青纯教育2014年中考数学专题复习第22讲梯形含详细答案

青纯教育2014年中考数学专题复习第22讲梯形含详细答案

第二十二讲梯形 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 梯形的定义、分类和面积：‎ ‎ 1、定义：一组对边平行，而另一组对边的四边形，叫做梯形。其中，平行的两边叫做，不平行的两边叫做，两底间的距离叫做梯形的。‎ 直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形 一般梯形 等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形 特殊梯形 ‎2、分类：梯形 ‎3、梯形的面积：S梯形= （上底+下底）×高 ‎【名师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要证明它有一组对边外，还需注明另一组对边不平行或平行的这组对边不相等】‎ 二、等腰梯形的性质和判定：‎ ‎ 1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等，相等 ‎⑵等腰梯形的对角线 ‎⑶等腰梯形是对称图形 ‎ 2、判定：⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等 ‎⑵同一底上两个角的梯形是等腰梯形 ‎⑶对角线的梯形是等腰梯形 ‎【名师提醒：1、梯形的性质和判定中“同一底上的两个角相等”不能说成“两底角相等” 2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形 3、解决梯形问题的基本思路是通过做辅助线将梯形转化为形或形常见的辅助线作法有 要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】‎ ‎【重点考点例析】‎ 考点一：梯形的基本概念和性质 例1 （2013•广州）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tanB=（　　）‎ A．2B．2C．D．‎ 思路分析：先判断DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，由等腰三角形的性质，可得点F是AC中点，继而可得EF是△CAB的中位线，继而得出EF、DF的长度，在Rt△ADF中求出AF，然后得出AC，tanB的值即可计算．‎ 解：∵CA是∠BCD的平分线， ∴∠DCA=∠ACB， 又∵AD∥BC， ∴∠ACB=∠CAD， ∴∠DAC=∠DCA， ∴DA=DC， 如图，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，‎ ‎∵AB⊥AC， ∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质）， ∴点F是AC中点， ∴AF=CF， ∴EF是△CAB的中位线， ∴EF=AB=2， ∵=1， ∴EF=DF=2， 在Rt△ADF中，AF=， 则AC=2AF=8， tanB=． 故选B．‎ 点评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点F是AC中点，难度较大．‎ 对应训练 ‎1．（2013•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（　　）‎ A．B．C．D．2‎ ‎1．B 考点二：等腰梯形的性质 例2 （2013•柳州）如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，连结AC、BD．在平面内将△DBC沿BC翻折得到△EBC． （1）四边形ABEC一定是什么四边形？ （2）证明你在（1）中所得出的结论．‎ 思路分析：（1）首先观察图形，然后由题意可得四边形ABEC一定是平行四边形； （2）由四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，可得AB=DC，AC=BD，又由在平面内将△DBC沿BC翻折得到△EBC，可得EC=DC，DB=BE，继而可得：EC=AB，BE=AC，则可证得四边形ABEC是平行四边形．‎ 解答：（1）解：四边形ABEC一定是平行四边形； （2）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC， ∴AB=DC，AC=BD， 由折叠的性质可得：EC=DC，DB=BE， ∴EC=AB，BE=AC， ∴四边形ABEC是平行四边形．‎ 点评：此题考查了等腰梯形的性质、折叠的性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．‎ 对应训练 ‎2．（2013•杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF． 求证：△GAB是等腰三角形．‎ ‎2．证明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC， ‎ ‎∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA， 在△ADE和△BCF中， ， ∴△ADE≌△BCF（SAS）， ∴∠DAE=∠CBF， ∴∠GAB=∠GBA， ∴GA=GB， 即△GAB为等腰三角形．‎ 考点三：等腰梯形的判定 例3 （2013•钦州）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形．‎ 思路分析：由AB∥DE，∠DEC=∠C，易证得∠B=∠C，又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论．‎ 证明：∵AB∥DE， ∴∠DEC=∠B， ∵∠DEC=∠C， ∴∠B=∠C， ∴梯形ABCD是等腰梯形．‎ 点评：此题考查了等腰梯形的判定．此题比较简单，注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形定理的应用，注意数形结合思想的应用．‎ 对应训练 ‎3．（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（　　）‎ A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC ‎3．C 考点四：梯形的综合应用 例4 34．