广东中考数学专题训练三代数与几何综合题动态压轴问题

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广东中考数学专题训练三代数与几何综合题动态压轴问题

广东中考数学专题训练(三):代数与几何综合题(动态压轴题)‎ 一、命题特点与方法分析 以考纲规定,“代数与几何综合题”为数学解答题(三)中出现的题型.一般出现在该题组的第3题(即试卷压轴第25题),近四年都是以简单几何图形的动态问题作背景,综合考察几何证明与代数计算问题.‎ 近四年考点概况:‎ 年份 考点 ‎2014‎ 菱形的性质、相似三角形、直角三角形的性质、二次函数 ‎2015‎ 三角函数、二次函数 ‎2016‎ 正方形的性质、全等三角形、等腰三角形的性质、二次函数 ‎2017‎ 矩形的性质、三角函数、等腰三角形的性质、相似三角形、勾股定理、二次函数 由此可见,近年来25题题型稳定,考察方式也比较接近.除了17年的25题较为灵活,几何部分的难度一般比24题要低,重点在于对数形结合的考察.前些年的25题对计算量要求较高(尤其是15年),近两年有所降低.‎ 本题第(1)问近3年都是送分题,用于拉高平均分,基本没有讨论价值,而其余两问基本采取以下命题形式:‎ ‎1.最值问题,基本是必考问题,如14年第(2)问,15年第(3)问,16年第(3)问,17年第(3)问②.此处的最值问题基本是通过二次函数关系式求得,所以一般会先要求推出关系式.一般而言这类题是面积最值问题,用字母表示出面积的做法,无外乎作高现和割补,而17年求面积的思路则有较高要求.‎ ‎2.特殊时刻,如14年第(1)(3)问,17年第(2)问.对特殊时刻的设问无外乎某图形成为等腰、直角和相似三角形或者某点落在边上等.这类问题一般分两类做法:一是重代数,抓住各边的等量关系,列出式子解方程;二是重几何,寻找该时刻的特殊几何意义(全等,相似和特殊角),利用几何推理得出结果.第一种做法计算量大,第二种做法则更重视几何推理,两种做法没有绝对的界限,一般两种都有涉猎.‎ ‎3.纯几何证明,如16年第(2)问,17年第(3)问①.要注重几何证明与接下来的设问的关系,类似于17年第(3)问,①中的结论用于②,降低难度,几何证明的结论很可能对接下来的解答有所帮助.‎ 此类问题有以下命题特点:‎ ‎1.对基本图形的考察,而且常常需要作辅助线来补全基本图形.例如13年“触礁问题”,14年相似求高,15年面积割补,17年“一线三等角”,这些基本图形大多出自课本且常见,像“一线三等角”,即便考过也应该加强,很可能改头换面再出现.‎ ‎2.结合几何证明在近年来,动态问题中的构图慢慢复杂,比起类似于13、15年的纯计算动态问题,类似于16、17年的几何意义比较丰富的动态问题更加受到重视.16、17年都是改编自经典的正方形证明问题,平时应该重视这类问题的改编题.‎ ‎3.基本出现分类讨论,而且常有提示.特别是16、17年都配有两个图作为提示,在解答时一定注意解答的方法是否在不同配图下都适用,必要时要写下“图(2)‎ 也是同理”.‎ 二、例题训练 ‎1.如图,在平面直角坐标系中,四边形AOBC为正方形,点A(0,2).点D为OB边上一动点,连接AD,向上作DE⊥AD并在DE上取DE=AD交BC于点F,连接CD、CE和BE,设点D的坐标为(x,0).‎ ‎ (1)填空:点C的坐标为____;‎ ‎ (2)设y=SCDE,求y关于x的关系式,并求y的最小值;‎ ‎ (3)是否存在这样的x值,使CBE为等腰三角形?若存在,求出对应的x值;若不存在,请说明理由.‎ ‎2.如图,RtABC和RtCDE全等(点B、C、E共线),∠B=∠E=90°,AB=CE=2cm,∠ACB=∠CDE=30°,连接CE,并取CE中点F.