中考数学试题分类汇编8 一元二次方程解法及应用含答案

中考数学试题分类汇编8 一元二次方程解法及应用含答案

8．一元二次方程解法及应用 一、填空题 1.（2009 重庆綦江）一元二次方程 x2=16 的解是 ． 【关键词】一元二次方程 【答案】 ， 2.（2009 威海）若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则另一个 根是______． 【关键词】一元二次方程 【答案】1 3．（2009 山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 3200 元降到了 2500 元．设平均每月降价的百分率为 ，根据题意列出的方程是 ． 解析：本题考查一元二次方程的增长率问题，由题意可得方程 200 ． 【关键词】一元二次方程应用 【答案】200 4.（2009 年江苏省）某县 2008 年农民人均年收入为 7 800 元，计划到 2010 年，农民人均 年收入达到 9 100 元．设人均年收入的平均增长率为 ，则可列方程 ． 【关键词】一元二次方程的实际应用 【答案】 5 ．（ 2009 年 甘 肃 庆 阳 ） 若 关 于 x 的 方 程 的 一 个 根 是 0 ， 则 ． 【关键词】一元二次方程组的解法 【答案】1 6.某果农 2006 年的年收入为 5 万元，由于党的惠农政策的落实，2008 年年收入增加到 7.2 万元，则平均每年的增长率是__________. 【关键词】一元二次方程的实际应用 【答案】20% 7.（2009 年包头）将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做 2 2 1 0x x k+ + − = k = 1 4x = 2 4x = − x 2 ( 3) 0x k x k+ + + = 2− x ( )21 2500x− = ( )21 2500x− = x 27 800( 1) 9100x + = 成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值 是 cm2． 【答案】： 或 8.（2009 年莆田）已知 和 的半径分别是一元二次方程 的两根， 且 则 和 的位置关系是 ． 【关键词】圆、一元二次方程、圆与圆位置关系 【答案】：相交 9.（2009 年莆田）出售某种文具盒，若每个获利 元，一天可售出 个， 则当 元时，一天出售该种文具盒的总利润 【关键词】二次函数、最大值 【答案】：3 10.(2009 年本溪)11．由于甲型 H1N1 流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格 两次大幅下降．由原来每斤 16 元下调到每斤 9 元，求平均每次下调的百分率是多少？设 平均每次下调的百分率为 ，则根据题意可列方程为 ． 【关键词】列方程 【答案】 11．(2009 年温州)方程(x-1)2=4 的解是 【关键词】解一元二次方程 【答案】x1=3,x2=-1. 12．（2009 临沂）某制药厂两年前生产 1 吨某种药品的成本是 100 万元，随着生产技术的 进步，现在生产 1 吨这种药品的成本为 81 万元，．则这种药品的成本的年平均下降率为 ______________． 【关键词】二元一次方程 【答案】10% 13．（2009 年哈尔滨）如果 2 是一元二次方程 x2＋bx＋2＝0 的一个根，那么常数 b 的值 为 ． 【关键词】一元二次方程的根 【答案】－3 .把 2 代入此方程可解得：b=－3 25 2 12.5 1O⊙ 2O⊙ ( )( )1 2 0x x− − = 1 2 2O O = ， 1O⊙ 2O⊙ x ( )6 x− x = y x 216(1 ) 9x− = 14、（2009 年兰州）阅读材料：设一元二次方程 ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根为 x1，x 2，则两 根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝－ ，x1·x2＝ .根据该材料填空：已知 x1、 x2 是方程 x2+6x+3＝0 的两实数根，则 + 的值为 ． 【关键词】一元二次方程根与系数关系 【答案】10 15．(2009 年宁德市)方程 的解是______________． 【关键词】一元二次方程的解 【答案】x1=0, x2=4 16．（2009 年赤峰市）已知关于 x 的方程 x2-3x+2k=0 的一个根是 1，则 k= 17、（2009 年崇左）分解因式： ． 【关键词】利用求根方法因式分解 【答案】 18．（2009 年崇左）一元二次方程 的一个根为 ，则另一个根 为 ． 【关键词】利用一元二次方程的根的定义可得，或利用根与系数的关系可得。 【答案】 19．（2009 年湖北十堰市）方程(x＋2)(x－1)=0 的解为 ． 【关键词】解一元二次方程 【答案】－2，1；－2 或 1(x=－2，x=1 或 ) 20．（2009 年山东青岛市）某公司 2006 年的产值为 500 万元，2008 年的产值为 720 万元， 则该公司产值的年平均增长率为 ． 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】20% 21．（2009 年山西省）请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程： ． 【关键词】解一元二次方程；一元二次方程根与系数的关系 【答案】答案不唯一，如 042 =− xx 1,2 21 =−= xx 2 1x = b a c a 2 1 x x 1 2 x x 22 4 2x x− + = 22( 1)x − 2 3 0x mx+ + = 1− 3− 22．（2009 年山西省）请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程： ． 【关键词】解一元二次方程；一元二次方程根与系数的关系 【答案】答案不唯一，如 二、选择题 23．（2009 年黄石市）三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程 的 根，则该三角形的周长为（ ） A．14 B．12 C．12 或 14 D．以上都不对 【关键词】解一元二次方程；三角形三边关系 【答案】B 24．（2009 年铁岭市）为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007 年用于绿化投资 20 万元，2009 年用于绿化投资 25 万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化 投资的年平均增长率为 ，根据题意所列方程为（ ） A． B． C． D． 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】C 25．（2009 年安徽）某市 2008 年国内生产总值（GDP）比 2007 年增长了 12%，由于受到 国际金融危机的影响，预计今年比 2008 年增长 7%，若这两年 GDP 年平均增长率为 x%， 则 x%满足的关系是…………………………【 】 A． B． C． D． 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】D 26．(2009 武汉)5．已知 是一元二次方程 的一个解，则 的值是（ ） A． B． C．