半径为( )‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3、正方形ABCD中,AE切以BC为直径的半圆于E,交CD于F,则CF∶FD=( )‎ ‎ A、1∶2 B、1∶‎3 C、1∶4 D、2∶5‎ ‎4、如图,过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,连结AB,在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F,使AD=BE,BD=AF,连结DE、DF、EF,则∠EDF=( )‎ ‎ A、900-∠P B、900-∠P C、1800-∠P D、450-∠P ‎ ‎ 二、填空题:‎ ‎5、已知PA、PB是⊙O的切线,A、B是切点,∠APB=780,点C是⊙O上异于A、B的任一点,则∠ACB= 。‎ ‎6、如图,AB⊥BC,DC⊥BC,BC与以AD为直径的⊙O相切于点E,AB=9,CD=4,则四边形ABCD的面积为 。‎ ‎7、如图,⊙O为Rt△ABC的内切圆,点D、E、F为切点,若AD=6,BD=4,则△ABC的面积为 。‎ ‎8、如图,已知AB是⊙O的直径,BC是和⊙O相切于点B的切线,过⊙O上A点的直线AD∥OC,若OA=2且AD+OC=6,则CD= 。‎ ‎ ‎ ‎9、如图,已知⊙O的直径为AB,BD=OB,∠CAB=300,请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论(除OA=OB=BD外):① ;② ;③ ;④ 。‎ ‎10、若圆外切等腰梯形ABCD的面积为20,AD与BC之和为10,则圆的半径为 。‎ 三、计算或证明题:‎ ‎11、如图,AB是半⊙O的直径,点M是半径OA的中点,点P在线段AM上运动(不与点M重合),点Q在半⊙O上运动,且总保持PQ=PO,过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C。‎ ‎(1)当∠QPA=600时,请你对△QCP的形状做出猜想,并给予证明;‎ ‎(2)当QP⊥AB时,△QCP的形状是 三角形;‎ ‎(3)则(1)(2)得出的结论,请进一步猜想,当点P在线段AM上运动到任何位置时,△QCP一定是 三角形。‎ ‎12、如图,割线ABC与⊙O相交于B、C两点,D为⊙O上一点,E为的中点,OE交BC于F,DE交AC于G,∠ADG=∠AGD。‎ ‎(1)求证:AD是⊙O的切线;‎ ‎(2)如果AB=2,AD=4,EG=2,求⊙O的半径。‎ ‎ ‎ ‎13、如图,在△ABC中,∠ABC=900,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D,AD=2,AE=1,求。‎ ‎14、如图,AB是半圆(圆心为O)的直径,OD是半径,BM切半圆于B,OC与弦AD平行且交BM于C。‎ ‎(1)求证:CD是半圆的切线;‎ ‎(2)若AB长为4,点D在半圆上运动,设AD长为,点A到直线CD的距离为,试求出与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围。‎ ‎ ‎ ‎15、如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O的半径AO上运动, PC⊥AB交⊙O于E,PT切⊙O于T,PC=2.5。‎ ‎(1)当CE正好是⊙O的半径时,PT=2,求⊙O的半径;‎ ‎(2)设,,求出与之间的函数关系式;‎ ‎(3)△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形?若能,请求出△PTC的面积;若不能,请说明理由。‎ 跟踪训练参考答案 一、选择题:DCBB 二、填空题:‎ ‎5、51或129;6、78;7、24;8、;‎ ‎9、∠ACB=900,AB=2BC,DC是⊙O的切线,BD=BC等;10、2‎ 三、计算或证明题:‎ ‎11、(1)△QCP是等边三角形;(2)等腰直角三角形;(3)等腰三角形 ‎12、(1)证OD⊥AD;(2);‎ ‎13、过D作DF⊥BC于F,;‎ ‎14、(1)证∠ODC=900;(2)连结BD,过A作AE⊥CD于E,证△ADB∽△AED,则有,即,‎ ‎15、(1)⊙O的半径为1.5;(2)连结OP、OT,由勾股定理得化简得(0≤≤1.5);(3)△PTC不可能变为以PC为斜边的等腰直角三角形。理由如下:‎ 当PT⊥CT时,由于PT切⊙O于T,所以CT过圆心,即CT就是⊙O的半径,由(1)知,CT=1.5,PT=2,即PT≠CT,故△PTC不可能变为以PC为斜边的等腰直角三角形。‎
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