深圳中考数学二模真题含答案

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深圳中考数学二模真题含答案

‎2016年广东省深圳市南山区中考数学二模试卷 ‎ ‎ 一、选择题:本题有12小题,每题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上.‎ ‎1.﹣5的倒数是(  )‎ A. B. C.﹣5D.5‎ ‎2.人工智能AlphaGo因在人机大战中大胜韩国围棋手李世石九段而声名显赫.它具有自我对弈学习能力,决战前已做了两千万局的训练(等同于一个人近千年的训练量).此处“两千万”用科学记数法表示为(  )‎ A.0.2×107B.2×107C.0.2×108D.2×108‎ ‎3.方程x2﹣4x+4=0的根的情况是(  )‎ A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根 C.没有实数根D.有两个不相等的实数根 ‎4.如图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体,则这个几何体的俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.下列等式成立的是(  )‎ A.(a+4)(a﹣4)=a2﹣4B.2a2﹣3a=﹣aC.a6÷a3=a2D.(a2)3=a6‎ ‎6.如图,已知△ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图,l1∥l2,l3⊥l4,∠1=42°,那么∠2的度数为(  )‎ A.48°B.42°C.38°D.21°‎ ‎8.关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数,则m的取值范围是(  )‎ A.m≥2B.m≤2C.m>2D.m<2‎ ‎9.如图,已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A(3,2),与x轴交于点B(2,0),若y1<y2,则x的取值范围是(  )‎ A.0<x<2B.0<x<3C.2<x<3D.x<0或x>3‎ ‎10.如图,一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米,太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°,则AB的长为(  )‎ A.米B.米C.米D.米 ‎11.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ADE,此时点C恰好在线段DE上,若∠B=40°,∠CAE=60°,则∠DAC的度数为(  )‎ A.15°B.20°C.25°D.30°‎ ‎12.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,AD平分∠BAC,则点B到AD的距离是(  )‎ A.3B.4C.2D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题分,共12分,把答案填在答题卡上 ‎13.某校在进行“阳光体育活动”中,统计了7位原来偏胖的学生的情况,他们的体重分别降低了5,9,3,10,6,8,5(单位:kg),则这组数据的中位数是      .‎ ‎14.分解因式:2x2y﹣8y=      .‎ ‎15.在一次数学测试中,某班50名学生的成绩分为六组,第一组到第四组的频数分别为6,8,9,12,第五组的频率是0.2,则第六组的频数是      .‎ ‎16.已知点A、B分别在反比例函数y=(x>0),y=﹣(x>0)的图象上,且OA⊥OB,则tanB为      .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题有七题,其中第17题6分、第18题6分、第19题7分、第20题8分、第21题8分、第22题8分、第23题9分,共52分)解答应写出文字说明或演算步骤.‎ ‎17.计算:﹣2﹣1+(﹣π)0﹣|﹣2|﹣2cos30°.‎ ‎18.解不等式组并求它的整数解.‎ ‎19.为贯彻政府报告中“大众创业、万众创新”的精神,某镇对辖区内所有的小微企业按年利润w(万元)的多少分为以下四个类型:A类(w<10),B类(10≤w<20),C类(20≤w<30),D类(w≥30),该镇政府对辖区内所有小微企业的相关信息进行统计后,绘制成以下条形统计图和扇形统计图,请你结合图中信息解答下列问题:‎ ‎(1)该镇本次统计的小微企业总个数是      ,扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数为      度,请补全条形统计图;‎ ‎(2)为了进一步解决小微企业在发展中的问题,该镇政府准备召开一次座谈会,每个企业派一名代表参会.计划从D类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言,D类企业的4个参会代表中有2个来自高新区,另2个来自开发区.请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率.