点M、N分别为BC、CD边上动点,分别用cm/s和2cm/s的速度以点B→C,点C→D的方向运动,连接FM、MN和FN,设运动的时间为t(s)(0≤t≤2).‎ ‎ (1)填空:∠CAD =____°;‎ ‎ (2)设S=SFMN(cm2),求S关于t的关系式,并求S的最大值;‎ ‎ (3)是否存在这样的t值,使FN与CD的夹角为75°?若存在,求出对应的t值;若不存在,请说明理由.‎ ‎3.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点A(2,0),点C(0,2).点D为BC边上一动点,将COD沿OD对折成EOD,将点B沿点O和BA边上一点F的连线对折使其落在射线DE上的点G处.‎ ‎ (1)填空:∠ODF =____°;‎ ‎ (2)设点D(x,2),点F(2,y),求y关于x的关系式,并求出当x从0增大到2 时,点F的运动路程;‎ ‎ (3)在(2)的条件下,当点G落在x轴上时:‎ ‎ ①求证:CD=AG;‎ ‎ ②求出此时x的值.‎ 图(2)‎ 图(1)‎ ‎ ‎ ‎4.如图,在等腰三角形ABC中,BC=6cm,AB=2cm.点M、N分别从点B、C出发,分别用1cm/s、cm/s的速度在BA、CD边上运动到点A、B停止,以MN为斜边以如图所示方式在其右上方作等腰直角三角形MNO,设运动时间为t t(s)(0≤t≤2).‎ ‎ (1)填空:∠BAC =____°;‎ ‎ (2)设S=SMNO(cm2),求S关于t的关系式,并求S的最大值;‎ (3)是否存在这样的t值,使点O落在ABC的边上?若存在,求出对应的t值;若不存在,请说明理由.‎ 三、例题解析 答案:‎ ‎1.(1)(2,2);‎ ‎(2)把CDE分割成CDF和CFE,分别作出CF边上的高,把面积的变化转化为CF长度的变化,再利用AOD∽DBF表示BF的长度;‎ ‎ y=-x+2=(x-1)2+;‎ ‎(3)①当CE=BE时,x=1;②当BC=BE时,x=;③当BC=CE时,x=2.‎ ‎【考点:正方形的性质、全等三角形、相似三角形、二次函数、等腰三角形】‎ ‎2.(1)45;‎ ‎ (2)连接FC,SFMN=SFCM+SFCN-SMCN,利用二次函数的性质求出S的最大值;‎ ‎ S=t2-t+3+,Smax=3+;‎ ‎ (3)用含t的式子表示FC的长;①当∠FND=75°,t=;②当∠FNC=75°,t=3-.‎ ‎ 【考点:全等三角形、三角函数、二次函数、解直角三角形】‎ ‎3.(1)90;‎ ‎ (2)利用相似求出关系式,路程分开y从2到最小值和从最小值到2两段;‎ ‎ y=-x+2=(x-)2+;运动路程长为3;‎ ‎ (3)①连接BG,四边形BGOD为平行四边形;②利用①和相似得出结论,此时x=.‎ ‎ 【考点:矩形的性质、相似三角形、平行四边形、二次函数】‎ ‎4.(1)120;‎ ‎ (2)把MNO的面积用MN2表示,而MN2用勾股定理求得;‎ ‎ S=(x-) 2+;‎ ‎ (3)①当落在AB边上,t=;②当落在BC边上,t=;‎ ‎③当落在AC边上,过点M、N向AC边做垂直,证出全等,t=.‎ ‎ 【考点:等腰三角形、三角函数、勾股定理、二次函数、全等三角形、解直角三角形】‎ 解析:主要的命题形式与例题对应:‎ ‎1.最值问题.‎ ‎ 【题1(2),题2(2),题3(2),题4(2)】‎ ‎2.特殊时刻.‎ ‎ 【题1(3),题2(3),题3(3),题4(3)】‎ ‎3.纯几何证明.‎ ‎ 【题1(2)过程,题3(3)①,题4(3)过程】‎
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