中考复习三角函数相关练习题一

中考复习三角函数相关练习题一

‎2017年03月09日三角相关一 ‎　‎ 一．解答题（共40小题）‎ ‎1．如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸PQ与MN平行，河岸MN上有A、B两个相距50米的凉亭，小亮在河对岸D处测得∠ADP=60°，然后沿河岸走了110米到达C处，测得∠BCP=30°，求这条河的宽．（结果保留根号）‎ ‎2．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值．‎ ‎3．如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD=2PA．‎ ‎（1）证明：直线PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；‎ ‎（3）求sin∠OPA的值．‎ ‎4．如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．‎ ‎（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．‎ ‎（2）若cos∠C=，DF=3，求⊙O的半径．‎ ‎5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．‎ ‎（1）求证：AE=CE；‎ ‎（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若（n＞0），求sin∠CAB．‎ ‎6．如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=．‎ ‎（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；‎ ‎（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）．‎ ‎7．已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠A=60°，∠APB的平分线PF分别交BC、AB于点D、E，交⊙O于点F、G，且BD•AE=2．‎ ‎（1）求证：△BPD∽△APE；‎ ‎（2）求FE•EG的值；‎ ‎（3）求tan∠BDE的值．‎ ‎8．某工程队修建一条高速公路，在某座山处要打通一条东西走向的隧道AB（如图），为了预算造价，应测出隧道AB的长，为此，在A的正南方向1500米的C处，测得∠ACB=62°，求隧道AB的长．‎ ‎9．将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．‎ ‎（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）‎ ‎（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）‎ ‎（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？‎ 参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）‎ ‎10．一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上．‎ ‎（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里？（结果保留根号）‎ ‎（2）当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留到个位，参考数据：）．‎ ‎11．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．‎ ‎（1）求办公楼AB的高度；‎ ‎（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．‎ ‎（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）‎ ‎12．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB=63m，∠A=45°，∠B=37°，求AC，CB 的长．（结果保留小数点后一位）‎ 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．‎ ‎13．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．‎ ‎（1）求AB段山坡的高度EF；‎ ‎（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）‎ ‎14．如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：=1.414，=1.732）‎ ‎15．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）‎ ‎16．某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的垂直距离BC为3.6米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.6米，看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为16米（C，A，D在同一条直线上）．‎ ‎（1）求看台最低点A到最高点B的坡面距离；‎ ‎（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）‎ ‎17．2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°‎ ‎（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；‎ ‎（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？‎ ‎（参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02 ）‎ ‎18．在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE的高度．如图，已知塔基顶端B（和A、E共线）与地面C处固定的绳索的长BC为80m．她先测得∠BCA=35°，然后从C点沿AC方向走30m到达D点，又测得塔顶E的仰角为50°，求塔高AE．（人的高度忽略不计，结果用含非特殊角的三角函数表示）‎ ‎19．某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．‎ ‎20．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．‎ ‎21．如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．‎ ‎（1）若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？‎ ‎（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）‎ ‎22．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．‎ ‎23．小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树A和B之间的距离，他在A处测得大树B在A的北偏西30°方向，他从A处出发向北偏东15°方向走了200米到达C处，测得大树B在C的北偏西60°方向．‎ ‎（1）求∠ABC的度数；‎ ‎（2）求两棵大树A和B之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）‎ ‎24．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．‎ 求证：‎ ‎（1）FC=FG；‎ ‎（2）AB2=BC•BG．‎ ‎25．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．‎ ‎（1）求证：∠FBC=∠FCB；‎ ‎（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．‎ ‎26．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F、E，且．‎ ‎（1）求证：△ADC∽△EBA；‎ ‎（2）如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值．‎ ‎27．边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中如图放置，已知点A的横坐标为1，作直线OC与边AD交于点E．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）过O，D两点作直线，记该直线与直线OC的夹角为α，试求tanα的值．‎ ‎28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）‎ ‎（1）求直线AD的解析式；‎ ‎（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．‎ ‎29．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点M、N，过点A作PO的垂线AB，垂足为C，变⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，连接AD、‎ BM．‎ ‎（1）等式OD2=OC•OP成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎（2）若AD=6，tan∠M=，求sin∠D的值．‎ ‎30．已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3‎ ‎（1）求A、B两点的坐标；‎ ‎（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．‎ ‎31．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎32．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；‎ ‎（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．‎ ‎33．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标；‎ ‎（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．‎ ‎34．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+（其中a、b为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且与y轴交于点C，点D为对称轴与直线BC的交点．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）抛物线上存在点P，使得△DPB∽△ACB，求点P的坐标；‎ ‎（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M为直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以Q、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎35．如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．‎ ‎（1）求该抛物线所对应的函数解析式；‎ ‎（2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；‎ ‎（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．‎ ‎①若∠APE=∠CPE，求证：；‎ ‎②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎36．如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．‎ ‎（1）求点A，点B的坐标；‎ ‎（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；‎ ‎（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．‎ ‎（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC=．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；‎ ‎（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎38．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．‎ ‎（1）求证：∠ACD=∠B；‎ ‎（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；‎ ‎①求tan∠CFE的值；‎ ‎②若AC=3，BC=4，求CE的长．‎ ‎39．如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点E，与CD相交于点F，连接EF．‎ ‎（1）求证：EF平分∠BFD．‎ ‎（2）若tan∠FBC=，DF=，求EF的长．‎ ‎40．如图1，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，EC切⊙O于点C，OP⊥AO交AC于点P，交EC的延长线于点D．‎ ‎（1）求证：△PCD是等腰三角形；‎ ‎（2）CG⊥AB于H点，交⊙O于G点，过B点作BF∥EC，交⊙O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE=，CQ=5，求AF的值．‎ ‎　‎ ‎2017年03月09日三角相关一 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共40小题）‎ ‎1．