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文档介绍
上海市徐汇区中考数学一模试卷
2017年上海市徐汇区中考数学一模试卷 一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的】 1.(4分)如果2x=3y(x、y均不为0),那么下列各式中正确的是( ) A.= B.=3 C.= D.= 2.(4分)如果一斜坡的坡比是1:2.4,那么该斜坡坡角的余弦值是( ) A. B. C. D. 3.(4分)如果将某一抛物线向右平移2个单位,再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2(x﹣1)2,那么原抛物线的表达式是( ) A.y=2(x﹣3)2﹣2 B.y=2(x﹣3)2+2 C.y=2(x+1)2﹣2 D.y=2(x+1)2+2 4.(4分)在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,联结DE,那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是( ) A.DE∥BC B.∠AED=∠B C.AE:AD=AB:AC D.AE:DE=AC:BC 5.(4分)一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°,那么此时飞机与监测点的距离是( ) A.6000米 B.1000米 C.2000米 D.3000米 6.(4分)已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是( ) A.x≥1 B.x≥0 C.x≥﹣1 D.x≥﹣2 二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7.(4分)已知线段a=9,c=4,如果线段b是a、c的比例中项,那么b= . 8.(4分)点C是线段AB延长线的点,已知=,=,那么= . 9.(4分)如图,AB∥CD∥EF,如果AC=2,AE=5.5,DF=3,那么BD= . 10.(4分)如果两个相似三角形的对应中线比是:2,那么它们的周长比是 . 11.(4分)如果点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP),那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式,你的结论是: . 12.(4分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,如果CD=4,BD=3,那么∠A的正弦值是 . 13.(4分)正方形ABCD的边长为3,点E在边CD的延长线上,连接BE交边AD于F,如果DE=1,那么AF= . 14.(4分)已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B,顶点C的纵坐标是﹣2,那么a= . 15.(4分)如图,矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上,并且从上到下每两条平行线间的距离都是1,如果AB:BC=3:4,那么AB的长是 . 16.(4分)在梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD相交于O,如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4,那么梯形ABCD的面积是 . 17.(4分)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=5,BC=3,CD是∠ACB的平分线,将△ABC沿直线CD翻折,点A落在点E处,那么AE的长是 . 18.(4分)如图,在▱ABCD中,AB:BC=2:3,点E、F分别在边CD、BC上,点E是边CD的中点,CF=2BF,∠A=120°,过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF,垂足分别为P、Q,那么的值为 . 三、解答题:(本大题共7题,第19-22题每题10分,第23、24题每题12分,第25题14分,满分78分) 19.(10分)计算:2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+. 20.(10分)将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位,所得新抛物线与x轴正半轴交于点B,与y轴交于点C,顶点为D.求:(1)点B、C、D坐标;(2)△BCD的面积. 21.(10分)如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=4,AD=3,AB⊥AC,AC平分∠DCB,过点DE∥AB,分别交AC、BC于F、E,设=,=.求: (1)向量(用向量、表示); (2)tanB的值. 22.(10分)如图,一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向,距离小岛120海里的A处,该海轮从A处正北方向航行一段距离后,到达位于小岛C北偏东45°方向的B处. (1)求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离(记过保留根号); (2)如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶,求它从B处到达小岛C的航行时间(结果精确到0.1小时).(参考数据:=1.41,=1.73) 23.