全国各地中考数学真题分类汇编 矩形 菱形与正方形

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第 26 章 矩形、菱形与正方形 一、选择题 1. （2011 浙江省舟山，10，3 分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含 30°内角 的菱形 EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为 14cm2，四边 形 ABCD 面积是 11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　 　） （A）48cm （B）36cm （C）24cm （D）18cm 【答案】A 2. （2011 山东德州 8,3 分）图 1 是一个边长为 1 的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱 形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图 形（如图 2），依此规律继续拼下去（如图 3），……，则第 n 个图形的周长是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 3. （2011 山东泰安，17 ，3 分）如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小 正方形的面积分别为 S1，S2，则 S1+S2 的值为 A.17 B.17 C.18 D.19 【答案】B 4. （2011 山东泰安，19 ，3 分）如图，点 O 是矩形 ABCD 的中心，E 是 AB 上的点，沿 CE 折叠后，点 B 恰好与点 O 重合，若 BC=3，则折痕 CE 的长为 （第 10 题） F A B C D HE G ① ② ③ ④ ⑤ 图 1 图 2 图 3 …… 2n 4n 12n+ 22n+ A.2 3 B. 3 2 C. 3 D.6 【答案】A 5. （2011 浙江杭州，10，3）在矩形 ABCD 中，有一个菱形 BFDE(点 E，F 分别在线段 AB，CD 上)，记它们的面积分别 为 ．现给出下列命题：（ ） ①若 ，则 ．②若 则 ． 则: A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D，①是假命题，②是假命题 【答案】A 6. （2011 浙江衢州，1,3 分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村 民居侧面截图，屋坡 分别架在墙体的点 、点 处，且 ,侧面四边形 为矩形，若测得 ，则 ( ) A. 35° B. 40° C. 55° D. 70° 【答案】C 7. （2011 浙江温州，6，4 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为 8 的线段有( ) A．2 条 B．4 条 C．5 条 D．6 条 【答案】D 8. 2011 四川重庆，10，4 分）如图，正方形 ABCD 中，AB＝6，点 E 在边 CD 上，且 CD＝ 3DE．将△ADE 沿 AE 对折至△AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连结 AG、CF．下列结 ABCD BFDES S和 2 3 2 ABCD BFDE S S += 3tan 3EDF∠ = 2 ,DE BD EF= • 2DF AD= AF AG、 B C AB AC= BDEC 100FAG∠ = ° FBD∠ = E A B C D F G （第 5 题） 论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 9. （2011 浙江省嘉兴，10，4 分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含 30°内角 的菱形 EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为 14cm2，四边 形 ABCD 面积是 11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　 　） （A）48cm （B）36cm （C）24cm （D）18cm 【答案】A 10．（2011 台湾台北，29）如图(十二)，长方形 ABCD 中，E 为 中点，作 的角 平分线交 于 F 点。 若 ＝6， ＝16，则 的长度为何？ A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 11. （2011 湖南邵阳，7，3 分）如图（二）所示， 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AB≠AD，则下列式子不正确的是（） A.AC⊥BD B.AB＝CD C. BO=OD D.∠BAD=∠BCD 【答案】A.提示：当且仅当 为菱形时，AC⊥BD。 （第 10 题） F A B C D HE G ① ② ③ ④ ⑤ BC AEC∠ AD AB AD FD ABCD ABCD … A1 A A2 A3 B B1 B2 B3 C C2 C1 C3 D D2 D1 D3 第 10 题图 12. （2011 湖南益阳，7，4 分）如图 2，小聪在作线段 AB 的垂直平分线时，他是这样操作 的：分别以 A 和 B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于 C、D，则直线 CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形 ADBC 一定是 A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】B 13. （2011 山东聊城，7，3 分）已知一个菱形的周长是 20cm，两条对角线的比是 4∶3，则 这个菱形的面积是（ ） A．12cm2 B． 24cm2 C． 48cm2 D． 96cm2 【答案】B 14. （2011 四川宜宾,7,3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，已知 AD=8，折叠纸片使 AB 边与 对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF=3，则 AB 的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 15. （ 2011 重庆江津， 10，4 分）如图,四边形 ABCD 中,AC=a,BD=b,且 AC⊥BD,顺次连接四 边形 ABCD 各边中点,得到四边形 A1B1C1D1,再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点,得到四边形 A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形 AnBnCnDn.下列结论正确的有( ) ①四边形 A2B2C2D2 是矩形; ②四边形 A4B4C4D4 是菱形; ③四边形 A5B5C5D5 的周长 ; ④四边形 AnBnCnDn 的面积是 A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④ 1 2 （第 7 题图） 4 ba + 12 +n ab BA C D 图 2 【答案】C· 16. （2011 江苏淮安，5，3 分）在菱形 ABCD 中，AB=5cm，则此菱形的周长为（ ） A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm 【答案】C 17. （2011 山东临沂，11，3 分）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点 D、F，BE⊥DF 交 DF 的延长线于点 E，已知∩A＝30°，BC＝2，AF＝BF,则四边形 BCDE 的面积是（ ） A．2 B．3 C．4 D．4 【答案】A 18. （2011 四川绵阳 7，3）下列关于矩形的说法中正确的是 A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 19. （2011 四川乐山 9，3 分）如图（5），在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 的 中点，AE 交 BF 于点 H，CG∥AE 交 BF 于点 G。下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB ② ③BH=FG ④ .其中正确的序号是 A．①②③ B．②③④ C． ①③④ D．①②④ 【答案】D 20．（2011 江苏无锡，5，3 分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补 【答案】A 21. （2011 湖北武汉市，12，3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD，点 E，F 分别在 AB， AD 上，且 AE=DF．连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG 与 BD 相交于点 H．下列结论： ①△AED≌△DFB； ②S 四边形 BCDG= CG2； ③若 AF=2DF，则 BG=6GF．其中正确的结论 A．只有①②． B．只有①③．C．只有②③． D．①②③． 3 3 3 CG BF BC CF⋅ = ⋅ 2 2 BC BG CF GF = 4 3 【答案】D 22. （2011 广东茂名，5，3 分）如图，两条笔直的公路 、 相交于点 O，村庄 C 的村民 在公路的旁边建三个加工厂 A．B、D，已知 AB＝BC＝CD＝DA＝5 公里，村庄 C 到公 路 的距离为 4 公里，则村庄 C 到公路 的距离是 A．3 公里 B．4 公里 C．5 公里 D．6 公里 【答案】B 23. （2011 湖北襄阳，10，3 分）顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则 四边形 ABCD 一定是 A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边 形 【答案】D 24. （2011 湖南湘潭市，5，3 分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是 A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形 【答案】B 25. 26. 27. 28. 二、填空题 1. （2011 山东滨州，17，4 分）将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示图形。若∠CED′ =56°,则∠AED 的大小是_______. A B CD E F G H 第 12 题图 1l 2l 1l 2l 2l 1l 【答案】62° 2. （2011 山东德州 16,4 分）长为 1，宽为 a 的矩形纸片（ ），如图那样折一下， 剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下， 剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第 n 此操作后，剩下的矩形为 正方形，则操作终止．