（2011•辽阳）如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸PQ与MN平行，河岸MN上有A、B两个相距50米的凉亭，小亮在河对岸D处测得∠ADP=60°，然后沿河岸走了110米到达C处，测得∠BCP=30°，求这条河的宽．（结果保留根号）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用；平行线的性质；矩形的判定与性质；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题；方程思想．‎ ‎【分析】应合理应用∠CAQ的度数，CD的长度，所以过点D作CA的平行线得到平行四边形．过点D向对边引垂线，得到直角三角形，进而利用三角函数值求得河宽．‎ ‎【解答】解：作AE⊥PQ于E，CF⊥MN于F．（1分）‎ ‎∵PQ∥MN，‎ ‎∴四边形AECF为矩形．‎ ‎∴EC=AF，AE=CF．（2分）‎ 设这条河宽为x米，‎ ‎∴AE=CF=x．‎ 在Rt△AED中，‎ ‎∵∠ADP=60°，‎ ‎∴ED===x．（4分）‎ ‎∵PQ∥MN，‎ ‎∴∠CBF=∠BCP=30°．‎ ‎∴在Rt△BCF中，‎ BF===x．（6分）‎ ‎∵EC=ED+CD，AF=AB+BF，‎ ‎∴x+110=50+x．‎ 解得x=30．‎ ‎∴这条河的宽为30米．（10分）‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用．难点是作出辅助线，利用三角函数求解．‎ ‎　‎ ‎2．（2010•泰安）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】（1）连接AD、OD，根据AC是圆的直径，即可得到AD⊥BC，再根据三角形中位线定理即可得到OD∥AB，这得到OD⊥DE，从而求证，DE是圆的切线．‎ ‎（2）根据平行线分线段成比例定理，即可求得FC的长，即可求得AF，根据余弦的定义即可求解．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AD、OD ‎∵AC是直径 ‎∴AD⊥BC ‎∵AB=AC ‎∴D是BC的中点 又∵O是AC的中点 ‎∴OD∥AB ‎∵DE⊥AB ‎∴OD⊥DE ‎∴DE是⊙O的切线 ‎（2）解：由（1）知OD∥AE，‎ ‎∴∠FOD=∠FAE，∠FDO=∠FEA，‎ ‎∴△FOD∽△FAE，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 解得FC=2‎ ‎∴AF=6‎ ‎∴Rt△AEF中，cos∠FAE====．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．并且本题还考查了三角函数的定义．‎ ‎　‎ ‎3．（2010•襄阳）如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD=2PA．‎ ‎（1）证明：直线PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；‎ ‎（3）求sin∠OPA的值．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义；全等三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【专题】证明题；压轴题；探究型．‎ ‎【分析】（1）连接OB．证OB⊥PB即可．通过证明△POB≌△POA得证．‎ ‎（2）根据切线长定理PA=PB．BD=2PA，则BD=2PB，即BD：PD=2：3．‎ 根据BC∥OP可得△DBC∽△DPO，从而得出线段PO与线段BC之间的数量关系．‎ ‎（3）根据三角函数的定义即求半径与OP的比值．设OA=x，PA=y．则OD=3x，OB=x，BD=2y．在△BOD中可求y与x的关系，进而在△POB中求OP与x的关系，从而求比值得解．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OB．‎ ‎∵BC∥OP，‎ ‎∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB，‎ ‎∴∠POA=∠POB，‎ 又∵PO=PO，OB=OA，‎ ‎∴△POB≌△POA． ‎ ‎∴∠PBO=∠PAO=90°．‎ ‎∴PB是⊙O的切线． ‎ ‎（2）解：2PO=3BC．（写PO=BC亦可）‎ 证明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA． ‎ ‎∵BD=2PA，∴BD=2PB．‎ ‎∵BC∥PO，∴△DBC∽△DPO． ‎ ‎∴，‎ ‎∴2PO=3BC． ‎ ‎（3）解：∵CB∥OP，‎ ‎∴△DBC∽△DPO，‎ ‎∴，‎ 即DC=OD．‎ ‎∴OC=OD，‎ ‎∴DC=2OC． ‎ 设OA=x，PA=y．则OD=3x，OB=x，BD=2y．‎ 在Rt△OBD中，由勾股定理得（3x）2=x2+（2y）2，即2x2=y2．‎ ‎∵x＞0，y＞0，‎ ‎∴y=x，OP==x． ‎ ‎∴sin∠OPA====．‎ ‎【点评】此题考查了切线的判定、切线长定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角函数等知识点，综合性强，难度大．‎ ‎　‎ ‎4．（2010•柳州）如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．‎ ‎（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．‎ ‎（2）若cos∠C=，DF=3，求⊙O的半径．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题；压轴题．‎ ‎【分析】（1）连接AC．欲求MN⊥BC，只需证MN∥AC即可．由于直径AB⊥CD，由垂径定理知E是CD中点，而M是AD的中点，故EM是△ACD的中位线，可得ME（即MN）∥AC，由此得证．‎ ‎（2）由于∠A、∠C所对的弧相同，因此cosA=cosC，由此可得BF、AF、AB的比例关系，用未知数表示出它们的长．‎ 连接BD，证△BDF∽△ABF，根据所得比例线段即可求得未知数的值（也可利用切割线定理求解），从而得到直径AB的长，也就能求出⊙O的半径．‎ ‎【解答】（1）证明：‎ ‎（方法一）连接AC．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于E，‎ 由垂径定理得，点E是CD的中点；‎ 又∵M是AD的中点，‎ ‎∴ME是△DAC的中位线，‎ ‎∴MN∥AC．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．‎ ‎∴∠MNB=90°，即MN⊥BC；‎ ‎（方法二）∵AB⊥CD，∴∠AED=∠BEC=90°．‎ M是AD的中点，‎ ‎∴ME=AM，即有∠MEA=∠A．‎ ‎∵∠MEA=∠BEN，∠C=∠A，‎ ‎∴∠C=∠BEN．‎ 又∵∠C+∠CBE=90°，‎ ‎∴∠CBE+∠BEN=90°，‎ ‎∴∠BNE=90°，即MN⊥BC；‎ ‎（方法三）∵AB⊥CD，∴∠AED=90°．‎ 由于M是AD的中点，‎ ‎∴ME=MD，即有∠MED=∠EDM．‎ 又∵∠CBE与∠EDA同对，∴∠CBE=∠EDA．‎ ‎∵∠MED=∠NEC，‎ ‎∴∠NEC=∠CBE．‎ ‎∵∠C+∠CBE=90°，‎ ‎∴∠NEC+∠C=90°，‎ 即有∠CNE=90°，即MN⊥BC．‎ ‎（2）解：连接BD．‎ ‎∵∠BCD与∠BAF同对，∴∠C=∠A，‎ ‎∴cosA=cosC=．‎ ‎∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°．‎ 在Rt△ABF中，cosA==，‎ 设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得：BF=3x．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，‎ ‎∴△ABF∽△BDF，‎ ‎∴，‎ 即，‎ x=．‎ ‎∴直径AB=4x=4×，‎ 则⊙O的半径为．‎ ‎【点评】此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质等知识，难度适中．‎ ‎　‎ ‎5．（2008•肇庆）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．‎ ‎（1）求证：AE=CE；‎ ‎（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若（n＞0），求sin∠CAB．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【专题】几何综合题；压轴题．‎ ‎【分析】（1）连接DE，根据∠ABC=90°可知：AE为⊙O的直径，可得∠ADE=90°，根据CD⊥AC，AD=CD，可证AE=CE；‎ ‎（2）根据△ADE∽△AEF，可将AE即⊙O的直径求出；‎ ‎（3）根据Rt△ADE∽Rt△EDF，=n，可将DE的长表示出来，在Rt△CDE中，根据勾股定理可将CE的长表示出来，从而可将sin∠CAB的值求出．‎ ‎【解答】（1）证明：连接DE，‎ ‎∵∠ABC=90°‎ ‎∴∠ABE=90°‎ ‎∴AE是⊙O直径 ‎∴∠ADE=90°‎ ‎∴DE⊥AC 又∵D是AC的中点 ‎∴DE是AC的垂直平分线 ‎∴AE=CE；‎ ‎（2）解：在△ADE和△EFA中，‎ ‎∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE ‎∴△ADE∽△EFA ‎∴‎ 即 ‎∴AE=2cm；‎ ‎（3）解：∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，‎ ‎∴∠ADE=∠AEF=90°‎ ‎∴Rt△ADE∽Rt△EDF ‎∴‎ ‎∵，AD=CD ‎∴CF=nCD ‎∴DF=（1+n）CD ‎∴DE=CD 在Rt△CDE中，CE2=CD2+DE2=CD2+（CD）2=（n+2）CD2‎ ‎∴CE=CD ‎∵∠CAB=∠DEC ‎∴sin∠CAB=sin∠DEC===．‎ ‎【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的性质及相似三角形的性质和应用．‎ ‎　‎ ‎6．（2007•中山）如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=．‎ ‎（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；‎ ‎（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题；压轴题．‎ ‎【分析】（1）过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．那么求BM的长就转化为求HA的长，而要求出HA，必须先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα==，且铁环的半径为5个单位即OM=5，可求得HM的值，从而求得HA 的值；‎ ‎（2）因为∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，又因为sinα==，所以可得出FN和FM之间的数量关系，即FN=FM，再根据MN=11﹣3=8，利用勾股定理即可求出FM=10个单位．‎ ‎【解答】解：过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．‎ ‎（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=5，‎ HM=OM×sinα=3，‎ 所以OH=4，‎ MB=HA=5﹣4=1，‎ ‎1×5=5cm．‎ 所以铁环钩离地面的高度为5cm；‎ ‎（2）∵铁环钩与铁环相切，‎ ‎∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，‎ ‎∴=sinα=，‎ ‎∴FN=FM，‎ 在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC﹣AB=11﹣3=8．‎ ‎∵FM2=FN2+MN2，‎ 即FM2=（FM）2+82，‎ 解得：FM=10，‎ ‎10×5=50（cm）．‎ ‎∴铁环钩的长度FM为50cm．‎ ‎【点评】考查了解直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中即可解答．‎ ‎　‎ ‎7．（2002•贵阳）已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠A=60°，∠APB的平分线PF分别交BC、AB于点D、E，交⊙O于点F、G，且BD•AE=2．‎ ‎（1）求证：△BPD∽△APE；‎ ‎（2）求FE•EG的值；‎ ‎（3）求tan∠BDE的值．‎ ‎【考点】解直角三角形；切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；证明题；压轴题．‎ ‎【分析】（1）欲证△BPD∽△APE，必须找出角的等量关系，由PB是圆的切线，得出角∠PBC=∠A，再由PF是∠APB的平分线，得出∠APE=∠BPD，从而得出结论．‎ ‎（2）由△BPD∽△APE得出角的等量关系，再由角相等得出边相等，然后由已知条件得出结论．‎ ‎（3）由△BPD∽△APE得出对应边的比例关系，再由弦切角定理得出∠ABP=90°，再由角A的正弦值得出对应边的长度，再求tan∠BDE的值即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵BP切⊙O于点B，‎ ‎∴∠PBC=∠A．‎ 又∵PF为∠APB的角平分线，‎ ‎∴∠APE=∠BPD．‎ ‎∴△BPD∽△APE．‎ ‎（2）解：∵△BPD∽△APE，‎ ‎∴∠BDP=∠AEP．‎ ‎∴∠BED=∠BDE．‎ ‎∴BE=BD．‎ 又∵BD•AE=2，‎ ‎∴BE•AE=2．‎ ‎∴FE•EG=BE•AE=2．‎ ‎（3）解：∵△BPD∽△APE，‎ ‎∴．‎ 又∵AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，‎ ‎∴∠ABP=90°．‎ 而∠A=60°，‎ ‎∴sin∠A=sin60°=，‎ ‎∴．‎ 又BD=BE，‎ ‎∴．‎ 又∵BE•AE=2，‎ ‎∴AE=2，BE=．