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文档介绍
全国各地中考数学压轴题精选解析版
2012年全国各地中考数学压轴题精选(解析版1--20) 1.(2012•菏泽)如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O. (1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式; (2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍?若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出四边形PB′A′B的两条性质. 解题思路: (1)利用旋转的性质得出A′(﹣1,0),B′(0,2),再利用待定系数法求二次函数解析式即可; (2)利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,得出一元二次方程,得出P点坐标即可; (3)利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形,利用等腰梯形性质得出答案即可. 解答: 解:(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的, 又A(0,1),B(2,0),O(0,0), ∴A′(﹣1,0),B′(0,2).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分) 设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c(a≠0), ∵抛物线经过点A′、B′、B, ∴, 解得:, ∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分) (2)∵P为第一象限内抛物线上的一动点, 设P(x,y),则x>0,y>0,P点坐标满足y=﹣x2+x+2. 连接PB,PO,PB′, ∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB, =×1×2+×2×x+×2×y, =x+(﹣x2+x+2)+1, =﹣x2+2x+3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分) 假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,则 4=﹣x2+2x+3, 即x2﹣2x+1=0, 解得:x1=x2=1, 此时y=﹣12+1+2=2,即P(1,2).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分) ∴存在点P(1,2),使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分) (3)四边形PB′A′B为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意2个均可. ①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等; ③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分) 或用符号表示: ①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′;②PA′=B′B;③B′P∥A′B;④B′A′=PB.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分) 2.(2012•宁波)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴于C(0,﹣2),过A,C画直线. (1)求二次函数的解析式; (2)点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长; (3)点M在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H. ①若M在y轴右侧,且△CHM∽△AOC(点C与点A对应),求点M的坐标; ②若⊙M的半径为,求点M的坐标. 解题思路: (1)根据与x轴的两个交点A、B的坐标,利设出两点法解析式,然后把点C的坐标代入计算求出a的值,即可得到二次函数解析式; (2)设OP=x,然后表示出PC、PA的长度,在Rt△POC中,利用勾股定理列式,然后解方程即可; (3)①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO,然后分(i)点H在点C下方时,利用同位角相等,两直线平行判定CM∥x轴,从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同,是﹣2,代入抛物线解析式计算即可;(ii)点H在点C上方时,根据(2)的结论,点M为直线PC与抛物线的另一交点,求出直线PC的解析式,与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标; ②在x轴上取一点D,过点D作DE⊥AC于点E,可以证明△AED和△AOC相似,根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度,然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度,从而得到点D的坐标,再作直线DM∥AC,然后求出直线DM的解析式,与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标. 解答: 解:(1)设该二次函数的解析式为:y=a(x+1)(x﹣2), 将x=0,y=﹣2代入,得﹣2=a(0+1)(0﹣2), 解得a=1, ∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣2), 即y=x2﹣x﹣2; (2)设OP=x,则PC=PA=x+1, 在Rt△POC中,由勾股定理,得x2+22=(x+1)2, 解得,x=, 即OP=; (3)①∵△CHM∽△AOC, ∴∠MCH=∠CAO, (i)如图1,当H在点C下方时, ∵∠MCH=∠CAO, ∴CM∥x轴, ∴yM=﹣2, ∴x2﹣x﹣2=﹣2, 解得x1=0(舍去),x2=1, ∴M(1,﹣2), (ii)如图1,当H在点C上方时, ∵∠MCH=∠CAO, ∴PA=PC,由(2)得,M为直线CP与抛物线的另一交点, 设直线CM的解析式为y=kx﹣2, 把P(,0)的坐标代入,得k﹣2=0, 解得k=, ∴y=x﹣2, 由x﹣2=x2﹣x﹣2, 解得x1=0(舍去),x2=, 此时y=×﹣2=, ∴M′(,), ②在x轴上取一点D,如图(备用图),过点D作DE⊥AC于点E,使DE=, 在Rt△AOC中,AC===, ∵∠COA=∠DEA=90°,∠OAC=∠EAD, ∴△AED∽△AOC, ∴=, 即=, 解得AD=2, ∴D(1,0)或D(﹣3,0). 过点D作DM∥AC,交抛物线于M,如图(备用图) 则直线DM的解析式为:y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6, 当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时,即x2+x+4=0,方程无实数根, 当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时,即x2+x﹣4=0,解得x1=,x2=, ∴点M的坐标为(,3+)或(,3﹣). 3.(2012•福州)如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标; (3)如图2,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应). 解题思路: (1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可; (2)根据已知条件可求出OB的解析式为y=x,则向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x﹣m.由于抛物线与直线只有一个公共点,意味着联立解析式后得到的一元二次方程,其根的判别式等于0,由此可求出m的值和D点坐标; (3)综合利用几何变换和相似关系求解. 