长沙中考数学之几何经典专题含解析

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长沙中考数学之几何经典专题含解析

‎2017年长沙中考数学之几何经典专题 ‎1. 如图,ABCD为正方形,O为AC、BD的交点,△DCE为Rt△,∠CED=90°,∠DCE=30°,若OE=,则正方形的面积为(  ) A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎2. 如图,正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB,AD上,若CE=3,且∠ECF=45°,则CF的长为(  )A.2 B.3 C. D.‎ ‎3. 如图,正方形ABCD中,点E是AD边中点,BD、CE交于点H,BE、AH交于点G,则下列结论:‎ ‎①AG⊥BE;②BG=4GE;③S△BHE=S△CHD;④∠AHB=∠EHD.‎ 其中正确的个数是(  )A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎4. 已知点D与点A(0,6),B(0,﹣4),C(x,y)是平行四边形的四个顶点,其中x,y满足3x﹣4y+12=0,则CD长的最小值为(  )‎ A.10 B.2 C. D.4‎ ‎ ‎ ‎5. 如图,已知平行四边形ABCD中,AB=BC,BC=10,∠BCD=60°,两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动,连接OA,则OA的长的最小值是      .‎ ‎6. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=5,AC=12,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的取值范围是      .‎ ‎7. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点P是BC边上任意一点(B、C除外)PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,连接EF,则EF的最小值为      .‎ ‎8. 如图,正方形ABCD的对角线交于点O,以AD为边向外作Rt△ADE,∠AED=90°,连接OE,DE=6,OE=8,则另一直角边AE的长为      .‎ ‎9. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD一定是      .‎ ‎ ‎ ‎10. 如图,正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上,点B的坐标为(﹣3,3).点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动;点Q从点O同时出发,以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时,点Q也停止运动.连接BP,过P点作BP的垂线,与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E,连接PE.设点P运动的时间为t(s).‎ ‎(1)求∠EBP的度数;‎ ‎(2)求点D运动路径的长;‎ ‎(3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化?若变化,说明理由;若不变,试求这个定值.‎ ‎11. 如图,把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中,使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上,已知EP=FP=4,EF=4,∠BAD=60°,且AB>4.‎ ‎(1)求∠EPF的大小;‎ ‎(2)若AP=6,求AE+AF的值;‎ ‎(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值.‎ ‎12. 知,四边形ABCD是正方形,∠MAN=45°,它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N,连接MN,作AH⊥MN,垂足为点H ‎(1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系?