‎ ‎∴AB=2+，tan60°=．‎ ‎∴PB=2+3．‎ ‎∴tan∠BDE=tan∠BED=．‎ ‎【点评】本题主要考查，相似三角形的判定，弦切角定理以及角的正弦值、正切值的计算，难度适中．‎ ‎　‎ ‎8．（1998•广东）某工程队修建一条高速公路，在某座山处要打通一条东西走向的隧道AB（如图），为了预算造价，应测出隧道AB的长，为此，在A的正南方向1500米的C处，测得∠ACB=62°，求隧道AB的长．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】根据题意直接运用三角函数的定义解题．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，‎ ‎∵∠CAB=90°，∠C=62°，AC=1500米，‎ ‎∴‎ ‎∴AB=AC×tan62°≈2821米 答：AB的长是2821米．‎ ‎【点评】此题为三角函数的直接应用，属基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（2017•静安区一模）将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．‎ ‎（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）‎ ‎（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）‎ ‎（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？‎ 参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；‎ ‎（2）如图2，过B作BD⊥AO交AO的延长线于D，根据三角函数的定义即可得到结论；‎ ‎（3）如图4，过O′作EF∥OB交AC于E，根据平行线的性质得到∠FEA=∠BOA=115°，于是得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵B′O′⊥OA，垂足为C，∠AO′B=115°，‎ ‎∴∠AO′C=65°，‎ ‎∵cos∠CO′A=，‎ ‎∴O′C=O′A•cos∠CO′A=20•cos65°=8.46≈8.5（cm）；‎ ‎（2）如图2，过B作BD⊥AO交AO的延长线于D，‎ ‎∵∠AOB=115°，‎ ‎∴∠BOD=65°，‎ ‎∵sin∠BOD=，‎ ‎∴BD=OB•sin∠BOD=20×sin65°=18.12，‎ ‎∴O′B′+O′C﹣BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3（cm），‎ ‎∴显示屏的顶部B′比原来升高了10.3cm；‎ ‎（3）如图4，过O′作EF∥OB交AC于E，‎ ‎∴∠FEA=∠BOA=115°，‎ ‎∠FOB′=∠EO′C=∠FEA﹣∠O′CA=115°﹣90°=25°，‎ ‎∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转25度．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（2017•莒县模拟）一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上．‎ ‎（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里？（结果保留根号）‎ ‎（2）当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留到个位，参考数据：）．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有 ‎【专题】行程问题．‎ ‎【分析】（1）过点B作BC⊥AP于点C，先求出BC、AC的长度，然后确定∠CBP的度数，继而在直角三角形PAD中可求出根据PD．‎ ‎（2）设轮船每小时航行x海里，在Rt△ADP中求出AD，继而表示出BD，列出方程可解出x的值．‎ ‎【解答】解：（1）过点B作BC⊥AP于点C，在Rt△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°，‎ ‎∴BC=AB=20，AC=AB•cos30°=20．‎ ‎∵∠PBD=90°﹣15°=75°，∠ABC=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴∠CBP=180°﹣75°﹣60°=45°，‎ ‎∴AP=AC+PC=（20+20）海里．‎ ‎∵PD⊥AD，∠PAD=30°，‎ ‎∴PD=AP=10+10，‎ 答：灯塔P到轮船航线的距离PD是10+10海里；‎ ‎（2）设轮船每小时航行x海里，‎ 在Rt△ADP中，AD=AP•cos30°=（20+20）=（30+10）海里．‎ ‎∴BD=AD﹣AB=30+10﹣40=（10﹣10）海里．‎ ‎+=，‎ 解得x=60﹣20．‎ 经检验，x=60﹣20是原方程的解．‎ ‎∴x=60﹣20≈x=60﹣20×1.73=25.4≈25，‎ 答：轮船每小时航行25海里．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用，有一定的难度，注意在解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．‎ ‎　‎ ‎11．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．‎ ‎（1）求办公楼AB的高度；‎ ‎（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．‎ ‎（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可；‎ ‎（2）利用Rt△AME中，cos22°=，求出AE即可 ‎【解答】解：（1）如图，‎ 过点E作EM⊥AB，垂足为M．‎ 设AB为x．‎ Rt△ABF中，∠AFB=45°，‎ ‎∴BF=AB=x，‎ ‎∴BC=BF+FC=x+25，‎ 在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，‎ tan22°=，‎ 则=，‎ 解得：x=20．‎ 即教学楼的高20m．‎ ‎（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．‎ 在Rt△AME中，cos22°=．‎ ‎∴AE=，‎ 即A、E之间的距离约为48m ‎【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键 ‎　‎ ‎12．（2016•天津）小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB=63m，∠A=45°，∠B=37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）‎ 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC=CD，CB=，可得答案．‎ ‎【解答】解：过点C作CD⊥AB垂足为D，‎ 在Rt△ACD中，tanA=tan45°==1，CD=AD，‎ sinA=sin45°==，AC=CD．‎ 在Rt△BCD中，tanB=tan37°=≈0.75，BD=；‎ sinB=sin37°=≈0.60，CB=．‎ ‎∵AD+BD=AB=63，‎ ‎∴CD+=63，‎ 解得CD≈27，‎ AC=CD≈1.414×27=38.178≈38.2，‎ CB=≈=45.0，‎ 答：AC的长约为38.2m，CB的长约等于45.0m．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用，利用线段的和差得出关于CD的方程是解题关键．‎ ‎　‎ ‎13．（2016•黄石）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．‎ ‎（1）求AB段山坡的高度EF；‎ ‎（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；‎ ‎（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．‎ ‎【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，‎ 在Rt△ABH中，∵sin∠BAH=，‎ ‎∴BH=800•sin30°=400，‎ ‎∴EF=BH=400m；‎ ‎（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，‎ ‎∴CE=200•sin45°=100≈141.4，‎ ‎∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．‎ 答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．‎ ‎　‎ ‎14．（2016•贺州）如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ ‎，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：=1.414，=1.732）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有 ‎【分析】根据正切的定义分别求出AB、DB的长，结合图形求出DH，比较即可．‎ ‎【解答】解：由题意得，AH=10米，BC=10米，‎ 在Rt△ABC中，∠CAB=45°，‎ ‎∴AB=BC=10，‎ 在Rt△DBC中，∠CDB=30°，‎ ‎∴DB==10，‎ ‎∴DH=AH﹣AD=AH﹣（DB﹣AB）=10﹣10+10=20﹣10≈2.7（米），‎ ‎∵2.7米＜3米，‎ ‎∴该建筑物需要拆除．‎ ‎【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（2016•深圳）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；解直角三角形及其应用．‎ ‎【分析】如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．‎ ‎【解答】解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，‎ 由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH，‎ ‎∴∠ABC=30°，∠ACB=45°，‎ ‎∵AB=32m，‎ ‎∴AD=CD=16m，BD=AB•cos30°=16m，‎ ‎∴BC=CD+BD=（16+16）m，‎ 则BH=BC•sin30°=（8+8）m．‎ ‎【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（2016•莱芜）某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的垂直距离BC为3.6米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.6米，看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为16米（C，A，D在同一条直线上）．‎ ‎（1）求看台最低点A到最高点B的坡面距离；‎ ‎（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据正弦的定义计算即可；‎ ‎（2）作FP⊥ED于P，根据正切的定义求出AC，根据正切的概念求出EP，计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△ABC中，‎ AB==6米；‎ ‎（2）AC==4.8米，‎ 则CD=4，.8+16=20.8米，‎ 作FP⊥ED于P，‎ ‎∴FP=CD=20.8，‎ ‎∴EP=FP×tan∠EFP=13.52，‎ DP=BF+BC=5.2，‎ ED=EP+PD=18.72，‎ EG=ED﹣GH﹣HD=16.52，‎ 则红旗升起的平均速度为：16.52÷30=0.55，‎ 答：红旗升起的平均速度为0.55米/秒．‎ ‎【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（2016•德州）2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°‎ ‎（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；‎ ‎（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？‎ ‎（参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02 ）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出LR=AR•cos∠ARL求出答案即可；‎ ‎（2）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出BL=LR•tan∠BRL，再利用AL=ARsin∠ARL，求出AB的值，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△ALR中，AR=6km，∠ARL=42.4°，‎ 由cos∠ARL=，得LR=AR•cos∠ARL=6×cos42.4°≈4.44（km）．‎ 答：发射台与雷达站之间的距离LR为4.44km；‎ ‎（2）在Rt△BLR中，LR=4.44km，∠BRL=45.5°，‎ 由tan∠BRL=，得BL=LR•tan∠BRL=4.44×tan45.5°≈4.44×1.02=4.5288（km），‎ 又∵sin∠ARL=，得AL=ARsin∠ARL=6×sin42.4°≈4.02（km），‎ ‎∴AB=BL﹣AL=4.5288﹣4.02=0.5088≈0.51（km）．‎ 答：这枚火箭从A到B的平均速度大约是0.51km/s．‎ ‎【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎18．（2016•呼和浩特）在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE的高度．如图，已知塔基顶端B（和A、E共线）与地面C处固定的绳索的长BC为80m．