湖南省益阳中考数学试题 解析

湖南省益阳中考数学试题 解析

益阳市2016年普通初中毕业学业考试试卷 数 学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（2016·益阳） 的相反数是 A． B． C． D．‎ 答案：C 考点：相反数的概念。‎ 解析： 的相反数是，注意与倒数的区别。‎ ‎2．（2016·益阳）下列运算正确的是 A． B． C． D． ‎ 答案：B 考点：考查单项式的四则运算。‎ 解析：A、把加法误算成乘法，错误；C、正确答案为；D、不是同类项不能相加减，只有B、正确。‎ ‎3．（2016·益阳）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 A B C D 答案：A 考点：考查不等式组的解法。‎ 解析：不等式组化为：，解为，故选A。‎ ‎4．（2016·益阳）下列判断错误的是 A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 答案：D 考点：考查特殊四边形的判定。‎ 解析：两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形才是正方形，故D是错误的。‎ ‎5．（2016·益阳）小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为 A．67、68 B．67、67 C．68、68 D．68、67‎ 答案：C 考点：考查众数和中位数。‎ 解析：将数据由小到大排列：66、67、67、68、68、68、69、71，显然众数是68，中位数也是68，故选C。‎ ‎6．（2016·益阳）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是 A．360° B．540° C．720° D．900°‎ 答案：D 考点：多边形的内角和，图形的分割，动手能力。‎ 解析：如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边（含三角形）设为M和N，有以下三种情况，‎ ‎①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，此时矩形分割为一个五边形和三角形，‎ ‎∴M+N=540°+180°=720°；‎ ‎②当直线经过一个原来矩形的顶点，此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，‎ ‎∴M+N=360°+180°=540°；‎ ‎③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，此时矩形分割为两个三角形，‎ ‎∴M+N=180°+180°=360°．‎ 故选D．‎ ‎7．（2016·益阳）关于抛物线，下列说法错误的是 ‎ A．开口向上 B．与轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 答案：D 考点：二次函数的图象及其性质。‎ 解析：因为a＝1＞0，开口向上，故A正确；△＝0，故B也正确；对称轴为，C正确；‎ 当x＞1时，随的增大而增大，故D是错误的。‎ ‎8．（2016·益阳）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆PA的高度为 A． B． ‎ C． D．‎ 答案：A 考点：考查三角函数定义的应用。‎ 解析：依题意，＝PA，设PA＝x，则PC＝x－1‎ 在Rt△PC中，，解得：，故选A。‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 ‎9．（2016·益阳）将正比例函数的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第 象限．‎ 答案：四 考点：考查函数图象的平移，一次函数的图象。‎ 解析：正比例函数的图象向上平移3个单位后变为：，图象经过一、二、三象限，不经过第四象限。‎ ‎10．（2016·益阳）某学习小组为了探究函数的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的= ．‎ ‎…‎ ‎–2‎ ‎–1.5‎ ‎–1‎ ‎–0.5‎ ‎0‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2‎ ‎0.75‎ ‎0‎ ‎–0.25‎ ‎0‎ ‎–0.25‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎…‎ 答案：0.75‎ 考点：列表法，实数运算。‎ 解析：x＝1.5代入求解可得：y＝0.75，或者x＝1.5时y的值与x＝－1.5时y的值是相同的。‎ ‎11．（2016·益阳）我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标 ．‎ 答案：答案不唯一，如：(-3,1)‎ 考点：开放性试题。‎ 解析：答案不唯一，如：(-3,1)，（1，－3）都可以。‎ ‎12．（2016·益阳）下图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为 ．（结果保留） ‎ 答案：‎ 考点：考查三视图，圆柱体的侧面展开图。‎ 解析：由三视图可知，圆柱体的高为6，底面半径为2，圆柱体的侧面展开图为矩形，它的面积为：‎ S＝＝‎ ‎13．（2016·益阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为 ．‎ 答案：115°‎ 考点：圆的切线性质，圆内接四边形性质定理，等腰三角形性质。‎ 解析：连结OC，因为PC为切线，所以，OC⊥PC，所以，∠BOC＝90°－40°＝50°，‎ 又OB＝OC，所以，∠OBC＝（180°－50°）＝65°，‎ 又ABCD为圆内接四边形，所以，∠D＝180°－65°＝115°‎ ‎14．（2016·益阳）小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第１个图案有１枚棋子，第２个图案有３枚棋子，第３个图案有４枚棋子，第４个图案有６枚棋子，…，那么第９个图案的棋子数是 枚． ‎ 答案：13‎ 考点：规律探索。‎ 解析：如下表，棋子按照顺序，中间缺少的数字是2、5、8、11等，因此，第9个图案棋子数为13。‎ 序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 棋子 ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎11‎ 三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）‎ ‎15．（2016·益阳）计算：．‎ 考点：实数的运算。‎ 解析：原式===．…………………………………8分 ‎16．（2016·益阳）先化简，再求值：，其中．‎ 考点：分式的化简，求值。‎ 解析：原式． …………………………………6分 当时，原式=4． ………………………………………………8分 ‎17．（2016·益阳）如图，在ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， 连接AF，CE.