方法一:翻折变换,将△NOB沿x轴翻折; 方法二:旋转变换,将△NOB绕原点顺时针旋转90°. 特别注意求出P点坐标之后,该点关于直线y=﹣x的对称点也满足题意,即满足题意的P点有两个,避免漏解. 解答: 解:(1)∵抛物线y=y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4) ∴,解得: ∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x. (2)设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(4,4), 得:4=4k1,解得:k1=1 ∴直线OB的解析式为y=x, ∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x﹣m, ∵点D在抛物线y=x2﹣3x上, ∴可设D(x,x2﹣3x), 又点D在直线y=x﹣m上, ∴x2﹣3x=x﹣m,即x2﹣4x+m=0, ∵抛物线与直线只有一个公共点, ∴△=16﹣4m=0, 解得:m=4, 此时x1=x2=2,y=x2﹣3x=﹣2, ∴D点的坐标为(2,﹣2). (3)∵直线OB的解析式为y=x,且A(3,0), ∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是(0,3), 设直线A′B的解析式为y=k2x+3,过点(4,4), ∴4k2+3=4,解得:k2=, ∴直线A′B的解析式是y=, ∵∠NBO=∠ABO, ∴点N在直线A′B上, ∴设点N(n,),又点N在抛物线y=x2﹣3x上, ∴=n2﹣3n, 解得:n1=﹣,n2=4(不合题意,舍去) ∴N点的坐标为(﹣,). 方法一: 如图1,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1, 则N1(,),B1(4,﹣4), ∴O、D、B1都在直线y=﹣x上. ∵△P1OD∽△NOB, ∴△P1OD∽△N1OB1, ∴, ∴点P1的坐标为(,). 将△OP1D沿直线y=﹣x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,), 综上所述,点P的坐标是(,)或(,). 方法二: 如图2,将△NOB绕原点顺时针旋转90°,得到△N2OB2, 则N2(,),B2(4,﹣4), ∴O、D、B1都在直线y=﹣x上. ∵△P1OD∽△NOB, ∴△P1OD∽△N2OB2, ∴, ∴点P1的坐标为(,). 将△OP1D沿直线y=﹣x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,), 综上所述,点P的坐标是(,)或(,). 4.(2012•临沂)如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置. (1)求点B的坐标; (2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式; (3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由. 解题思路: (1)首先根据OA的旋转条件确定B点位置,然后过B做x轴的垂线,通过构建直角三角形和OB的长(即OA长)确定B点的坐标. (2)已知O、A、B三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式. (3)根据(2)的抛物线解析式,可得到抛物线的对称轴,然后先设出P点的坐标,而O、B坐标已知,可先表示出△OPB三边的边长表达式,然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论,然后分辨是否存在符合条件的P点. 解答: 解:(1)如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°, ∵∠AOB=120°, ∴∠BOC=60°, 又∵OA=OB=4, ∴OC=OB=×4=2,BC=OB•sin60°=4×=2, ∴点B的坐标为(﹣2,﹣2); (2)∵抛物线过原点O和点A、B, ∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx, 将A(4,0),B(﹣2.﹣2)代入,得 , 解得, ∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x (3)存在, 如图,抛物线的对称轴是x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y), ①若OB=OP, 则22+|y|2=42, 解得y=±2, 当y=2时,在Rt△POD中,∠PDO=90°,sin∠POD==, ∴∠POD=60°, ∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°, 即P、O、B三点在同一直线上, ∴y=2不符合题意,舍去, ∴点P的坐标为(2,﹣2) ②若OB=PB,则42+|y+2|2=42, 解得y=﹣2, 故点P的坐标为(2,﹣2), ③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+2|2, 解得y=﹣2, 故点P的坐标为(2,﹣2), 综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,﹣2), 5.(2012•烟台)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E. (1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少? (3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值. 解题思路: (1)根据矩形的性质可以写出点A得到坐标;由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a(x﹣1)2+4,然后将点C的坐标代入,即可求得系数a的值(利用待定系数法求抛物线的解析式); (2)利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6;由图形与坐标变换可以求得点P的坐标(1,4﹣t),据此可以求得点E的纵坐标,将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标;然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4﹣、点A到GE的距离为,C到GE的距离为2﹣ ;最后根据三角形的面积公式可以求得 S△ACG=S△AEG+S△CEG=﹣(t﹣2)2+1,由二次函数的最值可以解得t=2时,S△ACG的最大值为1; (3)因为菱形是邻边相等的平行四边形,所以点H在直线EF上. 解答: 解:(1)A(1,4).…(1分) 由题意知,可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+4 ∵抛物线过点C(3,0), ∴0=a(3﹣1)2+4, 解得,a=﹣1, ∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3.…(2分) (2)∵A(1,4),C(3,0), ∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6. ∵点P(1,4﹣t).…(3分) ∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+.…(4分) ∴点G的横坐标为1+,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4﹣. ∴GE=(4﹣)﹣(4﹣t)=t﹣.…(5分) 又点A到GE的距离为,C到GE的距离为2﹣, 即S△ACG=S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG(2﹣) =•2(t﹣)=﹣(t﹣2)2+1.…(7分) 当t=2时,S△ACG的最大值为1.…(8分) (3)t=或t=20﹣8.…(12分) (说明:每值各占(2分),多出的值未舍去,每个扣1分) 6.