她先测得∠BCA=35°，然后从C点沿AC方向走30m到达D点，又测得塔顶E的仰角为50°，求塔高AE．（人的高度忽略不计，结果用含非特殊角的三角函数表示）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有 ‎【分析】根据锐角三角函数关系，得出cos∠ACB=，得出AC的长即可；利用锐角三角函数关系，得出tan∠ADE=，求出AE即可．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=35°，BC=80m，‎ ‎∴cos∠ACB=，‎ ‎∴AC=80cos35°，‎ 在Rt△ADE中，tan∠ADE=，‎ ‎∵AD=AC+DC=80cos35°+30，‎ ‎∴AE=（80cos35°+30）tan50°．‎ 答：塔高AE为（80cos35°+30）tan50°m．‎ ‎【点评】此题主要考查了解直 角三角形的应用，根据已知正确得出锐角三角函数关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎19．（2016•随州）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有 ‎【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，‎ 在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，‎ ‎∴EG=DEsin∠D=1620×=810，‎ ‎∵BC=857.5，CF=EG，‎ ‎∴BF=BC﹣CF=47.5，‎ 在Rt△BEF中，tan∠BEF=，‎ ‎∴EF=BF，‎ 在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，‎ ‎∵tan∠AEF=，‎ ‎∴AF=EF×tan∠AEF，‎ ‎∴x+47.5=3×47.5，‎ ‎∴x=95，‎ 答：雕像AB的高度为95尺．‎ ‎【点评】此题是解直角三角形﹣仰角俯角问题，主要考查了锐角三角函数的意义，解本题的关键是构造直角三角形．‎ ‎　‎ ‎20．（2016•泸州）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有 ‎【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．‎ 在RT△BDN中，BD=30，BN：ND=1：，‎ ‎∴BN=15，DN=15，‎ ‎∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，‎ ‎∴四边形CMBN是矩形，‎ ‎∴CM=BN=15，BM=CN=60﹣15=45，‎ 在RT△ABM中，tan∠ABM==，‎ ‎∴AM=60，‎ ‎∴AC=AM+CM=15+60．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎21．（2016•达州）如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．‎ ‎（1）若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？‎ ‎（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，首先证明△ABC是直角三角形，再证明∠BAC=30°，再求出BD的长即可角问题．‎ ‎（2）求出CD的长度，和CN、CM比较即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．‎ ‎∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°，‎ ‎∴∠ECB=30°，∠ACF=60°，‎ ‎∴∠BCA=90°，‎ ‎∵BC=12，AB=36×=24，‎ ‎∴AB=2BC，‎ ‎∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，‎ ‎∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，‎ ‎∴∠BDC=∠BCD=30°，‎ ‎∴BD=BC=12，‎ ‎∴时间t==小时=20分钟，‎ ‎∴轮船照此速度与航向航向，上午11：00到达海岸线．‎ ‎（2）∵BD=BC，BE⊥CD，‎ ‎∴DE=EC，‎ 在RT△BEC中，∵BC=12，∠BCE=30°，‎ ‎∴BE=6，EC=6≈10.2，‎ ‎∴CD=20.4，‎ ‎∵20＜20.4＜21.5，‎ ‎∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．‎ ‎【点评】本题考查方向角、解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，由数量关系推出∠BAC=30°，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎22．（2016•乐山）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有 ‎【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，‎ 由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，‎ 过点A作AD⊥CB的延长线于点D，‎ 在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=60°，‎ ‎∴BD=AB•cos60°=AB=6，AD=AB•sin60°=6，‎ ‎∴CD=10x+6．‎ 在Rt△ACD中，由勾股定理得：，‎ 解得：（不合题意舍去）．‎ 答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由三角函数和勾股定理得出方程是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（2016•抚顺）小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树A和B 之间的距离，他在A处测得大树B在A的北偏西30°方向，他从A处出发向北偏东15°方向走了200米到达C处，测得大树B在C的北偏西60°方向．‎ ‎（1）求∠ABC的度数；‎ ‎（2）求两棵大树A和B之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）先利用平行线的性质得∠ACM=∠DAC=15°，再利用平角的定义计算出∠ACB=105°，然后根据三角形内角和计算∠ABC的度数；‎ ‎（2）作CH⊥AB于H，如图，易得△ACH为等腰直角三角形，则AH=CH=AC=100，在Rt△BCH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BH=CH=100，AB=AH+BH=100+100，然后进行近似计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵CM∥AD，‎ ‎∴∠ACM=∠DAC=15°，‎ ‎∴∠ACB=180°﹣∠BCN﹣∠ACM=180°﹣60°﹣15°=105°，‎ 而∠BAC=30°+15°=45°，‎ ‎∴∠ABC=180°﹣45°﹣105°=30°；‎ ‎（2）作CH⊥AB于H，如图，‎ ‎∵∠BAC=45°，‎ ‎∴△ACH为等腰直角三角形，‎ ‎∴AH=CH=AC=×200=100，‎ 在Rt△BCH中，∵∠HBC=30°，‎ ‎∴BH=CH=100，‎ ‎∴AB=AH+BH=100+100≈141.4+244.9≈386．‎ 答：两棵大树A和B之间的距离约为386米．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题：在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．解决此题的关键作CH⊥AB构建含特殊角的直角三角形．‎ ‎　‎ ‎24．（2016•陕西）如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．‎ 求证：‎ ‎（1）FC=FG；‎ ‎（2）AB2=BC•BG．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出 FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；‎ ‎（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．‎ ‎【解答】证明：（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，‎ ‎∴EF⊥AD，‎ ‎∵E是AD的中点，‎ ‎∴FA=FD，‎ ‎∴∠FAD=∠D，‎ ‎∵GB⊥AB，‎ ‎∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，‎ ‎∴∠DCB=∠G，‎ ‎∵∠DCB=∠GCF，‎ ‎∴∠GCF=∠G ‎，∴FC=FG；‎ ‎（2）连接AC，如图所示：‎ ‎∵AB⊥BG，‎ ‎∴AC是⊙O的直径，‎ ‎∵FD是⊙O的切线，切点为C，‎ ‎∴∠DCB=∠CAB，‎ ‎∵∠DCB=∠G，‎ ‎∴∠CAB=∠G，‎ ‎∵∠CBA=∠GBA=90°，‎ ‎∴△ABC∽△GBA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AB2=BC•BG．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（2016•呼和浩特）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．‎ ‎（1）求证：∠FBC=∠FCB；‎ ‎（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）由圆内接四边形的性质和邻补角关系证出∠FBC=∠CAD，再由角平分线和对顶角相等得出∠FAB=∠CAD，由圆周角定理得出∠FAB=∠FCB，即可得出结论；‎ ‎（2）由（1）得：∠FBC=∠FCB，由圆周角定理得出∠FAB=∠FBC，由公共角∠BFA=∠BFD，证出△AFB∽△BFD，得出对应边成比例求出BF，得出FD、AD的长，由圆周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°，由三角函数求出∠FBA=30°，再由三角函数求出CD的长即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形AFBC内接于圆，‎ ‎∴∠FBC+∠FAC=180°，‎ ‎∵∠CAD+∠FAC=180°，‎ ‎∴∠FBC=∠CAD，‎ ‎∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，‎ ‎∴∠EAD=∠CAD，‎ ‎∵∠EAD=∠FAB，‎ ‎∴∠FAB=∠CAD，‎ 又∵∠FAB=∠FCB，‎ ‎∴∠FBC=∠FCB；‎ ‎（2）解：由（1）得：∠FBC=∠FCB，‎ 又∵∠FCB=∠FAB，‎ ‎∴∠FAB=∠FBC，‎ ‎∵∠BFA=∠BFD，‎ ‎∴△AFB∽△BFD，‎ ‎∴，‎ ‎∴BF2=FA•FD=12，‎ ‎∴BF=2，‎ ‎∵FA=2，‎ ‎∴FD=6，AD=4，‎ ‎∵AB为圆的直径，‎ ‎∴∠BFA=∠BCA=90°，‎ ‎∴tan∠FBA===，‎ ‎∴∠FBA=30°，‎ 又∵∠FDB=∠FBA=30°，‎ ‎∴CD=AD•cos30°=4×=2．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎26．（2016•凉山州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F、E，且．‎ ‎（1）求证：△ADC∽△EBA；‎ ‎（2）如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）欲证△ADC∽△EBA，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明且就可以；‎ ‎（2）A是的中点，的中点，则AC=AB=8，根据△CAD∽△ABE得到∠CAD=∠AEC，求得AE，根据正切三角函数的定义就可以求出结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠CDA=∠ABE．‎ ‎∵，‎ ‎∴∠DCA=∠BAE．‎ ‎∴△ADC∽△EBA；‎ ‎（2）解：∵A是的中点，‎ ‎∴‎ ‎∴AB=AC=8，‎ ‎∵△ADC∽△EBA，‎ ‎∴∠CAD=∠AEC，，‎ 即，‎ ‎∴AE=，‎ ‎∴tan∠CAD=tan∠AEC===．‎ ‎【点评】本题考查的是圆的综合题，涉及到弧、弦的关系，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎27．（2016•上虞区一模）边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中如图放置，已知点A的横坐标为1，作直线OC与边AD交于点E．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）过O，D两点作直线，记该直线与直线OC的夹角为α，试求tanα的值．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）由正方形ABCD的边长为2，得到AB=CD=2，由点A的横坐标为1，得到OA=1，于是得到结论；‎ ‎（2）过D作DH⊥OC于H，根据相似三角形的性质得到，求出AE=，得到DE=，根据勾股定理得到CE==，根据三角形的面积得到DH==，根据勾股定理得到OD==，OH==，根据三角函数的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为2，‎ ‎∴AB=CD=2，‎ ‎∵点A的横坐标为1，‎ ‎∴OA=1，‎ ‎∴OB=3，‎ ‎∴C（3，2）；‎ ‎（2）过D作DH⊥OC于H，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴△OAE∽△OBC，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴AE=，‎ ‎∴DE=，‎ ‎∴CE==，‎ ‎∴DH==，‎ 在Rt△ADO中，OD==，‎ ‎∴OH==，‎ ‎∴tanα==．