0 D．0 或 【关键词】二次根式化简 【答案】A 27.(2009 成都)若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取 2 1x = 2x = 2 2 0x mx+ + = m 3− 3 3 2 12 35 0x x− + = x 220 25x = 20(1 ) 25x+ = 220(1 ) 25x+ = 220(1 ) 20(1 ) 25x x+ + + = 12% 7% %x+ = (1 12%)(1 7%) 2(1 %)x+ + = + 12% 7% 2 %x+ =  2(1 12%)(1 7%) (1 %)x+ + = + x 2 2 1 0kx x− − = k 值范围是 (A) (B) 且 (c) (D) 且 【关键词】一元二次方程根的判别式 【答案】B 28．（2009 年湖南长沙）已知关于 的方程 的一个根为 ，则实数 的 值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为 x=3 是原方程的根，所以将 x=3 代入原 方程，原方程成立，即 成立，解得 k=1。故选 A。 29.（2009 山西省太原市）用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ） A． B． C． D． 解析：本题考查配方， ， ， ，故选 B． 【关键词】配方 【答案】B 30. （2009 襄樊市）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的 住房面积由现在的人均约为 提高到 若每年的年增长率相同，则年增长率为 （ ） A． 　　B． 　　C． D． 解析：本题考查方程解决增长率问题，设年增长率 ，可列方程 ，解 得 ， （舍去），所以年增长率 10%，故选 B。 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】B 31（2009 呼和浩特）用配方法解方程 ，则方程可变形为（ ） A． B． 210m 212.1m ， 9% 10% 11% 12% 1k > − 1k > − 0k ≠ 1k < 1k < 0k ≠ x 2 6 0x kx− − = 3x = k 1− 2− 06332 =−− k 2 2 5 0x x− − = ( )21 6x + = ( )21 6x − = ( )22 9x + = ( )22 9x − = 2 2 5 0x x− − = 2 2 1 5 1x x− + = + ( )21 6x − = x ( )210 1 12.1x+ = 1 0.1 10%x = = 2 2.1x = − 23 6 1 0x x− + = 2 1( 3) 3x − = 2 13( 1) 3x − = C． D． 【关键词】解一元二次方程 32（2009 青海）方程 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的 周长为（ ） A．12 B．12 或 15 C．15 D．不能确定 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】C 33（2009 青海）在一幅长为 80cm，宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金 色纸边，制成一幅矩形挂图，如图 5 所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色 纸边的宽为 cm，那么 满足的方程是（ ） A． B． C． D． 关键词：一元二次方程的应用 答案：B 34. （2009 襄樊市）如图 5，在 中， 于 且 是一元二次方程 的根，则 的周长为（ ） A． B． C． D． 解析：本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，∵ 是一元二次方程 的根，∴ ，∴AE=EB=EC=1，∴AB= ，BC=2，∴ 的周 长为 ，故选 A。 【关键词】一元二次方程的解法、平行四边形的性质 【答案】A 35.（2009 年台州市）用配方法解一元二次方程 的过程中，配方正确的是（ ） A．（ B． C． D． ABCD AE BC⊥ E，AE EB EC a= = = ， a 2 2 3 0x x+ − = ABCD 4 2 2+ 12 6 2+ 2 2 2+ 2 2 12 6 2+ +或 a 2 2 3 0x x+ − = ABCD 4 2 2+ 542 =− xx 1)2 2 =+x 1)2( 2 =−x 9)2( 2 =+x 9)2( 2 =−x 2(3 1) 1x − = 2 2( 1) 3x − = 2 9 18 0x x− + = x x 2 130 1400 0x x+ − = 2 65 350 0x x+ − = 2 130 1400 0x x− − = 2 65 350 0x x− − = A D CE C B 图 5 1a = 2 图 5 【关键词】解一元二次方程 【答案】D 36．（2009 年甘肃庆阳）如图 3，在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修建两条同样宽 的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要 551 米 2，则修建的路宽应为（　　） A．1 米 B．1.5 米 C．2 米 D．2.5 米 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】A 37．（2009 年甘肃庆阳）方程 的根是（　　） A． B． C． D． 【关键词】一元二次方程 【答案】C 38.（2009 年河南）方程 =x 的解是 【 】 （A）x=1 （B）x=0 (C) x1=1 x2=0 (D) x1=﹣1 x2=0 【关键词】解方程 【答案】C 39.(2009 年鄂州)10、某农机厂四月份生产零件 50 万个，第二季度共生产零件 182 万个.设 该厂五、六月份平均每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（ ） A、 B． C、50(1+2x)＝182 D． 【关键词】一元二次方程的应用(增长率) 【答案】B 40.（2009 江西）为了让江西的山更绿、水更清，2008 年省委、省政府提出了确保到 2010 年实现全省森林覆盖率达到 63%的目标，已知 2008 年我省森林覆盖率为 60.05%，设从 2008 年起我省森林覆盖率的年平均增长率为 ，则可列方程（ ） A． B． 2 4 0x − = 2x = 2x = − 1 22 2x x= = −， 4x = 2x 182)1(50 2 =+ x 182)1(50)1(5050 2 =++++ xx 182)21(50)1(5050 =++++ xx x ( )60.05 1 2 63%x+ = ( )60.05 1 2 63x+ = C． D． 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】D 41. （2009 年烟台市）设 是方程 的两个实数根，则 的 值为（ ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【关键词】一元二次方程 【答案】C 42.（2009 年清远）方程 的解是（ ） A． B． C． D． 