中考分类汇编圆专题只有题

中考分类汇编圆专题只有题

圆专题复习中等难度满分班教师版 ‎　‎ 一．选择题（共16小题）‎ ‎1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）‎ A．2 B．4 C．4 D．8‎ ‎　‎ ‎2．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（　　）‎ A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣‎ ‎　‎ ‎3．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎　‎ ‎4．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（　　）‎ A．20° B．25° C．40° D．50°‎ ‎　‎ ‎5．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（　　）‎ A．3 B．8 C． D．2‎ ‎　‎ ‎6．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（　　）‎ A．80° B．90° C．100° D．无法确定 ‎　‎ ‎7．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（　　）‎ A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：‎ ‎　‎ ‎8．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）‎ A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm ‎　‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　）‎ A． cm B．9 cm C．cm D．cm ‎　‎ ‎11．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎　‎ ‎12．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎　‎ ‎13．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（　　）‎ A．80° B．160° C．100° D．80°或100°‎ ‎　‎ ‎14．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（　　）‎ A．51° B．56° C．68° D．78°‎ ‎　‎ ‎15．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）‎ A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5‎ ‎　‎ ‎16．下列说法中，结论错误的是（　　）‎ A．直径相等的两个圆是等圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆中最长的弦是直径 D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧 ‎　‎ ‎　‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎17．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎18．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎19．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎20．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=　　　　　　度．‎ ‎　‎ ‎21．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三．解答题（共9小题）‎ ‎22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．‎ ‎（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；‎ ‎（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．‎ ‎　‎ ‎23．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．‎ ‎（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；‎ ‎（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．‎ ‎　‎ ‎24．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．‎ ‎（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；‎ ‎（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．‎ ‎　‎ ‎25．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．‎ ‎（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；‎ ‎（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．‎ ‎　‎ ‎26．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．‎ ‎（1）求证：CB∥PD；‎ ‎（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．‎ ‎　‎ ‎27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．‎ ‎（1）求证：AD=CD；‎ ‎（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．‎ ‎　‎ ‎28．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．‎ ‎（1）求证：AC=BD；‎ ‎（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．‎ ‎　‎ ‎29．如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F．‎ ‎（1）求证：DF为⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE=，AB=，求AE的长．‎ ‎　‎ ‎30．已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．‎ ‎（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；‎ ‎（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，‎ ‎①AE与OD的大小有什么关系？为什么？‎ ‎②求∠ODC的度数．‎ ‎　‎ ‎　‎ 圆专题复习中等难度满分班教师版 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共16小题）‎ ‎1．（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）‎ A．2 B．4 C．4 D．8‎ ‎【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．菁优网版权所有 ‎【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．‎ ‎【解答】解：∵∠A=22.5°，‎ ‎∴∠BOC=2∠A=45°，‎ ‎∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，‎ ‎∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，‎ ‎∴CE=OC=2，‎ ‎∴CD=2CE=4．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．‎ ‎　‎ ‎2．（2015•黄冈中学自主招生）如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（　　）‎ A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣‎ ‎【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有 ‎【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即﹣1=．‎ ‎【解答】解：如图：‎ 正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①‎ 两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②‎ ‎②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（2014•泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎【考点】垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】‎ PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．