（2013•扬州）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y． （1）求y与x的函数关系式； （2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围； （3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长． ‎ 思路分析：（1）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式； （2）根据（1）中求出的y与x的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围； （3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP的长度．解答中提供了三种解法，可认真体会．‎ 解：（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°， ∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP∽△PCE， ∴，即， ∴y=-x2+x． （2）∵y=-x2+x=-（x-）2+， ∴当x=时，y取得最大值，最大值为． ∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上， ∴≤1，解得m≤2． ∴m的取值范围为：0＜m≤2． （3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE， 又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°， ∴∠APG=∠APB． ∵∠BAG=90°，∴AG∥BC， ∴∠GAP=∠APB， ∴∠GAP=∠APG， ∴AG=PG=PC． ‎ 解法一：如解答图所示，分别延长CE、AG，交于点H， 则易知ABCH为矩形，HE=CH-CE=2-y，GH=AH-AG=4-（4-x）=x， 在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH2+HE2=GH2， 即：x2+（2-y）2=y2，化简得：x2-4y+4=0  ① 由（1）可知，y=-x2+x，这里m=4，∴y=-x2+2x， 代入①式整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2， ∴BP的长为或2． 解法二：如解答图所示，连接GC． ∵AG∥PC，AG=PC， ∴四边形APCG为平行四边形，∴AP=CG． 易证△ABP≌GNC，∴CN=BP=x． 过点G作GN⊥PC于点N，则GH=2，PN=PC-CN=4-2x． 在Rt△GPN中，由勾股定理得：PN2+GN2=PG2， 即：（4-2x）2+22=（4-x）2， 整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2， ∴BP的长为或2． 解法三：过点A作AK⊥PG于点K， ∵∠APB=∠APG， ∴AK=AB． 易证△APB≌△APK， ∴PK=BP=x， ∴GK=PG-PK=4-2x． 在Rt△AGK中，由勾股定理得：GK2+AK2=AG2， 即：（4-2x）2+22=（4-x）2， 整理得：x2-8x+4=0， 解得：x=或x=2， ∴BP的长为或2．‎ 点评：‎ 本题是代数几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度．注意第（2）问中求m取值范围时二次函数性质的应用，以及第（3）问中构造直角三角形的方法．‎ 对应训练 ‎4．（2013•青岛模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5cm，AD=4cm，BC=10cm，点E从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B移动，点F从点B出发以2cm/s的速度沿BA方向向点A移动，当点F到达点A时，点E停止运动；设运动的时间为t（s） （0＜t＜2.5）．问： （1）当t为何值时，EF平分等腰梯形ABCD的周长？ （2）若△BFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与△BFE的面积之比是3：2？若存在求出t的值；若不存在，说明理由． （4）在点E、F运动的过程中，若线段EF=cm，此时EF能否垂直平分AB？‎ ‎4．解：（1）∵EF平分等腰梯形ABCD的周长， ∴BE+BF=（AD+BC+CD+AB）=12， ∴10-t+2t=12， t=2； 答：当t为2s时，EF平分等腰梯形ABCD的周长； （2）如图，过A作AN⊥BC于N，过F作FG⊥BC于G，‎ ‎ 则BN=（BC-AD）=×（10-4）=3（cm）， ∵AN⊥BC，FG⊥BC， ∴FG∥AN， △ABN∽△FGB， ∴， ∴， FG=t， ∴S△BEF=×BE×FG=（10-t）•‎ t， S=-t2+8t； （3）假设存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与△BFE的面积之比是3：2， S五边形AFECD=S梯形ABCD-S△BFE=×（4+10）×4-（-t2+8t）=28+t2-8t， 即2（28+t2-8t）=3（-t2+8t）， 解得：t=5+（大于2.5，舍去），t=5-； 即存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与△BFE的面积之比是3：2，t的值是（5-）s； （4）假设存在EF垂直平分AB，‎ ‎ 则△ABN∽△BEF， ， ， EF=≠， 即线段EF=cm，此时EF不能垂直平分AB．‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1．（2013•烟台）如图，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=60°，若其四边满足长度的众数为5，平均数为，上、下底之比为1：2，则BD= ．‎ ‎1．‎ ‎2．（2013•临沂）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分别为E，D，DE=3，BD=5，则腰长AB=．‎ ‎2．‎ ‎3．（2013•滨州模拟）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．‎ ‎3．解：结论为：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．