并证明;‎ ‎(2)如图2,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,求AD的长;‎ 小萍同学通过观察图①发现,△ABM和△AHM关于AM对称,△AHN和△ADN关于AN对称,于是她巧妙运用这个发现,将图形如图③进行翻折变换,解答了此题.你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗?‎ ‎13. 如图1,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,点D在CA的延长线上,DE⊥BC,垂足为点E,DE与⊙O相交于点H,与AB相交于点l,过点A作⊙O的切线AF,与DE相交于点F.‎ ‎(1)求证:∠DAF=∠ABO;‎ ‎(2)当AB=AD时,求证:BC=2AF;‎ ‎(3)如图2,在(2)的条件下,延长FA,BC相交于点G,若tan∠DAF=,EH=2,求线段CG的长.‎ ‎14. 如图,一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,过点A作x轴的垂线l,点P为直线l上的动点,点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点,点P、Q与点A都不重合.‎ ‎(1)写出点A的坐标;‎ ‎(2)当点P在直线l上运动时,是否存在点P使得△OQB与△APQ全等?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎(3)若点M在直线l上,且∠POM=90°,记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2,求的值.‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题(共4小题)‎ ‎1. 如图,ABCD为正方形,O为AC、BD的交点,△DCE为Rt△,∠CED=90°,∠DCE=30°,若OE=,则正方形的面积为(  )‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎【解答】解:如图,过点O作OM⊥CE于M,作ON⊥DE交ED的延长线于N,‎ ‎∵∠CED=90°,‎ ‎∴四边形OMEN是矩形,‎ ‎∴∠MON=90°,‎ ‎∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM,‎ ‎∴∠COM=∠DON,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴OC=OD,‎ 在△COM和△DON中,‎ ‎∴△COM≌△DON(AAS),‎ ‎∴OM=ON,‎ ‎∴四边形OMEN是正方形,‎ 设正方形ABCD的边长为2a,‎ ‎∵∠DCE=30°,∠CED=90°‎ ‎∴DE=a,CE=a,‎ 设DN=x,x+DE=CE﹣x,解得:x=,‎ ‎∴NE=x+a=,‎ ‎∵OE=NE,‎ ‎∴=•,‎ ‎∴a=1,‎ ‎∴S正方形ABCD=4‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎2. 如图,正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB,AD上,若CE=3,且∠ECF=45°,则CF的长为(  )‎ A.2 B.3 C. D.‎ ‎【解答】解:如图,延长FD到G,使DG=BE;‎ 连接CG、EF;‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,‎ 在△BCE与△DCG中,‎ ‎,‎ ‎∴△BCE≌△DCG(SAS),‎ ‎∴CG=CE,∠DCG=∠BCE,‎ ‎∴∠GCF=45°,‎ 在△GCF与△ECF中,‎ ‎,‎ ‎∴△GCF≌△ECF(SAS),‎ ‎∴GF=EF,‎ ‎∵CE=3,CB=6,‎ ‎∴BE===3,‎ ‎∴AE=3,‎ 设AF=x,则DF=6﹣x,GF=3+(6﹣x)=9﹣x,‎ ‎∴EF==,‎ ‎∴(9﹣x)2=9+x2,‎ ‎∴x=4,‎ 即AF=4,‎ ‎∴GF=5,‎ ‎∴DF=2,‎ ‎∴CF===2,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3. 如图,正方形ABCD中,点E是AD边中点,BD、CE交于点H,BE、AH交于点G,则下列结论:‎ ‎①AG⊥BE;②BG=4GE;③S△BHE=S△CHD;④∠AHB=∠EHD.