‎ ‎【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，‎ ‎∵⊙P的圆心坐标是（3，a），‎ ‎∴OC=3，PC=a，‎ 把x=3代入y=x得y=3，‎ ‎∴D点坐标为（3，3），‎ ‎∴CD=3，‎ ‎∴△OCD为等腰直角三角形，‎ ‎∴△PED也为等腰直角三角形，‎ ‎∵PE⊥AB，‎ ‎∴AE=BE=AB=×4=2，‎ 在Rt△PBE中，PB=3，‎ ‎∴PE=，‎ ‎∴PD=PE=，‎ ‎∴a=3+．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．‎ ‎　‎ ‎4．（2014•天津）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（　　）‎ A．20° B．25° C．40° D．50°‎ ‎【考点】切线的性质；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有 ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．‎ ‎【解答】解：如图，连接OA，‎ ‎∵AC是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAC=90°，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠B=∠OAB=25°，‎ ‎∴∠AOC=50°，‎ ‎∴∠C=40°．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．‎ ‎　‎ ‎5．（2015•黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（　　）‎ A．3 B．8 C． D．2‎ ‎【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；射影定理．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】若连接CD、AC，则根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，求得AC=CD；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE=AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．‎ ‎【解答】解：连接CA、CD；‎ 根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，‎ 又∵所对的圆周角是∠CBA，‎ ‎∵∠CBD=∠CBA，‎ ‎∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）；‎ ‎∴△CAD是等腰三角形；‎ 过C作CE⊥AB于E．‎ ‎∵AD=4，则AE=DE=2；‎ ‎∴BE=BD+DE=7；‎ 在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：‎ BC2=BE•AB=7×9=63；‎ 故BC=3．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（2015•兰州）如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（　　）‎ A．80° B．90° C．100° D．无法确定 ‎【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．菁优网版权所有 ‎【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．‎ ‎【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，‎ ‎∴∠AOB=∠ACB，‎ ‎∵∠AOB=90°，‎ ‎∴∠ACB=90°．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．‎ ‎　‎ ‎7．（2014•义乌市）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（　　）‎ A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：‎ ‎【考点】正多边形和圆；勾股定理．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．‎ ‎【解答】解：如图1，连接OD，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，‎ ‎∵∠AOB=45°，‎ ‎∴OB=AB=1，‎ 由勾股定理得：OD==，‎ ‎∴扇形的面积是=π；‎ 如图2，连接MB、MC，‎ ‎∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BMC=90°，MB=MC，‎ ‎∴∠MCB=∠MBC=45°，‎ ‎∵BC=1，‎ ‎∴MC=MB=，‎ ‎∴⊙M的面积是π×（）2=π，‎ ‎∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（π）=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．‎ ‎　‎ ‎8．（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）‎ A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm ‎【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有 ‎【专题】分类讨论．‎ ‎【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．‎ ‎【解答】解：连接AC，AO，‎ ‎∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，‎ ‎∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，‎ 当C点位置如图1所示时，‎ ‎∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，‎ ‎∴OM===3cm，‎ ‎∴CM=OC+OM=5+3=8cm，‎ ‎∴AC===4cm；‎ 当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，‎ ‎∵OC=5cm，‎ ‎∴MC=5﹣3=2cm，‎ 在Rt△AMC中，AC===2cm．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（2014•武汉）如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．菁优网版权所有 ‎【专题】几何图形问题；压轴题．‎ ‎【分析】（1）连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．‎ ‎【解答】解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．‎ ‎∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E ‎∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，‎ ‎∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，‎ ‎∴PA=PB=．‎ 在Rt△PBF和Rt△OAF中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△PBF∽Rt△OAF．‎ ‎∴===，‎ ‎∴AF=FB，‎ 在Rt△FBP中，‎ ‎∵PF2﹣PB2=FB2‎ ‎∴（PA+AF）2﹣PB2=FB2‎ ‎∴（r+BF）2﹣（）2=BF2，‎ 解得BF=r，‎ ‎∴tan∠APB===，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．‎ ‎　‎ ‎10．（2015•大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　）‎ A． cm B．9 cm C．cm D．cm ‎【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD=OC，设AD=a，则OD=a，由勾股定理求出OA=OB=OE=a，求出EF=FC=4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：‎ 连接OA、OB、OE，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°，‎ ‎∵在Rt△ADO和Rt△BCO中 ‎∵，‎ ‎∴Rt△ADO≌Rt△BCO，‎ ‎∴OD=OC，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD=DC，‎ 设AD=acm，则OD=OC=DC=AD=acm，‎ 在△AOD中，由勾股定理得：OA=OB=OE=acm，‎ ‎∵小正方形EFCG的面积为16cm2，‎ ‎∴EF=FC=4cm，‎ 在△OFE中，由勾股定理得：=42+，‎ 解得：a=﹣4（舍去），a=8，‎ a=4（cm），‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想．