(2012•义乌市)如图1,已知直线y=kx与抛物线y=交于点A(3,6). (1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度; (2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由; (3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个? 解题思路: (1)利用待定系数法求出直线y=kx的解析式,根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度; (2)如答图1,过点Q作QG⊥y轴于点G,QH⊥x轴于点H,构造相似三角形△QHM与△QGN,将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比,即为定值.需要注意讨论点的位置不同时,这个结论依然成立; (3)由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD,可以得到△ABE∽△OED.设OE=x,则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式(),这是一个二次函数.借助此二次函数图象(如答图3),可见m在不同取值范围时,x的取值(即OE的长度,或E点的位置)有1个或2个.这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题. 另外,在相似三角形△ABE与△OED中,运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度.如答图2,可以通过构造相似三角形,或者利用一次函数(直线)的性质求得AB的长度. 解答: 解:(1)把点A(3,6)代入y=kx 得; ∵6=3k, ∴k=2, ∴y=2x.(2分) OA=.…(3分) (2)是一个定值,理由如下: 如答图1,过点Q作QG⊥y轴于点G,QH⊥x轴于点H. ①当QH与QM重合时,显然QG与QN重合, 此时; ②当QH与QM不重合时, ∵QN⊥QM,QG⊥QH 不妨设点H,G分别在x、y轴的正半轴上, ∴∠MQH=∠GQN, 又∵∠QHM=∠QGN=90° ∴△QHM∽△QGN…(5分), ∴, 当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时,同理可得. …(7分)①① (3)如答图2,延长AB交x轴于点F,过点F作FC⊥OA于点C,过点A作AR⊥x轴于点R ∵∠AOD=∠BAE, ∴AF=OF, ∴OC=AC=OA= ∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC, ∴△AOR∽△FOC, ∴, ∴OF=, ∴点F(,0), 设点B(x,), 过点B作BK⊥AR于点K,则△AKB∽△ARF, ∴, 即, 解得x1=6,x2=3(舍去), ∴点B(6,2), ∴BK=6﹣3=3,AK=6﹣2=4, ∴AB=5 …(8分); (求AB也可采用下面的方法) 设直线AF为y=kx+b(k≠0)把点A(3,6),点F(,0)代入得 k=,b=10, ∴, ∴, ∴(舍去),, ∴B(6,2), ∴AB=5…(8分) (其它方法求出AB的长酌情给分) 在△ABE与△OED中 ∵∠BAE=∠BED, ∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB, ∴∠ABE=∠DEO, ∵∠BAE=∠EOD, ∴△ABE∽△OED.…(9分) 设OE=x,则AE=﹣x (), 由△ABE∽△OED得, ∴ ∴()…(10分) ∴顶点为(,) 如答图3,当时,OE=x=,此时E点有1个; 当时,任取一个m的值都对应着两个x值,此时E点有2个. ∴当时,E点只有1个…(11分) 当时,E点有2个…(12分). 7.(2012•益阳)已知:如图1,在面积为3的正方形ABCD中,E、F分别是BC和CD边上的两点,AE⊥BF于点G,且BE=1. (1)求证:△ABE≌△BCF; (2)求出△ABE和△BCF重叠部分(即△BEG)的面积; (3)现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′(如图2),使点E落在CD边上的点E′处,问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由. 解题思路: (1)由四边形ABCD是正方形,可得∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC,又由AE⊥BF,由同角的余角相等,即可证得∠BAE=∠CBF,然后利用ASA,即可判定:△ABE≌△BCF; (2)由正方形ABCD的面积等于3,即可求得此正方形的边长,由在△BGE与△ABE中,∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90°,可证得△BGE∽△ABE,由相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得答案; (3)首先由正切函数,求得∠BAE=30°,易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,可得AB′与AE在同一直线上,即BF与AB′的交点是G,然后设BF与AE′的交点为H,可证得△BAG≌△HAG,继而证得结论. 解答: (1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC, ∴∠ABF+∠CBF=90°, ∵AE⊥BF, ∴∠ABF+∠BAE=90°, ∴∠BAE=∠CBF, 在△ABE和△BCF中, ∴△ABE≌△BCF.…(4分) (2)解:∵正方形面积为3, ∴AB=,…(5分) 在△BGE与△ABE中, ∵∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90°, ∴△BGE∽△ABE,…(7分) ∴, 又∵BE=1, ∴AE2=AB2+BE2=3+1=4, ∴S△BGE=×S△ABE==.…(8分) (3)解:没有变化. …(9分) 理由:∵AB=,BE=1, ∴tan∠BAE==,∠BAE=30°,…(10分) ∵AB′=AD,∠AB′E′=∠ADE'=90°,AE′公共, ∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′, ∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°, ∴AB′与AE在同一直线上,即BF与AB′的交点是G, 设BF与AE′的交点为H, 则∠BAG=∠HAG=30°,而∠AGB=∠AGH=90°,AG公共, ∴△BAG≌△HAG,…(11分) ∴S四边形GHE′B′=S△AB′E′﹣S△AGH=S△ABE﹣S△ABG=S△BGE. ∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化.…(12分) 8.(2012•丽水)在△ABC中,∠ABC=45°,tan∠ACB=.如图,把△ABC的一边BC放置在x轴上,有OB=14,OC=,AC与y轴交于点E. (1)求AC所在直线的函数解析式; (2)过点O作OG⊥AC,垂足为G,求△OEG的面积; (3)已知点F(10,0),在△ABC的边上取两点P,Q,是否存在以O,P,Q为顶点的三角形与△OFP全等,且这两个三角形在OP的异侧?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 解题思路: (1)根据三角函数求E点坐标,运用待定系数法求解; (2)在Rt△OGE中,运用三角函数和勾股定理求EG,OG的长度,再计算面积; (3)分两种情况讨论求解:①点Q在AC上;②点Q在AB上.求直线OP与直线AC的交点坐标即可. 解答: 解:(1)在Rt△OCE中,OE=OCtan∠OCE==,∴点E(0,2). 设直线AC的函数解析式为y=kx+,有,解得:k=. ∴直线AC的函数解析式为y=. (2)在Rt△OGE中,tan∠EOG=tan∠OCE==, 设EG=3t,OG=5t,OE==t,∴,得t=2, 故EG=6,OG=10, ∴S△OEG=. (3)存在. ①当点Q在AC上时,点Q即为点G, 如图1,作∠FOQ的角平分线交CE于点P1, 由△OP1F≌△OP1Q,则有P1F⊥x轴,由于点P1在直线AC上,当x=10时, y=﹣=, ∴点P1(10,). ②当点Q在AB上时, 如图2,有OQ=OF,作∠FOQ的角平分线交CE于点P2, 过点Q作QH⊥OB于点H,设OH=a, 则BH=QH=14﹣a, 在Rt△OQH中,a2+(14﹣a)2=100, 解得:a1=6,a2=8, ∴Q(﹣6,8)或Q(﹣8,6). 