【关键词】解一元二次方程 【答案】A 43.（2009 年衡阳市）两圆的圆心距为 3，两圆的半径分别是方程 的两个 根，则两圆的位置关系是 （ ） A．相交 B．外离 C．内含 D．外切 【关键词】一元二次方程的解法 【答案】A 44．（2009 年日照）若 n（ ）是关于 x 的方程 的根，则 m+n 的值为 A.1 B.2 C.-1 D.-2 【关键词】一元二次方程根的意义,因式分解 【答案】D. 45.（2009 年长沙）已知关于 的方程 的一个根为，则实数 的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【关键词】一元二次方程、根 【答案】：A 46.（2009 年包头）关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 ，且 ，则 的值是（ C ） A．1 B．12 C．13 D．25 【关键词】一元二次方程、根与系数关系 ( )260.05 1 63%x+ = ( )260.05 1 63x+ = a b， 2 2009 0x x+ − = 2 2a a b+ + 2 16x = 4x = ± 4x = 4x = − 16x = 0342 =+− xx 0n ≠ 2 2 0x mx n+ + = x 2 6 0x kx− − = k 1− 2− x 2 2 1 0x mx m− + − = 1 2x x、 2 2 1 2 7x x+ = 2 1 2( )x x− 【关键词】面积、最小值 47.(2009 宁夏)2．某旅游景点三月份共接待游客 25 万人次，五月份共接待游客 64 万人次， 设每月的平均增长率为 ，则可列方程为（ ）A A． B． C． D． 【关键词】列方程 【答案】A 48．（2009 眉山）若方程 的两根为 、 ，则 的值为( ) A．3 B．－3 C． D． 【关键词】一元二次方程 【答案】B 49．（2009 东营）若 n（ ）是关于 x 的方程 的根，则 m+n 的值为 （ ） （A）1 （B）2 （C）-1 （D）-2 【关键词】一元二次方程 【答案】D 50．(2009 年南充)方程 的解是（ ） A． B． C． 或 D． 或 【关键词】解一元二次方程 【答案】D 51.（2009 年兰州）2008 年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一 场金融危机。受金融危机的影响，某商品原价为 200 元，连续两次降价 后售价为 148 元， 下面所列方程正确的是 A． B． C． D． 【关键词】一元二次方程、增长率 【答案】B x 225(1 ) 64x+ = 225(1 ) 64x− = 264(1 ) 25x+ = 264(1 ) 25x− = 2 3 1 0x x− − = 1x 2x 1 2 1 1 x x + 1 3 1 3 − 0n ≠ 2 2 0x mx n+ + = ( 3)( 1) 3x x x− + = − 0x = 3x = 3x = 1x = − 3x = 0x = %a 2200(1 %) 148a+ = 2200(1 %) 148a− = 200(1 2 %) 148a− = 2200(1 %) 148a− = 52.（2009 年济南）若 是一元二次方程 的两个根，则 的值是 （ ） A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　D． 【关键词】一元二次方程根与系数关系 【答案】B 53．(2009 年潍坊)已知关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ， 且 ，则 的值是（ ） A．8 B． C．6 D．5 【关键词】一元二次方程根与系数之间的关系 【答案】D 54．(2009 年潍坊)关于 的方程 有实数根，则整数 的最大值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【关键词】一元二次方程根的判别法 【答案】C 55.．(2009 年咸宁市)方程 的解为（ ） A． B． C． D． 【关键词】一元二次方程的解 【答案】D 56．（2009 年黄石市）三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程 的 根，则该三角形的周长为（ ） A．14 B．12 C．12 或 14 D．以上都不对 【关键词】解一元二次方程；三角形三边关系 【答案】B 57. (2009 年云南省)一元二次方程 的解是（ ） A．x1 = 0 ，x2 = B． x1 = 0 ，x2 = C．x1 = 0 ，x2 = D． x1= 0 ，x2 = 【关键词】一元二次方程 x 2 6 1 0x x k− + + = 1 2x x， 2 2 1 2x x+ = 24 k 7− x 2( 6) 8 6 0a x x− − + = a 25 2 0x x− = 2 5 5 2 − 5 2 2 5 − 1 2x x， 2 5 6 0x x− + = 1 2x x+ 1 5 5− 6 3 ( 1) 3 3x x x+ = + 1x = 1x = − 1 20 -1x x= =， 1 21 -1x x= =， 2 12 35 0x x− + = 【答案】A 三、解答题 58.（2009 仙桃）解方程： ． 【关键词】一元二次方程 【答案】解： ∴ 59．（2009 年山西省）解方程： 【关键词】解一元二次方程 【答案】解：移项，得 配方，得 ∴ ∴ 60．（2009 年赤峰市）某工厂今年 3 月份的产值为 100 万元，由于受国际金融风暴的影响， 5 月份的产值下降到 81 万元，求平均每月产值下降的百分率。 61.（2009 年 常 德 市 ）常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北至桃源县盘塘镇创元工 业园．在这一走廊内的工业企业 2008 年完成工业总产值 440 亿元，如果要在 2010 年达到 743.6 亿元，那么 2008 年到 2010 年的工业总产值年平均增长率是多少？《常德工业走廊 建设发展规划纲要（草案）》确定 2012 年走廊内工业总产值要达到 1200 亿元，若继续保 持上面的增长率，该目标是否可以完成？ 【关键词】年平均增长率 【答案】设 2008 年到 2010 年的年平均增长率为 x ，则 化简得 ： ， （舍去） 答：2008 年到 2010 年的工业总产值年平均增长率为 30%，若继续保持上面的增长率， 在 2012 年将达到 1200 亿元的目标． 2 2 3 0x x− − = 2 2 3x x− = ， ( )21 4x − = ， 1 2x − = ± ， 1 21 3x x= − =， ． 2440(1 ) 743.6x+ = 2(1 ) 1.69x+ = 1 20.3 30% 2.3x x= = = −， 2743.6 (1 0.3) 1256.684 1200× + = > 2 4 2 0x x+ + = 2 4 2x x+ = − ( ) 2 2 4 4 2 4 2 2 2 2 2 2 x x x x x + + = − + + = + = ± = ± − 1 22 2, 2 2.x x= − = − − 62.(2009 武汉)17．解方程： ． 【关键词】解一元二次方程 【答案】解： ， ， ． 63.(2009 年上海市)20．解方程组： 【关键词】解二元二次方程组 【答案】 或 63.(2009 年义乌)解方程 。 