中考数学压轴题典型题型解析精编

中考数学压轴题典型题型解析精编

中考数学压轴题精选精析（2）‎ ‎13. 25．（本题满分10分）‎ 已知：如图，直线：经过点一组抛物线的顶点（为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：（为正整数），设 ‎ （1）求的值； （2分）‎ ‎ （2）求经过点的抛物线的解析式（用含的代数式表示） （4分）‎ ‎ （3）定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．‎ 探究：当的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的的值． （4分）‎ ‎（第25题图）‎ y O M x n l ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎（25题解析）解：（1）∵在上，∴，∴． 2分 ‎ ‎ （2）由（1）得：， ∵在上， ‎ ‎ ∴当时，，∴． 3 分 ‎ 解法一：∴设抛物线表达式为：， 4分 ‎ ‎ 又∵， ∴，∴，∴， 5 分 ‎ ‎ ∴经过点的抛物线的解析式为：． 6 分 ‎ 解法二：∵，∴，，‎ ‎∴设， 4 分 ‎ 把代入：，得， 5 分 ‎ ‎∴抛物线的解析式为． 6 分 ‎ ‎（3）存在美丽抛物线． 7 分 ‎ 由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵，∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于 1．‎ ‎∵当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ y O M x n l ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎∴美丽抛物线的顶点只有． 8分 ‎①若为顶点，由，则； 9分 ‎②若为顶点，由，则，‎ 综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线． 10分 ‎14. 23．本题满分 11 分． ‎ ‎（提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形） ‎ 如图 12，已知直线过点和，是轴正半轴上的动点，的垂直平分线交于点，交轴于点． ‎ ‎（1）直接写出直线的解析式； ‎ ‎（2）设，的面积为，求关于t的函数关系式；并求出当时，的最大值； ‎ ‎（3）直线过点且与轴平行，问在上是否存在点， 使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．‎ L A O M P B x y L1‎ 图12‎ Q ‎（广东梅州23题解析）（1） 2分 ‎（2）∵，∴点的横坐标为，‎ ‎①当，即时，，‎ ‎∴． 3分 ‎②当时，，‎ ‎∴．‎ ‎∴ 4分 当，即时，，‎ ‎∴当时，有最大值． 6分 ‎（3）由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴，则，两点关于直线对称，所以，得． 7 分 L A O P B x y L1‎ ‎23题图-1‎ Q C 下证．连，则四边形是正方形． ‎ 法一：（i）当点在线段上，在线段上 ‎（与不重合）时，如图–1． ‎ 由对称性，得， ‎ ‎∴ ， ‎ ‎∴ ． 8分 ‎（ii）当点在线段的延长线上，在线段上时，如图–2，如图–3 ‎ ‎∵， ∴． 9分 ‎ ‎（iii）当点与点重合时，显然． ‎ 综合（i）（ii）（iii），． ‎ y L A O P B x L1‎ ‎23题图-3‎ Q C ‎2‎ ‎1‎ ‎∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． 11 分 ‎ L A O P B x L1‎ ‎23题图-2‎ Q C ‎2‎ ‎1‎ y 法二：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴， 则，两点关于直线对称，所以，得． 7 分 ‎ 延长与交于点． ‎ ‎（i）如图–4，当点在线段上（与不重合）时，‎ ‎∵四边形是正方形， ‎ ‎∴四边形和四边形都是矩形，和都是等腰直角三角形．‎ ‎∴． ‎ L A O P B x y L1‎ ‎23题图-1‎ Q C 又∵， ∴， ‎ ‎ ∴， ‎ ‎∴， ‎ 又∵，‎ ‎∴． ‎ ‎ ∴． 8分 ‎（ii）当点与点重合时，显然． 9分 ‎ ‎（iii）在线段的延长线上时，如图–5， ‎ ‎∵，∠1=∠2 ‎ ‎ ∴ ‎ 综合（i）（ii）（iii），． ‎ ‎∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． 11分 ‎23题图-4‎ L A O M P B x y L1‎ Q C N y L A O P B x L1‎ ‎23题图-5‎ Q C ‎2‎ ‎1‎ 法三：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴， ‎ ‎ 则，O两点关于直线对称，所以，得． 9分 连，∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ ‎∴，∴． 10分 ‎∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． 11分 ‎15.（广东清远）28．如图9，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为．‎ B C N M A 图9‎ ‎（1）请你用含的代数式表示．‎ ‎（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？‎ ‎（09年广东清远28题解析）解：（1）‎ ‎ 3分 ‎（2）‎ 的边上的高为，‎ 当点落在四边形内或边上时，‎ ‎=（0） 4分 M N C B E F A A1‎ 当落在四边形外时，如下图，‎ 设的边上的高为，‎ 则 ‎ ‎ 所以 6分 综上所述：当时，，取，‎ 当时，，‎ 取，‎ N D A CD B M 第24题图 当时，最大， 8分 ‎16.（09年广东汕头）24．