连接QF交OP2于点M. 当Q(﹣6,8)时,则点M(2,4). 当Q(﹣8,6)时,则点M(1,3). 设直线OP2的解析式为y=kx,则 2k=4,k=2. ∴y=2x. 解方程组,得. ∴P2(); 当Q(﹣8,6)时,则点M(1,3), 同理可求P2′(),P3(); 如图,有QP4∥OF,QP4=OF=10,点P4在E点, 设P4的横坐标为x,则点Q的横坐标为x﹣10, ∵yQ=yP,直线AB的函数解析式为y=x+14, ∴(x﹣10)+14=﹣x+2, 解得:x=,可得:y=, ∴点P4(,), 当Q在BC边上时,如图,OQ=OF=10,点P5在E点, ∴P5(0,2), 综上所述,满足条件的P点坐标为(10,)或()或()或(,)或(0,2). 9.(2012•广州)如图,抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C. (1)求点A、B的坐标; (2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标; (3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式. 解题思路: (1)A、B点为抛物线与x轴交点,令y=0,解一元二次方程即可. (2)根据题意求出△ACD中AC边上的高,设为h.在坐标平面内,作AC的平行线,平行线之间的距离等于h.根据等底等高面积相等,可知平行线与坐标轴的交点即为所求的D点. 从一次函数的观点来看,这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成.因此先求出直线AC的解析式,再求出平移距离,即可求得所作平行线的解析式,从而求得D点坐标. 注意:这样的平行线有两条,如答图1所示. (3)本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义. 因为过A、B点作x轴的垂线,其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形,这样已经有符合题意的两个直角三角形;第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑,以AB为直径作圆,当直线与圆相切时,根据圆周角定理,切点与A、B点构成直角三角形.从而问题得解. 注意:这样的切线有两条,如答图2所示. 解答: 解:(1)令y=0,即=0, 解得x1=﹣4,x2=2, ∴A、B点的坐标为A(﹣4,0)、B(2,0). (2)S△ACB=AB•OC=9, 在Rt△AOC中,AC===5, 设△ACD中AC边上的高为h,则有AC•h=9,解得h=. 如答图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到AC的距离=h=,这样的直线有2条,分别是l1和l2,则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D. 设l1交y轴于E,过C作CF⊥l1于F,则CF=h=, ∴CE==. 设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(﹣4,0),C(0,3)坐标代入, 得到,解得, ∴直线AC解析式为y=x+3. 直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位(个长度单位)而形成的, ∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣. 则D1的纵坐标为×(﹣1)﹣=,∴D1(﹣1,). 同理,直线AC向上平移个长度单位得到l2,可求得D2(﹣1,) 综上所述,D点坐标为:D1(﹣1,),D2(﹣1,). (3)如答图2,以AB为直径作⊙F,圆心为F.过E点作⊙F的切线,这样的切线有2条. 连接FM,过M作MN⊥x轴于点N. ∵A(﹣4,0),B(2,0),∴F(﹣1,0),⊙F半径FM=FB=3. 又FE=5,则在Rt△MEF中, ME==4,sin∠MFE=,cos∠MFE=. 在Rt△FMN中,MN=MF•sin∠MFE=3×=, FN=MF•cos∠MFE=3×=,则ON=, ∴M点坐标为(,) 直线l过M(,),E(4,0), 设直线l的解析式为y=kx+b,则有 ,解得, 所以直线l的解析式为y=x+3. 同理,可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3. 综上所述,直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3. 10.(2012•杭州)如图,AE切⊙O于点E,AT交⊙O于点M,N,线段OE交AT于点C,OB⊥AT于点B,已知∠EAT=30°,AE=3,MN=2. (1)求∠COB的度数; (2)求⊙O的半径R; (3)点F在⊙O上(是劣弧),且EF=5,把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗?请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△OBC的周长之比. 解题思路: (1)由AE与圆O相切,根据切线的性质得到AE与CE垂直,又OB与AT垂直,可得出两直角相等,再由一对对顶角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似,根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等,由∠A的度数即可求出所求角的度数; (2)在直角三角形AEC中,由AE及tanA的值,利用锐角三角函数定义求出CE的长,再由OB垂直于MN,由垂径定理得到B为MN的中点,根据MN的长求出MB的长,在直角三角形OBM中,由半径OM=R,及MB的长,利用勾股定理表示出OB的长,在直角三角形OBC中,由表示出OB及cos30°的值,利用锐角三角函数定义表示出OC,用OE﹣OC=EC列出关于R的方程,求出方程的解得到半径R的值; (3)把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有6个,如图所示,每小图2个,顶点在圆上的三角形,延长EO与圆交于点D,连接DF,由第二问求出半径,的长直径ED的长,根据ED为直径,利用直径所对的圆周角为直角,得到三角形EFD为直角三角形,由∠FDE为30°,利用锐角三角函数定义求出DF的长,表示出三角形EFD的周长,再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长,即可求出两三角形的周长之比. 解答: 解:(1)∵AE切⊙O于点E, ∴AE⊥CE,又OB⊥AT, ∴∠AEC=∠CBO=90°, 又∠BCO=∠ACE, ∴△AEC∽△OBC,又∠A=30°, ∴∠COB=∠A=30°; (2)∵AE=3,∠A=30°, ∴在Rt△AEC中,tanA=tan30°=,即EC=AEtan30°=3, ∵OB⊥MN,∴B为MN的中点,又MN=2, ∴MB=MN=, 连接OM,在△MOB中,OM=R,MB=, ∴OB==, 在△COB中,∠BOC=30°, ∵cos∠BOC=cos30°==, ∴BO=OC, ∴OC=OB=, 又OC+EC=OM=R, ∴R=+3, 整理得:R2+18R﹣115=0,即(R+23)(R﹣5)=0, 解得:R=﹣23(舍去)或R=5, 则R=5; (3)在EF同一侧,△COB经过平移、旋转和相似变换后,这样的三角形有6个, 如图,每小图2个,顶点在圆上的三角形,如图所示: 延长EO交圆O于点D,连接DF,如图所示, ∵EF=5,直径ED=10,可得出∠FDE=30°, ∴FD=5, 则C△EFD=5+10+5=15+5, 由(2)可得C△COB=3+, ∴C△EFD:C△COB=(15+5):(3+)=5:1. 11.