‎ 其中正确的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解答】证明:∵四边形ABCD是正方形,E是AD边上的中点,‎ ‎∴AE=DE,AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°,‎ 在△BAE和△CDE中 ‎∵,‎ ‎∴△BAE≌△CDE(SAS),‎ ‎∴∠ABE=∠DCE,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AD=DC,∠ADB=∠CDB=45°,‎ ‎∵在△ADH和△CDH中,‎ ‎,‎ ‎∴△ADH≌△CDH(SAS),‎ ‎∴∠HAD=∠HCD,‎ ‎∵∠ABE=∠DCE ‎∴∠ABE=∠HAD,‎ ‎∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°,‎ ‎∴∠ABE+∠BAH=90°,‎ ‎∴∠AGB=180°﹣90°=90°,‎ ‎∴AG⊥BE,故①正确;‎ ‎∵tan∠ABE=tan∠EAG=,‎ ‎∴AG=BG,GE=AG,‎ ‎∴BG=4EG,故②正确;‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴S△BDE=S△CDE,‎ ‎∴S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH,‎ 即;S△BHE=S△CHD,故③正确;‎ ‎∵△ADH≌△CDH,‎ ‎∴∠AHD=∠CHD,‎ ‎∴∠AHB=∠CHB,‎ ‎∵∠BHC=∠DHE,‎ ‎∴∠AHB=∠EHD,故④正确;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4. 已知点D与点A(0,6),B(0,﹣4),C(x,y)是平行四边形的四个顶点,其中x,y满足3x﹣4y+12=0,则CD长的最小值为(  )‎ A.10 B.2 C. D.4 ‎ ‎【解答】解:根据平行四边形的性质可知:对角线AB、CD互相平分,‎ ‎∴CD过线段AB的中点M,即CM=DM,‎ ‎∵A(0,6),B(0,﹣4),‎ ‎∴M(0,1),‎ ‎∵点到直线的距离垂线段最短,‎ ‎∴过M作直线的垂线交直线于点C,此时CM最小,‎ 直线3x﹣4y+12=0,令x=0得到y=3;令y=0得到x=﹣4,即F(﹣4,0),E(0,3),‎ ‎∴OE=3,OF=4,EM=2,EF==5,‎ ‎∵△EOF∽△ECM,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得:CM=,‎ 则CD的最小值为.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎5. 如图,已知平行四边形ABCD中,AB=BC,BC=10,∠BCD=60°,两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动,连接OA,则OA的长的最小值是 5﹣5 .‎ ‎【解答】解:如图所示:过点A作AE⊥BD于点E,‎ 当点A,O,E在一条直线上,此时AO最短,‎ ‎∵平行四边形ABCD中,AB=BC,BC=10,∠BCD=60°,‎ ‎∴AB=AD=CD=BC=10,∠BAD=∠BCD=60°,‎ ‎∴△ABD是等边三角形,‎ ‎∴AE过点O,E为BD中点,则此时EO=5,‎ 故AO的最小值为:AO=AE﹣EO=ABsin60°﹣×BD=5﹣5.‎ 故答案为:5﹣5.‎ ‎ ‎ ‎6. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=5,AC=12,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的取值范围是 ≤AM<6 .‎ ‎【解答】解:连接AP,‎ ‎∵PE⊥AB,PF⊥AC,‎ ‎∴∠AEP=∠AFP=90°,‎ ‎∵∠BAC=90°,‎ ‎∴四边形AEPF是矩形,‎ ‎∴AP=EF,‎ ‎∵∠BAC=90°,M为EF中点,‎ ‎∴AM=EF=AP,‎ ‎∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=5,AC=12,‎ ‎∴BC==13,‎ 当AP⊥BC时,AP值最小,‎ 此时S△BAC=×5×12=×13×AP,‎ ‎∴AP=,‎ 即AP的范围是AP≥,‎ ‎∴2AM≥,‎ ‎∴AM的范围是AM≥,‎ ‎∵AP<AC,‎ 即AP<12,‎ ‎∴AM<6,‎ ‎∴≤AM<6.‎ 故答案为:≤AM<6.‎ ‎ ‎ ‎7. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点P是BC边上任意一点(B、C除外)PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,连接EF,则EF的最小值为 4.8 .