‎ ‎20.【阅读发现】如图①,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ABE和ADF,连结ED与FC交于点M,则图中△ADE≌△DFC,可知ED=FC,求得∠DMC=      .‎ ‎【拓展应用】如图②,在矩形ABCD(AB>BC)的外侧,作两个等边三角形ABE和ADF,连结ED与FC交于点M.‎ ‎(1)求证:ED=FC.‎ ‎(2)若∠ADE=20°,求∠DMC的度数.‎ ‎21.某中学在百货商场购进了A、B两种品牌的篮球,购买A品牌蓝球花费了2400元,购买B品牌蓝球花费了1950元,且购买A品牌蓝球数量是购买B品牌蓝球数量的2倍,已知购买一个B品牌蓝球比购买一个A品牌蓝球多花50元.‎ ‎(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的蓝球各需多少元?‎ ‎(2)该学校决定再次购进A、B两种品牌蓝球共30个,恰逢百货商场对两种品牌蓝球的售价进行调整,A品牌蓝球售价比第一次购买时提高了10%,B品牌蓝球按第一次购买时售价的9折出售,如果这所中学此次购买A、B两种品牌蓝球的总费用不超过3200元,那么该学校此次最多可购买多少个B品牌蓝球?‎ ‎22.如图,⊙O中,点A为中点,BD为直径,过A作AP∥BC交DB的延长线于点P.‎ ‎(1)求证:PA是⊙O的切线;‎ ‎(2)若,AB=6,求sin∠ABD的值.‎ ‎23.如图,平面直角坐标系中,O为菱形ABCD的对称中心,已知C(2,0),D(0,﹣1),N为线段CD上一点(不与C、D重合).‎ ‎(1)求以C为顶点,且经过点D的抛物线解析式;‎ ‎(2)设N关于BD的对称点为N1,N关于BC的对称点为N2,求证:△N1BN2∽△ABC;‎ ‎(3)求(2)中N1N2的最小值;‎ ‎(4)过点N作y轴的平行线交(1)中的抛物线于点P,点Q为直线AB上的一个动点,且∠PQA=∠BAC,求当PQ最小时点Q坐标.‎ ‎ ‎ ‎2016年广东省深圳市南山区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本题有12小题,每题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上.‎ ‎1.﹣5的倒数是(  )‎ A. B. C.﹣5D.5‎ ‎【考点】倒数.‎ ‎【分析】根据倒数的定义进行解答即可.‎ ‎【解答】解:∵(﹣5)×(﹣)=1,‎ ‎∴﹣5的倒数是﹣.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.人工智能AlphaGo因在人机大战中大胜韩国围棋手李世石九段而声名显赫.它具有自我对弈学习能力,决战前已做了两千万局的训练(等同于一个人近千年的训练量).此处“两千万”用科学记数法表示为(  )‎ A.0.2×107B.2×107C.0.2×108D.2×108‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数.‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:将“两千万”用科学记数法表示为:2×107,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎3.方程x2﹣4x+4=0的根的情况是(  )‎ A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根 C.没有实数根D.有两个不相等的实数根 ‎【考点】根的判别式.‎ ‎【分析】先求一元二次方程的判别式,由△与0的大小关系来判断方程根的情况.‎ ‎【解答】解:∵a=1,b=﹣4,c=4,‎ ‎∴△=b2﹣4ac=16﹣16=0,‎ ‎∴一元二次方程有两个相等的实数根.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎4.如图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体,则这个几何体的俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单组合体的三视图.‎ ‎【分析】找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.‎ ‎【解答】解:从上面看易得左边第一列有2个正方形,中间第二列最有2个正方形,最右边一列有1个正方形在右上角处.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎5.下列等式成立的是(  )‎ A.(a+4)(a﹣4)=a2﹣4B.2a2﹣3a=﹣aC.a6÷a3=a2D.(a2)3=a6‎ ‎【考点】平方差公式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法.‎ ‎【分析】A、原式利用平方差公式化简得到结果,即可作出判断;‎ B、原式不能合并,错误;‎ C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果,即可作出判断;‎ D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果,即可作出判断.