(2012•重庆)已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为BC边上一点,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧. (1)当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时,求BE的长; (2)将(1)问中的正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG,当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B′EFG的边EF与AC交于点M,连接B′D,B′M,DM,是否存在这样的t,使△B′DM是直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由; (3)在(2)问的平移过程中,设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围. 解题思路: (1)首先设正方形BEFG的边长为x,易得△AGF∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得BE的长; (2)首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理,求得B′M,DM与B′D的平方,然后分别从若∠DB′M=90°,则DM2=B′M2+B′D2,若∠DB′M=90°,则DM2=B′M2+B′D2,若∠B′DM=90°,则B′M2=B′D2+DM2去分析,即可得到方程,解方程即可求得答案; (3)分别从当0≤t≤时,当<t≤2时,当2<t≤时,当<t≤4时去分析求解即可求得答案. 解答: 解:(1)如图①, 设正方形BEFG的边长为x, 则BE=FG=BG=x, ∵AB=3,BC=6, ∴AG=AB﹣BG=3﹣x, ∵GF∥BE, ∴△AGF∽△ABC, ∴, 即, 解得:x=2, 即BE=2; (2)存在满足条件的t, 理由:如图②,过点D作DH⊥BC于H, 则BH=AD=2,DH=AB=3, 由题意得:BB′=HE=t,HB′=|t﹣2|,EC=4﹣t, ∵EF∥AB, ∴△MEC∽△ABC, ∴,即, ∴ME=2﹣t, 在Rt△B′ME中,B′M2=ME2+B′E2=22+(2﹣t)2=t2﹣2t+8, 在Rt△DHB′中,B′D2=DH2+B′H2=32+(t﹣2)2=t2﹣4t+13, 过点M作MN⊥DH于N, 则MN=HE=t,NH=ME=2﹣t, ∴DN=DH﹣NH=3﹣(2﹣t)=t+1, 在Rt△DMN中,DM2=DN2+MN2=t2+t+1, (Ⅰ)若∠DB′M=90°,则DM2=B′M2+B′D2, 即t2+t+1=(t2﹣2t+8)+(t2﹣4t+13), 解得:t=, (Ⅱ)若∠B′MD=90°,则B′D2=B′M2+DM2, 即t2﹣4t+13=(t2﹣2t+8)+(t2+t+1), 解得:t1=﹣3+,t2=﹣3﹣(舍去), ∴t=﹣3+; (Ⅲ)若∠B′DM=90°,则B′M2=B′D2+DM2, 即:t2﹣2t+8=(t2﹣4t+13)+(t2+t+1), 此方程无解, 综上所述,当t=或﹣3+时,△B′DM是直角三角形; (3)①如图③,当F在CD上时,EF:DH=CE:CH, 即2:3=CE:4, ∴CE=, ∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=, ∵ME=2﹣t, ∴FM=t, 当0≤t≤时,S=S△FMN=×t×t=t2, ②当G在AC上时,t=2, ∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=(4﹣t)=3﹣t, ∴FK=2﹣EK=t﹣1, ∵NL=AD=, ∴FL=t﹣, ∴当<t≤2时,S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣(t﹣)(t﹣1)=﹣t2+t﹣; ③如图⑤,当G在CD上时,B′C:CH=B′G:DH, 即B′C:4=2:3, 解得:B′C=, ∴EC=4﹣t=B′C﹣2=, ∴t=, ∵B′N=B′C=(6﹣t)=3﹣t, ∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1, ∴当2<t≤时,S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×(t﹣1+t)﹣(t﹣)(t﹣1)=﹣t2+2t﹣, ④如图⑥,当<t≤4时, ∵B′L=B′C=(6﹣t),EK=EC=(4﹣t),B′N=B′C=(6﹣t)EM=EC=(4﹣t), S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+. 综上所述: 当0≤t≤时,S=t2, 当<t≤2时,S=﹣t2+t﹣; 当2<t≤时,S=﹣t2+2t﹣, 当<t≤4时,S=﹣t+. 12.(2012•泰安)如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为(1,0).若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上是否存在点P,使得∠PBO=∠POB?若存在,求出点P的坐标;若不存在说明理由; (3)若点M是抛物线(在第一象限内的部分)上一点,△MAB的面积为S,求S的最大(小)值. 解题思路: (1)利用待定系数法求抛物线的解析式.因为已知A(3,0),所以需要求得B点坐标.如答图1,连接OB,利用勾股定理求解; (2)由∠PBO=∠POB,可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上.如答图2,OB的垂直平分线与抛物线有两个交点,因此所求的P点有两个,注意不要漏解; (3)如答图3,作MH⊥x轴于点H,构造梯形MBOH与三角形MHA,求得△MAB面积的表达式,这个表达式是关于M点横坐标的二次函数,利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值. 解答: 解:(1)如答图1,连接OB. ∵BC=2,OC=1 ∴OB== ∴B(0,) 将A(3,0),B(0,)代入二次函数的表达式 得,解得, ∴y=﹣x2+x+. (2)存在. 如答图2,作线段OB的垂直平分线l,与抛物线的交点即为点P. ∵B(0,),O(0,0), ∴直线l的表达式为y=.代入抛物线的表达式, 得﹣x2+x+=; 解得x=1±, ∴P(1±,). (3)如答图3,作MH⊥x轴于点H. 设M(xm,ym), 则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=(MH+OB)•OH+HA•MH﹣OA•OB =(ym+)xm+(3﹣xm)ym﹣×3× =xm+ym﹣ ∵ym=﹣xm2+xm+, ∴S△MAB=xm+(﹣xm2+xm+)﹣ =xm2+xm =(xm﹣)2+ ∴当xm=时,S△MAB取得最大值,最大值为. 13.(2012•铜仁地区)如图已知:直线y=﹣x+3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点D的坐标为(﹣1,0),在直线y=﹣x+3上有一点P,使△ABO与△ADP相似,求出点P的坐标; (3)在(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点E,使△ADE的面积等于四边形APCE的面积?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由. 解题思路: (1)首先确定A、B、C三点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式; (2)△ABO为等腰直角三角形,若△ADP与之相似,则有两种情形,如答图1所示.利用相似三角形的性质分别求解,避免遗漏; (3)如答图2所示,分别计算△ADE的面积与四边形APCE的面积,得到面积的表达式.利用面积的相等关系得到一元二次方程,将点E是否存在的问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题,从而解决问题.需要注意根据(2)中P点的不同位置分别进行计算,在这两种情况下,一元二次方程的判别式均小于0,即所求的E点均不存在. 