当 n=3 时， a 的值为_____________． 【答案】 或 3. （2011 湖北鄂州，5，3 分）如图：矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8，则图中五个小 矩形的周长之和为_______． 【答案】28 4. （2011 山东烟台，17,4 分）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O1、O2 是其中 两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 【答案】2 5. (2011 浙江湖州，16，4)如图，甲类纸片是边长为 2 的正方形，乙类纸片是边长为 1 的正 （第 17 题图） ED D′ C BA 12 1 << a 第一次操作 第二次操作 3 5 3 4 A B C D 第 5 题图 方形，丙类纸片是长、宽分别为 2 和 1 的长方形．现有甲类纸片 1 张，乙类纸片 4 张， 则应至少取丙类纸片 张，才能用它们拼成一个新的正方形． 【答案】4 6. (2011 浙江绍兴，15，5 分) 取一张矩形纸片按照图 1、图 2 中的方法对折，并沿图 3 中 过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图 形 是 正 六 边 形 ， 则 这 张 矩 形 纸 片 的 宽 和 长 之 比 为 . 【答案】 7. （2011 甘肃兰州，20，4 分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再 依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为 1，则第 n 个矩形的面积为 。 【答案】 8. （2011 江苏泰州，18，3 分）如图，平面内 4 条直线 L1、L2、L3、L4 是一组平行线，相 邻 2 条平行线间的距离都是 1 个单位长度，正方形 ABCD 的 4 个顶点 A、B、C、D 都在这 些 平 行 线 上 ， 其 中 点 Ａ 、 Ｃ 分 别 在 直 线 L1 和 L4 上 ， 该 正 方 形 的 面 积 是 平方单位． 【答案】5 或 9 9. （2011 山东潍坊，16，3 分）已知线段 AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB.取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM.过 E 作 EF⊥CD， 垂 足 为 F 点 . 若 正 方 形 AENM 与 四 边 形 EFDB 的 面 积 相 等 ， 则 AE 的 长 为 14 13 12 11 3 : 2 …… 1 1 4n− _________________. 【答案】 10．（2011 山东潍坊，17，3 分）已知长方形 ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线 BD 的 中 点 O 做 BD 的 垂 直 平 分 线 EF ， 分 别 交 AD 、 BC 于 点 E 、 F ， 则 AE 的 长 为 _______________. 【答案】 11. （2011 四川内江，16，5 分）如图，点 E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD、 BD、BC、CA 的中点，当四边形 ABCD 的边至少满足 条件时，四边形 EFGH 是菱形． 【答案】AB=CD 12. (2011 重庆綦江，14，4 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC＝8， BD＝6，过点 O 作 OH⊥AB，垂足为 H，则点 O 到边 AB 的距离 OH＝ ． 5 1 2 a − 7 8 cm A B C DE F G H 【答案】： 13. （2011 江苏淮安，17，3 分）在四边形 ABCD 中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件， 使四边形 ABCD 是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可) 【答案】∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或 AC=BD(答案不唯一，写出一种即可) 14. (2011 江苏南京，12，2 分)如图，菱形 ABCD 的连长是 2㎝，E 是 AB 中点，且 DE⊥AB，则菱形 ABCD 的面积为_________㎝2． 【答案】 15. （2011 江苏南通，15，3 分）如同，矩形纸片 ABCD 中，AB＝2cm，点 E 在 BC 上，且 AE＝EC.若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好与 AC 上的点 重合，则 AC＝ ▲ cm. 【答案】4 16. （2011 四川绵阳 17，4）如图，将长 8cm，宽 4cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与 C 重合，则折痕 EF 的长为_____cm. 【答案】2 5 17. （2011 四川凉山州，17，4 分）已知菱形 ABCD 的边长是 8，点 E 在直线 AD 上，若 5 12 (第 12 题) B A D C E 2 3 'B DE=3，连接 BE 与对角线 AC 相交于点 M，则 的值是 。 【答案】 或 18. （2011 湖北黄冈，5，3 分）如图：矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8，则图中五个 小矩形的周长之和为_______． 【答案】28 19. （2011 湖北黄石，13，3 分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的 2 倍，如图 （4）.将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形 ABCD，则 AB 与 BC 的 数量关系为 。 【答案】AB=2BC 20．（2011 山东日照，16，4 分）正方形 ABCD 的边长为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两 个动点，且始终保持 AM⊥MN．当 BM= 时，四边形 ABCN 的面积最大． 【答案】2; 21. （2011 河北，14，3 分）如图 6，已知菱形 ABCD，其顶点 A，B 在数轴对应的数分别为-4 和 1，则 BC=__． 【答案】5 22. （2010 湖北孝感，16，3 分）已知正方形 ABCD，以 CD 为边作等边△CDE，则∠AED 的度 数是 . 【答案】15°或 75° 23. 24. 25. 26. 27. 28. 图6 0 D A B C MC AM 8 5 8 11 A B C D 第 5 题图 三、解答题 1. （2011 浙江省舟山，23，10 分）以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向 外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形 EFGH． （1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形；如图 2， 当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状（不要求证明）； （2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC= （0°＜ ＜90°）， ① 试用含 的代数式表示∠HAE； ② 求证：HE=HG； ③ 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由． 【答案】（1）四边形 EFGH 是正方形． 　　　　(2) ①∠HAE=90°＋a． 在□ABCD 中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a； ∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°， ∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a． ②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形，∴AE= AB，DG= CD， 在□ABCD 中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE． ∵△HAD 是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG． ③四边形 EFGH 是正方形． 由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，∴四边形 EFGH 是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°， ∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四边形 EFGH 是正方形． 2. （2011 安徽，23，14 分）如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 、 、 、 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 、 、 （ ＞0， ＞0， ＞0）． （1）求证： = ； α α α A B C D H E F G （第 23 题图 2） E B F G D H A C （第 23 题图 3）（第 23 题图 1） A B C D H E F G 2 2 2 2 1l 2l 3l 4l 1h 2h 3h 1h 2h 3h 1h 3h （2）设正方形 ABCD 的面积为 S，求证：S= ； （3）若 ，当 变化时，说明正方形 ABCD 的面积 S 随 的变化情况． 【答案】（1）过 A 点作 AF⊥l3 分别交 l2、l3 于点 E、F，过 C 点作 CG⊥l3 交 l3 于点 G， ∵l2∥l3，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4， 又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即 = ； （2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD= ∠ DGC=90 ° , AD=DC ， ∴ △ AFD ≌ △ DGC ， ∴ DF=CG ， ∵ AD2=AF2+FD2，∴S= ； (3)由题意，得 ， 所以 ， l1 l2 l3 l4 h1 h2 h3 A B C D 2 1 2 21 )( hhh ++ 12 3 21 =+ hh 1h 1h l1 l2 l3 l4 h1 h2 h3 A B C D E F G 1 4 2 3 1h 3h 2 1 2 21 )( hhh ++ 12 3 2 1 hh −= 5 4 5 2 4 5 14 5 2 31 2 1 1 2 1 2 1 2 11 +     −= +−=+     −+= h hhhhhS 又 ，解得 0＜h1＜ ∴当 0＜h1＜ 时，S 随 h1 的增大而减小； 当 h1= 时，S 取得最小值 ； 当 ＜h1＜ 时，S 随 h1 的增大而增大. 