‎ ‎【解答】解:连接AP,如图所示:‎ ‎∵∠BAC=90°,AB=6,AC=8,‎ ‎∴BC==10,‎ ‎∵PE⊥AB于点E,PF⊥AC,‎ ‎∴∠AEP=∠AFP=90°,‎ ‎∴四边形AEPF是矩形,‎ ‎∴EF=AP,‎ 当AP⊥BC时,AP最小,‎ 此时∵BC•AP=AB•AC,‎ ‎∴AP===4.8,‎ ‎∴EF的最小值为4.8;‎ 故答案为:4.8.‎ ‎ ‎ ‎8. 如图,正方形ABCD的对角线交于点O,以AD为边向外作Rt△ADE,∠AED=90°,连接OE,DE=6,OE=8,则另一直角边AE的长为 10 .‎ ‎【解答】解:过点O作OM⊥AE于点M,作ON⊥DE,交ED的延长线于点N,‎ ‎∵∠AED=90°,‎ ‎∴四边形EMON是矩形,‎ ‎∵正方形ABCD的对角线交于点O,‎ ‎∴∠AOD=90°,OA=OD,‎ ‎∴∠AOD+∠AED=180°,‎ ‎∴点A,O,D,E共圆,‎ ‎∴=,‎ ‎∴∠AEO=∠DEO=∠AED=45°,‎ ‎∴OM=ON,‎ ‎∴四边形EMON是正方形,‎ ‎∴EM=EN=ON,‎ ‎∴△OEN是等腰直角三角形,‎ ‎∵OE=8,‎ ‎∴EN=8,‎ ‎∴EM=EN=8,‎ 在Rt△AOM和Rt△DON中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△AOM≌Rt△DON(HL),‎ ‎∴AM=DN=EN﹣ED=8﹣6=2,‎ ‎∴AE=AM+EM=2+8=10.‎ 故答案为:10.‎ ‎ ‎ ‎9. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD一定是 对角线互相垂直 .‎ ‎【解答】解:已知:如右图,四边形EFGH是矩形,且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,求证:四边形ABCD是对角线垂直的四边形.‎ 证明:由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,‎ 根据三角形中位线定理得:EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG;‎ ‎∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ 故答案为:对角线互相垂直.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共5小题)‎ ‎10. 如图,正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上,点B的坐标为(﹣3,3).点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动;点Q从点O同时出发,以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时,点Q也停止运动.连接BP,过P点作BP的垂线,与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E,连接PE.设点P运动的时间为t(s).‎ ‎(1)求∠EBP的度数;‎ ‎(2)求点D运动路径的长;‎ ‎(3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化?若变化,说明理由;若不变,试求这个定值.‎ ‎【解答】解:(1)如图,由题可得:AP=OQ=1×t=t(秒)‎ ‎∴AO=PQ ‎∵四边形OABC是正方形,‎ ‎∴AO=AB=BC=OC,‎ ‎∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°.‎ ‎∵DP⊥BP,‎ ‎∴∠BPD=90°.‎ ‎∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ.‎ ‎∵AO=PQ,AO=AB,‎ ‎∴AB=PQ.‎ 在△BAP和△PQD中,‎ ‎∴△BAP≌△PQD(AAS).‎ ‎∴BP=PD.‎ ‎∵∠BPD=90°,BP=PD,‎ ‎∴∠PBD=∠PDB=45°.‎ ‎(2)∵△BAP≌△PQD,‎ ‎∴DQ=AP,‎ ‎∵AP=t,‎ ‎∴DQ=t.‎ ‎∴点D运动路径的长为t;‎ ‎(3)∵∠EBP=45°‎ ‎∴由图1可以得到EP=CE+AP,‎ ‎∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE ‎=AO+CO ‎=3+3‎ ‎=6.‎ ‎∴△POE周长是定值,该定值为6.