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎28．（2016•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）‎ ‎（1）求直线AD的解析式；‎ ‎（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．‎ ‎【考点】相似三角形的性质；待定系数法求一次函数解析式．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（，），D（0，1）的坐标代入即可；‎ ‎（2）由直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），得到OB=2，由点D的坐标为（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，‎ 将A（，），D（0，1）代入得：，‎ 解得：．‎ 故直线AD的解析式为：y=x+1；‎ ‎（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），‎ ‎∴OB=2，‎ ‎∵点D的坐标为（0，1），‎ ‎∴OD=1，‎ ‎∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），‎ ‎∴OC=3，‎ ‎∴BC=5‎ ‎∵△BOD与△BEC相似，‎ ‎∴或，‎ ‎∴==或，‎ ‎∴BE=2，CE=，或CE=，‎ ‎∵BC•EF=BE•CE，‎ ‎∴EF=2，CF==1，‎ ‎∴E（2，2），或（3，）．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎29．（2016•通辽）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点M、N，过点A作PO的垂线AB，垂足为C，变⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，连接AD、BM．‎ ‎（1）等式OD2=OC•OP成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎（2）若AD=6，tan∠M=，求sin∠D的值．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）连接OA，由切线的性质得出∠OAP=∠ACO=90°，证出△OAC∽△OPA，得出对应边成比例，即可得出结论；‎ ‎（2）连接BN，由三角函数得出=，设BN=x，BM=2x，由勾股定理得出MN==x，由三角形面积得出BC=x，得出AB=2BC=x，在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程求出BD、AB的长，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：（1）等式OD2=OC•OP成立；理由如下 连接OA，如图1所示：‎ ‎∵PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作PO的垂线AB，垂足为C，‎ ‎∴∠OAP=∠ACO=90°，‎ ‎∵∠AOC=∠POA，‎ ‎∴△OAC∽△OPA，‎ ‎∴=，‎ 即OA2=OC•OP ‎∵OD=OA，‎ ‎∴OD2=OC•OP；‎ ‎（2）连接BN，如图2所示：‎ 则∠MBN=90°．‎ ‎∵tan∠M=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴设BN=x，BM=2x，‎ 则由勾股定理，得 MN==x，‎ ‎∵BM•BN=MN•BC，‎ ‎∴BC=x，‎ 又∵AB⊥MN，‎ ‎∴AB=2BC=x，‎ ‎∴Rt△ABD中，BD=MN=x，‎ AD2+AB2=BD2，‎ ‎∴62+（x）2=（x）2，‎ 解得：x=2，‎ ‎∴BD=×2=10，AB=8，‎ ‎∴sin∠D===．‎ ‎【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的性质，证明三角形相似和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎30．（2016•无锡）已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3‎ ‎（1）求A、B两点的坐标；‎ ‎（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）由二次函数的解析式可求出对称轴为x=1，过点P作PE⊥x轴于点E，所以OE：EB=CP：PD；‎ ‎（2）过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，构造直角三角形CDF，利用tan∠PDB=即可求出FD，由于△CPG∽△CDF，所以可求出PG的长度，进而求出a的值，最后将A（或B）的坐标代入解析式即可求出c的值．‎ ‎【解答】解：（1）过点P作PE⊥x轴于点E，‎ ‎∵y=ax2﹣2ax+c，‎ ‎∴该二次函数的对称轴为：x=1，‎ ‎∴OE=1‎ ‎∵OC∥BD，‎ ‎∴CP：PD=OE：EB，‎ ‎∴OE：EB=2：3，‎ ‎∴EB=，‎ ‎∴OB=OE+EB=，‎ ‎∴B（，0）‎ ‎∵A与B关于直线x=1对称，‎ ‎∴A（﹣，0）；‎ ‎（2）过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，‎ 令x=1代入y=ax2﹣2ax+c，‎ ‎∴y=c﹣a，‎ 令x=0代入y=ax2﹣2ax+c，‎ ‎∴y=c ‎∴PG=a，‎ ‎∵CF=OB=，‎ ‎∴tan∠PDB=，‎ ‎∴FD=2，‎ ‎∵PG∥BD ‎∴△CPG∽△CDF，‎ ‎∴==‎ ‎∴PG=，‎ ‎∴a=，‎ ‎∴y=x2﹣x+c，‎ 把A（﹣，0）代入y=x2﹣x+c，‎ ‎∴解得：c=﹣1，‎ ‎∴该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣1．‎ ‎【点评】‎ 本题考查二次函数，涉及待定系数法求出二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数等知识内容，解题的关键是利用作垂线构造直角三角形，再利用相似三角形的对应边的比相等即可得出答案．‎ ‎　‎ ‎31．（2016•潍坊）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；‎ ‎（2）设点P（m，m2+2m+1），表示出PE=﹣m2﹣3m，再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可；‎ ‎（3）先判断出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1，‎ ‎（2）∵AC∥x轴，A（0，1）‎ ‎∴x2+2x+1=1，‎ ‎∴x1=﹣6，x2=0，‎ ‎∴点C的坐标（﹣6，1），‎ ‎∵点A（0，1）．B（﹣9，10），‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，‎ 设点P（m，m2+2m+1）‎ ‎∴E（m，﹣m+1）‎ ‎∴PE=﹣m+1﹣（m2+2m+1）=﹣m2﹣3m，‎ ‎∵AC⊥EP，AC=6，‎ ‎∴S四边形AECP ‎=S△AEC+S△APC ‎=AC×EF+AC×PF ‎=AC×（EF+PF）‎ ‎=AC×PE ‎=×6×（﹣m2﹣3m）‎ ‎=﹣m2﹣9m ‎=﹣（m+）2+，‎ ‎∵﹣6＜m＜0‎ ‎∴当m=﹣时，四边形AECP的面积的最大值是，‎ 此时点P（﹣，﹣）．‎ ‎（3）∵y=x2+2x+1=（x+3）2﹣2，‎ ‎∴P（﹣3，﹣2），‎ ‎∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，‎ ‎∴PF=CF，‎ ‎∴∠PCF=45°‎ 同理可得：∠EAF=45°，‎ ‎∴∠PCF=∠EAF，‎ ‎∴在直线AC上存在满足条件的Q，‎ 设Q（t，1）且AB=9，AC=6，CP=3‎ ‎∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，‎ ‎①当△CPQ∽△ABC时，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴t=﹣4，‎ ‎∴Q（﹣4，1）‎ ‎②当△CQP∽△ABC时，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴t=3，‎ ‎∴Q（3，1）．‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．‎ ‎　‎ ‎32．（2016•威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；‎ ‎（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．‎ ‎【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可．‎ ‎（2）分①点E在直线CD上方的抛物线上和②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；‎ ‎（3）分①CM为菱形的边和②CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算；‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），‎ ‎∴设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），‎ ‎∴﹣8a=4，‎ ‎∴a=﹣，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4；‎ ‎（2）如图1，‎ ‎①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，‎ 连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，‎ 由（1）知，OC=4，‎ ‎∵∠ACO=∠E′CF′，‎ ‎∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，‎ ‎∴=，‎ 设线段E′F′=h，则CF′=2h，‎ ‎∴点E′（2h，h+4）‎ ‎∵点E′在抛物线上，‎ ‎∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，‎ ‎∴h=0（舍）h=‎ ‎∴E′（1，），‎ ‎②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，‎ 连接CE，过E作EF⊥CD，垂足为F，‎ 由（1）知，OC=4，‎ ‎∵∠ACO=∠ECF，‎ ‎∴tan∠ACO=tan∠ECF，‎ ‎∴=，‎ 设线段EF=h，则CF=2h，‎ ‎∴点E（2h，4﹣h）‎ ‎∵点E在抛物线上，‎ ‎∴﹣（2h）2+2h+4=4﹣h，‎ ‎∴h=0（舍）h=‎ ‎∴E（3，），‎ 点E的坐标为（1，），（3，）‎ ‎（3）①CM为菱形的边，如图2，‎ 在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，‎ ‎∴四边形CM′P′N′是平行四边形，‎ ‎∵四边形CM′P′N′是菱形，‎ ‎∴P′M′=P′N′，‎ 过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，‎ ‎∵OC=OB，∠BOC=90°，‎ ‎∴∠OCB=45°，‎ ‎∴∠P′M′C=45°，‎ 设点P′（m，﹣m2+m+4），‎ 在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，‎ ‎∵B（4，0），C（0，4），‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，‎ ‎∵P′N′∥y轴，‎ ‎∴N′（m，﹣m+4），‎ ‎∴P′N′=﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，‎ ‎∴m=﹣m2+2m，‎ ‎∴m=0（舍）或m=4﹣2，‎ 菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）=4﹣4．‎ ‎②CM为菱形的对角线，如图3，‎ 在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，‎ 交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，‎ ‎∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，‎ ‎∵四边形CPMN是菱形，‎ ‎∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，‎ ‎∵∠OCB=45°，‎ ‎∴∠NCQ=45°，‎ ‎∴∠PCQ=45°，‎ ‎∴∠CPQ=∠PCQ=45°，‎ ‎∴PQ=CQ，‎ 设点P（n，﹣n2+n+4），‎ ‎∴CQ=n，OQ=n+4，‎ ‎∴n+4=﹣n2+n+4，‎ ‎∴n=0（舍），‎ ‎∴此种情况不存在．‎ ‎∴菱形的边长为4﹣4．‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，菱形的性质，平行四边形的性质，判定，锐角三角函数，解本题的关键是用等角的同名三角函数值相等建立方程求解．‎ ‎　‎ ‎33．（2016•南充）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y 轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标；‎ ‎（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．‎ ‎【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入即可解决问题．‎ ‎（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），根据sin∠AMF==，列出方程即可解决问题．‎ ‎（3））①当MN是对角线时，设点F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解决问题．