3. （2011 福建福州，21，12 分）已知,矩形 中, , , 的垂直平 分线 分别交 、 于点 、 ,垂足为 . (1)如图 10-1,连接 、 .求证四边形 为菱形,并求 的长； (2)如图 10-2,动点 、 分别从 、 两点同时出发,沿 和 各边匀速运动 一周.即点 自 → → → 停止,点 自 → → → 停止.在运动过程中, ①已知点 的速度为每秒 5 ,点 的速度为每秒 4 ,运动时间为 秒,当 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求 的值. ②若点 、 的运动路程分别为 、 (单位: , ),已知 、 、 、 四 点为顶点的四边形是平行四边形,求 与 满足的数量关系式. 【答案】(1)证明:①∵四边形 是矩形 ∴ ∥ ∴ , ∵ 垂直平分 ,垂足为 ∴ ∴ ≌ ∴ ∴四边形 为平行四边形 又∵ ∴四边形 为菱形 ②设菱形的边长 ,则 在 中, 由勾股定理得 ,解得 ∴ (2)①显然当 点在 上时, 点在 上,此时 、 、 、 四点不可能构成平行 四边形;同理 点在 上时, 点在 或 上,也不能构成平行四边形.因此 只有当 点在 上、 点在 上时,才能构成平行四边形 ∴以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,    〉− 〉 02 31 0 1 1 h h 3 2 5 2 5 2 5 4 5 2 3 2 ABCD 4AB cm= 8BC cm= AC EF AD BC E F O AF CE AFCE AF P Q A C AFB∆ CDE∆ P A F B A Q C D E C P cm Q cm t A C P Q t P Q a b cm 0ab ≠ A C P Q a b A B C DE F 图 10-1 O 图 10-2 A B C DE F P Q 备用图 A B C DE F P Q ABCD AD BC CAD ACB∠ = ∠ AEF CFE∠ = ∠ EF AC O OA OC= AOE∆ COF∆ OE OF= AFCE EF AC⊥ AFCE AF CF xcm= = (8 )BF x cm= − Rt ABF∆ 4AB cm= 2 2 24 (8 )x x+ − = 5x = 5AF cm= P AF Q CD A C P Q P AB Q DE CE P BF Q ED A C P Q PC QA= ∵点 的速度为每秒 5 ,点 的速度为每秒 4 ,运动时间为 秒 ∴ , ∴ ,解得 ∴以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时, 秒. ②由题意得,以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点 、 在 互相平行的对应边上. 分三种情况: i)如图 1,当 点在 上、 点在 上时, ,即 ,得 ii) 如 图 2, 当 点 在 上 、 点 在 上 时 , , 即 , 得 iii) 如 图 3, 当 点 在 上 、 点 在 上 时 , , 即 , 得 综上所述, 与 满足的数量关系式是 4. （2011 广东广州市，18，9 分） 如图 4，AC 是菱形 ABCD 的对角线，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，且 AE=AF． 求证：△ACE≌△ACF． 【答案】∵四边形 ABCD 为菱形 ∴∠BAC=∠DAC 又∵AE=AF，AC=AC ∴△ACE≌△ACF（SAS） 5. （2011 山东滨州，24，10 分）如图，在△ABC 中，点 O 是 AC 边上（端点除外）的一个 动点，过点 O 作直线 MN∥BC.设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E,交∠BCA 的外角平分线于 点 F，连接 AE、AF。那么当点 O 运动到何下时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论。 P cm Q cm t 5PC t= 12 4QA t= − 5 12 4t t= − 4 3t = A C P Q 4 3t = A B C DE FP Q A C P Q P Q P AF Q CE AP CQ= 12a b= − 12a b+ = P BF Q DE AQ CP= 12 b a− = 12a b+ = P AB Q CD AP CQ= 12 a b− = 12a b+ = a b 12a b+ = ( 0)ab ≠ A B C DE F P Q A B DE FP Q C A B C DE F P Q 图 1 图 2 图 3 A B C D E F 图 4 【答案】 当点 O 运动到 AC 的中点（或 OA=OC）时， 四边形 AECF 是矩形………………2 分 证明：∵CE 平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3 分 又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5 分 同理，FO=CO………………6 分 ∴EO=FO 又 OA=OC, ∴四边形 AECF 是平行四边形………………7 分 又∵∠1=∠2，∠4=∠5， ∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8 分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180° ∴∠2+∠4=90°………………9 分 ∴四边形 AECF 是矩形………………10 分 6. （2011 山东济宁，22，8 分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图 ，正方形 的边长为 ， 为边 延长线上的一点， 为 的中点， 的垂直平分线交边 于 ，交边 的延长线于 .当 时， 与 的比值是多少？ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过 作直线平行于 交 ， 分别 于 ， ，如图 ，则可得： ，因为 ，所以 .可求出 和 的值，进而可求得 与 的比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程. (2)小东又对此题作了进一步探究，得出了 的结论.你认为小东的这个结论正 确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由. （第 24 题图） FE NM O CB A 1 ABCD 12 P BC E DP DP DC M AB N 6CP = EM EN E BC DC AB F G 2 DF DE FC EP = DE EP= DF FC= EF EG EM EN DP MN= （1）解：过 作直线平行于 交 ， 分别于点 ， ， 则 ， ， . ∵ ，∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 ∴ ， . ∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 （2）证明：作 ∥ 交 于点 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 则 ， . ∵ ， ∴ . ∵ ， ， ∴ .∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 ∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 7. （2011 山东威海，24，11 分）如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在 矩形 ABCD 的边 AB 上取一点 M，在 CD 上取一点 N，将纸片沿 MN 折叠，使 MB 与 DN 交 于点 K，得到△MNK． (第 22 题) E BC DC AB F G DF DE FC EP = EM EF EN EG = 12GF BC= = DE EP= DF FC= 1 1 6 32 2EF CP= = × = 12 3 15EG GF EF= + = + = 3 1 15 5 EM EF EN EG = = = MH BC AB H MH CB CD= = 90MHN∠ = ° 180 90 90DCP∠ = ° − ° = ° DCP MHN∠ = ∠ 90MNH CMN DME CDP∠ = ∠ = ∠ = ° − ∠ 90DPC CDP∠ = ° − ∠ DPC MNH∠ = ∠ DPC MNH∆ ≅ ∆ DP MN= (第 22 题) H B C D E M N A P （1）若∠1=70°，求∠MNK 的度数． （2）△MNK 的面积能否小于 ？若能，求出此时∠1 的度数；若不能，试说明理由． （3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大 值． （备用图） 【答案】 解：∵ABCD 是矩形， ∴AM∥DN， ∴∠KNM=∠1． ∵∠KMN=∠1， ∴∠KNM=∠KMN． ∵∠1=70°， ∴∠KNM=∠KMN=70°． ∴∠MNK=40°． （2）不能． 过 M 点作 ME⊥DN，垂足为点 E，则 ME=AD=1, 由（1）知∠KNM=∠KMN． ∴MK=NK． 又 MK≥ME, ∴NK≥1． ∴ ． ∴△MNK 的面积最小值为 ，不可能小于 ． （3）分两种情况： 情况一：将矩形纸片对折，使点 B 与点 D 重合，此时点 K 也与点 D 重合． 1 2 1 1 2 2MNKS NK ME∆ = ⋅ ≥ 1 2 1 2 设 MK=MD=x，则 AM=5-x，由勾股定理，得 , 解得， ． 即 ． ∴ ． （情况一） 情况二：将矩形纸片沿对角线 AC 对折，此时折痕为 AC． 设 MK=AK= CK=x，则 DK=5-x，同理可得 即 ． ∴ ． ∴△MNK 的面积最大值为 1.3． （情况二） 8. （2011 山东烟台，24,10 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°， CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2． （1）求证：AB＝BC； （2）当 BE⊥AD 于 E 时，试证明：BE＝AE＋CD． 