- 2021-05-10 发布 |
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文档介绍
中考数学动点问题例析
首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量,第二,按照图形中的几何性质及相互关系,找出一个基本关系式,把相关的量用一个自变量的表达式表达出来,然后再根据题目的要求,依据几何、代数知识解出。第三,确定自变量的取值范围,画出相应的图象。 一、 与三角形有关的动点问题 1、例题: 如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动 点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒. y x O P Q A B (1) 求直线AB的解析式; (2) 当t为何值时,△APQ与△AOB相似? (3) 当t为何值时,△APQ的面积为个平方单位? 解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b y x O P Q A B 由题意,得 b=6 8k+b=0 解得 k=- b=6 所以,直线AB的解析式为y=-x+6. (2)由 AO=6, BO=8 得 AB=10 所以AP=t ,AQ=10-2t y x O P Q A B 1°当∠APQ=∠AOB时,△APQ∽△AOB. 所以 = 解得 t=(秒) 2°当∠AQP=∠AOB时,△AQP∽△AOB. 所以 = 解得 t=(秒) (3)过点Q作QE垂直AO于点E. y x O P Q A B E 在Rt△AOB中,Sin∠BAO== 在Rt△AEQ中,QE=AQ·Sin∠BAO=(10-2t)·=8-t 所以,S△APQ=AP·QE=t·(8-t) =-+4t= 解得t=2(秒)或t=3(秒). 二、与四边形有关的动点问题 1. 例题: 在平行四边形ABCD中,AD=4 cm,∠A=60°,BD ⊥AD. 一动点P从A出发,以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动,过点P作直线PM,使PM⊥AD .(1) 当点P运动2秒时,设直线PM与AD相交于点E,求△APE的面积;(2) 当点P运动2秒时,另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动,且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动,在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN,使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 .① 求S关于t的函数关系式;② (附加题) 求S的最大值。 解题思路:第(1)问比较简单,就是一个静态问题当点P运动2秒时,AP=2 cm,由∠A=60°,知AE=1,PE=.∴ SΔAPE= 第(2)问就是一个动态问题了,题目要求面积与运动时间的函数关系式,这就需要我们根据题目,综合分析,分类讨论,P点从A→B→C一共用了12秒,走了12 cm,Q 点从A→B用了8秒,B→C用了2秒,所以t的取值范围是 0≤t≤10 不变量:P、Q 点走过的总路程都是12cm,P点的速度不变,所以AP始终为:t+2 若速度有变化,总路程 =变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度×变化点所用时间+变化后的速度×(t-变化点所用时间)如当8≤t≤10时,点Q所走的路程AQ=1×8+2(t-8)=2t-8 ① 当0≤t≤6时,点P与点Q都在AB上运动,设PM与AD交于点G,QN与AD交于点F,则AQ=t,AF=,QF=,AP=t+2,AG=1+,PG=.∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形,其面积为(PG + QF )×AG÷2 S=. 当6≤t≤8时,点P在BC上运动,点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G,QN与AD交于点F,则AQ=t,AF=,DF=4-(总量减部分量),QF=,AP=t+2,BP=t-6(总量减部分量),CP=AC- AP=12-(t+2)=10-t(总量减部分量),PG=,而BD=,故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为平行四边形的面积减去两个三角形面积S=. 当8≤t≤10时,点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G,QN与DC交于点F,则AQ=2t-8,CQ= AC- AQ= 12-(2t-8) =20-2t,(难点)QF=(20-2t),CP=10-t,PG=.∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=. 如图所示,在直角坐标系中,矩形ABCD的边AD在x轴上,点A在原点,AB=3,AD=5.若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动.同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A-B-C-D的路线作匀速运动.当P点运动到D点时停止运动,矩形ABCD也随之停止运动. (1)求P点从A点运动到D点所需的时间; (2)设P点运动时间为t(秒)。 ①当t=5时,求出点P的坐标; ②若⊿OAP的面积为s,试求出s与t之间的函数关系式(并写出相应的自变量t的取值范围). 解:(1)P点从A点运动到D点所需的时间=(3+5+3)÷1=11(秒) (2)①当t=5时,P点从A点运动到BC上, 此时OA=10,AB+BP=5,∴BP=2 过点P作PE⊥AD于点E,则PE=AB=3,AE=BP=2 ∴OD=OA+AE=10+2=12 ∴点P的坐标为(12,3). ②分三种情况: i.