解答: 解:(1)由题意得,A(3,0),B(0,3) ∵抛物线经过A、B、C三点, ∴把A(3,0),B(0,3),C(1,0)三点分别代入y=ax2+bx+c, 得方程组…3分 解得: ∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3 …5分 (2)由题意可得:△ABO为等腰三角形,如答图1所示, 若△ABO∽△AP1D,则 ∴DP1=AD=4, ∴P1(﹣1,4)…7分 若△ABO∽△ADP2 ,过点P2作P2 M⊥x轴于M,AD=4, ∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形, 由三线合一可得:DM=AM=2=P2M,即点M与点C重合, ∴P2(1,2)…10分 (3)如答图2,设点E(x,y),则 S△ADE= ①当P1(﹣1,4)时, S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE==4+|y|…11分 ∴2|y|=4+|y|, ∴|y|=4 ∵点E在x轴下方, ∴y=﹣4,代入得:x2﹣4x+3=﹣4,即x2﹣4x+7=0, ∵△=(﹣4)2﹣4×7=﹣12<0 ∴此方程无解…12分 ②当P2(1,2)时, S四边形AP2CE=S△ACP2+S△ACE==2+|y|, ∴2|y|=2+|y|, ∴|y|=2 ∵点E在x轴下方, ∴y=﹣2,代入得:x2﹣4x+3=﹣2,即x2﹣4x+5=0, ∵△=(﹣4)2﹣4×5=﹣4<0 ∴此方程无解 综上所述,在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E.…14分 14.(2012•温州)如图,经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM⊥x轴于点M,交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合).连接CB,CP. (1)当m=3时,求点A的坐标及BC的长; (2)当m>1时,连接CA,问m为何值时CA⊥CP? (3)过点P作PE⊥PC且PE=PC,问是否存在m,使得点E落在坐标轴上?若存在,求出所有满足要求的m的值,并定出相对应的点E坐标;若不存在,请说明理由. 解题思路: (1)把m=3,代入抛物线的解析式,令y=0解方程,得到的非0解即为和x轴交点的横坐标,再求出抛物线的对称轴方程,进而求出BC的长; (2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)由已知得∠ACP=∠BCH=90°,利用已知条件证明△AGH∽△PCB,根据相似的性质得到:,再用含有m的代数式表示出BC,CH,BP,代入比例式即可求出m的值; (3)存在,本题要分当m>1时,BC=2(m﹣1),PM=m,BP=m﹣1和当0<m<1时,BC=2(1﹣m),PM=m,BP=1﹣m,两种情况分别讨论,再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标. 解答: 解:(1)当m=3时,y=﹣x2+6x 令y=0得﹣x2+6x=0 ∴x1=0,x2=6, ∴A(6,0) 当x=1时,y=5 ∴B(1,5) ∵抛物线y=﹣x2+6x的对称轴为直线x=3 又∵B,C关于对称轴对称 ∴BC=4. (2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1) 由已知得∠ACP=∠BCH=90° ∴∠ACH=∠PCB 又∵∠AHC=∠PBC=90° ∴△AGH∽△PCB, ∴, ∵抛物线y=﹣x2+2mx的对称轴为直线x=m,其中m>1, 又∵B,C关于对称轴对称, ∴BC=2(m﹣1), ∵B(1,2m﹣1),P(1,m), ∴BP=m﹣1, 又∵A(2m,0),C(2m﹣1,2m﹣1), ∴H(2m﹣1,0), ∴AH=1,CH=2m﹣1, ∴, ∴m=. (3)∵B,C不重合,∴m≠1, (I)当m>1时,BC=2(m﹣1),PM=m,BP=m﹣1, (i)若点E在x轴上(如图1), ∵∠CPE=90°, ∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°,PC=EP, ∴△BPC≌△MEP, ∴BC=PM, ∴2(m﹣1)=m, ∴m=2,此时点E的坐标是(2,0); (ii)若点E在y轴上(如图2), 过点P作PN⊥y轴于点N, 易证△BPC≌△NPE, ∴BP=NP=OM=1, ∴m﹣1=1, ∴m=2, 此时点E的坐标是(0,4); (II)当0<m<1时,BC=2(1﹣m),PM=m,BP=1﹣m, (i)若点E在x轴上(如图3), 易证△BPC≌△MEP, ∴BC=PM, ∴2(1﹣m)=m, ∴m=,此时点E的坐标是(,0); (ii)若点E在y轴上(如图4), 过点P作PN⊥y轴于点N, 易证△BPC≌△NPE, ∴BP=NP=OM=1, ∴1﹣m=1,∴m=0(舍去), 综上所述,当m=2时,点E的坐标是(0,2)或(0,4), 当m=时,点E的坐标是(,0). 15.(2012•成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数(m为常数)的图象与x轴交于点A(﹣3,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)经过A,C两点,并与x轴的正半轴交于点B. (1)求m的值及抛物线的函数表达式; (2)设E是y轴右侧抛物线上一点,过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积;若不存在,请说明理由; (3)若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点,过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1),M2(x2,y2)两点,试探究是否为定值,并写出探究过程. 解题思路: (1)首先求得m的值和直线的解析式,根据抛物线对称性得到B点坐标,根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式; (2)存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.如答图1所示,过点E作EG⊥x轴于点G,构造全等三角形,利用全等三角形和平行四边形的性质求得E点坐标和平行四边形的面积.注意:符合要求的E点有两个,如答图1所示,不要漏解; (3)本问较为复杂,如答图2所示,分几个步骤解决: 第1步:确定何时△ACP的周长最小.利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决; 第2步:确定P点坐标P(1,3),从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3﹣k; 第3步:利用根与系数关系求得M1、M2两点坐标间的关系,得到x1+x2=2﹣4k,x1x2=﹣4k﹣3.这一步是为了后续的复杂计算做准备; 第4步:利用两点间的距离公式,分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度,相互比较即可得到结论:=1为定值.这一步涉及大量的运算,注意不要出错,否则难以得出最后的结论. 解答: 解:(1)∵经过点(﹣3,0), ∴0=+m,解得m=, ∴直线解析式为,C(0,). ∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1,且与x轴交于A(﹣3,0),∴另一交点为B(5,0), 设抛物线解析式为y=a(x+3)(x﹣5), ∵抛物线经过C(0,), ∴=a•3(﹣5),解得a=, ∴抛物线解析式为y=x2+x+; (2)假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形, 则AC∥EF且AC=EF.如答图1, (i)当点E在点E位置时,过点E作EG⊥x轴于点G, ∵AC∥EF,∴∠CAO=∠EFG, 又∵,∴△CAO≌△EFG, ∴EG=CO=,即yE=, ∴=xE2+xE+,解得xE=2(xE=0与C点重合,舍去), ∴E(2,),S▱ACEF=; (ii)当点E在点E′位置时,过点E′作E′G′⊥x轴于点G′, 同理可求得E′(+1,),S▱ACE′F′=. (3)要使△ACP的周长最小,只需AP+CP最小即可. 如答图2,连接BC交x=1于P点,因为点A、B关于x=1对称,根据轴对称性质以及两点之间线段最短,可知此时AP+CP最小(AP+CP最小值为线段BC的长度). ∵B(5,0),C(0,),∴直线BC解析式为y=x+, ∵xP=1,∴yP=3,即P(1,3). 令经过点P(1,3)的直线为y=kx+3﹣k, ∵y=kx+3﹣k,y=x2+x+, 联立化简得:x2+(4k﹣2)x﹣4k﹣3=0, ∴x1+x2=2﹣4k,x1x2=﹣4k﹣3. ∵y1=kx1+3﹣k,y2=kx2+3﹣k,∴y1﹣y2=k(x1﹣x2). 