【答案】（1）证明：连接 AC， ∵∠ABC＝90°， ∴AB2＋BC2＝AC2. ∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2. ∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2， ∴AB＝BC. （2）证明：过 C 作 CF⊥BE 于 F. ∵BE⊥AD，∴四边形 CDEF 是矩形. ∴CD＝EF. ∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°， 2 2 21 (5 )x x+ − = 2.6x = 2.6MD ND= = 1 1 2.6 1.32MNK ACKS S∆ ∆= = × × = 2.6MK NK= = 1 1 2.6 1.32MNK ACKS S∆ ∆= = × × = A B C DE ∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF. ∴AE＝BF. ∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD. 9. (2011 浙江湖州，22，8) 如图已知 E、F 分别是 □ABCD 的边 BC、AD 上的点，且 BE=DF． (1) 求证：四边形 AECF 是平行四边形； (2) 若 BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形 AECF 是菱形，求 BE 的长 ． 【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，且 AD=BC，∴AF∥EC，∵ BE=DF， ∴AF=EC，∴四边形 AECF 是平行四边形. （2）∵四边形 AECF 是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠ 4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝ BC＝5. 10．（2011 宁波市，23，8 分）如图，在□ABCD 中，E、F 分别为边 ABCD 的中点，BD 是 对角线，过 A 点作 AGDB 交 CB 的延长线于点 G． （1）求证：DE∥BF； （2）若∠G＝90，求证四边形 DEBF 是菱形． 解：（1）□ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD ∵E、F 分别为 AB、CD 的中点 ∴DF＝ 1 2DC，BE＝ 1 2AB ∴DF∥BE，DF＝BE ∴四边形 DEBF 为平行四边形 ∴DE∥BF (2)证明：∵AG∥BD ∴∠G＝∠DBC＝90° ∴ DBC 为直角三角形 1 2 ∆ （第 22 题） 又∵F 为边 CD 的中点． ∴BF＝ 1 2DC＝DF 又∵四边形 DEBF 为平行四边形 ∴四边形 DEBF 是菱形 11. （2011 浙江衢州，22,10 分）如图， 中， 是边 上的中线，过点 作 ，过点 作 与 分别交于点 、点 ，连接 求证： ; 当 时，求证：四边形 是菱形； 在（2）的条件下，若 ，求 的值. 【答案】.证明：(1) 解法 1：因为 DE//AB,AE//BC,所以四边形 ABDE 是平行四边形， 所以 AE//BD 且 AE=BD，又因为 AD 是边 BC 上的中线，所以 BD=CD，所以 AE 平行且等于 CD， 所以四边形 ADCE 是平行四边形，所以 AD=EC. 解法 2： 又 (2)解法 1： 证明 是斜边 上的中线 又 四边形 是平行四边形 四边形 是菱形 解法 2 证明： 又 四边形 是平行四边形 O D A E B C ABC∆ AD BC A AE BC D ,DE AB DE AC AE、 O E EC AD EC= RtBAC∠ = ∠ ADCE AB AO= tan OAD∠ / / , / / ,DE AB AE BC ABDE B EDC∴ ∠ = ∠四边形 是平行四边形， AB DE∴ = AD BC 是边 上的中线 BD CD∴ = ( )ABD EDC SAS∴ ≅  AD ED∴ = Rt ,BAC AD∠ = ∠ BC AD BD CD∴ = =  ADCE  ADCE / / , RtDE AB BAC∠ = ∠ DE AC∴ ⊥  ADCE 四边形 是菱形 解法 3 证明： 四边形 是平行四边形 又 四边形 是菱形 解法 1 解： 四边形 是菱形 的中位线，则 解法 2 解： 四边形 是菱形 12. （2011 浙江省嘉兴，23，12 分）以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别 向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形 EFGH． （1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形；如图 2， 当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状（不要求证明）；  ADCE RtBAC AD BC∠ = ∠ ， 是斜边 上的中线 AD BD CD∴ = =  ABDE AE BD CD∴ = = AD EC AD CD CE AE = ∴ = = =  ∴ ADCE  ADCE , 90AO CO AOD BD CD ∴ = ∠ = ° =又 OD ABC∴ ∆是 1 2OD AB= 1 2 AB AO OD AO = ∴ =  1Rt tan 2 ODABC OAD OA ∴ ∆ ∠ = =在 中，  ADCE 1 , , 902 1 2 AO CO AC AD CD AOD AB AO AB AC ∴ = = = ∠ = ° = ∴ =  1Rt tan 2 1tan tan 2 ABABC ACB AC AD CD DAC DCA OAD ACB ∴ ∠ = = = ∴∠ = ∠ ∴ ∠ = ∠ =   在 中， （2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC= （0°＜ ＜90°）， ① 试用含 的代数式表示∠HAE； ② 求证：HE=HG； ③ 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由． 【答案】（1）四边形 EFGH 是正方形． 　　　　(2) ①∠HAE=90°＋a． 在□ABCD 中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a； ∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°， ∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a． ②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形，∴AE= AB，DG= CD， 在□ABCD 中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE． ∵△HAD 是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG． ③四边形 EFGH 是正方形． 由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，∴四边形 EFGH 是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°， ∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四边形 EFGH 是正方形． 13. （2011 福建泉州，21，9 分）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把△ACD 沿 CA 方向平移得到△A1C1D1． (1)证明：△A1AD1≌△CC1B； (2)若∠ACB＝30°，试问当点 C1 在线段 AC 上的什么位置时，四边形 ABC1D1 是菱形. （直接 写出答案） 【答案】 ∵矩形 ABCD ∴BC=AD,BC∥AD ∴∠DAC=∠ACB ∵把△ACD 沿 CA 方向平移得到△A1C1D1． ∴∠A1=∠DAC,A1D 1=AD,AA1=CC1 α α α A B C D H E F G （第 23 题图 2） E B F G D H A C （第 23 题图 3）（第 23 题图 1） A B C D H E F G 2 2 2 2 ∴∠A1=∠ACB，A1D1=CB。 ∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）。……………6 分 当 C1 在 AC 中点时四边形 ABC1D1 是菱形，……………9 分 14. （2011 甘肃兰州，27，12 分）已知：如图所示的一张矩形纸片 ABCD（AD>AB），将 纸片折叠一次，使点 A 与点 C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于点 E，交 BC 边于点 F， 分别连结 AF 和 CE。 （1）求证：四边形 AFCE 是菱形； （2）若 AE=10cm，△ABF 的面积为 24cm2，求△ABF 的周长； （3）在线段 AC 上是否存在一点 P，使得 2AE2=AC·AP？若存在，请说明点 P 的位置，并 予以证明；若不存在，请说明理由。 【答案】（1）由折叠可知 EF⊥AC，AO=CO ∵AD∥BC ∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO ∴△AOE≌△COF ∴EO=FO ∴四边形 AFCE 是菱形。 （2）由（1）得 AF=AE=10 设 AB=a，BF=b，得 a2+b2=100 ①，ab=48 ② ①+2×②得 (a+b)2=196，得 a+b=14（另一负值舍去） ∴△ABF 的周长为 24cm （3）存在，过点 E 作 AD 的垂线交 AC 于点 P，则点 P 符合题意。 C B A D A1 C1 D1 （第 21 题） A B C DE F O 证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE ∴△AOE∽△AEP ∴ ，得 AE2=AO·AP 即 2AE2=2AO·AP 又 AC=2AO ∴2AE2=AC·AP 15. （2011 广东株洲，23，8 分）如图，矩形 ABCD 中，点 P 是线段 AD 上一动点，O 为 BD 的 中点， PO 的延长线交 BC 于 Q. （1）求证： OP=OQ； （2）若 AD=8 厘米，AB=6 厘米，P 从点 A 出发，以 1 厘米/秒的速度向 D 运动（不与 D 重 合）.设点 P 运动时间为 t 秒，请用 t 表示 PD 的长；并求 t 为何值时，四边形 PBQD 是菱 形． 【答案】（1）证明： 四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠PDO=∠QBO，又 OB=OD，∠POD=∠QOB， ∴△POD≌△QOB， ∴OP=OQ。 （2）解法一： PD=8-t ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=90°， ∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm. 当四边形 PBQD 是菱形时， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB， ∴△ODP∽△ADB， ∴ ，即 ， A B C DE F O P AO AE AE AP =  OD AD PD BD = 5 8 8 10t =− 解得 ,即运动时间为 秒时，四边形 PBQD 是菱形. 