②当MN为边时，设点Q（m，﹣m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣m2﹣m+6），代入抛物线解析式，解方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（3，0），‎ ‎∴可以假设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入得到a=﹣，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．‎ ‎（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），‎ 则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG=（m+5），FM==，‎ ‎∵sin∠AMF=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，整理得到2m2+19m+44=0，‎ ‎∴（m+4）（2m+11）=0，‎ ‎∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），‎ ‎∴点Q坐标（﹣4，）．‎ ‎（3）①当MN是对角线时，设点F（m，0）．‎ ‎∵直线AC解析式为y=x+5，‎ ‎∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），‎ ‎∵QN=PM，‎ ‎∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，‎ 解得m=﹣3±，‎ ‎∴点M坐标（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．‎ ‎②当MN为边时，设点Q（m，﹣m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣m2﹣m+6），‎ ‎∵NQ=PM，‎ ‎∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，‎ 解得m=﹣3．‎ ‎∴点M坐标（﹣2，3），‎ 综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎34．（2016•锦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+（其中a、b为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且与y轴交于点C，点D为对称轴与直线BC的交点．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）抛物线上存在点P，使得△DPB∽△ACB，求点P的坐标；‎ ‎（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M为直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以Q、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据抛物线过A、B两点，待定系数法求解可得；‎ ‎（2）根据A、B、C三点坐标得出△ABC三边长度，从而判定△ABC为直角三角形且∠ABC=30°，设点P的坐标为（m，﹣m2+m+），过点P作PE⊥OB于点E，则BE=3﹣m，PE=﹣m2+m+由△DPB∽△ACB知∠ABC=∠DBP=30°，得出∠PBE=60°，继而有tan∠PBE=，得出关于m的方程，解之可得；‎ ‎（3）由点Q为点O关于直线BC的对称点可求出点Q的坐标，即可得BQ的长，再分BQ为菱形的边和BQ为菱形的对角线两种情况分别求解，①若BQ是菱形的边，则点N在过点Q且平行于BC的直线上，根据BQ=QN利用两点间的距离公式可求得；②若BQ是菱形的对角线，根据菱形的性质BQ与MN互相垂直平分，可先求得BQ解析式及中点H的坐标，由MN⊥BQ及中点H的坐标可得MN的解析式，结合直线BC的解析式可得M点的坐标，最后利用MN中点H的坐标，即可求得点N的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+中，‎ 得：，解得：，‎ ‎∴该抛物线的表达式为y=﹣x2+x+．‎ ‎（2）当x=0时，y=．‎ ‎∴C（0，），‎ ‎∵A（﹣1，0）、B（3，0），‎ ‎∴AB=4，AC=2，BC=2，‎ ‎∵AB2=AC2+BC2，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．且∠ABC=30°，‎ 设直线BC的解析式为y=kx+，‎ 将点B（3，0）代入y=kx+中，‎ 得：0=3k+，解得：k=﹣，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+．‎ 当x=1时，y=，‎ ‎∴D（1，）．‎ 设点P的坐标为（m，﹣m2+m+），‎ 如图1，过点P作PE⊥OB于点E，‎ 则BE=3﹣m，PE=﹣m2+m+，‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎∵△DPB∽△ACB，‎ ‎∴∠ABC=∠DBP=30°，‎ ‎∴∠PBE=60°，‎ 则tan∠PBE=，即=，‎ 解得：m=2或m=3（舍），‎ ‎∴点P的坐标为（2，）．‎ ‎（3）根据题意，如图2，直线BC垂直平分OQ，且kBC=﹣，‎ ‎∴kOQ=，‎ 设直线OQ解析式为y=x，点Q的坐标为（a，a），‎ 则OQ的中点F坐标为（a，a），‎ 将点Q代入直线BC的解析式为y=﹣x+，得：﹣a+=a，‎ 解得：a=，‎ ‎∴Q（，），‎ 则BQ==3，‎ ‎①当BQ是四边形BQNM的边时，‎ ‎∵四边形BQNM是菱形，‎ ‎∴NQ∥BC，且NQ=BQ，‎ ‎∴kNQ=kBC=﹣，‎ ‎∴直线NQ解析式为y=﹣（x﹣）+，即y=﹣x+2，‎ 设N（m，﹣m+2），‎ 由NQ=BQ，即NQ2=BQ2可得（m﹣）2+（﹣m+2﹣）2=9，‎ 解得：m=，‎ 此时点N的坐标为（，）、（，）；‎ 若MQ∥BN，且BN=BQ，‎ 根据菱形的性质可知BM垂直平分NQ，‎ ‎∴点N与点O重合，即N（0，0）；‎ ‎②当BQ为四边形BMQN的对角线时，‎ ‎∵四边形BMQN是菱形，‎ ‎∴BQ、MN互相垂直平分，‎ 由B（3，0）、Q（，）可得yBQ=﹣x+3，BQ中点H（，），‎ ‎∴kMN=，‎ 则yMN=（x﹣）+=x，‎ 由可得点M（，），‎ 设点N坐标为（m，n），‎ 由M、N的中点H（，）可得：‎ ‎，解得：，‎ 即点N的坐标为（3，），‎ 综上，点N的坐标为（，）或（，）或（0，0）或（3，）．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数与轴对称、相似三角形的性质、相交线、平行线间的关系及菱形的性质，根据题意灵活运用所需知识点是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎35．（2016•海南）如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．‎ ‎（1）求该抛物线所对应的函数解析式；‎ ‎（2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；‎ ‎（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．‎ ‎①若∠APE=∠CPE，求证：；‎ ‎②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题．‎ ‎【分析】（1）设交点式为y=a（x+5）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可；‎ ‎（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，由P点坐标得到Q（﹣2，﹣3），则PQ=6，然后根据三角形面积公式，利用S△APC=S△APQ+S△CPQ进行计算；‎ ‎（3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形，则AH=DH，设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，通过证明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=﹣x﹣，则﹣x﹣x﹣=5，则解方程求出x可得到OH和AH的长，然后利用平行线分线段成比例定理计算出=；‎ ‎②设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），分类讨论：当PA=PE，易得点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，利用PH=HE得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′=x2+5x，则|x2+5x|=（x+5），然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标．‎ ‎【解答】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+1），‎ 把C（0，﹣5）代入得a•5•1=﹣5，解得a=﹣1，‎ 所以抛物线解析式为y=﹣（x+5）（x+1），即y=﹣x2﹣6x﹣5；‎ ‎（2）解：设直线AC的解析式为y=mx+n，‎ 把A（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得，解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，‎ 作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，则Q（﹣2，﹣3），‎ ‎∴PQ=3﹣（﹣3）=6，‎ ‎∴S△APC=S△APQ+S△CPQ=•PQ•5=×6×5=15；‎ ‎（3）①证明：∵∠APE=∠CPE，‎ 而PH⊥AD，‎ ‎∴△PAD为等腰三角形，‎ ‎∴AH=DH，‎ 设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，‎ ‎∵PH∥OC，‎ ‎∴△PHD∽△COD，‎ ‎∴PH：OC=DH：OD，即（﹣x2﹣6x﹣5）：5=DH：（﹣x﹣DH），‎ ‎∴DH=﹣x﹣，‎ 而OH+AH=5，即OH+DH=5，‎ ‎∴﹣x﹣x﹣=5，‎ 整理得2x2+17x+35=0，解得x1=﹣，x2=﹣5（舍去），‎ ‎∴OH=，‎ ‎∴AH=5﹣=，‎ ‎∵HE∥OC，‎ ‎∴===；‎ ‎②能．设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），‎ 当PA=PE，因为∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，则点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；‎ 当AP=AE，如图2，则PH=HE，即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5（舍去），x2=0（舍去）；解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5（舍去），x2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，3）；‎ 当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′=|﹣x﹣5﹣（﹣x2﹣6x﹣5）|=|x2+5x|，若x2+5x=（x+5），解得x1=﹣5（舍去），x2=，此时P点坐标为（，﹣7﹣6）；若x2+5x=﹣（x+5），解得x1=﹣5（舍去），x2=﹣，此时P点坐标为（﹣，6﹣7）．‎ 综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，0），（﹣2，3），（，﹣7﹣6），（﹣，6﹣7）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，能运用相似比计算线段的长；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题．‎ ‎　‎ ‎36．（2016•荆门）如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．‎ ‎（1）求点A，点B的坐标；‎ ‎（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；‎ ‎（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB 是否相似，并说明理由．‎ ‎（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）在直线y=﹣x+2中，分别令y=0和x=0，容易求得A、B两点坐标；‎ ‎（2）由OA、OB的长可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；‎ ‎（3）利用菱形的性质可求得t的值，则可求得AF=AG的长，可得到=，可判定△AFG与△AGB相似；‎ ‎（4）若△AGF为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由（2）可知AF=4﹣2t，EF=t，又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）在直线y=﹣x+2中，‎ 令y=0可得0=﹣x+2，解得x=2，‎ 令x=0可得y=2，‎ ‎∴A为（2，0），B为（0，2）；‎ ‎（2）由（1）可知OA=2，OB=2，‎ ‎∴tan∠ABO==，‎ ‎∴∠ABO=30°，‎ ‎∵运动时间为t秒，‎ ‎∴BE=t，‎ ‎∵EF∥x轴，‎ ‎∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO=BE=t，BF=2EF=2t，‎ 在Rt△ABO中，OA=2，OB=2，‎ ‎∴AB=4，‎ ‎∴AF=4﹣2t；‎ ‎（3）相似．