‎ ‎　‎ ‎11．（2014•济南）如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】垂径定理；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有 ‎【分析】连接BD、OC，根据矩形的性质得∠BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD=2；由ABC为等边三角形得∠A=60°，于是利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，易得∠CBD=30°，在Rt△BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD=BD=1，BC=CD=，然后根据矩形的面积公式求解．‎ ‎【解答】解：连结BD、OC，如图，‎ ‎∵四边形BCDE为矩形，‎ ‎∴∠BCD=90°，‎ ‎∴BD为⊙O的直径，‎ ‎∴BD=2，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠A=60°，‎ ‎∴∠BOC=2∠A=120°，‎ 而OB=OC，‎ ‎∴∠CBD=30°，‎ 在Rt△BCD中，CD=BD=1，BC=CD=，‎ ‎∴矩形BCDE的面积=BC•CD=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质．‎ ‎　‎ ‎12．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．‎ ‎【解答】解：∵CE=2，DE=8，‎ ‎∴OB=5，‎ ‎∴OE=3，‎ ‎∵AB⊥CD，‎ ‎∴在△OBE中，得BE=4，‎ ‎∴AB=2BE=8．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎13．（2015•酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（　　）‎ A．80° B．160° C．100° D．80°或100°‎ ‎【考点】圆周角定理．菁优网版权所有 ‎【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．‎ ‎【解答】解：如图，∵∠AOC=160°，‎ ‎∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，‎ ‎∵∠ABC+∠AB′C=180°，‎ ‎∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．‎ ‎∴∠ABC的度数是：80°或100°．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．‎ ‎　‎ ‎14．（2014•贵港）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（　　）‎ A．51° B．56° C．68° D．78°‎ ‎【考点】圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有 ‎【专题】数形结合．‎ ‎【分析】由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．‎ ‎【解答】解：如图，∵==，∠COD=34°，‎ ‎∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，‎ ‎∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．‎ 又∵OA=OE，‎ ‎∴∠AEO=∠OAE，‎ ‎∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎15．（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）‎ A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有 ‎【分析】此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB≥8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8≤AB≤10．‎ ‎【解答】解：当AB与小圆相切，‎ ‎∵大圆半径为5，小圆的半径为3，‎ ‎∴AB=2=8．‎ ‎∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，‎ ‎∴8≤AB≤10．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长．‎ ‎　‎ ‎16．（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（　　）‎ A．直径相等的两个圆是等圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆中最长的弦是直径 D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧 ‎【考点】圆的认识．菁优网版权所有 ‎【分析】利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；‎ ‎【解答】解：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；‎ B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；‎ C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；‎ D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的定义及性质是解答本题的关键．‎ ‎　‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎17．（2014•张家界）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为　　．‎ ‎【考点】垂径定理；轴对称的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值 ‎【解答】解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．‎ 根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，‎ ‎∴OE===3，‎ OF===4，‎ ‎∴CH=OE+OF=3+4=7，‎ BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，‎ 在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，‎ 则PA+PC的最小值为．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（2014•扬州）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=　50°　．‎ ‎【考点】圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有 ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE=25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．‎ ‎【解答】解：如图，连接BE．‎ ‎∵BC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠CEB=∠AEB=90°，‎ ‎∵∠A=65°，‎ ‎∴∠ABE=25°，‎ ‎∴∠DOE=2∠ABE=50°，（圆周角定理）‎ 故答案为：50°．‎ ‎【点评】本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大．‎ ‎　‎ ‎19．（2014•陕西）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是　4　．‎ ‎【考点】垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．‎ ‎【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，‎ ‎∵∠AMB=45°，‎ ‎∴∠AOB=2∠AMB=90°，‎ ‎∴△OAB为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=OA=2，‎ ‎∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，‎ ‎∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，‎ 即M点运动到D点，N点运动到E点，‎ 此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．‎ ‎　‎ ‎20．