- 2021-05-11 发布 |
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文档介绍
初中中考数学题辅助线作法
中考数学题辅助线的作法 方法一：从已知出发作出辅助线： D A B C E F M N 例1．已知：在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF= 分析：题设中含有D是BC中点，E是AD 中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密 切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法： （1）过D点作DN∥CA，交BF于N，可得N为BF中点，由中位线定理得DN=，再证△AEF≌△DEN，则有AF=DN，进而有AF= （2）过D点作DM∥BF，交AC于M，可得FM=CM，FM=AF，则有AF= 方法二：分析结论，作出辅助线 A B D C E 例2：如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径， 求证：AB·AC=AE·AD 分析：要证AB·AC=AE·AD，需证 （或），需证△ABE∽△ADC（或△ABD∽△AEC）， 这就需要连结BE（或CE），形成所需要的三角形，同时得 ∠ABE=∠ADC=900(或∠ADB=∠ACE=900)又∠E=∠C（或∠B=∠E） 因而得证。 方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线 A B C D E F M 例3：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E； 求证：AE∶ED=2AF∶FB 分析：已知D是BC中点，那么在 三角形中可过中点作平行线得中位线； 若要出现结论中的AE∶ED，则应有一条与EF平行的直线。所以，过D点作DM∥EF交AB于M，可得，再证BF=2FM即可。 方法四：找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。 例如：在“圆”部分就有许多规律性辅助线： （1）有弦，作“垂直于弦的直径” A B C D E O · 例4：已知，如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC=BD 分析：过O点作OE⊥AB于E，则 AE=BE，CE=DE，即可证得AC=BD A B C D E 1 2 · O （2）有直径，构成直径上的圆周角（直角） 例5：已知：如图，以△ABC的AC边为直径， 作⊙O交BC、BA于D、E两点，且， 求证：∠B=∠C 分析：连结AD，由于AC为直径，则有AD⊥BC，又，有∠1=∠2，由内角和定理得∠B=∠C （3）见切线，连半径，证垂直 A B C D O 1 2 3 · 例6：如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB 分析：连结OC，由于CD为切线，可知 OC⊥CD，易证：∠1=∠2，又因为∠2=∠3， 所以∠1=∠3，则可得AC平分∠DAB （4）证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径” 例7：已知，直线AB经过⊙O上的一点，并且OA=OB，CA=CB； A B C O 求证：直线AB是⊙O的切线 分析：连结OC，要证AB是⊙O的切线， 需证OC⊥AB，由已知可证△OAC≌△OBC， 可得∠OCA=∠OCB=900，结论得证。 例8：已知，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=900，BC是⊙O的直径，BC=CD+AB， A B C D O · E 求证：AD是⊙O的切线 分析：过O点作OE⊥AD，垂足为E， 要证AD是⊙O的切线，只要证OE是⊙O的半径即可， 也就是说需要证OE=，由于∠A=900，AB∥CD，可得AB∥CD∥OE，再由平行线等分线段定理得DE=EA，进而由梯形中位线定理得OE=，所以E点在⊙O上，AD是⊙O的切线。 （二）练习 1、已知： 如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC． 求证： DE∥BC，DE＝BC． 2、已知： 如图27.3.12所示，在梯形ABCD中， AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF． 求证： EF∥BC，EF＝（AD＋BC）． 3、已知：如图27.3.13所示,在△ABC中.AD=DB,BE=EC,AF=FC. 求证：AE、DF互相平分。 4、如图：已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，M为上一点，AM的延长线交DC的延长线于F， 求证：∠AMD=∠FMC 与圆有关的辅助线常规作法解析 与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质，题型的复杂程度可想而知。为此，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解。为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类总结如下，供同学们学习时参考—— 一、圆中有弦，常作弦心距（ 或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径） 例1.如图，以Rt△ABC的直角顶点A为圆心，直角边AB为半径的⊙A分别交BC、AC于点D、E, 若BD=10cm，DC=6cm，求⊙A的半径。 解：过A作AH⊥BD于H，则。 ∵BA⊥AC，∴∠CAB=∠AHB=90°。又∵∠ABH=∠CBA，∴△ABH∽△CBA，∴，∴，∴。 例2.如图，AB是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：。 证明：过O作OC⊥NP于点C，则。 ∵OC⊥NP，PO⊥AB，∴∠POM=∠PCO=90°。又∵∠OPM=∠CPO，∴△OPM∽△CPO，∴，∴，即。 评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系。 二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角（在半圆中，同样可作直径所对的圆周角） 例3.如图，AB为半圆的直径，OH⊥AC于H，BH与OC交于E，若BH=12，求BE的长。 解：连结BC。 ∵ AB为直径，∴ AC⊥BC。又∵OH⊥AC，AO=BO，∴ OHBC，∴ ∠OHE=∠CBE，∠HOE=∠BCE，∴△OHE∽△CBE，∴，∴。 例4.如图,AB是半圆的直径, C为圆上的一点, CD⊥AB于D, 求证:。 证明：连结AC、BC。 ∵ AB为直径，∴ ∠ACB=90°，∴∠1+∠2=90°。又∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，∴△BCD∽△CAD，∴，即。 评析：由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决。 三、圆中有切线，常作过切点的半径（若无切点，则过圆心作切线的垂线） 例5.如图，已知MN为⊙O的直径，AP是⊙O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上，若 PA=PM，求∠A的度数。 解：连结OP，设∠A的度数为x。 ∵PA=PM，∴∠M=∠A，同理可得∠OPM=∠M，∴∠POA=∠OPM+∠M=2∠M=2∠A=2x。