【关键词】一元二次方程的解法 【答案】 ； 64 ．（ 2009 年 甘 肃 白 银 ）（ 6 分 ） 在 实 数 范 围 内 定 义 运 算 “ ”，其 法 则 为 ： ，求方程（4 3） 的解． 【关键词】实数概念；一元二次方程 【答案】 本小题满分 6 分 解：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 65．（2009 年甘肃庆阳）（8 分）某企业 2006 年盈利 1500 万元，2008 年克服全球金融危机 的不利影响，仍实现盈利 2160 万元．从 2006 年到 2008 年，如果该企业每年盈利的年增 长率相同，求： （1）该企业 2007 年盈利多少万元？ （2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计 2009 年盈利多少万元？ 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】本小题满分 8 分 解：（1）设每年盈利的年增长率为 ， 2 3 1 0x x− − = 1 3 1a b c= = − = − ， ， 2 24 ( 3) 4 1 ( 1) 13b ac∴ − = − − × × − = 1 2 3 13 3 13 2 2x x + −∴ = =， ⊕ 2 2a b a b⊕ = − ⊕ ⊕ 24x = 2 2a b a b⊕ = − 2 2 2 2(4 3) (4 3 ) 7 7x x x x⊕ ⊕ = − ⊕ = ⊕ = − 2 27 24x− = 2 25x = 5x = ± x 2 1 2 2 0 y x x xy − =  − − = ， ① . ②    = −= 0 1 y x    = = 3 2 y x 2 2 2 0x x− − = 1 1 3x = + 2 1 3x = − 根据题意，得 ． 解得 （不合题意，舍去）． ． 答：2007 年该企业盈利 1800 万元． （2） ． 答：预计 2009 年该企业盈利 2592 万元． 66.(2009 年鄂州)22、关于 x 的方程 有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围。 (2)是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在，求出 k 的值；若不 存在，说明理由 【关键词】一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用 【答案】（1）由△=(k+2)2－4k· ＞0 ∴k＞－1 又∵k≠0 ∴k 的取值范围是 k＞－1，且 k≠0 （2）不存在符合条件的实数 k 理由：设方程 kx2+(k+2)x+ =0 的两根分别为 x1、x2，由根与系数关系有： x1+x2= ，x1·x2= ， 又 则 =0 ∴ 由（1）知， 时，△＜0，原方程无实解 ∴不存在符合条件的 k 的值。 67.（2009 年广西梧州）解方程： 【关键词】解一元二次方程 【答案】 解: 或 21500(1 ) 2160x+ = 1 20.2 2.2x x= = −， 1500(1 ) 1500(1 0.2) 1800x∴ + = + = 2160(1 0.2) 2592+ = 0)3(2)3( 2 =−+− xxx 04)2(2 =+++ kxkkx 4 k 4 k k k 2+− 4 1 011 21 =+ xx k k 2+− 2−=k 2−=k 0)23)(3( =+−− xxx 0)33)(3( =−− xx 03 =−x 033 =−x 即 或 68.(2009 年甘肃定西)在实数范围内定义运算“ ”，其法则为： ，求方程 （4 3） 的解． 【关键词】，新定义运算；解一元二次方程. 【答案】 解：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ．, 69.（2009 年新疆）解方程： ． 【关键词】解一元二次方程 【答案】 , , 或 , 70.（2009 年天津市）如图①，要设计一幅宽 20cm，长 30cm 的矩形图案，其中有两横两 竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的 三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 分析：由横、竖彩条的宽度比为 2∶3，可设每个横彩条的宽为 ，则每个竖彩条的 宽为 ．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如 图②的情况，得到矩形 ． 结合以上分析完成填空：如图②，用含 的代数式表示： =____________________________cm； =____________________________cm； 矩形 的面积为_____________cm ；列出方程并完成本题解答． 【关键词】一元二次方程的应用 2 2a b a b⊕ = − 2 2 2 2(4 3) (4 3 ) 7 7x x x x⊕ ⊕ = − ⊕ = ⊕ = − 2 27 24x− = 2 25x = 5x = ± 31 =x 12 =x ⊕ 2 2a b a b⊕ = − ⊕ ⊕ 24x = 2( 3) 4 ( 3) 0x x x− + − = ( 3)( 3 4 ) 0x x x− − + = ( 3)(5 3) 0x x− − = 3 0x − = 5 3 0x − = 1 2 33 5x x= =， 20cm 20cm 30cm D C A B 图②图① 30cm 2x 3x ABCD x AB AD ABCD 2 【答案】(Ⅰ） ； （Ⅱ）根据题意，得 .整理，得 .解方程，得 （不合题意，舍去）.则 ．答：每个横、竖彩条的宽度分别为 cm， cm. 71．（2009 年广东省）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后 就会有 81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染 台电脑，依题意得： 1+ ， ， 或 ， 或 （舍去）， ． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑，3 轮感染后，被感染的电脑会超过 700 台． 72．（2009 年广东省）小明用下面的方法求出方程 的解，请你仿照他的方法求 出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中． 方程 换 元 法 得 新 方程 解新方程 检验 求原方程的解 令 则 所 以 220 6 30 4 24 260 600x x x x− − − +， ， 2 124 260 600 1 20 303x x  − + = − × ×   26 65 50 0x x− + = 1 2 5 106x x= =， 5 52 33 2x x= =， 5 3 5 2 x ( )1 81x x x+ + = ( )21 81x+ = 1 9x + = 1 9x + = − 1 8x = 2 10x = − ( ) ( )3 31 1 8 729 700x+ = + = > 2 3 0x − = 2 3 0x − = x t= ， 2 3 0t − = 3 2t = 3 02t = > 3 2x = ， 9 4x = 2 3 0x x+ − = 【关键词】解一元二次方程；换元法 【答案】解： 方程 换元法得 新方程 解新方程 检验 求原方程的解 令 ，则 ……1 分 ……2 分 （舍去） ……3 分 ，所以 ． ……4 分 令 ， 则 ……6 分 ……7 分 （舍去） ……8 分 ，所 以 ． ……9 分 73．