解法二：PD=8-t 当四边形 PBQD 是菱形时，PB=PD=(8-t)cm， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=90°，在 RT△ABP 中，AB=6cm， ∴ ， ∴ ， 解得 ,即运动时间为 秒时，四边形 PBQD 是菱形. 16. （2011 江苏苏州，28,9 分）（本题满分 9 分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片 （即△OAB）放在直线 l1 上，OA 边与直线 l1 重合，然后将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时 针方向旋转 120°，此时点 O 运动到了点 O1 处，点 B 运动到了点 B1 处；小慧又将三角形纸 片 AO1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 120°，点 A 运动到了点 A1 处，点 O1 运动到了点 O2 处 （即顶点 O 经过上述两次旋转到达 O2 处）. 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点 O 运动所形成的图形是两段圆 弧，即弧 OO1 和弧 O1O2，顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧 与直线 l1 围成的图形面积等于扇形 AOO1 的面积、△AO1B1 的面积和扇形 B1O1O2 的面积之 和. 小慧进行类比研究：如图②，她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 l2 上，OA 边与直线 l2 重合，然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90°，此时点 O 运动到 了点 O1 处（即点 B 处），点 C 运动到了点 C1 处，点 B 运动到了点 B1 处；小慧又将正方形 纸片 AO1C1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提 出了如下问题： 问题①：若正方形纸片 OABC 按上述方法经过 3 次旋转，求顶点 O 经过的路程，并求 顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积；若正方形 OABC 按上述方 法经过 5 次旋转，求顶点 O 经过的路程； 问题②：正方形纸片 OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点 O 经过的路程是 π？ 请你解答上述两个问题. 【答案】解问题①：如图，正方形纸片 OABC 经过 3 次旋转，顶点 O 运动所形成的图形是 三段弧，即弧 OO1、弧 O1O2 以及弧 O2O3， ∴顶点 O 运动过程中经过的路程为 7 4t = 7 4 2 2 2AP AB BP+ = 2 2 26 (8 )t t+ = − 7 4t = 7 4 2 22041+ . 顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积为 =1+π. 正方形 OABC 经过 5 次旋转，顶点 O 经过的路程为 . 问题②：∵方形 OABC 经过 4 次旋转，顶点 O 经过的路程为 ∴ π=20× π+ π. ∴正方形纸片 OABC 经过了 81 次旋转. 17. （2011 江苏泰州，24，10 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，直线 L 垂直平分线段 AC， 垂足为 O，直线 L 分别与线段 AD、CB 的延长线交于点 E、F． （1）△ABC 与△FOA 相似吗？为什么？ （2）试判定四边形 AFCE 的形状，并说明理由． 【答案】(1)相似.由直线 L 垂直平分线段 AC，所以 AF=FC，∴∠FAC=∠ACF，又∵∠ ABC=∠AOF=90°，∴△ABC∽FOA． （2）四边形 AFCE 是菱形。理由：∵AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，又∵AO＝CO，∠AOE= ∠COF，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又 AE∥CF，∴四边形 AFCE 为平行四边形，又 AF=FC，所以平行四边形 AFCE 为菱形． 18. （2011 江苏泰州，28，12 分）在平面直角坐标系 xoy 中，边长为 a（a 为大于 0 的常数） 的正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 P，顶点 A 在 x 轴正半轴上运动，顶点 B 在 y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点 O），顶点 C、D 都在第一象 l O A F E CB D πππ )2 21(180 2902180 190 +=⋅⋅+×⋅⋅ 112 12360 )2(902360 190 22 ×××+⋅⋅+×⋅⋅ ππ πππ )2 2 2 3(180 2903180 190 +=⋅⋅+×⋅⋅ πππ )2 21(180 2902180 190 +=⋅⋅+×⋅⋅ 2 22041+ )2 21( + 2 1 限． （1）当∠BAO=45°时，求点 P 的坐标; (2)求证：无论点 A 在 x 轴正半轴上、点 B 在 y 轴正半轴上怎样运动，点 P 都在∠AOB 的平 分线上； （3）设点 P 到 x 轴的距离为 h，试确定 h 的取值范围，并说明理由． 【答案】解：（1）当∠BAO=45°时，∠PAO=90°，在 Rt ⊿AOB 中，OA＝ AB＝ ，在 Rt⊿APB 中，PA＝ AB＝ 。∴点 P 的坐标为（ ， ） （2）过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线垂足分别为 M、N，则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠ BPA=90°，∴∠MPA=∠NPB，又 PA＝PB，∴ △PAM≌△PBN，∴PM=PN，于是，点 P 都在∠AOB 的平分线上； （3） ＜h≤ 。当点 B 与点 O 重合时，点 P 到 AB 的距离为 ，然后顶点 A 在 x 轴正半轴上向左运动，顶点 B 在 y 轴正半轴上向上运动时，点 P 到 AB 的距离逐渐增大，当∠ BAO=45°时，PA⊥x 轴，这时点 P 到 AB 的距离最大为 ，然后又逐渐减小到 ，∵x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点 O ，∴点 P 到 x 轴的距离的取值范围是 ＜h≤ y O P D C x B A y O P D C x B A N M 2 2 a2 2 2 2 a2 2 a2 2 a2 2 2 a a2 2 2 a a2 2 2 a 2 a 。 19. （2011 山东济宁，17， 5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 点 O，过点 O 作直线 EF⊥BD，分别交 AD、BC 于点 E 和点 F，求证：四边形 BEDF 是菱 形． 【答案】证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD∥BC，OB=OD，…………………………………………1 分 ∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，…………………………2 分 ∴△OED≌△OFB， ∴DE=BF，………………………………………………………3 分 又∵DE∥BF， ∴四边形 BEDF 是平行四边形，………………………………4 分 ∵EF⊥BD， ∴四边形 BEDF 是菱形．………………………………………5 分 20．（2011 山东聊城，25，12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝12cm，BC＝8cm，点 E、 F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点 E、G 的速 度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个 点随之停止移动．设移动开始后第 t 秒时，△EFG 的面积为 S（cm2）． （1）当 t＝1 秒时，S 的值是多少？ （2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围． （3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与 以 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】（1）如图甲，当 t＝1 秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，由 S a2 2 O F E D CB A 第 17 题 ＝S 梯形 EGCG－SEBF－SFCG＝ (10＋2)×8－ ×10×4－ ×4×2＝24 (2)如图（甲），当 0≤t≤2 时，点 E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上移动，此时 AE＝2t， EB＝12－2t，BF＝4t，FC＝8－4t，S＝8t2－32t＋48（0≤t≤2） （3）如图乙，当点 F 追上点 G 时，4t＝2t＝8，解得 t＝4，当 2＜t≤4 时，CF＝4t－8， CG＝2t，FG＝CG－CF＝8－2t，即 S＝－8t＋32(2＜t≤4)， (3)如图（甲），当点 F 在矩形的边 BC 上移动时，0≤t≤2，在 EFF 和 FCG 中，B＝C＝90，，① 若 ，即 ，解得 t＝ ，又 t＝ 满足 0≤t≤2，所以当 t＝ 时△EBF∽△ GCF②若 ，即 ，解得 t＝ ，又 t＝ 满足 0≤t≤2，所以当 t＝ 时△EBF∽△GCF，综上知，当 t＝ 或 时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以 F、C、G 为顶点的三角形相似 21. （2011 山东潍坊，18，8 分）已知正方形 ABCD 的边长为 a，两条对角线 AC、BD 相交 于点 O，P 是射线 AB 上任意一点，过 P 点分别做直线 AC、BD 的垂线 PE、PF，垂足 为 E、F. （1）如图 1，当 P 点在线段 AB 上时，求 PE+PF 的值； （2）如图 2，当 P 点在线段 AB 的延长线上时，求 PE－PF 的值. 2 1 2 1 2 1 CG BF FC EB = t t t t 2 4 48 212 =− − 3 2 3 2 3 2 CF BF GC EB = t t t t 48 4 2 212 −=− 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 【解】（1）∵四边形 ABCD 为正方形，∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理 PE//BD. ∴四边形 PFOE 为矩形，故 PE=OF. 