中考—数学中考中容易出现漏解的题型分析

中考—数学中考中容易出现漏解的题型分析

备战中考—数学中考中容易出现漏解的题型分析 ‎“数学是锻炼思维的体操”，解数学题不仅能训练思维的灵活性，亦能培养思维的周密性。近几年各省市的中考数学命题注意了对学生思维周密性的考查，可是许多学生在解题时往往只满足于求出一解而导致解题不完整，出现漏解。因此，剖析解数学题时出现漏解的常见原因，对于培养同学们的思维品质、提高解题能力具有重要的意义。本文以中考试题为例，剖析产生漏解的几种常见原因，供复习时参考。‎ 一、思维定势干扰 例1. 直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于____________。‎ 错解：由勾股定理得，该直角三角形的斜边。而直角三角形的外接圆的直径就是它的斜边，所以这个三角形的外接圆的半径等于5。‎ 剖析：这里受勾股定理中常见的勾股数6，8，10的影响，把6，8作为直角边，实际上8也可以作为斜边，即：‎ ‎（1）当6，8分别为直角边时，第三边即斜边为10；‎ ‎（2）当6为直角边，8为斜边时，第三边是另一直角边为。‎ 所以这个三角形的外接圆的半径等于5或 例2. 已知实数a、b满足，求的值。‎ 错解：由题意知，a、b是方程的两个实数根，根据韦达定理得，。‎ 剖析：此种解答受根与系数的关系的影响，认为a、b一定是方程的两个不等实根，实际上a与b的值也可以相等。‎ ‎（1）当时，解答如上所述。‎ ‎（2）的根是 当时 当时 二、审题草率 例3. 一组数据5，7，7，x的中位数与平均数相等，则x的值为_____________。‎ 错解：由题意得 剖析：这组数据的中位数不一定是7，应根据x的大小位置分类讨论求解。‎ ‎（1）当x>7时，解法同上。‎ ‎（2）当时，这组数据排列为5，x，7，7。‎ 依题意得 解得 ‎（3）当x<5时，这组数据排列为x，5，7，7‎ 依题意得 解得x=5，这与x<5矛盾 综上所述，x的值为5或9‎ 例4. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则这个函数的解析式为_______________________。‎ 错解：依题意可知，当x=6时，‎ 当时，‎ 则有 解得 ‎∴这个函数的解析式为 剖析：错解只考虑了当k>0时的情况，实际上当k<0时，题设条件也能成立，即当x=6时，；当时，。利用待定系数法可求得此时，。所以这个函数的解析式为或。‎ 三、忽视了数学的一些规定 例5. 当a取什么数时，关于未知数x的方程只有正实数根？‎ 错解：由题意得 解得 剖析：误认为这一定是一元二次方程。正确解法是 当a=0时，原方程是关于x的一次方程，只有正实根；当时，原方程是关于x的一元二次方程，时只有正实根。‎ 所以，a的取值范围是 四、忽视图形的位置或形状 例6. 若圆O的直径AB为2，弦AC为，弦AD为，则（其中）为_________________________。‎ 错解：如图1所示，过O点分别做OE⊥AC，OF⊥AD 则，，‎ 由此可得，∠AOE=45°，∠AOF=60°‎ 于是∠COD=∠AOD－∠AOC=2∠AOF－2∠AOE=120°－90°=30°‎ 图1‎ 剖析：上述解法只考虑了一种情况，即弦AC和弦AD在圆心的同侧，而忽略了弦AC和弦AD在圆心O的两侧的情况。如图2所示，同上述作法，可求∠COD=150°，从而求得，综上所述，的面积为或。‎ 图2‎ 例7. 为美化环境，计划在某小区内用30m2的草皮铺设一块边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。‎ 错解：分两种情况计算，不妨设AB=10m，过点C作CD⊥AB，垂足为D ‎（1）当AB为底边时，AD=DB=5（m）（如图3所示）‎ 由 得CD=6（m）‎ 图3‎ ‎（2）当AB为腰时（如图4所示）‎ AC=AB=10（m）‎ 则 图4‎ 剖析：上述解法虽然进行了分类计算，看似正确，其实仍然漏掉了一种情况：当AB为腰且三角形为钝角三角形时（如图5所示），AB=BC=10（m），AD=AB+BD=18（m）‎ 图5‎ 五、忽视了比例线段之间的不同对应关系 例8. （江西）如图6所示，已知△ABC内接于圆O，AE切圆O于点A，BC//AE。‎ ‎（1）求证：△ABC是等腰三角形；‎ ‎（2）设AB=10cm，BC=8cm，点P是射线AE上的点，若以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求AP的长。‎ 图6‎ 错解：（1）略 ‎（2）过点C作AB的平行线交AE于点P（如图6所示）‎ 由得AP：BC=AC：BA 又由（1）知AC=BA 剖析：错解遗漏了另一种情况，如图7所示，过点C作圆O的切线交AE于点P2，则AP2=CP2。‎ 图7‎