（2009 年兰州）用配方法解一元二次方程： 【关键词】解一元二次方程的配方法 【答案】解：移项，得 ，二次项系数化为 1，得 配方 ， ，由此可得 ， ， 74.（2009 年包头）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低 于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 （件）与销售单价 （元）符 合一次函数 ，且 时， ； 时， ． （1）求一次函数 的表达式； （2）若该商场获得利润为 元，试写出利润 与销售单价 之间的关系式；销售单 价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 的范围． 2 4 0x x+ − − = 2 3 0x x+ − = x t= 2 2 3 0t t+ − = 1 21 3t t= = −， 1 1 0t = > ， 2 3 0t = − < 1x = 1x = 2 4 0x x+ − − = 2x t− = 2 2 0t t+ − = 1 21 2t t= = −， 1 1 0t = > ， 2 2 0t = − < 2 1x − = 2 1 3x x− = =， 22 1 3x x+ = 22 3 1x x− = − 2 3 1 2 2x x− = − 2 2 2 3 3 1 3 2 4 2 4x x    − + = − +       23 1 4 16x − =   3 1 4 4x − = ± 1 1x = 2 1 2x = y x y kx b= + 65x = 55y = 75x = 45y = y kx b= + W W x x 【关键词】一次函数、二次函数、最大值 解：（1）根据题意得 解得 ． 所求一次函数的表达式为 ． （2） ， 抛物线的开口向下， 当 时， 随 的增大而增大， 而 ， 当 时， ． 当销售单价定为 87 元时，商场可获得最大利润，最大利润是 891 元． （3）由 ，得 ， 整理得， ，解得， ． 由图象可知，要使该商场获得利润不低于 500 元，销售单价应在 70 元到 110 元之间， 而 ，所以，销售单价 的范围是 ． 75.. (2009 年湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计， 某小区 2006 年底拥有家庭轿车 64 辆，2008 年底家庭轿车的拥有量达到 100 辆. （1） 若该小区 2006 年底到 2009 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求 该小区到 2009 年底家庭轿车将达到多少辆？ （2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 15 万元再建造若干个停车位.据测算， 建造费用分别为室内车位 5000 元/个，露天车位 1000 元/个，考虑到实际因素，计划露 天车位的数量不少于室内车位的 2 倍，但不超过室内车位的 2.5 倍，求该小区最多可 建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案. 【关键词】一元二次方程解决应用题，二元一次方程及不等式解决问题，方案题 【答案】(1)设家庭轿车拥有量的年平均增长率为 ，则： ， 解得： %， （不合题意，舍去）， . 65 55 75 45. k b k b + =  + = ， 1 120k b= − =， 120y x= − + ( 60) ( 120)W x x= − − + 2 180 7200x x= − + − 2( 90) 900x= − − +  ∴ 90x < W x 60 87x≤ ≤ ∴ 87x = 2(87 90) 900 891W = − − + = ∴ 500W = 2500 180 7200x x= − + − 2 180 7700 0x x− + = 1 270 110x x= =， 60 87x≤ ≤ x 70 87x≤ ≤ x ( )264 1 100x+ = 1 1 254x = = 2 9 4x = − ( )100 1 25% 125∴ + = 答：该小区到 2009 年底家庭轿车将达到 125 辆． (2)设该小区可建室内车位 个，露天车位 个，则： 由①得： =150-5 代入②得： ， 是正整数， =20 或 21， 当 时 ，当 时 . 方案一：建室内车位 20 个，露天车位 50 个；方案二：室内车位 21 个，露天车位 45 个. 76．（2009 年中山）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就 会有 81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电 脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染 台电脑，依题意得： ， ， 或 ， （舍去）， ． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑，3 轮感染后，被感染的电脑会超过 700 台． 77.（2009 年宁波市）2009 年 4 月 7 日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施 方案（2009~2011 年》，某市政府决定 2009 年投入 6000 万元用于改善医疗卫生服务，比 2008 年增加了 1250 万元．投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗 卫生机构等），预计 2009 年投入“需方”的资金将比 2008 年提高 30%，投入“供方”的 资金将比 2008 年提高 20%． （1）该市政府 2008 年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？ （2）该市政府 2009 年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元？ （3）该市政府预计 2011 年将有 7260 万元投入改善医疗卫生服务，若从 2009~2011 年 a b 0.5 0.1 15 2 2.5 a b a b a + =   ① ≤ ≤ ② b a 20 a 150≤ ≤ 7 a a∴ 20a = 50b = 21a = 45b = ∴ x 1 (1 ) 81x x x+ + + = 2(1 ) 81x+ = 1 9x + = 1 9x + = − 1 28 10x x= = −， 3 3(1 ) (1 8) 729 700x+ = + = > 每年的资金投入按相同的增长率递增，求 2009~2011 年的年增长率． 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】解：（1）该市政府 2008 年投入改善医疗服务的资金是： （万元） （2）设市政府 2008 年投入“需方” 万元，投入“供方” 万元， 由题意得 解得 2009 年投入“需方”资金为 （万元）， 2009 年投入“供方”资金为 （万元）． 