‎ ‎【解答】解:A、原式=a2﹣16,不成立;‎ B、原式不能合并,不成立;‎ C、原式=a3,不成立;‎ D、原式=a6,成立.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎6.如图,已知△ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】作图—复杂作图.‎ ‎【分析】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB,根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上,于是可判断D选项正确.‎ ‎【解答】解:∵PB+PC=BC,‎ 而PA+PC=BC,‎ ‎∴PA=PB,‎ ‎∴点P在AB的垂直平分线上,‎ 即点P为AB的垂直平分线与BC的交点.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎7.如图,l1∥l2,l3⊥l4,∠1=42°,那么∠2的度数为(  )‎ A.48°B.42°C.38°D.21°‎ ‎【考点】直角三角形的性质;平行线的性质.‎ ‎【分析】先根据两直线平行,同位角相等求出∠3,再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠2.‎ ‎【解答】解:如图,∵l1∥l2,∠1=42°,‎ ‎∴∠3=∠1=42°,‎ ‎∵l3⊥l4,‎ ‎∴∠2=90°﹣∠3=48°.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎8.关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数,则m的取值范围是(  )‎ A.m≥2B.m≤2C.m>2D.m<2‎ ‎【考点】解一元一次不等式;一元一次方程的解.‎ ‎【分析】根据题意可得x>0,将x化成关于m的一元一次方程,然后根据x的取值范围即可求出m的取值范围.‎ ‎【解答】解:由mx﹣1=2x,‎ 移项、合并,得(m﹣2)x=1,‎ ‎∴x=.‎ ‎∵方程mx﹣1=2x的解为正实数,‎ ‎∴>0,‎ 解得m>2.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎9.如图,已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A(3,2),与x轴交于点B(2,0),若y1<y2,则x的取值范围是(  )‎ A.0<x<2B.0<x<3C.2<x<3D.x<0或x>3‎ ‎【考点】二次函数与不等式(组).‎ ‎【分析】直接利用已知函数图象得出y1在y2下方时,x的取值范围即可.‎ ‎【解答】解:如图所示:若y1<y2,则二次函数图象在一次函数图象的下面,‎ 此时x的取值范围是:0<x<3.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米,太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°,则AB的长为(  )‎ A.米B.米C.米D.米 ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.‎ ‎【分析】依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°的正切值联立求解.‎ ‎【解答】解:设直线AB与CD的交点为点O.‎ ‎∴.‎ ‎∴AB=.‎ ‎∵∠ACD=60°.‎ ‎∴∠BDO=60°.‎ 在Rt△BDO中,tan60°=.‎ ‎∵CD=1.‎ ‎∴AB=.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎11.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ADE,此时点C恰好在线段DE上,若∠B=40°,∠CAE=60°,则∠DAC的度数为(  )‎ A.15°B.20°C.25°D.30°‎ ‎【考点】旋转的性质.‎ ‎【分析】由旋转的性质得出△ADE≌△ABC,得出∠D=∠B=40°,AE=AC,证出△ACE是等边三角形,得出∠ACE=∠E=60°,由三角形内角和定理求出∠DAE的度数,即可得出结果.‎ ‎【解答】解:由旋转的性质得:△ADE≌△ABC,‎ ‎∴∠D=∠B=40°,AE=AC,‎ ‎∵∠CAE=60°,‎ ‎∴△ACE是等边三角形,‎ ‎∴∠ACE=∠E=60°,‎ ‎∴∠DAE=180°﹣∠E﹣∠D=80DU ‎===80°,‎ ‎∴∠DAC=∠DAE﹣∠CAE=80°﹣60°=20°;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,AD平分∠BAC,则点B到AD的距离是(  )‎ A.3B.4C.2D.‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质;角平分线的性质.