(12分)如图,已知△ABC中,点D在边BC上,∠DAB=∠B,点E在边AC上,满足AE•CD=AD•CE. (1)求证:DE∥AB; (2)如果点F是DE延长线上一点,且BD是DF和AB的比例中项,联结AF.求证:DF=AF. 24.(12分)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC,点D是抛物线的顶点,直线AC和BD交于点E. (1)求点D的坐标; (2)连接CD、BC,求∠DBC余切值; (3)设点M在线段CA的延长线上,如果△EBM和△ABC相似,求点M的坐标. 25.(14分)如图,已知△ABC中,AB=AC=3,BC=2,点D是边AB上的动点,过点D作DE∥ BC,交边AC于点E,点Q是线段DE上的点,且QE=2DQ,连接BQ并延长,交边AC于点P.设BD=x,AP=y. (1)求y关于x的函数解析式及定义域; (2)当△PQE是等腰三角形时,求BD的长; (3)连接CQ,当∠CQB和∠CBD互补时,求x的值. 2017年上海市徐汇区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的】 1.(4分)(2017•徐汇区一模)如果2x=3y(x、y均不为0),那么下列各式中正确的是( ) A.= B.=3 C.= D.= 【分析】根据比例的性质逐项判断,判断出各式中正确的是哪个即可. 【解答】解:∵2x=3y, ∴=, ∴选项A不正确; ∵2x=3y, ∴=, ∴==3, ∴选项B正确; ∵2x=3y, ∴=, ∴==, ∴选项C不正确; ∵2x=3y, ∴=, ∴==, ∴∴选项D不正确. 故选:B. 【点评】此题主要考查了比例的性质和应用,要熟练掌握. 2.(4分)(2017•徐汇区一模)如果一斜坡的坡比是1:2.4,那么该斜坡坡角的余弦值是( ) A. B. C. D. 【分析】根据坡比=坡角的正切值,设竖直直角边为5x,水平直角边为12x,由勾股定理求出斜边,进而可求出斜坡坡角的余弦值. 【解答】解:如图所示: 由题意,得:tanα=i==, 设竖直直角边为5x,水平直角边为12x, 则斜边==13x, 则cosα==. 故选D. 【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理;熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键. 3.(4分)(2017•徐汇区一模)如果将某一抛物线向右平移2个单位,再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2(x﹣1)2,那么原抛物线的表达式是( ) A.y=2(x﹣3)2﹣2 B.y=2(x﹣3)2+2 C.y=2(x+1)2﹣2 D.y=2(x+1)2+2 【分析】根据图象反向平移,可得原函数图象,根据图象左加右减,上加下减,可得答案. 【解答】解:一条抛物线向右平移2个单位,再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2(x﹣1)2, 抛物线的表达式为y=2(x﹣1)2,左移2个单位,下移2个单位得原函数解析式y=2(x+1)2﹣2, 故选:C. 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,利用了图象左加右减,上加下减的规律. 4.(4分)(2017•徐汇区一模)在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,联结DE,那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是( ) A.DE∥BC B.∠AED=∠B C.AE:AD=AB:AC D.AE:DE=AC:BC 【分析】根据题意画出图形,再由相似三角形的判定定理进行解答即可. 【解答】解:如图, A、∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC,故本选项错误; B、∵∠AED=∠B,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACB,故本选项错误; C、∵AE:AD=AB:AC,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACB,故本选项错误; D、AE:DE=AC:BC不能使△ADE和△ABC相似,故本选项正确. 故选D. 【点评】此题考查了相似三角形的判定,属于基础题,关键是掌握相似三角形的几种判定定理. 5.(4分)(2017•徐汇区一模)一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°,那么此时飞机与监测点的距离是( ) A.6000米 B.1000米 C.2000米 D.3000米 【分析】根据题意可构造直角三角形,利用所给角的正弦函数即可求解. 【解答】解:如图所示: 由题意得,∠CAB=60°,BC=3000米, 在Rt△ABC中,∵sin∠A=, ∴AC===2000米. 故选C. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形,并结合三角函数解直角三角形. 6.(4分)(2017•徐汇区一模)已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是( ) A.x≥1 B.x≥0 C.x≥﹣1 D.x≥﹣2 【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴,再利用增减性可得到关于x的不等式,可求得答案. 【解答】解: ∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2(x﹣1)2﹣1, ∴抛物线开口向下,对称轴为x=1, ∴当x≥1时,y随x的增大而减小, 故选A. 