中考数学动点问题专题讲解页

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中考动点专题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.‎ 关键:动中求静.‎ 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。‎ 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．‎ 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.‎ 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.‎ ‎(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.‎ ‎(2)设PH,GP,求关于的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量的取值范围).‎ H M N G P O A B 图1‎ ‎(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.‎ 解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=NH=OP=2.‎ ‎(2)在Rt△POH中, , ∴.‎ 在Rt△MPH中,‎ ‎.‎ ‎∴=GP=MP= (0<<6).‎ ‎(3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况:‎ ‎①GP=PH时,,解得. 经检验, 是原方程的根,且符合题意.‎ ‎②GP=GH时, ,解得. 经检验, 是原方程的根,但不符合题意.‎ ‎③PH=GH时,.‎ 综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为或2.‎ 二、应用比例式建立函数解析式 ‎ 例2（2006年·山东）如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=CE=.‎ ‎ (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定与之间的函数解析式； ‎ A E D C B 图2‎ ‎ (2)如果∠BAC的度数为,∠DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中与之间的函数解析式还成立?试说明理由.‎ 解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.‎ ‎∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, ‎ 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,‎ ‎ ∴∠CAE=∠ADB, ‎ ‎∴△ADB∽△EAC, ∴,‎ ‎ ∴, ∴.‎ O ‎●‎ F P D E A C B ‎3(1)‎ ‎(2)由于∠DAB+∠CAE=,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=,且函数关系式成立,‎ ‎∴=, 整理得.‎ 当时,函数解析式成立.‎ 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.‎ ‎●‎ P D E A C B ‎3(2)‎ O F ‎(1)求证: △ADE∽△AEP.‎ ‎(2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域.‎ ‎ (3)当BF=1时,求线段AP的长.‎ 解:(1)连结OD.‎ 根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.‎ 又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP.‎ ‎(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD∥BC, ∴,,‎ ‎∴OD=,AD=. ∴AE==. ‎ ‎∵△ADE∽△AEP, ∴, ∴. ∴ ().‎ ‎(3)当BF=1时，‎ ‎ ①若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.‎ ‎∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,‎ ‎∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.‎ ‎ ∴5-=4,得.可求得,即AP=2.‎ ‎②若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2.‎ 类似①,可得CF=CE.‎ ‎∴5-=2,得.‎ 可求得,即AP=6.‎ 综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6.‎ 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 A B C O 图8‎ H 例4（2004年·上海）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=,△AOC的面积为.‎ ‎(1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.‎ ‎(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,‎ ‎△AOC的面积.‎ 解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.‎ ‎∵∠BAC=90°,AB=AC=, ∴BC=4,AH=BC=2. ∴OC=4-.‎ ‎∵, ∴ ().‎ ‎(2)①当⊙O与⊙A外切时,‎ 在Rt△AOH中,OA=,OH=, ∴. 解得.‎ 此时,△AOC的面积=.‎ ‎②当⊙O与⊙A内切时,‎ 在Rt△AOH中,OA=,OH=, ∴. 解得.‎ 此时,△AOC的面积=.‎ 综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为或.‎ 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。‎ 一、以动态几何为主线的压轴题 ‎ ‎（一）点动问题．‎ ‎1．（09年徐汇区）如图，中，，，点在边上，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点．‎ ‎（1）当时，求的长； ‎ ‎（2）当以点为圆心长为半径的⊙和以点为圆心长为半径的⊙相切时，‎ 求的长； ‎ ‎（3）当以边为直径的⊙与线段相切时，求的长． ‎ ‎[题型背景和区分度测量点]‎ 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E点在AB边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解．‎ ‎[区分度性小题处理手法]‎ ‎1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程．‎ ‎2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R±r()建立方程．‎ ‎3．解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段.‎ ‎ [ 略解]‎ 解：（1） 证明∽∴ ，代入数据得，∴AF=2‎ ‎（2） 设BE=,则利用（1）的方法，‎ ‎ 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，，；‎ 内切，，．‎ ‎∴当⊙和⊙相切时，的长为或．‎ ‎（3）当以边为直径的⊙与线段相切时，．‎ ‎（二）线动问题 在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长；‎ A B C D E O l A′‎ ‎(2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝AC，设AD的长为，五边形BCDEF的面积为S.①求S关于的函数关系式，并指出的取值范围；‎ ‎②探索：是否存在这样的，以A为圆心，以长为半径的圆与直线l相切，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎[题型背景和区分度测量点]‎ A B C D E O l F 本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线沿AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二．‎ ‎[区分度性小题处理手法]‎ ‎1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法．‎ ‎2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程．‎ ‎3．