‎ ‎【分析】过点D作DE⊥AB交AB于E,设CD=x,则BD=8﹣x,根据角平分线的性质得到,求得CD=3,求得S△ABD=AB•DE=3=15,由勾股定理得到AD==3,根据三角形的面积公式即可得到结论.‎ ‎【解答】解:过点D作DE⊥AB交AB于E,‎ 设CD=x,则BD=8﹣x,‎ ‎∵AD平分∠BAC,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴x=3,‎ ‎∴CD=3,‎ ‎∴S△ABD=AB•DE=3=15,‎ ‎∵AD==3,‎ 设BD到AD的距离是h,‎ ‎∴S△ABD=AD•h,‎ ‎∴h=2.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题分,共12分,把答案填在答题卡上 ‎13.某校在进行“阳光体育活动”中,统计了7位原来偏胖的学生的情况,他们的体重分别降低了5,9,3,10,6,8,5(单位:kg),则这组数据的中位数是 6 .‎ ‎【考点】中位数.‎ ‎【分析】求中位数可将一组数据从小到大依次排列,中间数据(或中间两数据的平均数)即为所求.‎ ‎【解答】解:数据按从小到大排列后为3,5,5,6,8,9,10,‎ 故这组数据的中位数是6.‎ 故答案为:6.‎ ‎ ‎ ‎14.分解因式:2x2y﹣8y= 2y(x+2)(x﹣2) .‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用.‎ ‎【分析】先提取公因式2y,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.‎ ‎【解答】解:2x2y﹣8y,‎ ‎=2y(x2﹣4),‎ ‎=2y(x+2)(x﹣2).‎ 故答案为:2y(x+2)(x﹣2).‎ ‎ ‎ ‎15.在一次数学测试中,某班50名学生的成绩分为六组,第一组到第四组的频数分别为6,8,9,12,第五组的频率是0.2,则第六组的频数是 5 .‎ ‎【考点】频数与频率.‎ ‎【分析】一个容量为50的样本,把它分成6组,第一组到第四组的频数分别为6,8,9,12,根据第五组的频率是0.2,求出第五组的频数,用样本容量减去前五组的频数,得到第六组的频数.‎ ‎【解答】解:∵一个容量为50的样本,‎ 把它分成6组,‎ 第一组到第四组的频数分别为6,8,9,12,‎ 第五组的频率是0.2,则第五组的频数是0.2×50=10,‎ ‎∴第六组的频数是50﹣6﹣8﹣9﹣10﹣12=5.‎ 故答案为:5.‎ ‎ ‎ ‎16.已知点A、B分别在反比例函数y=(x>0),y=﹣(x>0)的图象上,且OA⊥OB,则tanB为 frac{1}{2} .‎ ‎【考点】反比例函数综合题.‎ ‎【分析】过A作AC垂直于y轴,过B作BD垂直于y轴,利用垂直的定义可得出一对直角相等,再由OA与OB垂直,利用平角的定义得到一对角互余,在直角三角形AOC中,两锐角互余,利用同角的余角相等得到一对角相等,利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AOC与三角形OBD相似,利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积,得出面积比,利用面积比等于相似比的平方求出相似比,即为OA与OB的比值,在直角三角形AOB中,利用锐角三角函数定义即可求出tan∠ABO的值.‎ ‎【解答】解:过A作AC⊥y轴,过B作BD⊥y轴,可得∠ACO=∠BDO=90°,‎ ‎∴∠AOC+∠OAC=90°,‎ ‎∵OA⊥OB,‎ ‎∴∠AOC+∠BOD=90°,‎ ‎∴∠OAC=∠BOD,‎ ‎∴△AOC∽△OBD,‎ ‎∵点A、B分别在反比例函数y=(x>0),y=﹣(x>0)的图象上,‎ ‎∴S△AOC=1,S△OBD=4,‎ ‎∴S△AOC:S△OBD=1:4,即OA:OB=1:2,‎ 则在Rt△AOB中,tan∠ABO=.‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题有七题,其中第17题6分、第18题6分、第19题7分、第20题8分、第21题8分、第22题8分、第23题9分,共52分)解答应写出文字说明或演算步骤.‎ ‎17.计算:﹣2﹣1+(﹣π)0﹣|﹣2|﹣2cos30°.‎ ‎【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值分别计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可.‎ ‎【解答】解:原式=﹣+1﹣(2﹣)﹣2×‎ ‎=﹣+1﹣2+﹣‎ ‎=﹣.‎ ‎ ‎ ‎18.解不等式组并求它的整数解.‎ ‎【考点】一元一次不等式组的整数解;解一元一次不等式组.‎ ‎【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分确定出不等式组的解集,确定出整数解即可.‎ ‎【解答】解:,‎ 由①得:x<8,‎ 由②得:x≥6,‎ ‎∴不等式组的解集为6≤x<8,‎ 则不等式组的整数解为6,7.‎ ‎ ‎ ‎19.