中考数学动点问题例析

中考数学动点问题例析

首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。‎ 一、 与三角形有关的动点问题 ‎1、例题：‎ 如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动 点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．‎ y x O P Q A ‎ B ‎(1) 求直线AB的解析式；‎ ‎(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ ‎ ‎(3) 当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？‎ 解：（１）设直线AB的解析式为y＝kx＋b　‎ y x O P Q A ‎ B 由题意，得 　　　　 b＝6‎ ‎8k＋b＝0 ‎ 解得 　k＝－ 　　 b＝6‎ 所以，直线AB的解析式为y＝－x＋6．　‎ ‎（２）由　AO＝6， BO＝8 得　AB＝10‎ 所以AP＝t ，AQ＝10－2t ‎ y x O P Q A ‎ B ‎1°当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．‎ 所以　＝ 　解得　t＝(秒)　‎ ‎2°当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．‎ 所以　＝ 　解得　t＝(秒)‎ ‎（３）过点Q作QE垂直AO于点E．‎ y x O P Q A ‎ B E 在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝＝‎ 在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·＝8－t 所以，S△APQ＝AP·QE＝t·(8－t)‎ ‎ ＝－＋4t＝‎ 解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．‎ 二、与四边形有关的动点问题 1. 例题：‎ 在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD ‎⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 .① 求S关于t的函数关系式；② (附加题) 求S的最大值。‎ 解题思路：第（1）问比较简单，就是一个静态问题当点P运动2秒时，AP=2 cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=.∴ SΔAPE=‎ 第（2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论，P点从A→B→C一共用了12秒，走了12 cm，Q 点从A→B用了8秒，B→C用了2秒，所以t的取值范围是 0≤t≤10‎ 不变量：P、Q 点走过的总路程都是12cm，P点的速度不变，所以AP始终为：t+2‎ 若速度有变化，总路程 =变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度×变化点所用时间+变化后的速度×（t－变化点所用时间）如当8≤t≤10时，点Q所走的路程AQ=1×8+2（t－8）=2t-8‎ ‎ ① 当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=.∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形，其面积为（PG + QF ）×AG÷2 S=. ‎ 当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4-（总量减部分量），QF=，AP=t+2，BP=t-6（总量减部分量），CP=AC- AP=12-（t+2）=10-t（总量减部分量），PG=，而BD=，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为平行四边形的面积减去两个三角形面积S=.‎ 当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则AQ=2t-8，CQ= AC- AQ= 12-（2t-8） =20-2t，（难点）QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=.∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.‎ 如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．‎ ‎（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；‎ ‎（2）设P点运动时间为t（秒）。‎ ①当t＝5时，求出点P的坐标；‎ ②若⊿OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．‎ 解:（1）P点从A点运动到D点所需的时间＝（3+5+3）÷1＝11（秒）‎ ‎（2）①当t＝5时，P点从A点运动到BC上，‎ 此时OA=10,AB+BP=5，∴BP=2 ‎ 过点P作PE⊥AD于点E，则PE=AB=3,AE=BP=2‎ ‎∴OD=OA+AE=10+2=12‎ ‎∴点P的坐标为（12，3）．‎ ②分三种情况：‎ i．当0＜t≤3时，点P在AB上运动，此时OA=2t,AP=t ‎∴s=×2t×t= t ‎ ii．当3＜t≤8时，点P在AB上运动，此时OA=2t ‎∴s=×2t×3=3 t iii．当8＜t＜11时，点P在CD上运动，此时OA=2t,AB+BC+CP= t ‎∴DP=(AB+BC+CD)-( AB+BC+CP)=11- t ‎∴s=×2t×(11- t)=- t+11 t 综上所述，s与t之间的函数关系式是：当0＜t≤3时，s= t；当3＜t≤8时，s=3 t；当8＜t＜11时，s=- t+11 t ‎ 一、三角形边上动点 x A O Q P B y s1、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单 位长度，点沿路线→→运动．‎ ‎（1）直接写出两点的坐标；‎ ‎（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间 的函数关系式；‎ ‎（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．‎ 二、 特殊四边形边上动点 P Q A B C D ‎4、如图所示，菱形的边长为6厘米，．从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分的面积为平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形），解答下列问题： ‎ （1） 点、从出发到相遇所用时间是 秒；‎ ‎（2）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是 秒；‎ ‎（3）求与之间的函数关系式．‎ ‎5、如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．‎ ‎（1）求直线AC的解析式；‎ ‎（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；‎ O M B H A C x y 图（2）‎ ‎（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．‎ O M B H A C x y 图（1）‎ 注意：第（2）问按点P到拐点B所用时间分段分类；‎ ‎ 第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO与∠ABM互余，画出点P运动过程中，‎ ‎ ∠MPB=∠ABM的两种情况，求出t值。‎ ‎ 利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.‎ ‎6、如图，在平面直角坐标系中，点A(，0)，B(3，2)，C（0，2)．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．‎ ‎(1)求∠ABC的度数；‎ ‎(2)当t为何值时，AB∥DF；‎ ‎(3)设四边形AEFD的面积为S．‎ ‎①求S关于t的函数关系式；‎ ‎②若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S<2时，求m的取值范围(写出答案即可)．‎ B A C D P O Q x y 注意：发现特殊性，DE∥OA ‎7、已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设秒后，直线PQ交OB于点D.‎ ‎（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；‎ ‎（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）当时，求t的值及此时直线PQ的解析式；‎ ‎8、已知：如图，在直角梯形中，，以为原点建立平面直角坐标系，三点的坐标分别为，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为秒．‎ ‎（1）求直线的解析式；‎ ‎（2）若动点在线段上移动，当为何值时，四边形的面积是梯形面积的？‎ A B D C O x y A B D C O P x y ‎（3）动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；‎ ‎13、（08宜昌）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．‎ ‎（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由； ‎ ‎（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；‎ ‎（3）设边AB＝1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值．‎ ‎(第13题)‎ ‎(第13题)‎ 提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p运动到使T与R重合时，PA=TS为最大；当P与A重合时，PA最小。此问与上题中求取值范围类似。‎ ‎14/如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；‎ ‎（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）‎ ‎（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；A C B P Q E D ‎ 提示：（３）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t值；有二种成立的情形，‎ ‎　　　ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ；‎ ‎ （４）按点P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t值；有二种情形，‎ ‎　　　ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝t时，‎ ‎　　　ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时．‎