‎ ‎ ‎ ‎11.(2015•盐城)如图,把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中,使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上,已知EP=FP=4,EF=4,∠BAD=60°,且AB>4.‎ ‎(1)求∠EPF的大小;‎ ‎(2)若AP=6,求AE+AF的值;‎ ‎(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值.‎ ‎【解答】解:(1)如图1,过点P作PG⊥EF于G,‎ ‎∵PE=PF,‎ ‎∴FG=EG=EF=2,∠FPG=,‎ 在△FPG中,sin∠FPG===,‎ ‎∴∠FPG=60°,‎ ‎∴∠EPF=2∠FPG=120°;‎ ‎(2)如图2,过点P作PM⊥AB于M,PN⊥AD于N,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AD=AB,DC=BC,‎ 在△ABC与△ADC中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABC≌△ADC,‎ ‎∴∠DAC=∠BAC,‎ ‎∴PM=PN,‎ 在Rt△PME于Rt△PNF中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△PME≌Rt△PNF,‎ ‎∴FN=EM,在Rt△PMA中,∠PMA=90°,∠PAM=∠DAB=30°,∴AM=AP•cos30°=3,同理AN=3,‎ ‎∴AE+AF=(AM﹣EM)+(AN+NF)=6;‎ ‎(3)如图3,当EF⊥AC,点P在EF的右侧时,AP有最大值,‎ 当EF⊥AC,点P在EF的左侧时,AP有最小值,‎ 设AC与EF交于点O,‎ ‎∵PE=PF,‎ ‎∴OF=EF=2,‎ ‎∵∠FPA=60°,‎ ‎∴OP=2,‎ ‎∵∠BAD=60°,‎ ‎∴∠FAO=30°,‎ ‎∴AO=6,‎ ‎∴AP=AO+PO=8,‎ 同理AP′=AO﹣OP=4,‎ ‎∴AP的最大值是8,最小值是4.‎ ‎12. 已知,四边形ABCD是正方形,∠MAN=45°,它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N,连接MN,作AH⊥MN,垂足为点H ‎(1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系?并证明;‎ ‎(2)如图2,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,求AD的长;‎ 小萍同学通过观察图①发现,△ABM和△AHM关于AM对称,△AHN和△ADN关于AN对称,于是她巧妙运用这个发现,将图形如图③进行翻折变换,解答了此题.你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗?‎ ‎【解答】(1)答:AB=AH,‎ 证明:延长CB至E使BE=DN,连接AE,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠ABC=∠D=90°,‎ ‎∴∠ABE=180°﹣∠ABC=90°‎ 又∵AB=AD,‎ ‎∵在△ABE和△ADN中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△ADN(SAS),‎ ‎∴∠1=∠2,AE=AN,‎ ‎∵∠BAD=90°,∠MAN=45°,‎ ‎∴∠2+∠3=90°﹣∠MAN=45°,‎ ‎∴∠1+∠3=45°,‎ 即∠EAM=45°,‎ ‎∵在△EAM和△NAM中,‎ ‎,‎ ‎∴△EAM≌△NAM(SAS),‎ 又∵EM和NM是对应边,‎ ‎∴AB=AH(全等三角形对应边上的高相等);‎ ‎(2)作△ABD关于直线AB的对称△ABE,作△ACD关于直线AC的对称△ACF,‎ ‎∵AD是△ABC的高,‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°‎ ‎∴∠E=∠F=90°,‎ 又∵∠BAC=45°‎ ‎∴∠EAF=90°‎ 延长EB、FC交于点G,则四边形AEGF是矩形,‎ 又∵AE=AD=AF ‎∴四边形AEGF是正方形,‎ 由(1)、(2)知:EB=DB=2,FC=DC=3,‎ 设AD=x,则EG=AE=AD=FG=x,‎ ‎∴BG=x﹣2;CG=x﹣3;BC=2+3=5,‎ 在Rt△BGC中,(x﹣2)2+(x﹣3)2=52‎ 解得x1=6,x2=﹣1,‎ 故AD的长为6.‎ ‎ ‎ ‎13. 