【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x﹣h)2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k). 二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7.(4分)(2017•徐汇区一模)已知线段a=9,c=4,如果线段b是a、c的比例中项,那么b= 6 . 【分析】根据比例中项的定义,若b是a,c的比例中项,即b2=ac.即可求解. 【解答】解:若b是a、c的比例中项, 即b2=ac.则b===6. 故答案为:6. 【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义,注意线段不能为负. 8.(4分)(2017•徐汇区一模)点C是线段AB延长线的点,已知=,=,那么= ﹣ . 【分析】根据向量、的方向相反进行解答. 【解答】解:如图,向量、的方向相反,且=,=, 所以=+=﹣. 故答案是:﹣. 【点评】本题考查了平面向量,注意向量既有大小,又有方向. 9.(4分)(2017•徐汇区一模)如图,AB∥CD∥EF,如果AC=2,AE=5.5,DF=3,那么BD= . 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论. 【解答】解:∵AC=2,AE=5.5, ∴CE=3.5, AB∥CD∥EF, ∴, ∴BD=, 故答案为:. 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理,用到的知识点是平行线分线段成比例定理,关键是找准对应关系,列出比例式. 10.(4分)(2017•徐汇区一模)如果两个相似三角形的对应中线比是:2,那么它们的周长比是 :2 . 【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论. 【解答】解:∵两个相似三角形的对应中线比是:2, ∴它们的周长比为:2. 故答案为::2. 【点评】本题考查的是相似三角形的性质,熟知相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比等于相似比是解答此题的关键. 11.(4分)(2017•徐汇区一模)如果点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP),那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式,你的结论是: AP2=BP•AB . 【分析】根据黄金分割的概念解答即可. 【解答】解:∵点P是线段AB的黄金分割点, ∴AP2=BP•AB, 故答案为:AP2=BP•AB. 【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质,把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项,叫做把线段AB黄金分割. 12.(4分)(2017•徐汇区一模)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,如果CD=4,BD=3,那么∠A的正弦值是 . 【分析】求出∠A=∠BCD,根据锐角三角函数的定义求出sin∠BCD即可. 【解答】解: ∵CD⊥AB, ∴∠CDB=90°, 由勾股定理得:BC=5, ∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°, ∴∠A=∠BCD, ∴sinA=sin∠BCD==, 故答案为:. 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键,注意:在Rt△ACB中,∠ACB=90°,则sinA=,cosA=,tanA=. 13.(4分)(2017•徐汇区一模)正方形ABCD的边长为3,点E在边CD的延长线上,连接BE交边AD于F,如果DE=1,那么AF= . 【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD,根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF,从而得出△ABF∽△ DEF,再根据相似三角形的性质即可得出==3,结合AF+DF=AD=3即可求出AF的长度,此题得解. 【解答】解:依照题意画出图形,如图所示. ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠A=∠ADC=90°,AB∥CD, ∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A,∠ABF=∠DEF, ∴△ABF∽△DEF, ∴==3, ∵AF+DF=AD=3, ∴AF=AD=. 故答案为:. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角,通过两组相等的角证出△ABF∽△DEF是解题的关键. 14.(4分)(2017•徐汇区一模)已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B,顶点C的纵坐标是﹣2,那么a= . 【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标,根据顶点C的纵坐标是﹣2,即可列方程求得a的值. 【解答】解:y=ax2﹣4ax=a(x2﹣4x+4)﹣4a=a(x﹣2)2﹣4a, 则顶点坐标是(2,﹣4a), 则﹣4a=﹣2, 解得a=. 故答案是:. 【点评】本题考查了配方法确定函数的顶点坐标,正确进行配方是关键. 15.