解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段.‎ ‎ [ 略解]‎ ‎(1)∵A’是矩形ABCD的对称中心∴A’B＝AA’＝AC ‎∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6 ‎ ‎ (2)①，，，‎ ‎∴，‎ ‎ ()‎ ‎②若圆A与直线l相切，则，(舍去)，∵∴不存在这样的，使圆A与直线l相切．‎ ‎（三）面动问题 ‎ 如图，在中，，、分别是边、上的两个动点（不与、重合），且保持，以为边，在点的异侧作正方形.‎ ‎（1）试求的面积；‎ ‎（2）当边与重合时，求正方形的边长；‎ ‎（3）设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（4）当是等腰三角形时，请直接写出的长． ‎ ‎[题型背景和区分度测量点]‎ 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D点在AB边上运动时，正方形整体动起来，GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二．‎ ‎ [区分度性小题处理手法]‎ ‎1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况．‎ ‎2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决．‎ ‎3．解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段.‎ ‎[ 略解]‎ 解：（1）.‎ ‎（2）令此时正方形的边长为，则，解得.‎ ‎（3）当时， ，‎ 当时， .‎ ‎ （4）.‎ ‎[类题] 改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M、N分别在边BA、CA上时”,去掉，同时加到第（3）题中.‎ A B F D E M N C 已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30º，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N．‎ ‎（1）求证：△BDM∽△CEN；‎ ‎（2）设BD=，△ABC与△DEF重叠部分的面积为，求 关于的函数解析式，并写出定义域．‎ ‎（3）当点M、N分别在边BA、CA上时,是否存在点D，使以M为圆心, BM为半径的圆与直线EF相切, 如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．‎ 例1：已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上变化（不与A、B）重合，求∠ACB的大小 .‎ 分析：点C的变化是否影响∠ACB的大小的变化呢?我们不妨将点C改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C在优弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO、BO，则由于AB=OA=OB，即三角形ABC为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=∠AOB=300，‎ 当点C在劣弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由∠AOB=600得，优弧AB的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500，‎ 因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.‎ 反思：本题通过点C在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从而需要分类讨论。这样由点C的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。‎ 变式1：已知△ABC是半径为2的圆内接三角形，若，求∠C的大小.‎ 本题与例1的区别只是AB与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上面一致,在三角形AOB中,,则,即,‎ 从而当点C在优弧AB上变化时，∠C所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，即,‎ 当点C在劣弧AB上变化时，∠C所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由∠AOB=1200得，优弧AB的度数为3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠C=1200，‎ 因此或∠C=1200.‎ 变式2: 如图,半经为1的半圆O上有两个动点A、B，若AB=1，‎ 判断∠AOB的大小是否会随点A、B的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。‎ 四边形ABCD的面积的最大值。‎ 解：（1）由于AB=OA=OB，所以三角形AOB为等边三角形，则∠AOB=600，即∠AOB的大小不会随点A、B的变化而变化。‎ ‎（2）四边形ABCD的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB的面积为，而三角 形AOD与三角形BOC的面积之和为，又由梯形 的中位线定理得三角形AOD与三角形BOC的面积之和，要四边形 ABCD的面积最大，只需EH最大，显然EH≤OE=，当AB∥CD时，EH=OE，因此 四边形ABCD的面积最大值为+=.‎ 对于本题同学们还可以继续思考:四边形ABCD的周长的变化范围.‎ 变式3: 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分 别为A、B，另一个顶点C在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由（广州市2000年考题）‎ ‎ 分析：要使三角形ABC的面积最大，而三角形ABC的底边AB为圆的直径为常量，只需AB边上的高最大即可。过点C作CD⊥AB于点D，连结CO，‎ 由于CD≤CO，当O与D重合，CD=CO，因此，当CO与AB垂直时，即C为半圆弧 的中点时，其三角形ABC的面积最大。‎ 本题也可以先猜想，点C为半圆弧的中点时，三角形ABC的面积最大，故只需另选一个位置C1（不与C重合），，证明三角形ABC的面积大于三角形ABC1的面积即可。如图 显然三角形 ABC1的面积=AB×C1D，而C1D< C1O=CO,则三角形 ABC1的面积=AB×C1DAD+DB (D) AC+CB与AD+DB的大小关系不确定 分析:本题可以通过动手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论（C）‎ 例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径CA和非直径的弦CD，延长CA和CD与大圆分别交于点B、E，则下列结论中正确的是（ * ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C）（D）的大小不确定 分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B）‎ 本题也可以可以证明得出结论，连结DO、EO，则在三角形OED中，由于两边之差小于第三边，则 OE—OD3).动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是‎1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒. (1)若a=‎4厘米，t=1秒，则PM=厘米； (2)若a=‎5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比； (3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围； (4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由. 评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t的代数式表示PM，进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确定的a取值范围. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握. ‎ ‎ 4 以双动点为载体，探求函数最值问题 例4 (2007年吉林省)如图9，在边长为‎82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以‎1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE、EB、BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0).E到达C，F到达A停止.若E的运动时间为x(s)，解答下列问题： ‎ ‎ (1)当0

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