理由如下：‎ 当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，‎ 即t=4﹣2t，解得t=，‎ ‎∴AF=4﹣2t=4﹣=，OE=OB﹣BE=2﹣×=，‎ 如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，‎ 则四边形OEGH为矩形，‎ ‎∴GH=OE=，‎ 又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，‎ ‎∴OA=AH=2，‎ 在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22=，‎ 又AF•AB=×4=，‎ ‎∴AF•AB=AG2，即=，且∠FAG=∠GAB，‎ ‎∴△AFG∽△AGB；‎ ‎（4）存在，‎ ‎∵EG∥x轴，‎ ‎∴∠GFA=∠BAO=60°，‎ 又G点不能在抛物线的对称轴上，‎ ‎∴∠FGA≠90°，‎ ‎∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，‎ 又∠FGA=30°，‎ ‎∴FG=2AF，‎ ‎∵EF=t，EG=4，‎ ‎∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，‎ ‎∴4﹣t=2（4﹣2t），‎ 解得t=，‎ 即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE=2﹣t=2﹣×=，‎ ‎∴E点坐标为（0，），‎ ‎∵抛物线的顶点为A，‎ ‎∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2，‎ 把E点坐标代入可得=4a，解得a=，‎ ‎∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2，‎ 即y=x2﹣x+．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的对称性等．在（2）中求得∠ABO=30°是解题的关键，在（3）中求得t的值，表示出AG的长度是解题的关键，在（4）中判断出∠FAG为直角是解题的突破口．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎37．（2016•曲靖）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC=．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；‎ ‎（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）由点C的坐标以及tan∠OAC=可得出点A的坐标，结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，设N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐标，由此即可得出PH关于x的解析式，利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题；‎ ‎（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，根据角的计算依据正方形的性质即可得出△MCK≌△MEG（AAS），进而得出MG=CK．设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点G、K的坐标，由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程即可求出x值，将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵C（0，3），‎ ‎∴OC=3，‎ ‎∵tan∠OAC=，‎ ‎∴OA=4，‎ ‎∴A（﹣4，0）．‎ 把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，‎ 得，解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3．‎ ‎（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，‎ 把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，‎ 得：，解得：，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x+3．‎ 设N（x，0）（﹣4＜x＜0），则H（x，x+3），P（x，﹣x2﹣x+3），‎ ‎∴PH=﹣x2﹣x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣x=﹣（x+2）2+，‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴PH有最大值，‎ 当x=﹣2时，PH取最大值，最大值为．‎ ‎（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，则∠MGE=∠MKC=90°，‎ ‎∴∠MEG+∠EMG=90°，‎ ‎∵四边形CMEF是正方形，‎ ‎∴EM=MC，∠MEC=90°，‎ ‎∴∠EMG+∠CMK=90°，‎ ‎∴∠MEG=∠CMK．‎ 在△MCK和△MEG中，，‎ ‎∴△MCK≌△MEG（AAS），‎ ‎∴MG=CK．‎ 由抛物线的对称轴为x=﹣1，设M（x，﹣x2﹣x+3），则G（﹣1，﹣x2﹣x+3），K（0，﹣x2﹣x+3），‎ ‎∴MG=|x+1|，CK=|﹣x2﹣x+3﹣3|=|﹣x2﹣x|=|x2+x|，‎ ‎∴|x+1|=|x2+x|，‎ ‎∴x2+x=±（x+1），‎ 解得：x1=﹣4，x2=﹣，x3=﹣，x4=2，‎ 代入抛物线解析式得：y1=0，y2=，y3=，y4=0，‎ ‎∴点M的坐标是（﹣4，0），（﹣，），（﹣，）或（2，0）．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）根据二次函数的性质解决最值问题；（3）根据正方形的性质得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据正方形的性质找出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程求出点的横坐标是关键．‎ ‎　‎ ‎38．（2016•十堰）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．‎ ‎（1）求证：∠ACD=∠B；‎ ‎（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；‎ ‎①求tan∠CFE的值；‎ ‎②若AC=3，BC=4，求CE的长．‎ ‎【考点】切线的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明．‎ ‎（2）①只要证明∠CEF=∠CFE即可．‎ ‎②由△DCA∽△DBC，得===，再由△DCE∽△DBF，得=，设EC=CF=x，列出方程即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵CD是⊙O切线，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴∠DCO=90°，‎ ‎∴∠3+∠2=90°，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠1+∠B=90°，‎ ‎∴∠3=∠B．‎ ‎（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，‎ ‎∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，‎ ‎∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，‎ ‎∴∠CEF=∠CFE=45°，‎ ‎∴tan∠CFE=tan45°=1．‎ ‎②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，‎ ‎∴AB==5，‎ ‎∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，‎ ‎∴△DCA∽△DBC，‎ ‎∴===，‎ ‎∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，‎ ‎∴△DCE∽△DBF，‎ ‎∴==，设EC=CF=x，‎ ‎∴=，‎ ‎∴x=．‎ ‎∴CE=．‎ ‎【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎39．（2016•滨州）如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点E，与CD相交于点F，连接EF．‎ ‎（1）求证：EF平分∠BFD．‎ ‎（2）若tan∠FBC=，DF=，求EF的长．‎ ‎【考点】切线的性质；正方形的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据切线的性质得到OE⊥AD，由四边形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OE∥CD，根据平行线的性质得到∠EFD=∠OEF，由等腰三角形的性质得到∠OEF=∠OFE，根据角平分线的定义即可得到结论；‎ ‎（2）连接PF，由BF是⊙O的直径，得到∠BPF=90°，推出四边形BCFP是矩形，根据tan∠FBC=，设CF=3x，BC=4x，于是得到3x+=4x，x=，求得AD=BC=4，推出DF∥OE∥AB于是得到DE：AE=OF：OB=1：1即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）连接OE，BF，PF，‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴BF是⊙O的直径，‎ ‎∵⊙O与AD相切于点E，‎ ‎∴OE⊥AD，‎ ‎∵四边形ABCD的正方形，‎ ‎∴CD⊥AD，‎ ‎∴OE∥CD，‎ ‎∴∠EFD=∠OEF，‎ ‎∵OE=OF，‎ ‎∴∠OEF=∠OFE，‎ ‎∴∠OFE=∠EFD，‎ ‎∴EF平分∠BFD；‎ ‎（2）连接PF，‎ ‎∵BF是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BPF=90°，‎ ‎∴四边形BCFP是矩形，‎ ‎∴PF=BC，‎ ‎∵tan∠FBC=，‎ 设CF=3x，BC=4x，‎ ‎∴3x+=4x，x=，‎ ‎∴AD=BC=4，‎ ‎∵点E是切点，‎ ‎∴OE⊥AD ‎∴DF∥OE∥AB ‎∴DE：AE=OF：OB=1：1‎ ‎∴DE=AD=2，‎ ‎∴EF==5．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质，正方形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎40．（2016•雅安）如图1，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，EC切⊙O于点C，OP⊥AO交AC于点P，交EC的延长线于点D．‎ ‎（1）求证：△PCD是等腰三角形；‎ ‎（2）CG⊥AB于H点，交⊙O于G点，过B点作BF∥EC，交⊙O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE=，CQ=5，求AF的值．‎ ‎【考点】切线的性质；垂径定理．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）连接OC，由切线性质和垂直性质得∠1+∠3=90°、∠2+∠4=90°，继而可得∠3=∠5得证；‎ ‎（2）连接OC、BC，先根据切线性质和平行线性质及垂直性质证∠BCG=∠QBC得QC=QB=5，而sinE=sin∠ABF=，可知QH=3、BH=4，设圆的半径为r，在RT在△OCH中根据勾股定理可得r的值，在RT△ABF中根据三角函数可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）连接OC，‎ ‎∵EC切⊙O于点C，‎ ‎∴OC⊥DE，‎ ‎∴∠1+∠3=90°，‎ 又∵OP⊥OA，‎ ‎∴∠2+∠4=90°，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∴∠3=∠4，‎ 又∵∠4=∠5，‎ ‎∴∠3=∠5，‎ ‎∴DP=DC，即△PCD为等腰三角形．‎ ‎（2）如图2，连接OC、BC，‎ ‎∵DE与⊙O相切于点E，‎ ‎∴∠OCB+∠BCE=90°，‎ ‎∵OC=OB，‎ ‎∴∠OCB=∠OBC，‎ ‎∴∠OBC+∠BCE=90°，‎ 又∵CG⊥AB，‎ ‎∴∠OBC+∠BCG=90°，‎ ‎∴∠BCE=∠BCG，‎ ‎∵BF∥DE，‎ ‎∴∠BCE=∠QBC，‎ ‎∴∠BCG=∠QBC，‎ ‎∴QC=QB=5，‎ ‎∵BF∥DE，‎ ‎∴∠ABF=∠E，‎ ‎∵sinE=，‎ ‎∴sin∠ABF=，‎ ‎∴QH=3、BH=4，‎ 设⊙O的半径为r，‎ ‎∴在△OCH中，r2=82+（r﹣4）2，‎ 解得：r=10，‎ 又∵∠AFB=90°，sin∠ABF=，‎ ‎∴AF=12．‎ ‎【点评】本题主要考查切线的性质、平行线的性质及三角函数的应用等知识的综合，根据切线性质和平行线性质及垂直性质证∠BCG=∠QBC是解题的关键．‎ ‎　‎ 考点卡片 ‎　‎ ‎1．坐标与图形性质 ‎1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．‎ ‎2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．‎ ‎3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．‎ ‎　‎ ‎2．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：‎ ‎（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；‎ ‎（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；‎ ‎（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．‎ 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．