根据两点间距离公式得到: M1M2==== ∴M1M2===4(1+k2). 又M1P===; 同理M2P= ∴M1P•M2P=(1+k2)•=(1+k2)•=(1+k2)•=4(1+k2). ∴M1P•M2P=M1M2, ∴=1为定值. 16.(2012•梅州)如图,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,2)、D(0,3),射线l过点D且与x轴平行,点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点,满足∠PQO=60°. (1)①点B的坐标是 (6,2) ;②∠CAO= 30 度;③当点Q与点A重合时,点P的坐标为 (3,3) ;(直接写出答案) (2)设OA的中心为N,PQ与线段AC相交于点M,是否存在点P,使△AMN为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的横坐标为m;若不存在,请说明理由. (3)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围. 解题思路: (1)①由四边形OABC是矩形,根据矩形的性质,即可求得点B的坐标;②由正切函数,即可求得∠CAO的度数,③由三角函数的性质,即可求得点P的坐标; (2)分别从MN=AN,AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案; (3)分别从当0≤x≤3时,当3<x≤5时,当5<x≤9时,当x>9时去分析求解即可求得答案. 解答: 解:(1)①∵四边形OABC是矩形, ∴AB=OC,OA=BC, ∵A(6,0)、C(0,2), ∴点B的坐标为:(6,2); ②∵tan∠CAO===, ∴∠CAO=30°; ③如下图:当点Q与点A重合时,过点P作PE⊥OA于E, ∵∠PQO=60°,D(0,3), ∴PE=3, ∴AE==3, ∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3, ∴点P的坐标为(3,3); 故答案为:①(6,2),②30,③(3,3); (2)情况①:MN=AN=3, 则∠AMN=∠MAN=30°, ∴∠MNO=60°, ∵∠PQO=60°, 即∠MQO=60°, ∴点N与Q重合, ∴点P与D重合, ∴此时m=0, 情况②,如图AM=AN,作MJ⊥x轴、PI⊥x轴; MJ=MQ•sin60°=AQ•sin60°=(OA﹣IQ﹣OI)•sin60°=(3﹣m)=AM=AN=, 可得(3﹣m)=, 解得:m=3﹣, 情况③AM=NM,此时M的横坐标是4.5, 过点P作PI⊥OA于I,过点M作MG⊥OA于G, ∴MG=, ∴QK===3,GQ==, ∴KG=3﹣0.5=2.5,AG=AN=1.5, ∴OK=2, ∴m=2, (3)当0≤x≤3时, 如图,OI=x,IQ=PI•tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x; 由题意可知直线l∥BC∥OA, 可得, EF=(3+x), 此时重叠部分是梯形,其面积为: S梯形=(EF+OQ)•OC=(3+x), 当3<x≤5时,S=S梯形﹣S△HAQ=S梯形﹣AH•AQ=(3+x)﹣(x﹣3)2, 当5<x≤9时,S=(BE+OA)•OC=(12﹣x), 当9<x时,S=OA•AH=. 17.(2012•株洲)如图,一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点. (1)求这个抛物线的解析式; (2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少? (3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标. 解题思路: (1)首先求得A、B点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式; (2)本问要点是求得线段MN的表达式,这个表达式是关于t的二次函数,利用二次函数的极值求线段MN的最大值; (3)本问要点是明确D点的可能位置有三种情形,如答图2所示,不要遗漏.其中D1、D2在y轴上,利用线段数量关系容易求得坐标;D3点在第一象限,是直线D1N和D2M的交点,利用直线解析式求得交点坐标. 解答: 解:(1)∵分别交y轴、x轴于A、B两点, ∴A、B点的坐标为:A(0,2),B(4,0)…(1分) 将x=0,y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2…(2分) 将x=4,y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2,解得b=, ∴抛物线解析式为:y=﹣x2+x+2…(3分) (2)如答图1,设MN交x轴于点E, 则E(t,0),BE=4﹣t. ∵tan∠ABO===, ∴ME=BE•tan∠ABO=(4﹣t)×=2﹣t. 又N点在抛物线上,且xN=t,∴yN=﹣t2+t+2, ∴MN=yN﹣ME=﹣t2+t+2﹣(2﹣t)=﹣t2+4t…(5分) ∴当t=2时,MN有最大值4…(6分) (3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5). 以A、M、N、D为顶点作平行四边形,D点的可能位置有三种情形,如答图2所示.…(7分) (i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a) 由AD=MN,得|a﹣2|=4,解得a1=6,a2=﹣2, 从而D为(0,6)或D(0,﹣2)…(8分) (ii)当D不在y轴上时,由图可知D为D1N与D2M的交点, 易得D1N的方程为y=x+6,D2M的方程为y=x﹣2, 由两方程联立解得D为(4,4)…(9分) 故所求的D点坐标为(0,6),(0,﹣2)或(4,4)…(10分) 18.(2012•南充)如图,⊙C的内接△AOB中,AB=AO=4,tan∠AOB=,抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0)与点(﹣2,6). (1)求抛物线的函数解析式; (2)直线m与⊙C相切于点A,交y轴于点D.动点P在线段OB上,从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动;点P的速度为每秒一个单位长,点Q的速度为每秒2个单位长,当PQ⊥AD时,求运动时间t的值; (3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上,当△ROB面积最大时,求点R的坐标. 解题思路: (1)根据抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0)与点(﹣2,6),利用待定系数法求抛物线解析式; (2)如答图1,由已知条件,可以计算出OD、AE等线段的长度.当PQ⊥AD时,过点O作OF⊥AD于点F,此时四边形OFQP、OFAE均为矩形.则在Rt△ODF中,利用勾股定理求出DF的长度,从而得到时间t的数值; (3)因为OB为定值,欲使△ROB面积最大,只需OB边上的高最大即可.按照这个思路解决本题. 如答图2,当直线l平行于OB,且与抛物线相切时,OB边上的高最大,从而△ROB的面积最大.联立直线l和抛物线的解析式,利用一元二次方程判别式等于0的结论可以求出R点的坐标. 解答: 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0)与点(﹣2,6), ∴,解得 ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣2x. (2)如答图1,连接AC交OB于点E,由垂径定理得AC⊥OB. ∵AD为切线,∴AC⊥AD,∴AD∥OB. ∵tan∠AOB=,∴sin∠AOB=, ∴AE=OA•sin∠AOB=4×=2.4, OD=OA•tan∠OAD=OA•tan∠AOB=4×=3. 当PQ⊥AD时,OP=t,DQ=2t. 