(4分)(2017•徐汇区一模)如图,矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上,并且从上到下每两条平行线间的距离都是1,如果AB:BC=3:4,那么AB的长是 . 【分析】作辅助线,构建相似三角形,证明△ABE∽△BCF,列比例式求BE的长,利用勾股定理可以求AB的长. 【解答】解:过A作AE⊥BM于E,过C作CF⊥BM于F,则CF=1,AE=2, ∴∠AEB=∠BFC=90°, ∴∠ABE+∠BAE=90°, ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=90°, ∴∠ABE+∠CBE=90°, ∴∠BAE=∠CBE, ∴△ABE∽△BCF, ∴, ∴, ∴BE=, 在Rt△ABE中,AB==, 故答案为:. 【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、两平行线的距离以及勾股定理;熟练掌握矩形的性质,证明三角形相似是解决问题的关键. 16.(4分)(2017•徐汇区一模)在梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD相交于O,如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4,那么梯形ABCD的面积是 16 . 【分析】如图,设△AOD的面积为x,则△ODC的面积为4﹣x.由AD∥BC,推出△AOD∽△COB,可得=()2,因为=,得到=()2,解方程即可. 【解答】解:如图,设△AOD的面积为x,则△ODC的面积为4﹣x. ∵AD∥BC, ∴△AOD∽△COB, ∴=()2, ∵=, ∴=()2, 解得x=1或16(舍弃), ∵S△ABD=S△ADC=1, ∴S△AOB=S△DOC=3, ∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16, 故答案为16. 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、梯形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质,学会用方程的思想思考问题,属于中考常考题型. 17.(4分)(2017•徐汇区一模)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=5,BC=3,CD是∠ACB的平分线,将△ABC沿直线CD翻折,点A落在点E处,那么AE的长是 2 . 【分析】由勾股定理求AB=4,再根据旋转的性持和角平分线可知:点A的对应点E在直线CB上,BE=2,利用勾股定理可求AE的长. 【解答】解:∵CD是∠ACB的平分线, ∴将△ABC沿直线CD翻折,点A的对应点E在直线CB上, ∵∠ABC=90°,AC=5,BC=3, ∴AB=4, 由旋转得:EC=AC=5, ∴BE=5﹣3=2, 在Rt△ABE中,由勾股定理得:AE===2, 故答案为:2. 【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理,明确折叠前后的两个角相等,两边相等;在图形中确定直角三角形,如果知道了一个直角三角形的两条边,可以利用勾股定理求第三边. 18.(4分)(2017•徐汇区一模)如图,在▱ABCD中,AB:BC=2:3,点E、F分别在边CD、BC上,点E是边CD的中点,CF=2BF,∠A=120°,过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF,垂足分别为P、Q,那么的值为 . 【分析】如图,连接AE、AF,过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF,垂足分别为P、Q,作DH⊥BC于H,EG⊥BC于G,设AB=2a.BC=3a.根据•AP•BE=•DF•AQ,利用勾股定理求出BE、DF即可解决问题. 【解答】解:如图,连接AE、AF,过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF,垂足分别为P、Q,作DH⊥BC于H,EG⊥BC于G,设AB=2a.BC=3a. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AD∥BC,∠BAD=∠BCD=120°, ∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD, 在Rt△CDH中,∵∠H=90°,CD=AB=2a,∠DCH=60°, ∴CH=a,DH=a, 在Rt△DFH中,DF===2a, 在Rt△ECG中,∵CE=a, ∴CG=a,GE=a, 在Rt△BEG中,BE===a, ∴•AP•BE=•DF•AQ, ∴==, 故答案为. 【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理,三角形的面积等知识,解题的关键是利用面积法求线段的长,学会添加常用辅助线,学会利用参数解决问题,属于中考常考题型. 三、解答题:(本大题共7题,第19-22题每题10分,第23、24题每题12分,第25题14分,满分78分) 19.(10分)(2017•徐汇区一模)计算:2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+. 【分析】首先根据特殊角的三角函数进行代入,然后再根据绝对值的性质计算绝对值,然后合并同类二次根式即可. 【解答】解:原式=2×﹣|1|+, =+1+, =﹣2﹣3. 【点评】此题主要考查了实数运算,正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键. 20.(10分)(2017•徐汇区一模)将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位,所得新抛物线与x轴正半轴交于点B,与y轴交于点C,顶点为D.