‎ ‎　‎ ‎3．二次函数的性质 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：‎ ‎①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．‎ ‎②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y 取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．‎ ‎③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左（右）平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．‎ ‎　‎ ‎4．待定系数法求二次函数解析式 ‎（1）二次函数的解析式有三种常见形式：‎ ‎①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；‎ ‎（2）用待定系数法求二次函数的解析式．‎ 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．‎ ‎　‎ ‎5．抛物线与x轴的交点 求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．‎ ‎（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．‎ ‎△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．‎ ‎△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；‎ ‎△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；‎ ‎△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．‎ ‎（2）二次函数的交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0‎ ‎），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．‎ ‎　‎ ‎6．二次函数综合题 ‎（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．‎ ‎（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．‎ ‎（3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．‎ ‎　‎ ‎7．平行线的性质 ‎1、平行线性质定理 ‎ 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．‎ ‎ 定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． ‎ ‎ 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．‎ ‎2、两条平行线之间的距离处处相等．‎ ‎　‎ ‎8．全等三角形的判定与性质 ‎（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．‎ ‎（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．‎ ‎　‎ ‎9．勾股定理 ‎（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．‎ 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．‎ ‎（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．‎ ‎（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2及c=a2+b2．‎ ‎（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．‎ ‎　‎ ‎10．三角形中位线定理 ‎（1）三角形中位线定理：‎ ‎ 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．‎ ‎（2）几何语言：‎ 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ‎ ‎∴DE∥BC，DE=BC．‎ ‎　‎ ‎11．矩形的判定与性质 ‎（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．‎ 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．‎ ‎（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠‎ OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．‎ ‎　‎ ‎12．正方形的性质 ‎（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．‎ ‎（2）正方形的性质 ‎①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；‎ ‎②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；‎ ‎③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．‎ ‎④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．‎ ‎　‎ ‎13．垂径定理 ‎（1）垂径定理 ‎ 垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．‎ ‎（2）垂径定理的推论 ‎ 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．‎ ‎ 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．‎ ‎ 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．‎ ‎　‎ ‎14．圆周角定理 ‎（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．‎ 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．‎ ‎（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．‎ ‎（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．‎ ‎（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．‎ ‎　‎ ‎15．三角形的外接圆与外心 ‎（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．‎ ‎（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．‎ ‎（3）概念说明：‎ ‎①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．‎ ‎②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．‎ ‎③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．‎ ‎　‎ ‎16．切线的性质 ‎（1）切线的性质 ‎①圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ ‎②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．‎ ‎③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．‎ ‎（2）切线的性质可总结如下：‎ 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．‎ ‎（3）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．‎ ‎　‎ ‎17．切线的判定 ‎（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．‎ ‎（2）在应用判定定理时注意：‎ ‎①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．‎ ‎②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．‎ ‎③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．‎ ‎　‎ ‎18．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．‎ ‎（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．‎ ‎（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；‎ 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．‎ ‎（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．‎ 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．‎ ‎　‎ ‎19．相似三角形的判定与性质 ‎（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．‎ ‎（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．‎ ‎　‎ ‎20．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°．‎ ‎（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．‎ 即sinA=∠A的对边除以斜边=．‎ ‎（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．‎ 即cosA=∠A的邻边除以斜边=．‎ ‎（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．‎ 即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=．‎ ‎（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．‎ ‎　‎ ‎21．特殊角的三角函数值 ‎（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．‎ sin30°=； cos30°=；tan30°=；‎ sin45°=；cos45°=；tan45°=1；‎ sin60°=；cos60°=； tan60°=；‎ ‎（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．‎ ‎（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．‎ ‎　‎ ‎22．解直角三角形 ‎（1）解直角三角形的定义 ‎ 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．‎ ‎（2）解直角三角形要用到的关系 ‎①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；‎ ‎②三边之间的关系：a2+b2=c2；‎ ‎③边角之间的关系：‎ sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．‎ ‎（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）‎ ‎　‎ ‎23．解直角三角形的应用 ‎（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．‎ 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．‎ ‎（2）解直角三角形的一般过程是：‎ ‎①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．‎ ‎②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．‎ ‎　‎ ‎24．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 ‎（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．‎ ‎（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．‎ ‎（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直 角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．‎ 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．‎ ‎　‎ ‎25．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 ‎（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．‎ ‎（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．‎ ‎　‎ ‎26．解直角三角形的应用-方向角问题 ‎（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．‎ ‎（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．‎ ‎　‎