（本题满分12分）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；‎ ‎（3）当点运动到什么位置时，求的值．‎ ‎（24题解析）解：（1）在正方形中，，‎ N D A CD B M 答案24题图 ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎． 3分 ‎（2），‎ ‎，‎ ‎， 5分 ‎，‎ 当时，取最大值，最大值为10． 7分 ‎（3），‎ 要使，必须有， 9分 由（1）知，‎ ‎，‎ 当点运动到的中点时，，此时． 12分 ‎（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）‎ ‎17.（广东深圳）23．（本题10分）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA0，n>0），连接DP交BC于点E。‎ 图11‎ ‎①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。（3分）‎ 图12‎ ‎②又连接CD、CP（如图13），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分）‎ 图13‎ ‎（广东深圳23题解析）‎ （1） 由Rt△AOC∽Rt△COB易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4‎ ‎∴A(-1,0) B(4,0) C(0,2) 可设解析式为y=a(x+1)(x-4),将点C(0,2)代入，可求a=‎ ‎∴为所求 （2） ‎； 提示：直线BC的解析式为设，利用勾股定理和点在直线BC上，可得两个方程组 分别可求和 （3） 过D作X轴的垂线，交PC于M，易求PC的解析式为，且，故 ‎ ‎ 故，当时，，‎ ‎18.（广东湛江）28．已知矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为轴，为坐标原点建 立平面直角坐标系；点是边上的动点（与点不重合），现将沿翻折 得到，再在边上选取适当的点将沿翻折，得到，使得 直线重合．‎ ‎（1）若点落在边上，如图①，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）若点落在矩形纸片的内部，如图②，设当为何值时，取得最大值？‎ ‎（3）在（1）的情况下，过点三点的抛物线上是否存在点使是以 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标 C y E B F D A P x O 图①‎ A B D F E C O P x y 图②‎ 第28题图 ‎（广东湛江28题解析）解：（1）由题意知，均为等腰直角三角形，‎ 可得 2分 C y E B F D A P x O 图①‎ A B D F E C O P x y 图②‎ 第28题图 设过此三点的抛物线为则 过三点的抛物线的函数关系式为 4分 ‎（2）由已知平分平分且重合，则 又 ‎．‎ ‎．‎ 即 6分 当时，有最大值 8分 ‎（3）假设存在，分两种情况讨论：‎ ‎①当时，由题意可知，且点在抛物线上，故点与点重合，所求的点为（0，3） 9分 ‎②当时，过点作平行于的直线，假设直线交抛物线于另一点点，直线的方程为，将直线向上平移2个单位与直线重合，直线的方程为 10分 由得或 又点 故该抛物线上存在两点满足条件． 12分 y x A B E C Q O P D F ‎（Q）‎ 第28题图 说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分．‎ ‎19．（广东肇庆）25．（本小题满分 10 分） ‎ 如图 9，的直径和是它的两条切线，切于E，交AM于D，‎ 交BN 于C．设． ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求关于的关系式； ‎ ‎（3）求四边形的面积S，并证明：．‎ O A D E M C B N 图9‎ ‎（广东肇庆25题解析）（1）证明：∵AB是直径，AM、BN是切线， ‎ O A D E M C B N 图9‎ F ‎∴，∴． （2 分） ‎ 解：（2）过点D作 于F，则． ‎ 由（1），∴四边形为矩形. ‎ ‎∴，． （3 分） ‎ ‎∵DE、DA，CE、CB都是切线， ‎ ‎∴根据切线长定理，得 ‎，． （4 分） ‎ 在中，， ‎ ‎∴， （5 分）‎ 化简，得． （6分）‎ ‎（3）由（1）、（2）得，四边形的面积，‎ 即． （8分）‎ ‎∵，当且仅当时，等号成立．‎ ‎∴，即． （10分）‎ ‎20.（广东）22. 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，‎ ‎（1）证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN；‎ ‎（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；‎ ‎（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM ∽Rt△AMN，‎ 求此时x的值.‎ ‎（09年广东22题解析）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠ABM+∠BAM=90°‎ ‎∵∠ABM+∠CMN+∠AMN=180°，∠AMN=90°∴∠AMB+∠CMN=90°∴∠BAM=∠CMN ‎∴Rt△ABM∽Rt△MCN ‎（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴即解得：‎ ‎∵ ∴, ‎ ‎ 即：‎ 又∵‎ ‎∴当x=2时，y有最大值10.‎ ‎∴当M点运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积是10.‎ ‎（3）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴，即 化简得：，解得：x=2‎ ‎∴当M点运动到BC的中点时Rt△ABM ∽Rt△AMN，此时x的值为2.‎ ‎21.（广西来宾）26．