当0<t≤3时,点P在AB上运动,此时OA=2t,AP=t ∴s=×2t×t= t ii.当3<t≤8时,点P在AB上运动,此时OA=2t ∴s=×2t×3=3 t iii.当8<t<11时,点P在CD上运动,此时OA=2t,AB+BC+CP= t ∴DP=(AB+BC+CD)-( AB+BC+CP)=11- t ∴s=×2t×(11- t)=- t+11 t 综上所述,s与t之间的函数关系式是:当0<t≤3时,s= t;当3<t≤8时,s=3 t;当8<t<11时,s=- t+11 t 一、三角形边上动点 x A O Q P B y s1、直线与坐标轴分别交于两点,动点同时从点出发,同时到达点,运动停止.点沿线段 运动,速度为每秒1个单 位长度,点沿路线→→运动. (1)直接写出两点的坐标; (2)设点的运动时间为秒,的面积为,求出与之间 的函数关系式; (3)当时,求出点的坐标,并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标. 二、 特殊四边形边上动点 P Q A B C D 4、如图所示,菱形的边长为6厘米,.从初始时刻开始,点、同时从点出发,点以1厘米/秒的速度沿的方向运动,点以2厘米/秒的速度沿的方向运动,当点运动到点时,、两点同时停止运动,设、运动的时间为秒时,与重叠部分的面积为平方厘米(这里规定:点和线段是面积为的三角形),解答下列问题: (1) 点、从出发到相遇所用时间是 秒; (2)点、从开始运动到停止的过程中,当是等边三角形时的值是 秒; (3)求与之间的函数关系式. 5、如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H. (1)求直线AC的解析式; (2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围); O M B H A C x y 图(2) (3)在(2)的条件下,当 t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值. O M B H A C x y 图(1) 注意:第(2)问按点P到拐点B所用时间分段分类; 第(3)问发现∠MBC=90°,∠BCO与∠ABM互余,画出点P运动过程中, ∠MPB=∠ABM的两种情况,求出t值。 利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值. 6、如图,在平面直角坐标系中,点A(,0),B(3,2),C(0,2).动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动,同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动.过点E作EF上AB,交BC于点F,连结DA、DF.设运动时间为t秒. (1)求∠ABC的度数; (2)当t为何值时,AB∥DF; (3)设四边形AEFD的面积为S. ①求S关于t的函数关系式; ②若一抛物线y=x2+mx经过动点E,当S<2时,求m的取值范围(写出答案即可). B A C D P O Q x y 注意:发现特殊性,DE∥OA 7、已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是,点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动,同时,点Q从点O开始以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿射线OA方向移动,设秒后,直线PQ交OB于点D. (1)求∠AOB的度数及线段OA的长; (2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式; (3)当时,求t的值及此时直线PQ的解析式; 8、已知:如图,在直角梯形中,,以为原点建立平面直角坐标系,三点的坐标分别为,点为线段的中点,动点从点出发,以每秒1个单位的速度,沿折线的路线移动,移动的时间为秒. (1)求直线的解析式; (2)若动点在线段上移动,当为何值时,四边形的面积是梯形面积的? A B D C O x y A B D C O P x y (3)动点从点出发,沿折线的路线移动过程中,设的面积为,请直接写出与的函数关系式,并指出自变量的取值范围; 13、(08宜昌)如图,在Rt△ABC中,AB=AC,P是边AB(含端点)上的动点.过P作BC的垂线PR,R为垂足,∠PRB的平分线与AB相交于点S,在线段RS上存在一点T,若以线段PT为一边作正方形PTEF,其顶点E,F恰好分别在边BC,AC上. (1)△ABC与△SBR是否相似,说明理由; (2)请你探索线段TS与PA的长度之间的关系; (3)设边AB=1,当P在边AB(含端点)上运动时,请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值. (第13题) (第13题) 提示:第(3)问,关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形;当p运动到使T与R重合时,PA=TS为最大;当P与A重合时,PA最小。此问与上题中求取值范围类似。 14/如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0). (1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ; (2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围) (3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;A C B P Q E D 提示:(3)按哪两边平行分类,按要求画出图形,再结合图形性质求出t值;有二种成立的情形, DE∥QB,PQ∥BC; (4)按点P运动方向分类,按要求画出图形再结合图形性质求出t值;有二种情形, CQ=CP=AQ=t时, QC=PC=6-t时.查看更多