理由如下： 连接AF并延长交BC于点G．‎ ‎∵AD∥BC， ∴∠DAF=∠G， 在△ADF和△GCF中， ， ∴△ADF≌△GCF（AAS）， ∴AF=FG，AD=CG． 又∵AE=EB， ∴EF∥BG，EF=BG， 即EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．‎ ‎【备考真题过关】‎ 一、选择题 ‎1．（2013•绵阳）下列说法正确的是（　　）‎ A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ‎1．D ‎2．（2013•十堰）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC的长为（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎2．A 二、填空题 ‎3．（2013•扬州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BC=12，∠ABC=60°，则梯形ABCD的周长为 30‎ ‎．‎ ‎3．30‎ ‎4．（2013•盘锦）如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°．若梯形的周长为10，则AD的长为 2‎ ‎．‎ ‎4．2‎ ‎5．（2013•六盘水）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=10，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于 19‎ ‎．‎ ‎5．19‎ ‎6．（2013•长沙）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AE∥CD交BC于点E，若AD=2，BC=5，则边CD的长是 3‎ ‎．‎ ‎6．3‎ ‎7．（2013•曲靖）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，则CD= ．‎ ‎7．‎ ‎8．（2013•南京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于P．已知A（2，3），B（1，1），D（4，3），则点P的坐标为．‎ ‎8．（ 33‎ ‎， ）‎ 三、解答题 ‎9．（2013•玉林）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点． （1）求证：四边形EMCN是矩形； （2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的长和宽．‎ ‎9．（1）证明：∵点A、F关于BD对称， ∴AD=DF，DE⊥‎ AF， 又∵AD⊥DC， ∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形， ∴∠DAF=∠EDF=45°， ∵AD∥BC， ∴∠G=∠GAD=45°， ∴△BGE是等腰直角三角形， ∵M，N分别是BG，DF的中点， ∴EM⊥BC，EN⊥CD， 又∵AD∥BC，AD⊥DC， ∴BC⊥CD， ∴四边形EMCN是矩形； （2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BC=CD， ∴S梯形ABCD=（AD+BC）•CD=（2+CD）•CD=， 即CD2+2CD-15=0， 解得CD=3，CD=-5（舍去）， ∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形， ∴DF=AD=2， ∵N是DF的中点， ∴EN=DN=DF=×2=1， ∴CN=CD-DN=3-1=2， ∴矩形EMCN的长和宽分别为2，1．‎ ‎10．（2013•深圳）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE． （1）求证：BD=DE． （2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长．‎ ‎10．（1）证明：∵AD∥BC，CE=AD， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE， ∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC， ∴AC=BD，∴‎ BD=DE． （2）解：过点D作DF⊥BC于点F， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴CE=AD=3，AC∥DE， ∵AC⊥BD， ∴BD⊥DE， ∵BD=DE， ∴S△BDE=BD•DE=BD2=BE•DF=（BC+CE）•DF=（BC+AD）•DF=S梯形ABCD=16， ∴BD=4， ∴BE=BD=8， ∴DF=BF=EF=BE=4， ∴CF=EF-CE=1， ∴AB=CD=．‎ ‎11．（2013•安溪县质检）已知等腰梯形中，AB=DC=2，AD∥BC，AD=3，腰与底相交所成的锐角为60°，动点P在线段BC上运动（ 点P不与B、C点重合），并且∠APQ=60°，PQ交射线CD于点Q，若CQ=y，BP=x， （1）求下底BC的长． （2）求y与x的函数解析式，并指出当点P运动到何位置时，线段CQ最长，最大值为多少？ （3）在（2）的条件下，当CQ最长时，PQ与AD交于点E，求QE的长．‎ ‎11．解：（1）如图1，过点D作DE∥AB，交BC于E，‎ ‎∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴BE=AD=3，DE=AB=DC=2， ∵DE∥AB， ∴∠DEC=∠B=60°， ∴△DEC为等边三角形， ∴EC=DC=2， ∴‎ BC=BE+EC=3+2=5； （2）如图2，在△CPQ与△BAP中，‎ ‎∵， ∴△CPQ∽△BAP， ∴CQ：BP=CP：BA，即y：x=（5-x）：2， ∴y=-x2+x， 当x=，即当点P运动到BC中点时，线段CQ最长， 此时最大值为； （3）如图3，‎ 在（2）的条件下，当CQ最长时，BP=CP=，CQ=， ∴QD=CQ-CD=-2=． ∵DE∥CP， ∴△QDE∽△QCP， ∴QE：QP=DE：CP=QD：QC， 即QE：QP=DE：=：=9：25， ∴可设QE=9k，QP=25k，且DE=， ∴PE=QP-QE=16k，AE=AD-DE=3-=． 在△DEQ与△PEA中， ∵， ‎ ‎∴△DEQ∽△PEA， ∴DE：PE=EQ：EA， ∴：16k=9k：， 解得k=， ∴QE=9k=．‎