求:(1)点B、C、D坐标;(2)△BCD的面积. 【分析】(1)首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式,利用配方法求得D的坐标,令y=0求得C的横坐标,令y=0,解方程求得B的横坐标; (2)过D作DA⊥y轴于点A,然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解. 【解答】解:(1)抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9,即y=x2﹣4x﹣5. y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9, 则D的坐标是(2,﹣9). 在y=x2﹣4x﹣5中令x=0,则y=﹣5, 则C的坐标是(0,﹣5), 令y=0,则x2﹣4x﹣5=0, 解得x=﹣1或5, 则B的坐标是(5,0); (2)过D作DA⊥y轴于点A. 则S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=(2+5)×9﹣×2×4﹣×5×5=15. 【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点坐标,以及函数与x轴、y轴的交点的求法,正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键. 21.(10分)(2017•徐汇区一模)如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=4,AD=3,AB⊥AC,AC平分∠DCB,过点DE∥AB,分别交AC、BC于F、E,设=,=.求: (1)向量(用向量、表示); (2)tanB的值. 【分析】(1)首先证明四边形ABED是平行四边形,推出DE=AB,推出==,==,=+. (2)由△DFC∽△BAC,推出==,求出BC,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,根据AC===2,由tanB=,即可解决问题. 【解答】解:∵AD∥BC, ∴∠DAC=∠ACB, ∴AC平分∠DCB, ∴∠DCA=∠ACB, ∴∠DAC=∠DCA, ∴AD=DC, ∵DE∥AB,AB⊥AC, ∴DE⊥AC, ∴AF=CF, ∴BE=CE, ∵AD∥BC,DE∥AB, ∴四边形ABED是平行四边形, ∴DE=AB, ∴==,==, ∴=+. (2)∵∠DCF=∠ACB,∠DFC=∠BAC=90°, ∴△DFC∽△BAC, ∴==, ∵CD=AD=3,∴BC=6, 在Rt△BAC中,∠BAC=90°, ∴AC===2, ∴tanB===. 【点评】本题考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,属于基础题. 22.(10分)(2017•永安市一模)如图,一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向,距离小岛120海里的A处,该海轮从A处正北方向航行一段距离后,到达位于小岛C北偏东45°方向的B处. (1)求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离(记过保留根号); (2)如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶,求它从B处到达小岛C的航行时间(结果精确到0.1小时).(参考数据:=1.41,=1.73) 【分析】(1)首先过点C作CD⊥AB于D,构建直角△ACD,通过解该直角三角形得到CD的长度即可; (2)通过解直角△BCD来求BC的长度. 【解答】解:(1)如图,过点C作CD⊥AB于D, 由题意,得∠ACD=30°. 在直角△ACD中,∠ADC=90°, ∴cos∠ACD=, ∴CD=AC•cos30°=120×=60(海里); (2)在直角△BCD中,∠BDC=90°,∠DCA=45°, ∴cos∠BCD=, ∴BC===60≈60×2.44=146.4(海里), ∴146.4÷20=7.32≈7.3(小时). 答:(1)求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60海里; (2)如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶,求它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时. 【点评】此题考查了方向角问题.此题难度适中,注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键,注意数形结合思想的应用. 23.(12分)(2017•徐汇区一模)如图,已知△ABC中,点D在边BC上,∠DAB=∠B,点E在边AC上,满足AE•CD=AD•CE. (1)求证:DE∥AB; (2)如果点F是DE延长线上一点,且BD是DF和AB的比例中项,联结AF.求证:DF=AF. 【分析】(1)根据已知条件得到,根据等腰三角形的判定定理得到AD=BD,等量代换即可得到结论; (2)由BD是DF和AB的比例中项,得到BD2 =DF•AB,等量代换得到AD2=DF•AB,推出=,根据相似三角形的性质得到==1,于是得到结论. 【解答】证明:(1)∵AE•CD=AD•CE, ∴, ∵∠DAB=∠B, ∴AD=BD, ∴, ∴DE∥AB; (2)∵BD是DF和AB的比例中项, ∴BD2=DF•AB, ∵AD=BD, ∴AD2=DF•AB, ∴=, ∵DE∥AB, ∴∠ADF=∠BAD, ∴△ADF∽△DBA, ∴==1, ∴DF=AF. 