如图1,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,点D在CA的延长线上,DE⊥BC,垂足为点E,DE与⊙O相交于点H,与AB相交于点l,过点A作⊙O的切线AF,与DE相交于点F.‎ ‎(1)求证:∠DAF=∠ABO;‎ ‎(2)当AB=AD时,求证:BC=2AF;‎ ‎(3)如图2,在(2)的条件下,延长FA,BC相交于点G,若tan∠DAF=,EH=2,求线段CG的长.‎ ‎【解答】解:(1)连接AO,如图1.‎ ‎∵AF与⊙O相切于点A,‎ ‎∴OA⊥AF,即∠FAO=90°.‎ ‎∵BC是⊙O的直径,‎ ‎∴∠BAC=90°,‎ ‎∴∠DAB=90°,‎ ‎∴∠FAO=∠DAB=90°,‎ ‎∴∠DAF=∠BAO.‎ ‎∵OA=OB,‎ ‎∴∠OAB=∠OBA,‎ ‎∴∠DAF=∠ABO;‎ ‎(2)∵DE⊥BC,∴∠DEB=90°,‎ ‎∴∠DTB=90°+∠ABO.‎ ‎∵∠DTB=90°+∠D,‎ ‎∴∠D=∠ABO.‎ 在△AFD和△AOB中,‎ ‎,‎ ‎∴△AFD≌△AOB,‎ ‎∴AF=AO,‎ ‎∴BC=2OA=2AF;‎ ‎(3)过点A作AN⊥BC于N,连接OH,OA,如图2.‎ ‎∵∠D=∠B=∠BAO=∠DAF,tan∠DAF=,‎ ‎∴tanB==,tanD==,‎ ‎∴BE=2IE,DE=2EC.‎ 又∵∠DIA+∠D=∠DAF+∠FAI=90°,‎ ‎∴∠FIA=∠FAI,‎ ‎∴FI=FA,‎ ‎∴DI=2AF=BC,‎ ‎∴DE﹣IE=BE+EC,‎ ‎∴2EC﹣IE=2IE+EC,‎ ‎∴EC=3IE=BE.‎ 设BE=2x,则有EC=3x,BC=5x,HO=BO=,EO=.‎ 在Rt△HEO中,根据勾股定理可得 ‎()2+(2)2=()2,‎ 解得x=2(舍负).∵AN⊥BC,∠BAC=90°,‎ ‎∴∠NAC=∠ABC,∴tan∠NAC==,tan∠ABC==,∴BN=2AN=4NC,∴BC=5NC=10,‎ ‎∴NC=2,ON=5﹣2=3.∵∠AON=∠GOA,∠ANO=∠OAG=90°,‎ ‎∴△AON∽△GOA,∴=,∴=,∴OG=,∴CG=OG﹣OC=.‎ ‎ ‎ ‎14.如图,一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,过点A作x轴的垂线l,点P为直线l上的动点,点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点,点P、Q与点A都不重合.‎ ‎(1)写出点A的坐标;‎ ‎(2)当点P在直线l上运动时,是否存在点P使得△OQB与△APQ全等?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎(3)若点M在直线l上,且∠POM=90°,记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2,求的值.‎ ‎【解答】解(1)令y=0,得:﹣x+4=0,解得x=4,‎ 即点A的坐标为(4,0);‎ ‎(2)存在.‎ 理由:第一种情况,如下图一所示:‎ ‎∵∠OBA=∠BAP,∴它们是对应角,‎ ‎∴BQ=PA,‎ 将x=0代入y=﹣x+4得:y=4,‎ ‎∴OB=4,‎ 由(1)可知OA=4,‎ 在Rt△BOA中,由勾股定理得:AB==4.‎ ‎∵△BOQ≌△AQP.‎ ‎∴QA=OB=4,BQ=PA.‎ ‎∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4,‎ ‎∴PA=4﹣4.‎ ‎∴点P的坐标为(4,4﹣4);‎ 第二种情况,如下图二所示:‎ ‎∵△OQB≌△APQ,‎ ‎∴AQ=BO=4,AB=,BQ=AP,‎ ‎∴BQ=AB+AQ=,‎ ‎∴AP=4,‎ ‎∴点P的坐标为:(4,﹣4);‎ 由上可得,点P的坐标为:(4,)或(4,).‎ ‎(3)如图所示:‎ 令PA=a,MA=b,△OAP外接圆的圆心为O1,△OAM的外接圆的圆心为O2,‎ ‎∴OP2=OA2+PA2=42+a2=16+a2,OM2=OA2+MA2=42+b2=16+b2,‎ 在Rt△POM中,PM2=OP2+OM2=a2+16+b2+16,‎ 又∵PM2=(PA+AM)2=(a+b)2=a2+2ab+b2,∴ab=16,‎ ‎∵O1A2=O1Q2+QA2=()2+()2=a2+4,O2A2=O2N2+NA2=()2+()2=b2+4,‎ ‎∴S1=π×O1A2=(a2+4)π,S2=π×O2A2=(b2+4)π,‎ ‎∴===×=.‎
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