（2014•南通）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=　60　度．‎ ‎【考点】圆周角定理；平行四边形的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后由三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．‎ ‎【解答】解：连接DO并延长，‎ ‎∵四边形OABC为平行四边形，‎ ‎∴∠B=∠AOC，‎ ‎∵∠AOC=2∠ADC，‎ ‎∴∠B=2∠ADC，‎ ‎∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠B+∠ADC=180°，‎ ‎∴3∠ADC=180°，‎ ‎∴∠ADC=60°，‎ ‎∴∠B=∠AOC=120°，‎ ‎∵∠1=∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，‎ ‎∴∠OAD+∠OCD=（∠1+∠2）﹣（∠ADO+∠CDO）=∠AOC﹣∠ADC=120°﹣60°=60°．‎ 故答案为：60．‎ ‎【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行四边形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．‎ ‎　‎ ‎21．（2015•甘南州）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是　6　．‎ ‎【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．‎ ‎【解答】解：连接AO，‎ ‎∵半径是5，CD=1，‎ ‎∴OD=5﹣1=4，‎ 根据勾股定理，‎ AD===3，‎ ‎∴AB=3×2=6，‎ 因此弦AB的长是6．‎ ‎【点评】解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO，这是解题的关键．‎ ‎　‎ 三．解答题（共9小题）‎ ‎22．（2014•南通）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．‎ ‎（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；‎ ‎（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．‎ ‎【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．菁优网版权所有 ‎【专题】几何综合题．‎ ‎【分析】（1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；‎ ‎（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；‎ ‎【解答】解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，‎ ‎∴CE=DE=8，‎ 设OB=x，‎ 又∵BE=4，‎ ‎∴x2=（x﹣4）2+82，‎ 解得：x=10，‎ ‎∴⊙O的直径是20．‎ ‎（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，‎ ‎∴∠D=∠BOD，‎ ‎∵AB⊥CD，‎ ‎∴∠D=30°．‎ ‎【点评】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．‎ ‎　‎ ‎23．（2014•天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．‎ ‎（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；‎ ‎（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．‎ ‎【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有 ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；‎ ‎（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠CAB=∠BDC=90°．‎ ‎∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，‎ ‎∴由勾股定理得到：AC===8．‎ ‎∵AD平分∠CAB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CD=BD．‎ 在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，‎ ‎∴易求BD=CD=5；‎ ‎（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．‎ ‎∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，‎ ‎∴∠DAB=∠CAB=30°，‎ ‎∴∠DOB=2∠DAB=60°．‎ 又∵OB=OD，‎ ‎∴△OBD是等边三角形，‎ ‎∴BD=OB=OD．‎ ‎∵⊙O的直径为10，则OB=5，‎ ‎∴BD=5．‎ ‎【点评】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．‎ ‎　‎ ‎24．（2014•厦门）已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．‎ ‎（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；‎ ‎（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．‎ ‎【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．菁优网版权所有 ‎【专题】几何综合题；压轴题．‎ ‎【分析】（1）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；‎ ‎（2）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．根据直径所对的圆周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，则BF∥AC，根据平行弦所夹的弧相等，得弧CF=弧AB，则CF=AB．根据勾股定理即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，‎ ‎∴AC、BD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠DAB=∠ABC=90°，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形，‎ ‎∵AD=CD，‎ ‎∴四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD；‎ ‎（2）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．‎ ‎∵DF是直径，‎ ‎∴∠DCF=∠DBF=90°，‎ ‎∴FB⊥DB，‎ 又∵AC⊥BD，‎ ‎∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD=90°，‎ ‎∵∠FCA+∠ACD=90°‎ ‎∴∠BDC=∠FCA=∠BAC ‎∴等腰梯形ACFB ‎∴CF=AB．‎ 根据勾股定理，得 CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20，‎ ‎∴DF=，‎ ‎∴OD=，即⊙O的半径为．‎ ‎【点评】此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、等弧对等弦以及勾股定理．学会作辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（2014•无锡）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．‎ ‎（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；‎ ‎（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．‎ ‎【考点】圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有 ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；‎ ‎（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ 又∵OD∥BC，‎ ‎∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，‎ ‎∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠DAO=∠ADO===55°‎ ‎∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；‎ ‎（2）在直角△ABC中，BC===．‎ ‎∵OE⊥AC，‎ ‎∴AE=EC，‎ 又∵OA=OB，‎ ‎∴OE=BC=．‎ 又∵OD=AB=2，‎ ‎∴DE=OD﹣OE=2﹣．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．