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 24.(12分)(2017•徐汇区一模)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC,点D是抛物线的顶点,直线AC和BD交于点E. (1)求点D的坐标; (2)连接CD、BC,求∠DBC余切值; (3)设点M在线段CA的延长线上,如果△EBM和△ ABC相似,求点M的坐标. 【分析】(1)根据题意求出点C的坐标、点B的坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式,根据二次函数的性质求出顶点坐标; (2)根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°,根据余切的定义计算即可; (3)运用待定系数法求出直线CA的解析式,设点M的坐标为(x,3x+3),根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME,根据等腰三角形的性质得到BM=BC,根据勾股定理列出方程,解方程即可. 【解答】解:(1)∵已知抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C, ∴点C的坐标为:(0,3), ∵OB=OC, ∴点B的坐标为:(3,0), ∴﹣9+3b+3=0, 解得,b=2, ∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3, y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4, ∴顶点D的坐标为(1,4); (2)如图1,作DH⊥y轴于H, 则CH=DH=1, ∴∠HCD=∠HDC=45°, ∵OB=OC, ∴∠OCB=∠OBC=45°, ∴∠DCB=90°, ∴cot∠DBC===3; (3)﹣x2+2x+3=0, 解得,x1=﹣1,x2=3, ∴点A的坐标为:(﹣1,0), ∴=,又=, ∴=, ∴Rt△AOC∽Rt△DCB, ∴∠ACO=∠DBC, ∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E, ∴∠E=45°, ∵△EBM和△ABC相似,∠E=∠ABC=45°, ∴∠ACB=∠BME, ∴BM=BC, 设直线CA的解析式为:y=kx+b, 则, 解得,, 则直线CA的解析式为:y=3x+3, 设点M的坐标为(x,3x+3), 则(x﹣3)2+(3x+3)2=18, 解得,x1=0(舍去),x2=﹣, x2=﹣时,y=﹣, ∴点M的坐标为(﹣,﹣). 【点评】本题考查的是二次函数的综合运用、相似三角形的判定和性质,掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键. 25.(14分)(2017•徐汇区一模)如图,已知△ABC中,AB=AC=3,BC=2,点D是边AB上的动点,过点D作DE∥BC,交边AC于点E,点Q是线段DE上的点,且QE=2DQ,连接BQ并延长,交边AC于点P.设BD=x,AP=y. (1)求y关于x的函数解析式及定义域; (2)当△PQE是等腰三角形时,求BD的长; (3)连接CQ,当∠CQB和∠CBD互补时,求x的值. 【分析】(1)过点D作DF∥AC,交BP于F,根据平行线分线段成比例定理,可得EC=BD=x,PE=3﹣x﹣y,DF=,进而根据DF∥AC,求得y=,定义域为:0<x<3; (2)当△PEQ为等腰三角形时,△PBC也为等腰三角形,分三种情况讨论:① 当PB=BC时,②当PC=BC=2时,③当PC=PB时,分别求得BD的长即可; (3)先根据已知条件判定四边形BCED是等腰梯形,判定△BDQ∽△QEC,得出=,即2DQ2=x2,再根据DE∥BC,得出=,即=,求得x的值即可. 【解答】解:(1)如图所示,过点D作DF∥AC,交BP于F,则 根据QE=2DQ,可得 ==, 又∵DE∥BC, ∴==1, ∴EC=BD=x,PE=3﹣x﹣y,DF=, ∵DF∥AC, ∴=,即=, ∴y=,定义域为:0<x<3; (2)∵DE∥BC, ∴△PEQ∽△PBC, ∴当△PEQ为等腰三角形时,△PBC也为等腰三角形, ①当PB=BC时,△ABC∽△BPC, ∴BC2=CP•AC,即4=3(3﹣y), 解得y=, ∴=, 解得x==BD; ②当PC=BC=2时,AP=y=1, ∴=1, 解得x==BD; ③当PC=PB时,点P与点A重合,不合题意; (3)∵DE∥BC, ∴∠BDQ+∠CBD=180°, 又∵∠CQB和∠CBD互补, ∴∠CQB+∠CBD=180°, ∴∠CQB=∠BDQ, ∵BD=CE, ∴四边形BCED是等腰梯形, ∴∠BDE=∠CED, ∴∠CQB=∠CED, 又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED, ∴∠DQB=∠ECQ, ∴△BDQ∽△QEC, ∴=,即2DQ2=x2, ∴DQ=,DE=, ∵DE∥BC, ∴=,即=, 解得x=. 【点评】 本题属于三角形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质,等腰梯形的判定与性质的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形,运用相似三角形的对应边成比例进行求解.在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用. 参与本试卷答题和审题的老师有:放飞梦想;wd1899;nhx600;ZJX;zhjh;Ldt;HJJ;王学峰;CJX;知足长乐;zjx111;曹先生;tcm123;弯弯的小河;gbl210;szl(排名不分先后) 菁优网 2017年6月23日查看更多