又∵∠PBF=45°，∴PF=BF. ∴PE+PF=OF+FB=OB= . （2）∵四边形 ABCD 为正方形，∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理 PE//BD. ∴四边形 PFOE 为矩形，故 PE=OF. 又∵∠PBF=45°，∴PF=BF. ∴PE－PF=OF－BF= OB= . 22. （2011 四川广安，23，8 分）如图 5 所示，在菱形 ABCD 中，∠ABC= 60°，DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E．求证：DE= BE 【答案】证明：∵ABCD 是菱形，∠ABC= 60° ∴BC=AC=AD 又∵DE∥AC ∴ACED 为平行四边形 ∴CE=AD=BC DE=AC ∴DE=CE=BC ∴DE= BE 23. (2011 江苏南京，21，7 分)如图，将□ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE=DC，连接 AE，交 BC 于点 F． ⑴求证：△ABF≌△ECF ⑵若∠AFC=2∠D，连接 AC、BE．求证：四边形 ABEC 是矩形． E D CB A 2cos 45 2 a a° = 2cos 45 2 a a° = 1 2 1 2 图 5 【答案】证明：⑴∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF. ∵EC=DC, ∴AB=EC． 在△ABF 和△ECF 中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC， ∴⊿ABF≌⊿ECF． （2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形 ABEC 是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC． ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB． ∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口 ABEC 是矩形． 解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形 ABEC 是平行四边形． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE． 又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE， ∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD． 又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°． ∴口 ABEC 是矩形． 24. （2011 江苏南通，26，10 分）（本体满分 10 分） 已知：如图 1，O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA 到点 F，OD 到点 E，使 OF＝ 2OA，OE＝2OD，连结 EF，将△FOE 绕点 O 逆时针旋转α角得到△ （如图 2）. （1） 探究 AE′与 BF'的数量关系，并给予证明； （2） 当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形. 【答案】（1）AE′＝BF 证明：如图 2， ∵在正方形 ABCD 中， AC⊥BD ∴∠ ＝∠AOD＝∠AOB＝90° 即∠AOE′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′ ∴∠AOE′＝∠BOF′ 又∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA ∴OE′＝OF′ A B C D E F (第 21 题) ' 'F OE ' 'F OE ∴△OAE′≌△OBF′ ∴AE′＝BF （2）作△AOE′的中线 AM，如图 3. 则 OE′＝2OM＝2OD＝2OA ∴OA＝OM ∵α＝30° ∴∠AOM＝60° ∴△AOM 为等边三角形 ∴ MA＝MO＝ME′，∠ ＝∠ 又∵∠ ＋∠ ＝∠AMO 即 2∠ ＝60° ∴∠ ＝30° ∴∠ ＋∠AOE′＝30°＋60°＝90° ∴△AOE′为直角三角形. 25. （2011 山东临沂，22，7 分）如图，△ABC 中，AB＝AC，AD、CD 分别是△ABC 两 个外角的平分线．在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝90°，＝2CD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，线段 OA，OB 的中点分别为点 E，F （1）求证：AC＝AD； （2）若∠B＝60°，求证：四边形 ABCD 是菱形； 【解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠BCA， ∴∠EAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B， ∵AD 平分∠FAC， ∴∠FAD＝∠B， ∴AD∥BC，……………………………………………………………………（2 分） ∴∠D＝∠DCE， 'AE M 'E AM 'AE M 'E AM 'AE M 'AE M 'AE M ∵CD 平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE， ∴∠D＝∠ACD，………………………………………………………………（3 分） ∴AC＝AD；……………………………………………………………………（4 分） （2）证明：∵∠B＝60°， ∴∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°， ∴∠DCE＝∠B＝60°，………………………………………………………（5 分） ∴DC∥AB, ∵AD∥BC， ∴四边形 ABCD 为平行四边形，……………………………………………（6 分） 又由（1）知 AC＝AD， ∴AB＝AD， ∴四边形 ABCD 是菱形．……………………………………………………（7 分） 26. （2011 山东临沂，25，11 分)如图 1，奖三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角 顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，三角板的一边交 CD 于点 F，另一边交 CB 的延长 线于点 G． （1）求证：EF＝EG； （2）如图 2，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不 变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图 3，将（2）中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三角板的一边 经过点 B，其他条件不变，若 AB＝a,BC＝b，求 的值． 图 1 图 2 图 3 （1）证明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°， ∴∠DEF＝GEB，………………………………………………（ 1 分） 又∵ED＝BE， ∴Rt△FED≌Rt△GEB，…………………………………………（ 2 分） ∴EF＝EG．……………………………………………………（ 3 分） (2)成立．……………………………………………………………………（ 4 分） 证明：如图，过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 H、I， 则 EH＝EI，∠HEI＝90°，…………………………………（ 5 分） ∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°， ∴∠IEF＝∠GEH，……………………………………………（ 6 分） ∴Rt△FEI≌Rt△GEH, ∴EF＝EG．………………………………………………………（7 分） EG EF (3)解：如图，过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 M、N ， 则∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD,………………………（ 8 分） ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ , …………………………………………（9 分） ∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°， ∴∠FEN＝∠GEM， ∴Rt△FEN∽Rt△GEM, …………………………………………（10 分） ∴ ＝ ＝ ．…………………………………………（11 分） 27. （2011 上海，23，12 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB＝DC，过点 D 作 DE⊥ BC，垂足为 E，并延长 DE 至 F，使 EF＝DE．联结 BF、CF、AC． （1）求证：四边形 ABFC 是平行四边形； （2）如果 DE2＝BE·CE，求证四边形 ABFC 是矩形． 【答案】（1）连接 BD． ∵DE⊥BC，EF=DE， ∴BD=BF，CD=CF． ∵在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=DC， ∴四边形 ABCD 是等腰梯形． ∴BD=AC． ∴AC=BF，AB=CF． ∴四边形 ABFC 是平行四边形． A B D F CE AB EM CA CE AD EN EN EM AD AB b a EG EF EM EN a b （2）∵DE2 =BE·CE，EF=DE， ∴EF2 =BE·CE． ∴ ． 又∵DE⊥BC， ∴∠CEF=∠FEB=90°． ∴△CEF∽△FEB． ∴∠CFE=∠FBE． ∵∠FBE+∠BFE=90°， ∴∠CFE +∠BFE=90°． 即∠BFC=90°． 由（1）知四边形 ABFC 是平行四边形， ∴证四边形 ABFC 是矩形． 20．28. （2011 四川乐山 20，10 分）如图，E、F 分别是矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 上 的点，且 AE=DF。求证：BE=CF 【答案】 证明：∵四边形 ABCD 为矩形 ∴OA=OB=OC=OD AB=CD ∵AE=DF ∴OE=OF 在 ΔBOE 与 ΔCOF 中， ∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS) ∴BE=CF F E D CB A EF CE BE EF =    = ∠=∠ = OFOE COFBOE OCOB 29. （2011 湖南衡阳，26，10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD=4，AB=m(m＞4)，点 P 是 AB 边上的任意一点（不与 A、B 重合），连结 PD，过点 P 作 PQ⊥PD，交直线 BC 于点 Q． (1)当 m=10 时，是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合？