答：该市政府 2009 年投入“需方”3900 万元，投入“供方”2100 万元． （3）设年增长率为 ，由题意得 ， 解得 ， （不合实际，舍去） 答：从 2009~2011 年的年增长率是 10%． 78.(2009 年潍坊)要对一块长 60 米、宽 40 米的矩形荒地 进行绿化和硬化． （1）设计方案如图①所示，矩形 P、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q 两块绿 地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形 面积的 ，求 P、 Q 两块绿地周围的硬化路面的宽． （2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为 和 ，且 到 的距离与 到 的距离都相等，其余为硬化地面， 如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由． 解：（1）设 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 米，根据题意，得： 解之，得： 经检验， 不符合题意，舍去． ABCD ABCD 1 4 1O 2O 1O AB BC AD、 、 2O CD BC AD、 、 P Q、 x 1(60 3 ) (40 2 ) 60 40 4x x− × − = × × 1 210 30x x= =， 2 30x = 6000 1250 4750− = x y 4750 (1 30%) (1 20%) 6000. x y x y + =  + + + = ， 3000 1750. x y =  = ， ∴ (1 30%) 1.3 3000 3900x+ = × = (1 20%) 1.2 1750 2100y+ = × = x 26000(1 ) 7260x+ = 1 0.1x = 2 1.1x = − 所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为 10 米． （2）设想成立．设圆的半径为 米， 到 的距离为 米，根据题意，得： 解得： ．符合实际． 所以，设想成立，此时，圆的半径是 10 米． 79．（2009 年广东省）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后 就会有 81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染 台电脑，依题意得： 1+ ， ， 或 ， 或 （舍去）， ． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑，3 轮感染后，被感染的电脑会超过 700 台． 80．（2009 年广东省）小明用下面的方法求出方程 的解，请你仿照他的方法求 出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中． 方程 换元法得 新方程 解新方程 检验 求原方程的解 令 则 所 以 r 1O AB y 2 40 2 2 60 y y r =  + = 20 10y r= =， x ( )1 81x x x+ + = ( )21 81x+ = 1 9x + = 1 9x + = − 1 8x = 2 10x = − ( ) ( )3 31 1 8 729 700x+ = + = > 2 3 0x − = 2 3 0x − = x t= ， 2 3 0t − = 3 2t = 3 02t = > 3 2x = ， 9 4x = 2 3 0x x+ − = 【关键词】解一元二次方程；换元法 【答案】解： 方程 换元法得 新方程 解新方程 检验 求原方程的解 令 ，则 ……1 分 ……2 分 （舍去） ……3 分 ，所以 ． ……4 分 令 ， 则 ……6 分 ……7 分 （舍去） ……8 分 ，所 以 ． ……9 分 81．（2009 年山西省）解方程： 【关键词】解一元二次方程 【答案】解：移项，得 配方，得 ∴ ∴ （注：此题还可用公式法，分解因式法求解，请参照给分） 82（2009 年衢州）2009 年 5 月 17 日至 21 日，甲型 H1N1 流感在日本迅速蔓延，每天的 新增病例和累计确诊病例人数如图所示． (1)　在 5 月 17 日至 5 月 21 日这 5 天中，日本新增甲型 H1N1 流感病例最多的是哪一 天？该天增加了多少人？ (2)　在 5 月 17 日至 5 月 21 日这 5 天中，日本平均每天新增加甲型 H1N1 流感确诊病 例多少人？如果接下来的 5 天中，继续按这个平均数增加，那么到 5 月 26 日，日本甲 型 H1N1 流感累计确诊病例将会达到多少人？ (3)　甲型 H1N1 流感病毒的传染性极强，某地因 1 人患了甲型 H1N1 流感没有及时隔 离治疗，经过两天传染后共有 9 人患了甲型 H1N1 流感，每天传染中平均一个人传染 2 2 3 0x x− − = 2 2 3x x− = ， ( )21 4x − = ， 1 2x − = ± ， 1 21 3x x= − =， ． 2 4 0x x+ − − = 2 3 0x x+ − = x t= 2 2 3 0t t+ − = 1 21 3t t= = −， 1 1 0t = > ， 2 3 0t = − < 1x = 1x = 2 4 0x x+ − − = 2x t− = 2 2 0t t+ − = 1 21 2t t= = −， 1 1 0t = > ， 2 2 0t = − < 2 1x − = 2 1 3x x− = =， 了几个人？如果按照这个传染速度，再经过 5 天的传染后，这个地区一共将会有多少 人患甲型 H1N1 流感？ 【关键词】折线统计图 【答案】解：(1)　18 日新增甲型 H1N1 流感病例最多，增加了 75 人； (2)　平均每天新增加 人， 继续按这个平均数增加，到 5 月 26 日可达 52.6×5+267=530 人； (3)　设每天传染中平均一个人传染了 x 个人，则 ， ， 解得 (x = -4 舍去)． 再经过 5 天的传染后，这个地区患甲型 H1N1 流感的人数为 (1+2)7=2 187（或 1+2+6+18+54+162+486+1 458=2 187）， 即一共将会有 2 187 人患甲型 H1N1 流感． 83.（2009 年舟山）2009 年 5 月 17 日至 21 日，甲型 H1N1 流感在日本迅速蔓延，每天的 新增病例和累计确诊病例人数如图所示． (1)　在 5 月 17 日至 5 月 21 日这 5 天中，日本新增甲型 H1N1 流感病例最多的是哪一 天？该天增加了多少人？ (2)　在 5 月 17 日至 5 月 21 日这 5 天中，日本平均每天新增加甲型 H1N1 流感确诊病 例多少人？如果接下来的 5 天中，继续按这个平均数增加，那么到 5 月 26 日，日本甲 型 H1N1 流感累计确诊病例将会达到多少人？ (3)　甲型 H1N1 流感病毒的传染性极强，某地因 1 人患了甲型 H1N1 流感没有及时隔 离治疗，经过两天传染后共有 9 人患了甲型 H1N1 流感，每天传染中平均一个人传染 267 4 52.65 − = 1 ( 1) 9x x x+ + + = 2( 1) 9x + = 2=x 累计确诊病例人数 新增病例人数 0 4 21 96 163 193 267 17 75 67 30 74 16 17 18 19 20 21 日本 2009 年 5 月 16 日至 5 月 21 日 甲型 H1N1 流感疫情数据统计图人数(人) 0 50 100 150 200 250 300 日期 了几个人？