过O点作OF⊥AD于F,则在Rt△ODF中, OD=3,OF=AE=2.4,DF=DQ﹣FQ=DQ﹣OP=2t﹣t=t, 由勾股定理得:DF===1.8, ∴t=1.8秒; (3)如答图3,设直线l平行于OB,且与抛物线有唯一交点R(相切), 此时△ROB中OB边上的高最大,所以此时△ROB面积最大. ∵tan∠AOB=,∴直线OB的解析式为y=x, 由直线l平行于OB,可设直线l解析式为y=x+b. ∵点R既在直线l上,又在抛物线上, ∴x2﹣2x=x+b,化简得:2x2﹣11x﹣4b=0. ∵直线l与抛物线有唯一交点R(相切), ∴判别式△=0,即112+32b=0,解得b=, 此时原方程的解为x=,即xR=, 而yR=xR2﹣2xR= ∴点R的坐标为R(,). 19.(2012•凉山州)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点,并与x轴交于另一点C(点C点A的右侧),点P是抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式及点C的坐标; (2)若点P在第二象限内,过点P作PD⊥轴于D,交AB于点E.当点P运动到什么位置时,线段PE最长?此时PE等于多少? (3)如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q,与直线AB交于点N,点M为OA的中点,那么是否存在这样的直线l,使得△MON是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 解题思路: (1)首先求得A、B点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式,并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标; (2)关键是求出线段PE长度的表达式,设D点横坐标为t,则可以将PE表示为关于t的二次函数,利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值; (3)根据等腰三角形的性质和勾股定理,将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题,通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在,并求出相应Q点的坐标.注意“△MON是等腰三角形”,其中包含三种情况,需要逐一讨论,不能漏解. 解答: 解:(1)∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴A(﹣4,0),B(0,4) 抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点,可得 ,解得, ∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4. 令y=0,得﹣x2﹣3x+4=0, 解得x1=﹣4,x2=1,∴C(1,0). (2)如答图1所示,设D(t,0). ∵OA=OB,∴∠BAO=45°, ∴E(t,t),P(t,﹣t2﹣3t+4). PE=yP﹣yE=﹣t2﹣3t+4﹣t=﹣t2﹣4t=﹣(t+2)2+4, ∴当t=﹣2时,线段PE的长度有最大值4,此时P(﹣2,6). (3)存在. 如答图2所示,过N点作NH⊥x轴于点H. 设OH=m(m>0),∵OA=OB,∴∠BAO=45°, ∴NH=AH=4﹣m,∴yQ=4﹣m. 又M为OA中点,∴MH=2﹣m. △MON为等腰三角形: ①若MN=ON,则H为底边OM的中点, ∴m=1,∴yQ=4﹣m=3. 由﹣xQ2﹣3xQ+4=3,解得xQ=, ∴点Q坐标为(,3)或(,3); ②若MN=OM=2,则在Rt△MNH中, 根据勾股定理得:MN2=NH2+MH2,即22=(4﹣m)2+(2﹣m)2, 化简得m2﹣6m+8=0,解得:m1=2,m2=4(不合题意,舍去) ∴yQ=2,由﹣xQ2﹣3xQ+4=2,解得xQ=, ∴点Q坐标为(,2)或(,2); ③若ON=OM=2,则在Rt△NOH中, 根据勾股定理得:ON2=NH2+OH2,即22=(4﹣m)2+m2, 化简得m2﹣4m+6=0,∵△=﹣8<0, ∴此时不存在这样的直线l,使得△MON为等腰三角形. 综上所述,存在这样的直线l,使得△MON为等腰三角形. 所求Q点的坐标为(,3)或(,3)或(,2)或(,2). 20.(2012•衢州)如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点. (1)求该抛物线的函数解析式; (2)点P为线段OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S.试探究S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由. 解题思路: (1)抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C,利用待定系数法求抛物线的解析式; (2)根据等腰梯形的性质,确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系,得到一元二次方程,求出t的值,从而可解.结论:存在点P(,),使得四边形ABPM为等腰梯形; (3)本问关键是求得重叠部分面积S的表达式,然后利用二次函数的极值求得S的最大值.解答中提供了三种求解面积S表达式的方法,殊途同归,可仔细体味. 解答: 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C, 可得c=0,∴, 解得a=,b=, ∴抛物线解析式为y=x2+x. (2)设点P的横坐标为t,∵PN∥CD,∴△OPN∽△OCD,可得PN= ∴P(t,),∵点M在抛物线上,∴M(t,t2+t). 如解答图1,过M点作MG⊥AB于G,过P点作PH⊥AB于H, AG=yA﹣yM=2﹣(t2+t)=t2﹣t+2,BH=PN=. 当AG=BH时,四边形ABPM为等腰梯形, ∴t2﹣t+2=, 化简得3t2﹣8t+4=0,解得t1=2(不合题意,舍去),t2=, ∴点P的坐标为(,) ∴存在点P(,),使得四边形ABPM为等腰梯形. (3)如解答图2,△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′,A′B′交x轴于T,交OC于Q,A′O′交x轴于K,交OC于R. 求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3,可设点A′的横坐标为a,则点A′(a,﹣a+3), 易知△OQT∽△OCD,可得QT=, ∴点Q的坐标为(a,). 解法一: 设AB与OC相交于点J, ∵△ARQ∽△AOJ,相似三角形对应高的比等于相似比,∴= ∴HT===2﹣a, KT=A′T=(3﹣a),A′Q=yA′﹣yQ=(﹣a+3)﹣=3﹣a. S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT =••(3﹣a)﹣•(3﹣a)•(﹣a+2) =a2+a﹣=(a﹣)2+ 由于<0, ∴在线段AC上存在点A′(,),能使重叠部分面积S取到最大值,最大值为. 解法二: 过点R作RH⊥x轴于H,则由△ORH∽△OCD,得 ① 由△RKH∽△A′O′B′,得 ② 由①,②得KH=OH, OK=OH,KT=OT﹣OK=a﹣OH ③ 由△A′KT∽△A′O′B′,得, 则KT= ④ 由③,④得=a﹣OH,即OH=2a﹣2,RH=a﹣1,所以点R的坐标为R(2a﹣2,a﹣1) S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH =a•a﹣(1+a﹣)•(a﹣1) =a2+a﹣=(a﹣)2+ 由于<0, ∴在线段AC上存在点A′(,),能使重叠部分面积S取到最大值,最大值为. 解法三: ∵AB=2,OB=1,∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=, ∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=(﹣a+3)•=a+, ∴OK=OT﹣KT=a﹣(a+)=a﹣, 过点R作RH⊥x轴于H,∵tan∠OAB=tan∠RKH==2,∴RH=2KH 又∵tan∠OAB=tan∠ROH===, ∴2RH=OK+KH=a﹣+RH,∴RH=a﹣1,OH=2(a﹣1), ∴点R坐标R(2a﹣2,a﹣1) S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•(xQ﹣xR) =••(3﹣a)﹣•(3﹣a)•(﹣a+2) =a2+a﹣=(a﹣)2+ 由于<0, ∴在线段AC上存在点A′(,),能使重叠部分面积S取到最大值,最大值为.查看更多