为贯彻政府报告中“大众创业、万众创新”的精神,某镇对辖区内所有的小微企业按年利润w(万元)的多少分为以下四个类型:A类(w<10),B类(10≤w<20),C类(20≤w<30),D类(w≥30),该镇政府对辖区内所有小微企业的相关信息进行统计后,绘制成以下条形统计图和扇形统计图,请你结合图中信息解答下列问题:‎ ‎(1)该镇本次统计的小微企业总个数是 25个 ,扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数为 72 度,请补全条形统计图;‎ ‎(2)为了进一步解决小微企业在发展中的问题,该镇政府准备召开一次座谈会,每个企业派一名代表参会.计划从D类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言,D类企业的4个参会代表中有2个来自高新区,另2个来自开发区.请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率.‎ ‎【考点】列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图.‎ ‎【分析】(1)用D类小企业的数量除以它所占的百分比即可得到调查的总数,再用B类所占的百分比乘以360度得到B类所对应扇形圆心角的度数,然后计算A类小企业的数量,再补全条形统计图;‎ ‎(2)2个来自高新区的企业用A、B表示,2个来自开发区的企业用a、b表示,利用树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出所抽取的2个发言代表都来自高新区的结果数,然后根据概率公式求解.‎ ‎【解答】解:(1)该镇本次统计的小微企业总个数为4÷16%=25(个);‎ 扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数=×360°=72°‎ A类小微企业个数为25﹣5﹣14﹣=2(个),‎ ‎ 补全条形统计图为:‎ 故答案为25个,72;‎ ‎(2)2个来自高新区的企业用A、B表示,2个来自开发区的企业用a、b表示,‎ 画树状图为:‎ 共有12种等可能的结果数,其中所抽取的2个发言代表都来自高新区的结果数为2,‎ 所以所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率==.‎ ‎ ‎ ‎20.【阅读发现】如图①,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ABE和ADF,连结ED与FC交于点M,则图中△ADE≌△DFC,可知ED=FC,求得∠DMC= 90° .‎ ‎【拓展应用】如图②,在矩形ABCD(AB>BC)的外侧,作两个等边三角形ABE和ADF,连结ED与FC交于点M.‎ ‎(1)求证:ED=FC.‎ ‎(2)若∠ADE=20°,求∠DMC的度数.‎ ‎【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的性质.‎ ‎【分析】阅读发现:只要证明∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°,即可证明.‎ 拓展应用:(1)欲证明ED=FC,只要证明△ADE≌△DFC即可.‎ ‎(2)根据∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC即可计算.‎ ‎【解答】解:如图①中,∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AD=AB=CD,∠ADC=90°,‎ ‎∵△ADE≌△DFC,‎ ‎∴DF=CD=AE=AD,‎ ‎∵∠FDC=60°+90°=150°,‎ ‎∴∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°,‎ ‎∴∠FDE=60°+15°=75°,‎ ‎∴∠MFD+∠FDM=90°,‎ ‎∴∠FMD=90°,‎ 故答案为90°‎ ‎(1)∵△ABE为等边三角形,‎ ‎∴∠EAB=60°,EA=AB.‎ ‎∵△ADF为等边三角形,‎ ‎∴∠FDA=60°,AD=FD.‎ ‎∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴∠BAD=∠ADC=90°,DC=AB.‎ ‎∴EA=DC.‎ ‎∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=150°,∠CDF=∠FDA+∠ADC=150°,‎ ‎∴∠EAD=∠CDF.‎ 在△EAD和△CDF中,‎ ‎,‎ ‎∴△EAD≌△CDF.‎ ‎∴ED=FC;‎ ‎(2)∵△EAD≌△CDF,‎ ‎∴∠ADE=∠DFC=20°,‎ ‎∴∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC=60°+20°+20°=100°.‎ ‎ ‎ ‎21.某中学在百货商场购进了A、B两种品牌的篮球,购买A品牌蓝球花费了2400元,购买B品牌蓝球花费了1950元,且购买A品牌蓝球数量是购买B品牌蓝球数量的2倍,已知购买一个B品牌蓝球比购买一个A品牌蓝球多花50元.‎ ‎(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的蓝球各需多少元?