如果按照这个传染速度，再经过 5 天的传染后，这个地区一共将会有多少 人患甲型 H1N1 流感？ 【关键词】折线统计图 【答案】解：(1)　18 日新增甲型 H1N1 流感病例最多，增加了 75 人； (2)　平均每天新增加 人， 继续按这个平均数增加，到 5 月 26 日可达 52.6×5+267=530 人； (3)　设每天传染中平均一个人传染了 x 个人，则 ， ， 解得 (x = -4 舍去)． 再经过 5 天的传染后，这个地区患甲型 H1N1 流感的人数为 (1+2)7=2 187（或 1+2+6+18+54+162+486+1 458=2 187）， 即一共将会有 2 187 人患甲型 H1N1 流感． 84.（2009 年益阳市）如图 11，△ABC 中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC 于 D，BD＝2，DC ＝3，求 AD 的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题： (1)分别以 AB、AC 为对称轴，画出△ABD、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为 E、F，延长 EB、FC 相交于 G 点，证明四边形 AEGF 是正方形； (2)设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x 的方程模型，求出 x 的值. 267 4 52.65 − = 1 ( 1) 9x x x+ + + = 2( 1) 9x + = 2=x 累计确诊病例人数 新增病例人数 0 4 21 96 163 193 267 17 75 67 30 74 16 17 18 19 20 21 日本 2009 年 5 月 16 日至 5 月 21 日 甲型 H1N1 流感疫情数据统计图人数(人) 0 50 100 150 200 250 300 日期 【关键词】轴对称、一元二次方程 【答案】(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF . ∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝90°. 又∵AD⊥BC ∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°. 又∵AE＝AD，AF＝AD ∴AE＝AF. ∴四边形 AEGF 是正方形. (2)解：设 AD＝x，则 AE＝EG＝GF＝x. ∵BD＝2，DC＝3 ∴BE＝2 ，CF＝3 ∴BG＝x－2，CG＝x－3. 在 Rt△BGC 中，BG2＋CG2＝BC2 ∴( x－2)2＋(x－3)2＝52. 化简得，x2－5x－6＝0 解得 x1＝6，x2＝－1（舍） 所以 AD＝x＝6. 85．（09 湖北宜昌）【实际背景】 预警方案确定: B C A E G D F 图 11 设 ．如果当月 W<6，则下个月要采取措施防止“猪贱伤 农”． 【数据收集】 今年 2 月～5 月玉米、猪肉价格统计表 月 份 2 3 4 5 玉米价格(元/500 克) 0.7 0.8 0.9 1 猪肉价格(元/500 克) 7.5 m 6.25 6 【问题解决】 (1)若今年 3 月的猪肉价格比上月下降的百分数与 5 月的猪肉价格比上月下降的百分数 相等，求 3 月的猪肉价格 m； (2)若今年 6 月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪肉价格按照 5 月的 猪肉价格比上月下降的百分数继续下降，请你预测 7 月时是否要采取措施防止“猪贱伤 农”； (3)若今年 6 月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的 2 倍，而每 月的猪肉价格增长率都为 a，则到 7 月时只用 5.5 元就可以买到 500 克猪肉和 500 克玉 米．请你预测 8 月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”． 【关键词】分式方程、一元二次方程解法及应用、阅读理解题、一次函数的实际问题 【答案】解：（1）由题意， ， 解得： m=7.2． （2）从 2 月~5 月玉米的价格变化知，后一个月总是比前一个月价格每 500 克增长 0.1 元． （或：设 y＝kx+b，将（2，0.7），（3，0.8）代入，得到 y=0.1x+0.5，把（4，0.9）， ∴6 月玉米的价格是：1.1 元/500 克; ∵5 月增长率： ，∴6 月猪肉的价格：6(1－ )=5.76 元/500 克. ∴W= =5.24<6， 要采取措施． （3）7 月猪肉价格是： 元/500 克； 7 月玉米价格是： 元/500 克； 00 00 W= 月的５ 克 肉价格 月的５ 克玉米价格 当 猪 当 7.5 6 6.25 7.5 6.25 m − −= 6 6.25 1 6.25 25 − = − 1 25 5.76 1.1 26(1 )a+ 21(1 2 )a+ 由题意， + =5.5， 解得， ． 不合题意，舍去． ∴ ， ，∴不(或：不一定)需要采取措施． 86．（09 湖南怀化）如图 11，已知二次函数 的图象与 轴相交于两 个不同的点 、 ，与 轴的交点为 ．设 的外接圆的圆心为点 ． （1）求 与 轴的另一个交点 D 的坐标； （2）如果 恰好为 的直径，且 的面积等于 ，求 和 的值． 【关键词】分式方程、一元二次方程解法及应用、阅读理 解题、一次函数的实际问题 【答案】解 （1）易求得点 的坐标为 由题设可知 是方程 即 的两根，所以 ， 所 如图 3，∵⊙P 与 轴的另一个交点为 D，由于 AB、CD 是⊙P 的 两 条 相 交 弦 ， 设 它 们 的 交 点 为 点 O ， 连 结 DB ， ∴△AOC∽△DOC ，则 由题意知点 在 轴的负半轴上，从而点 D 在 轴的正半轴上， 所以点 D 的坐标为（0，1） （2）因为 AB⊥CD， AB 又恰好为⊙P 的直径，则 C、D 关于点 O 对称， 所以点 的坐标为 ，即 ） 22)( mkmxy −++= x 1( 0)A x， 2( 0)B x ， y C ABC△ P P⊙ y AB P⊙ ABC△ 5 m k (0 )k， 0)( 22 =−++ mkmx 022 =++ kmxx 2 1 2 2 ( 2 ) 4 2 m m kx − ± − −=， 1 2 1 22x x m x x k+ = − • =， y .121 ===×= k k k xx OC OBOAOD y y (0 1)−， 1−=k 26(1 )a+ 21(1 2 )a+ 1 3 10 2 a a= − = −或 3 2 a = − 2 2 16(1 ) 10 11(1 ) 5 W − − = ( 7.59) 6W ≈ > C 1 2x x， C C 又 ， 所以 解得 87．（09 湖南怀化）如图 12，在直角梯形 OABC 中， OA∥CB，A、B 两点的坐标分别为 A（15，0），B（10， 12），动点 P、Q 分别从 O、B 两点出发，点 P 以每秒 2 个 单位的速度沿 OA 向终点 A 运动，点 Q 以每秒 1 个单位 的速度沿 BC 向 C 运动，当点 P 停止运动时，点 Q 也 同时停止运动．