若存在，求出此时 AP 的长；若 不存在，说明理由； (2)连结 AC，若 PQ∥AC,求线段 BQ 的长（用含 m 的代数式表示） (3)若△PQD 为等腰三角形，求以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函 数关系式，并写出 m 的取值范围． 【解】(1) 假设当 m=10 时，存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合（如下图）， ∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD＋∠BPC=90°， 又∠ADP＋∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP， 又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴ ， ∴ ，∴ 或 8，∴存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合，出此时 AP 的 长 2 或 8． (2) 如下图，∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠ B=∠DAP=90°，∴△ABC∽△DAP，∴ ，即 ，∴ ． ∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC， ，即 ，∴ ． (3)由已知 PQ⊥PD，所以只有当 DP=PQ 时，△PQD 为等腰三角形（如图）， ∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBQ≌△DAP， PB BC DA AP = 10 4 4 AP AP − = 2AP = AB BC DA AP = 4 4 m AP = 16AP m = PB BQ AB BC = 16 4 m BQm m − = 2 164BQ m = − ∴PB=DA=4，AP=BQ= ， ∴以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数关系式为：S 四边形 PQCD= S 矩形 ABCD－S△DAP－S△QBP= = =16（4＜ ≤8）． 30. （2011 贵州贵阳，18，10 分） 如图，点 E 是正方形 ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接 EB、EA，延长 BE 交 边 AD 于点 F． （1）求证：△ADE≌△BCE；（5 分） （2）求∠AFB 的度数．（5 分） （第 18 题图） 【答案】解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC． ∵△CDE 是等边三角形， ∴∠CDE=∠DCE=60°，DE=CE． ∵∠ADC=∠BCD=90°，∠CDE=∠DCE=60°， ∴∠ADE=∠BCE=30°． ∵AD=BC，∠ADE=∠BCE，DE=CE， ∴△ADE≌△BCE． （2）∵△ADE≌△BCE， ∴AE=BE， ∴∠BAE=∠ABE． ∵∠BAE+∠DAE=90°，∠ABE+∠AFB=90°，∠BAE=∠ABE， ∴∠DAE=∠AFB． ∵AD=CD=DE， ∴∠DAE=∠DEA． ∵∠ADE=30°， ∴∠DAE=75°， ∴∠AFB=75°． 31. （2011 广东肇庆，20，7 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 为对角线 AC 上一点，连接 EB、ED． （1）求证：△BEC≌△DEC； （2）延长 BE 交 AD 于点 F，若∠DEB ＝ 140，求∠AFE 的度数． 4m − 1 1 2 2DA AB DA AP PB BQ× − × × − × × ( ) ( )1 14 4 4 4 42 2m m m− × × − − × × − m 【答案】解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形 ∴CD＝CB， ∵AC 是正方形的对角线 ∴∠DCA＝∠BCA 又 CE ＝ CE ∴△BEC≌△DEC (2）∵∠DEB ＝ 140 由△BEC≌△DEC 可得∠DEC ＝∠BEC＝1402＝70， ∴∠AEF ＝∠BEC＝70， 又∵AC 是正方形的对角线， ∠DAB＝90 ∴∠DAC ＝∠BAC＝902＝45， 在△AEF 中，∠AFE＝180— 70— 45＝65 32. （2011 广东肇庆，22，8 分）如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC，CE∥ BD． （1）求证：四边形 OCED 是菱形； （2）若∠ACB＝30，菱形 OCED 的面积为 ，求 AC 的长． 【答案】解：（1）证明：∵DE∥OC ，CE∥OD，∴四边形 OCED 是平行四边形． ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ AO＝OC＝BO＝OD ∴四边形 OCED 是菱形． （2）∵∠ACB＝30° ∴∠DCO ＝ 90°— 30°＝ 60° 又∵OD＝ OC， ∴△OCD 是等边三角形 过 D 作 DF⊥OC 于 F，则 CF＝ OC，设 CF＝ ，则 OC＝ 2 ，AC＝4 A BC D E F 38 A B C D E O A B C D E O 图 8 F 2 1 x x x 在 Rt△DFC 中，tan 60°＝ ∴DF＝FC tan 60° 由已知菱形 OCED 的面积为 得 OC DF＝ ，即 ， 解得 ＝2， ∴ AC＝42＝8 33. （2011 湖北襄阳，25，10 分) 如图 9，点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与点 A，B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90°得到线段 PE，PE 交边 BC 于点 F，连接 BE，DF. （1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE 的度数； （3）当 的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由. 【答案】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90°∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 ∵∠DPE＝90° ∴∠APD＋∠EPB＝90° ∴∠ADP＝∠EPB.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 （2）过点 E 作 EG⊥AB 交 AB 的延长线于点 G，则∠EGP＝∠A＝90°∙∙∙∙∙∙3 分 又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP ∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 ∴∠CBE＝∠EBG＝45°. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （3）方法一： 当 时，△PFE∽△BFP.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 ∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 设 AD＝AB＝a，则 AP＝PB＝ ，∴BF＝BP· ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 GP F E D C BA FC DF x3= 38 38 3832 =⋅ xx x AB AP P F E D C BA 图 9 2 1= AB AP a2 1 aAD AP 4 1= ∴ ， ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 方法二： 假设△ADP∽△BFP，则 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 ∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 ∴ ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 ∴ ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 ∴PB＝AP， ∴当 时，△PFE∽△BFP. 10 分 34. （2011 湖南永州，25，10 分）探究问题： ⑴方法感悟： 如图①，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接 EF，求证 DE+BF=EF． 感悟解题方法，并完成下列填空： 将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG，此时 AB 与 AD 重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点 G，B，F 在同一条直线上． ∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又 AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌_______． ∴_________=EF，故 DE+BF=EF． ⑵方法迁移： 如图②，将 沿斜边翻折得到△ADC，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且∠EAF= ∠DAB．试猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想． aAPADPD 2 522 =+= aBFPBPF 4 522 =+= 5 5== PF BF PD PB PF BF PD PB = BF AP PF PD = BF AP BF PB = 2 1= AB AP 3 2 1 G E F D C B A （第 25 题）① ABCRt∆ 2 1 ⑶问题拓展： 如 图 ③ ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， AB=AD ， E ， F 分 别 为 DC,BC 上 的 点 ， 满 足 ,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得 DE+BF=EF．请直接写出你 的猜想（不必说明理由）． 【答案】⑴EAF、△EAF、GF． ⑵DE+BF=EF，理由如下： 假设∠BAD 的度数为 ，将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 得到△ABG，此时 AB 与 AD 重合， 由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点 G，B，F 在同一条直线上． ∵∠EAF= ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF= ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3= ． 