‎ ‎(2)该学校决定再次购进A、B两种品牌蓝球共30个,恰逢百货商场对两种品牌蓝球的售价进行调整,A品牌蓝球售价比第一次购买时提高了10%,B品牌蓝球按第一次购买时售价的9折出售,如果这所中学此次购买A、B两种品牌蓝球的总费用不超过3200元,那么该学校此次最多可购买多少个B品牌蓝球?‎ ‎【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用.‎ ‎【分析】(1)设购买一个A品牌的篮球需x元,则购买一个B品牌的篮球需(x+50)元,根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可;‎ ‎(2)设此次可购买a个B品牌篮球,则购进A品牌篮球(30﹣a)个,根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3200元,列出不等式解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)设购买一个A品牌的篮球需x元,则购买一个B品牌的篮球需(x+50)元,由题意得 ‎=×2,‎ 解得:x=80,‎ 经检验x=80是原方程的解,‎ x+50=130.‎ 答:购买一个A品牌的篮球需80元,购买一个B品牌的篮球需130元.‎ ‎(2)设此次可购买a个B品牌篮球,则购进A品牌篮球(30﹣a)个,由题意得 ‎80×(1+10%)(30﹣a)+130×0.9a≤3200,‎ 解得a≤19,‎ ‎∵a是整数,‎ ‎∴a最大等于19,‎ 答:该学校此次最多可购买19个B品牌蓝球.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,⊙O中,点A为中点,BD为直径,过A作AP∥BC交DB的延长线于点P.‎ ‎(1)求证:PA是⊙O的切线;‎ ‎(2)若,AB=6,求sin∠ABD的值.‎ ‎【考点】切线的判定.‎ ‎【分析】(1)根据垂径定理得出AO⊥BC,进而根据平行线的性质得出AP⊥AO,即可证得结论;‎ ‎(2)根据垂径定理得出BE=2,在RT△ABE中,利用锐角三角函数关系得出sin∠BAO=,再根据等腰三角形的性质得出∠ABD=∠BAO,即可求得求sin∠ABD=sin∠BAO=.‎ ‎【解答】(1)证明:连结AO,交BC于点E.‎ ‎∵点A是的中点 ‎∴AO⊥BC,‎ 又∵AP∥BC,‎ ‎∴AP⊥AO,‎ ‎∴AP是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:∵AO⊥BC,,‎ ‎∴,‎ 又∵AB=6‎ ‎∴,‎ ‎∵OA=OB ‎∴∠ABD=∠BAO,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎23.如图,平面直角坐标系中,O为菱形ABCD的对称中心,已知C(2,0),D(0,﹣1),N为线段CD上一点(不与C、D重合).‎ ‎(1)求以C为顶点,且经过点D的抛物线解析式;‎ ‎(2)设N关于BD的对称点为N1,N关于BC的对称点为N2,求证:△N1BN2∽△ABC;‎ ‎(3)求(2)中N1N2的最小值;‎ ‎(4)过点N作y轴的平行线交(1)中的抛物线于点P,点Q为直线AB上的一个动点,且∠PQA=∠BAC,求当PQ最小时点Q坐标.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)用待定系数法求,即可;‎ ‎(2)由对称的特点得出∠N1BN2=2∠DBC结合菱形的性质即可;‎ ‎(3)先判定出,当BN⊥CD时,BN最短,再利用△ABC∽△N1BN2得到比例式,求解,即可;‎ ‎(4)先建立PE=m2﹣m+2函数解析式,根据抛物线的特点确定出最小值.‎ ‎【解答】解:(1)由已知,设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2‎ 把D(0,﹣1)代入,得a=﹣‎ ‎∴y=﹣(x﹣2)2‎ ‎(2)如图1,连结BN.‎ ‎∵N1,N2是N的对称点 ‎∴BN1=BN2=BN,∠N1BD=∠NBD,∠NBC=∠N2BC ‎∴∠N1BN2=2∠DBC ‎∵四边形ABCD是菱形 ‎∴AB=BC,∠ABC=2∠DBC ‎∴∠ABC=∠N1BN2,‎ ‎∴△ABC∽△N1BN2‎ ‎(3)∵点N是CD上的动点,‎ ‎∴点到直线的距离,垂线段最短,‎ ‎∴当BN⊥CD时,BN最短.‎ ‎∵C(2,0),D(0,﹣1)‎ ‎∴CD=,‎ ‎∴BNmin==,‎ ‎∴BN1min=BNmin=,‎ ‎∵△ABC∽△N1BN2‎ ‎∴,‎ N1N2min=,‎ ‎(4)如图2,‎ 过点P作PE⊥x轴,交AB于点E.‎ ‎∵∠PQA=∠BAC ‎∴PQ1∥AC ‎∵菱形ABCD中,C(2,0),D(0,﹣1)‎ ‎∴A(﹣2,0),B(0,1)‎ ‎∴lAB:Y=x+1‎ 不妨设P(m,﹣(m﹣2)2),则E(m, m+1)‎ ‎∴PE=m2﹣m+2‎ ‎∴当m=1时,‎ 此时,PQ1最小,最小值为=,‎ ‎∴PQ1=PQ2=.‎ ‎ ‎ ‎2016年7月13日
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