又∵AP切⊙O于点P，∴AP⊥OP，∴∠A+∠POA=90°，即x+2x=90 °，解之得x=30°，∴∠A=30°。 例6.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D，求证∠1=∠2。 证明：连结OC。 ∵DC切⊙O于点C，∴OC⊥DC。又∵AD⊥DC，∴OC∥AD，∴∠1=∠3。∵OA=OC,∴∠2=∠3，∴∠1=∠2。 评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。 四、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形（若题中有三角函数但无直角三角形，则也需作直径构造直角三角形） 例7.如图, 点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），若∠ACB=60°,AB=6，求⊙O半径的长。 解：作直径AD，连结BD。 ∵∠ACB与∠D都是所对的圆周角，∴∠D=∠ACB=60°。又∵AD是直径，∴∠ABD=90°，∴，∴。 例8.如图，在锐角△ABC中，若BC=a，CA=b，AB=c，△ABC的外接圆半径为R，求证：。 证明：作直径CD，连结BD。 ∵CD为直径，∴∠CBD=90°，∴。又∵∠A=∠D，∴，即，同理可得，，∴。 评析：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30°、45°、60°、90°等特殊角或某个角的三角函数值时，通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解。 五、两圆相切，常作公切线（或者作两圆的连心线） 例9.如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2外公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC。 证明：过点A作⊙O1与⊙O2的公切线AM交BC于点M。 ∵MA和MB分别切⊙O1于点A、B，∴MA=MB，同理可得MA=MC，∴MA=MB=MC，即点A、B、C同在以M为圆心，BC为直径的圆周上，∴AB⊥AC。 例10.如图，⊙A和⊙B外切于点P，CD为⊙A、⊙B的外公切线，C、D为切点，若⊙A与⊙B的半径分别为r和3r,求：⑴CD的长；⑵∠B的度数。 解：连结AB，连结AC、BD，过点A作AE⊥BD于E。 ⑴、∵CD是⊙A和⊙B的外公切线，C、D为切点，∴AC⊥CD，BD⊥CD。又∵AE⊥BD，∴四边形ACDE为矩形，∴CD=AE，DE=AC=r，∴BE=BD-DE=3r-r=2r。∵AB=r+3r=4r，∴。 ⑵、在Rt△AEB中，∵，∴∠B=60°。 评析：在解决有关两圆相切的问题时，常常需作出两圆的公切线或连心线，利用公切线垂直于经过切点的半径、切线长相等、连心线长等于两圆半径之和（或差）等性质来沟通两圆间的联系。 六、两圆相交，常作公共弦（或者作两圆的连心线） 例11.如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，AD是⊙O1的直径，且圆心O1在⊙O2上，连结DB并延长交⊙O2于点C，求证：CO1⊥AD。 证明：连结AB。 ∵ AD为⊙O1的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D+∠BAD=90°。又∵∠C和∠BAO1都是⊙O2中所对的圆周角，∴∠C=∠BAO1，即∠C=∠BAD，∴∠D+∠C=90°，∴CO1⊥AD。 例12.如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，两圆半径分别为和，公共弦AB的长为12，求∠O1AO2的度数。 解：连结AB、O1O2，使之交于H点。 ∵AB为⊙O1与⊙O2的公共弦，∴连心线O1O2垂直平分AB，∴，∴，，∴∠O1AH=45°，∠O2AH=30°，∴∠O1AO2=∠O1AH+∠O2AH=75°。 评析：在解决有关两圆相交的问题时，最常见的辅助线是两圆的公共弦或连心线，公共弦可以联通两圆中的弦、角关系，而连心线则垂直平分公共弦。 全等三角形作辅助线的常用方法 一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如： 例1、 已知如图1-1：D、E为△ABC内两点, 求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一） 将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N， （法二：图1-2） 延长BD交 AC于F，廷长CE交BF于G， 二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理： 例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC。 分析：因为∠BDC与∠BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠ BDC处于在外角的位置，∠BAC处于 在内角的位置； 证法一：延长BD交AC于点E 证法二：连接AD，并廷长交BC于F 注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三 角 形的内角位置上，再利用不等式性质证明。 一、 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如： 例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF。 分析：要证BE+CF>EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2， ∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。 证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC， 注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。 二、 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。 例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF 证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。 注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。 三、 在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。 例如：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。 分析：要证AB+AC>2AD，由图想到： AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE （常延长中线加倍，构造全等三角形） 练习： 已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF=2AD。 一、 截长补短法作辅助线。 例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点 求证：AB-AC>PB-PC。 分析：要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN， 再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN查看更多