（本小题满分12分）‎ 当x＝2时，抛物线y＝ax2＋bx＋c取得最小值－1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B． ‎ ‎（1）求该抛物线的关系式；‎ ‎（2）若点M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；‎ A B C D O x y E F ‎3‎ ‎（第26题图）‎ ‎（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．‎ ‎（广西来宾26题解析）解：（1）由题意可设抛物线的关系式为y＝a(x－2)2－1 …………1分 因为点C（0，3）在抛物线上 所以3＝a(0－2)2－1，即a＝1 …………………………2分 所以，抛物线的关系式为y＝(x－2)2－1＝x2－4 x＋3 ……3分 ‎（2）∵点M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上 ‎∴y1－y2＝（x2－4 x＋3）－[(x＋1)2－4(x＋1)＋3]＝3－2 x …………4分 当3－2 x＞0，即时，y1＞y2 ………………………………5分 当3－2 x＝0，即时，y1＝y2 ………………………………6分 当3－2 x＜0，即时，y1＜y2 ………………………………7分 ‎（3）令y＝0，即x2－4 x＋3＝0，得点A（3,0），B（1,0），线段AC的中点为D（,）‎ 直线AC的函数关系式为y＝－x＋3 ………………………………8分 因为△OAC是等腰直角三角形，所以，要使△DEF与△OAC相似，△DEF也必须是等腰直角三角形．由于EF∥OC，因此∠DEF＝45°，所以，在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点．‎ ‎①当F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△ACO，DF所在直线为 由，解得，（舍去） ……9分 将代入y＝－x＋3，得点E（，） …………10分 ‎②当D为直角顶点时，DF⊥AC，此时△DEF∽△OAC，由于点D为线段AC的中点，因此，DF所在直线过原点O，其关系式为y＝x．‎ 解x2－4 x＋3＝x，得，（舍去） …………11分 将代入y＝－x＋3，得点E（，） …………12分 A B C D O x y E F ‎3‎ ‎（第26题图⑴）‎ A B C D O x y E F ‎3‎ ‎（第26题图⑵）‎ ‎22.（09年广西崇左）25．（本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ B A C x y ‎（0，2）‎ ‎（－1，0）‎ ‎（第25题）‎ ‎（3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ B A D C O M N x y P1‎ P2‎ ‎（09年广西崇左25题解析）（1）过点作轴，垂足为，‎ ‎； 1分 又，‎ ‎， 2分 ‎ 3分 点的坐标为； 4分 ‎（2）抛物线经过点，则得到， 5分 解得，所以抛物线的解析式为； 7分 ‎（3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：‎ 若以点为直角顶点；‎ 则延长至点，使得，得到等腰直角三角形， 8分 过点作轴，‎ ‎；‎ ‎ 10分 ‎，可求得点； 11分 若以点为直角顶点；‎ 则过点作，且使得，得到等腰直角三角形， 12分 过点作轴，同理可证； 13分 ‎，可求得点； 14分 经检验，点与点都在抛物线上． 16分 ‎23.（09年广西桂林）26．（本题满分12分）如图，已知直线，它与轴、轴的交点 分别为A、B两点．‎ ‎（1）求点A、点B的坐标；‎ ‎（2）设F是轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与轴相切于点F（不写作法和证明，保留作图痕迹）；‎ ‎（3）设（2）中所作的⊙P的圆心坐标为P（），求与的函数关系式； ‎ A BV F O ‎·‎ 第26题图 ‎（4）是否存在这样的⊙P，既与轴相切又与直线相切于点B，若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（09年广西桂林26题解析）解（1）A（，0），B（0，3） 2分（每对一个给1分）‎ ‎（2）满分3分．其中过F作出垂线1分，作出BF中垂线1分，找出圆心并画出⊙P给1分．‎ ‎ （注：画垂线PF不用尺规作图的不扣分）‎ ‎（3）过点P作PD⊥轴于D，则PD=，BD=， 6分 y x O A B D P F PB=PF=，∵△BDP为直角三形，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 7分 即 即 ‎∴与的函数关系为 8分 ‎（4）存在 解法1：∵⊙P与轴相切于点F，且与直线相切于点B ‎∴ 9分 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵AF= ， ∴ 10分 ‎∴ 11分 把代入，得 ‎∴点P的坐标为（1，）或（9，15） 12分 ‎24.（09年广西河池）26． (本小题满分12分) ‎ 如图12，已知抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，抛物线的对称轴交轴于点E，点B的坐标为（，0）．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ O D B C A E 图12‎ ‎（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎（09年广西河池25题解析）（1）① 对称轴 （2分）‎ ‎② 当时，有 解之，得 ，‎ ‎∴ 点A的坐标为（，0）． （4分）‎ ‎（2）满足条件的点P有3个，分别为（，3），（2，3），（，）． （7分）‎ ‎（3）存在． （8分）‎ 当时， ∴ 点C的坐标为（0，3）‎ ‎∵ DE∥轴，AO3，EO2，AE1，CO3‎ ‎∴ ∽ ∴ 即 ∴ DE1 （9分）‎ ‎∴ 4‎ 在OE上找点F，使OF，此时2，直线CF把四边形DEOC 分成面积相等的两部分，交抛物线于点M． （10分）‎ 设直线CM的解析式为，它经过点．‎ 则 （11分）‎ 解之，得 ∴ 直线CM的解析式为 （12分）‎