即∠GAF=∠EAF 又 AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌△EAF． ∴GF=EF， 又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF． E F D CB A （第 25 题）② DABEAF ∠=∠ 2 1 E F D CB A （第 25 题）③ m °m °m2 1 °=°−° mmm 2 1 2 1 °m2 1 ⑶当∠B 与∠D 互补时，可使得 DE+BF=EF． 35. （2011 江苏盐城，27，12 分） 情境观察 将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D，如图 1 所示.将 △A′C′D 的顶点 A′与点 A 重合，并绕点 A 按逆时针方向旋转，使点 D、A(A′)、B 在同一 条直线上，如图 2 所示． 观察图 2 可知：与 BC 相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °． 问题探究 如图 3，△ABC 中，AG⊥BC 于点 G，以 A 为直角顶点，分别以 AB、AC 为直角边， 向△ABC 外作等腰 Rt△ABE 和等腰 Rt△ACF，过点 E、F 作射线 GA 的垂线，垂足分别 为 P、Q. 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系，并证明你的结论. 拓展延伸 如图 4，△ABC 中，AG⊥BC 于点 G，分别以 AB、AC 为一边向△ABC 外作矩形 ABME 和矩形 ACNF，射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB= k AE，AC= k AF，试探究 HE 与 HF 之间的 数量关系，并说明理由. 3 2 1 G E F D CB A （第 25 题）②解得图 图 1 图 2 C' A'BA D C A B CD B C D A(A') C' 图 3 A B C E F G P Q 【答案】情境观察 AD（或 A′D），90 问题探究 结论：EP=FQ. 证明：∵△ABE 是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°. ∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP. ∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP. 同理 AG=FQ. ∴EP=FQ. 拓展延伸 结论： HE=HF. 理由：过点 E 作 EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为 P、Q. ∵四边形 ABME 是矩形，∴∠BAE=90°， ∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°， ∴∠ABG=∠EAP. ∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ AG EP = AB EA. 同理△ACG∽△FAQ，∴ AG FP = AC FA. ∵AB= k AE，AC= k AF，∴ AB EA = AC FA = k，∴ AG EP = AG FP. ∴EP=FQ. ∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF. 36. (20011 江苏镇江,23,7 分)已知:如图,在梯形 ABCD 中 AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E 为 AB 中 点, 求证:四边形 BCDE 是菱形. Q P H A B C E F G N M 图 4 M N G F E CB A H 答案:证明：∵AD⊥BD， ∴∠ADB=90°。 又 E 为 AB 中点，∴DE= AB,BE= AB, ∴DE=BE ∴∠ DBE =∠EDB 又 AB∥CD, ∴∠ BDC =∠EDB ∵BC=CD, ∴∠DBC =∠DBC ∴BC∥DE. ∵EB∥CD ∴四边形 BCDE 是平行四边形 ∵BC=CD ∴四边形 BCDE 是菱形。 37. (20011 江苏镇江,25,6 分)已知:如图 1,图形①满足:AD=AB,MD=MB, ∠A=72°, ∠M=144 °.图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图 2).记作 AB 的长度为 a,BM 的长度为 b. (1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度. (2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸片称为“风 筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为“飞镖一号”. ①小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为 b 的正十边形,需要这种纸片____张; ②小明用若干张“风筝一号”和 “飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图 3),其中 ∠P=72°, ∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕 迹.(本题中均为无重叠、无缝隙拼接) 1 2 1 2 【答案】（1）∠B=72°，∠E=36° （2）5 个； （3）图略 38. （2011贵州安顺，25，10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交 BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE． ⑴说明四边形ACEF是平行四边形； ⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由． 【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF∥CA ∴∠AEF =∠EAC ∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ∴△AEC≌△EAF，∴EF = CA，∴四边形 ACEF 是平行四边形 ． （2）当∠B=30°时，四边形 ACEF 是菱形 ． 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC= ，∵DE 垂直平分 BC，∴ BE=CE 又∵AE=CE，∴CE= ，∴AC=CE，∴四边形 ACEF 是菱形． 39. （2011 河北，23，9 分）如图 12，四边形 ABCD 是正方形，点 E,K 分别在 BC,AB 上， 点 G 在 BA 的延长线上，且 CE=BK=AG. (1)求证：①DE=EG; ②DE⊥EG； （2）尺规作图：以线段 DE，DG 为边作出正方形 DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作 法和证明）； （3）连接（2）中的 KF，猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想； （4）当 时，请直接写出 的值. 第 25 题图 AB2 1 AB2 1 n 1= CB CE DEFG ABCD S S 正方形 正方形 【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°，又∵CE=AG，∴△ DCE≌△DAG,∴∠EDC=∠GDA,DE=DG.又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°,∴DE⊥DG. （2）如图 (3)四边形 CEFK 为平行四边形。 证明：设 CK,DE 相交于 M 点，∵四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，∴AB∥ CD,AB=CD,EF=DG,EF ∥ DG; ∵ BK=AG, ∴ KG=AB=CD, ∴ 四 边 形 CKGD 为 平 行 四 边 形 。 ∴ CK=DG=EF,CK∥DG.∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°.∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形 CKEF 为平行四边形。 （4） = 40. （2011 湖南湘潭市，24，8 分）（本题满分 8 分） 两个全等的直角三角形重叠放在直线 上，如图⑴，AB=6cm，BC=8cm， ∠ABC=90°，将 Rt△ABC 在直线 上左右平移，如图⑵所示. ⑴ 求证：四边形 ACFD 是平行四边形; ⑵ 怎样移动 Rt△ABC，使得四边形 ACFD 为菱形; ⑶ 将 Rt△ABC 向左平移 ，求四边形 DHCF 的面积. 图12 B C A D G E K MF B C A D G E K DEFG ABCD S S 正方形 正方形 1n n 2 2 + l l cm4 l 图(1) A(D) B(E) C(F) D l 图(2) FE CB A H 【答案】 （1）证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF,∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF， ∴四边形 ACFD 是平行四边形； （2）在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC=10cm，要使四边形 ACFD 为菱形，则 AC=CF， ∴可将 Rt△ABC 向左平移 10cm 或向右平移 10cm； （3）在 Rt△ABC 中， ． ∴当 Rt△ABC 向左平移 时，EC=BC-BE=8-4=4（cm）， 在 Rt△HEC 中， ． ∴四边形 DHCF 的面积为： cm2． 41. （2011 湖北荆州，19，7 分）（本题满分 7 分）如图，P 是矩形 ABCD 下方一点，将△PCD 绕 P 点顺时针旋转 60°后恰好 D 点与 A 点重合，得到△PEA，连接 EB，问△ABE 是什么 特殊三角形？请说明理由. 【答案】△ABE 是等边三角形，理由如下： 因为△PEA 是将△PCD 绕 P 点顺时针旋转 60°后得到的 所以△PEA≌△PCD，且 AE 与 DC 所夹的锐角为 60° 所以 AE＝DC 又因为四边形 ABCD 是矩形 所以 DC＝AB 且 DC∥AB 所以 AE＝AB 且∠EAB＝60° 所以△ABE 是等边三角形. D C B A P E 6 3tan 8 4 ABACB BC ∠ = = = cm4 3tan 4 34HE EC ACB= ∠ = × = 1 18 6 4 3 182 2 × × − × × =