求证：AF=CE.‎ 第17题图 考点：三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质和判定。‎ 解析：如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ‎ ‎ ∴AD=BC，∠ADB=∠CBD． …………………………………2分 ‎ 又∵AE⊥BD，CF⊥BD，‎ ‎∴∠AED=∠CFB，AE∥CF． …………4分 ‎∴≌．………………………6分 ‎∴AE=CF．‎ ‎ ∴四边形AECF是平行四边形．‎ ‎∴AF=CE． ………………………………………………………8分 四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） ‎ ‎18．（2016·益阳）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：‎ ‎（1）频数分布表中a = ，b= ，并将统计图补充完整；‎ ‎（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？‎ ‎（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？‎ 分 组 频数 频率 第一组（）‎ ‎3‎ ‎0.15‎ 第二组（）‎ ‎6‎ a 第三组（）‎ ‎7‎ ‎0.35‎ 第四组（）‎ b ‎0.20‎ ‎ ‎ 考点：统计知识，会从统计图表中获取信息，解决问题；考查概率，会用列表法或树形图求概率。‎ 解析：解:（1）a=0.3，b=4 ………………………………………………………2分 ‎…………………………………4分 ‎（2）（人） …………………………………7分 ‎ ……………………………………………………………10分 ‎19．（2016·益阳）某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．‎ ‎（1）该班男生和女生各有多少人？‎ ‎（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生？‎ 考点：考查二元一次方程组，不等式，应用数学知识解决问题的能力。‎ 解析：（1）设该班男生有人，女生有人，‎ ‎ 依题意得：， 解得．‎ ‎∴该班男生有27人，女生有15人．…………………………………5分 ‎（2）设招录的男生为名，则招录的女生为名，‎ 依题意得： ，解之得，， ‎ ‎ 答：工厂在该班至少要招录22名男生．…………………………10分 ‎20．（2016·益阳）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．‎ 根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x 作AD⊥BC于D，设BD = x，用含x的代数式表示CD 利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积 考点：考查勾股定理，三角形的面积的求法。‎ 解析：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，‎ ‎ 设，∴． ……………………………………………2分 ‎ 由勾股定理得：， ‎ ‎ ，‎ ‎∴，‎ 解之得：．……………………………… 7分 ‎∴． ………………………………………8分 ‎ ‎∴．…………10分 五、解答题（本题满分12分）‎ ‎21．（2016·益阳）如图，顶点为的抛物线经过坐标原点O，与轴交于点B．‎ ‎（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；‎ ‎（2）过B作OA的平行线交轴于点C，交抛物线于点，求证：△OCD≌△OAB；‎ ‎（3）在轴上找一点，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．‎ 考点：考查二次函数，三角形的全等、三角形的相似。‎ 解析：（1）∵抛物线顶点为，‎ ‎ 设抛物线对应的二次函数的表达式为，‎ ‎ 将原点坐标（0，0）代入表达式，得． ‎ ‎ ∴抛物线对应的二次函数的表达式为：． …………3分 ‎（2）将 代入中，得B点坐标为：， ‎ 设直线OA对应的一次函数的表达式为， ‎ 将代入表达式中，得， ‎ ‎∴直线OA对应的一次函数的表达式为．‎ ‎∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为，‎ 将B代入中，得 ，‎ ‎∴直线BD对应的一次函数的表达式为．‎ 由得交点D的坐标为，‎ 将代入中，得C点的坐标为，‎ 由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD, ． ‎ 在△OAB与△OCD中，， ∴△OAB≌△OCD．……………………8分 ‎（3）点关于轴的对称点的坐标为，则与轴的交点即为点，它使得△PCD的周长最小．‎ 过点D作DQ⊥，垂足为Q，则PO∥DQ．∴∽．‎ ‎∴,即，∴，‎ ‎∴ 点的坐标为．………………………………………………………12分 六、解答题（本题满分14分）‎ ‎22．（2016·益阳）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD 的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．‎ ‎（1）计算矩形EFGH的面积；‎ ‎（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；‎ ‎（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形，将矩形绕点按顺时针方向旋转，当落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形，设旋转角为，求的值．‎ 考点：综合应用数学知识解决问题的能力，考查三角形的中位线定理，矩形的面积，三角形的面积公式，勾股定理。‎ 解析：（1）如22题解图1，在中，‎ ‎∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2, ‎ ‎22题解图1‎ 又∵D是AB的中点，∴AD=1，．‎ 又∵EF是的中位线，∴， ‎ 在中，AD=CD, ∠A=60°,‎ ‎∴∠ADC=60°．‎ 在中,60°，‎ ‎∴矩形EFGH的面积． ……………………………3分 ‎（2）如22题解图2，设矩形移动的距 离为则，‎ ‎22题解图2‎ 当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，‎ 则，‎ ‎， ∴．（舍去）．‎ 当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则，‎ 重叠部分的面积S=, ∴． ‎ 即矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是．…………8分 ‎（3）如22题解图3，作于．‎ 设，则，又，． ‎ 在Rt△H2QG1中， ，‎ 解之得（负的舍去）．‎ ‎∴．……………………………………14分 ‎22题解图3‎