‎ ‎　‎ ‎26．（2014•大庆）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．‎ ‎（1）求证：CB∥PD；‎ ‎（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．‎ ‎【考点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算．菁优网版权所有 ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】（1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代换得出∠C=∠D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD；‎ ‎（2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根据邻补角定义求出∠AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，‎ ‎∴∠C=∠D，‎ ‎∴CB∥PD；‎ ‎（2）连结OC，OD．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，‎ ‎∴=，‎ ‎∵∠PBC=∠DCB=22.5°，‎ ‎∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，‎ ‎∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，‎ ‎∴劣弧AC的长为：=．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中．（2）中求出∠AOC=135°是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎27．（2014•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．‎ ‎（1）求证：AD=CD；‎ ‎（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．‎ ‎【考点】圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．菁优网版权所有 ‎【专题】几何综合题．‎ ‎【分析】（1）由AB为直径，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；‎ ‎（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理，证得∠DBC=∠DAE，则可求得答案．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵OD∥BC，‎ ‎∴∠AEO=∠ACB=90°，‎ ‎∴OD⊥AC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AD=CD；‎ ‎（2）解：∵AB=10，‎ ‎∴OA=OD=AB=5，‎ ‎∵OD∥BC，‎ ‎∴∠AOE=∠ABC，‎ 在Rt△AEO中，‎ OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3，‎ ‎∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，‎ ‎∴AE===4，‎ 在Rt△AED中，‎ tan∠DAE===，‎ ‎∵∠DBC=∠DAE，‎ ‎∴tan∠DBC=．‎ ‎【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎28．（2014•湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．‎ ‎（1）求证：AC=BD；‎ ‎（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．‎ ‎【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有 ‎【专题】几何综合题．‎ ‎【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；‎ ‎（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，‎ 则CE=DE，AE=BE，‎ ‎∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；‎ ‎（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，‎ ‎∴OE=6，‎ ‎∴CE===2，AE===8，‎ ‎∴AC=AE﹣CE=8﹣2．‎ ‎【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎29．（2015•泰安模拟）如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F．‎ ‎（1）求证：DF为⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE=，AB=，求AE的长．‎ ‎【考点】切线的判定；勾股定理．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；证明题．‎ ‎【分析】（1）连接AD，OD，则∠ADB=90°，AD⊥BC；又因为AB=AC，所以BD=DC，OA=OB，OD∥AC，易证DF⊥OD，故DF为⊙O的切线；‎ ‎（2）连接BE交OD于G，由于AC=AB，AD⊥BCED⊥BD，故∠EAD=∠BAD，=，ED=BD，OE=OB；‎ 故OD垂直平分EB，EG=BG，因为AO=BO，所以OG=AE，在Rt△DGB和Rt△OGB中，BD2﹣DG2=BO2﹣OG2，代入数值即可求出AE的值．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AD，OD；‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ 即AD⊥BC；‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴BD=DC．‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴OD∥AC．‎ ‎∵DF⊥AC，‎ ‎∴DF⊥OD．‎ ‎∴∠ODF=∠DFA=90°，‎ ‎∴DF为⊙O的切线．‎ ‎（2）解：连接BE交OD于G；‎ ‎∵AC=AB，AD⊥BC，ED=BD，‎ ‎∴∠EAD=∠BAD．‎ ‎∴．‎ ‎∴ED=BD，OE=OB．‎ ‎∴OD垂直平分EB．‎ ‎∴EG=BG．‎ 又AO=BO，‎ ‎∴OG=AE．‎ 在Rt△DGB和Rt△OGB中，‎ BD2﹣DG2=BO2﹣OG2‎ ‎∴（）2﹣（﹣OG）2=BO2﹣OG2‎ 解得：OG=．‎ ‎∴AE=2OG=．‎ ‎【点评】本题比较复杂，涉及到切线的判定定理及勾股定理，等腰三角形的性质，具有很强的综合性．‎ ‎　‎ ‎30．（2014•三明）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．‎ ‎（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；‎ ‎（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，‎ ‎①AE与OD的大小有什么关系？为什么？‎ ‎②求∠ODC的度数．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【专题】几何综合题．‎ ‎【分析】（1）连接OC，因为CD是⊙O的切线，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD，即可求得．‎ ‎（2）连接OE，‎ ‎①证明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；‎ ‎②利用等腰三角形及平行线的性质，可求得∠ODC的度数．‎ ‎【解答】解：（1）如图①，连接OC，‎ ‎∵OC=OA，CD=OA，‎ ‎∴OC=CD，‎ ‎∴∠ODC=∠COD，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OCD=90°，‎ ‎∴∠ODC=45°；‎ ‎（2）如图②，连接OE．‎ ‎∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，‎ ‎∴∠1=∠2，∠3=∠4．‎ ‎∵AE∥OC，‎ ‎∴∠2=∠3．‎ 设∠ODC=∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x．‎ ‎∴∠AOE=∠OCD=180°﹣2x．‎ ‎①AE=OD．理由如下：‎ 在△AOE与△OCD中，‎ ‎∴△AOE≌△OCD（SAS），‎ ‎∴AE=OD．‎ ‎②∠6=∠1+∠2=2x．‎ ‎∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．‎ ‎∵AE∥OC，‎ ‎∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，‎ ‎∴x=36°．‎ ‎∴∠ODC=36°．‎ ‎【点评】本题考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