线段 OB、PQ 相交于点 D，过点 D 作 DE∥OA，交 AB 于点 E，射线 QE 交 轴于点 F．设动点 P、Q 运动时间为 t（单位： 秒）． （1）当 t 为何值时，四边形 PABQ 是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当 t=2 秒时，求梯形 OFBC 的面积； （3）当 t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程． 【关键词】一元二次方程解法及应用、勾股定理及逆定理、等腰三角形、等腰梯形的 判定 【答案】解：（1）如图 4，过 B 作 则 过 Q 作 则 要使四边形 PABQ 是等腰梯形，则 ， 即 或 （此时 是平行四边形，不合题意， 舍去） （2）当 时， 。 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2( ) 4 ( 2 ) 4 2 2 1AB x x x x x x m k m k m= − = + − = − − = − = + 21 1 2 1 1 52 2ABCS AB OC m= × = × + × =△ .2±=m x BG OA G⊥ 于 ， 2 2 2 212 15 10 169 13AB BG GA= + = + − = =（ ） ，于HOAQH ⊥ 2 2 2 2 212 10 2 ) 144 (10 3 )QP QH PH t t t= + = + − − = + −（ ,13)310(144 2 =−+ t t∴ 5 3 = 5t = PABQ 2=t 4 10 2 8 2OP CQ QB= = − = =， ， 1 .2 QB QE QD QBCB DE OF AF EF DP OP ∴ = = = = ∥ ∥ ， 2 2 2 4 15 4 19.AF QB OF∴ = = × = ∴ = + =， AB QP= （3）①当 时，则 ②当 时， 即 ③当 时， 综上，当 时，△PQF 是等腰三角形． 88．（09 湖南邵阳）如图（十二），直线 的解析式为 ，它与 轴、 轴分别相 交于 两点．平行于直线 的直线 从原点 出发，沿 轴的正方形以每秒 1 个单位 长 度 的 速 度 运 动 ， 它 与 轴 、 轴 分 别 相 交 于 两 点 ， 设 运 动 时 间 为 秒 （ ）． （1）求 两点的坐标； （2）用含 的代数式表示 的面积 ； （3）以 为对角线作矩形 ，记 和 重合部分的面积为 ， ①当 时，试探究 与 之间的函数关系式； ②在直线 的运动过程中，当 为何值时， 为 面积的 ？ 【关键词】直角坐标系、一元二次方程解法及应用 【答案】解 （1）当 时， ；当 时， ． ； （2） ， ； （3）①当 时，易知点 在 的 外 面 ， 则 点 的 坐 标 为 , .1741219102 1 =×+=∴ ）（梯形OFBCS 2 212 (10 2 ) 15 2 2t t t t+ − − = + − ， .3 19 3 1 ==∴ tt 或 222222 )]10(215[1212)210(12 ttFHtt −−++=+=−−+则 2 2 2 2 512 (10 3 ) 12 (5 3 ) 6t t t+ − = + + ∴ =， 2 2 4 1412 (5 3 ) 15 ( .3 3t t t+ + = ∴ = = −则 ， 或 舍去） 1 19 5 4 3 3 6 3t t t t= = = =， ， ， QP PF= QP QF= QF PF= l 4y x= − + x y A B、 l m O x x y M N、 t 0 4t< ≤ A B、 t MON△ 1S MN OMPN MPN△ OAB△ 2S 2 t< ≤4 2S t m t 2S OAB△ 5 16 0x = 4y = 0y = 4x = (4 0) 0 4A B∴ ，，（ ，） 1OM OAMN AB ON OB ∴ = = ∥ ， 2 1 1 1 2 2OM ON t S OM ON t∴ = = ∴ = =， · 2 4t< ≤ P OAB△ P ( )t t， O M A PN yl m x B O M A PN yl m x B E P F 图十二 点的坐标满足 即 ， 同理 ，则 ， 所以 ； ②当 时， ， 解得 两个都不合题意，舍去； 当 时， ，解得 ， 综上得，当 或 时， 为 的面积的 ． 89．（2009 年新疆乌鲁木齐市）有一批图形计算器，原售价为每台 800 元，在甲、乙两家 公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为 780 元，买两台每台都为 760 元．依此 类推，即每多买一台则所买各台单价均再减 20 元，但最低不能低于每台 440 元；乙公司 一律按原售价的 75%促销．某单位需购买一批图形计算器： （1）若此单位需购买 6 台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？ （2）若此单位恰好花费 7 500 元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问 是在哪家公司购买的，数量是多少？ 【关键词】一元二次方程的应用 【答案】解：（1）在甲公司购买 6 台图形计算器需要用 （元）；在乙公司购买需要用 （元） （元）．应去乙公 司购买；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 （2）设该单位买 台，若在甲公司购买则需要花费 元；若在乙公司购买 则需要花费 元； ①若该单位是在甲公司花费 7 500 元购买的图形计算器， 则有 ，解之得 ． 当 时，每台单价为 ，符合题意， F 4 x t y t =  = − + ， ， ( 4 )F t t−， (4 )E t t− ， 2 4PF PE t t t= = − = −( 4- ) 2 MPN PEF OMN PEFS S S S S= − = −△ △ △ △ 2 2 21 1 1 1 32 4 2 4 8 82 2 2 2 2t PE PF t t t t t= − = − − − = − + −· ( ) ( ) 0 2t< ≤ 2 2 2 1 1 5 1 54 42 2 16 2 2S t t= = × × × =， 1 25 0 5 2t t= − < = >， ， 2 4t< ≤ 2 2 3 58 82 2S t t= − + − = 3 4 73 3t t= =， 7 3t = 3t = 2S OAB△ 5 16 6 (800 20 6) 4 080× − × = 75% 800 6 3 600× × = 4 080< x (800 20 )x x− 75% 800 600x x× = (800 20 )x x− 7 500= 15 25x x= =， 15x = 800 20 15 500 440− × = > 当 时，每台单价为 ，不符合题意，舍去． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 ②若该单位是在乙公司花费 7 500 元购买的图形计算器，则有 ，解之得 ，不符合题意，舍去． 故该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了 15 台．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 25x = 800 20 25 300 440− × = < 600 7 500x = 12.5x =